Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G

Transkript

1 wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Aufgbe Für jedes mi > is die Funkion g gegeben durch x g (x) = e, x Ds Schubild von g is ( Punke) Nennen Sie drei gemeinsme Eigenschfen ller Schubilder (5 Punke) Eine Prbel berühr uf der y-achse und schneide uf der x-achse Besimmen Sie die leichung dieser Prbel (4 Punke) enseh durch Spiegelung von Zeigen Sie, dss sich und n der y-achse rechwinklig schneiden 4 (7 Punke) Berechnen Sie exk den Wer von, für den Fläche mi dem Inhl einschließ mi den Koordinenchsen eine Für jedes posiive reelle is die Funkion f gegeben durch f (x) = sin(x) ; 0 < x < Ds Schubild von f is (8 Punke) Zeichnen Sie K 0,5 und K K Berechnen Sie den Inhl der Fläche, die von der erden mi der leichung x von K und von K 0,5 begrenz wird (5 Punke) Die erde mi der leichung x = u mi 0 < u < schneide K im Punk P und K0,5 im Punk Q Berechnen Sie den größen Wer, den der Flächeninhl des Dreiecks PQR mi R(0/) nnehmen knn =,

2 wwwmhe-ufgbencom ( Punke) Besimmen Sie die Koordinen des Hochpunkes und des Tiefpunkes von Für welche Were von verläuf K oberhlb der x-achse? Die Abbildung zeig einen Ausschni der Schubilder einer Funkion h, ihrer Ableiungsfunkion h und einer Smmfunkion H von h K (4 Punke) Ordnen Sie die Schubilder den Funkionen h, h und H zu und begründen Sie Ihre Enscheidung ( Punke) Ds Schubild N und die x-achse begrenzen eine Fläche, die oberhlb der x-achse lieg Besimmen Sie näherungsweise deren Inhl

3 wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Aufgbe ( Punke) Ds zur y-achse symmerische Schubild einer Polynomfunkion 4rdes schneide die y-achse im Punk S(0/), es h n der Selle x = die Seigung -4 und einen Exrempunk n der Selle x = Für jedes posiive reelle is die Funkion f gegeben durch f (x) x 4x Ds Schubild von f is 4 = + + ; x K (4 Punke) Zeigen Sie, dss f für x > sreng monoon wächs (7 Punke) Zeichnen Sie K Berechnen Sie die Koordinen der Schnipunke der beiden Wendengenen von K mi der x-achse ( Punke) Berechnen Sie die folgenden Inegrle und erläuern Sie ihre geomerische Bedeuung () (f (x) f (x))dx () f (x) f (x) dx 4 (7 Punke) Besimmen Sie die leichung der Kurve, uf der die Tiefpunke ller K liegen Für jedes reelle > 0 is die Funkion g gegeben durch g (x) = cos(x) + 4 ; x Ds Schubild von g is

4 wwwmhe-ufgbencom (4 Punke) Beschreiben Sie, wie us dem Schubild der Funkion h mi h(x) Hervorgeh eben Sie die Ampliude und die Periode von g n Für welche Were von verläuf oberhlb der x-achse? = cos(x) ; x (4 Punke) 4 und die x-achse schließen für Inhl exk x eine Fläche ein Berechnen Sie deren (7 Punke) In ds Flächensück us werden Rechecke so einbeschrieben, dss eine Seie uf der x-achse und ein Eckpunk uf 4 im ersen Qudrnen lieg Zeigen Sie, dss der Flächeninhl des Rechecks mi mximlem Umfng ew fünfml so groß is wie der Flächeninhl des Rechecks mi mniimlem Umfng 4

5 wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe Skizzier mn sich mi Hilfe des TR drei Schubilder der Schr (zb für =, = und = 4) ergeben sich folgende Skizzen: Anhnd dieser Schubilder können folgende gemeinsme Eigenschfen ennommen werden: Sreng monoon wchsend keine Exrempunke keine Wendepunke genu eine Nullselle eine wgreche Asympoe für x Für die gesuche Prbelfunkion gil der Ansz x Es is g (x) = e mi g (x) = x e h(x) = x + bx + c mi h (x) = x + b schneide die y-achse im Punk P(0/), d g (0) = is Die Seigung der Schrkurve im Punk P beräg g (0) = Die Berührung der Prbel und der Schrkurve im Punk P bedeue: h(0) = g(0) = c = h (0) = g (0) = b = Schnipunk von mi der x-achse: e = 0 e = x = ln Der Schnipunk lue N( ln / 0) ln() Dher gil uch: h(ln ) = 0 ( ln ) + ( ln ) + = 0 = 0,4 (ln) leichung der gesuchen Prbel: x x h(x) = 0,4x + x + 5

6 wwwmhe-ufgbencom Ds n der y-achse gespiegele Schubild besiz die Funkion Schnipunkberechnung der beiden Funkionen: x x g (x) = g (x) e = e x x e = e x = x x = 0 x = 0 Der Schnipunk lue S(0 / ) g (x) = g ( x) = e Dmi die Schubilder sich n der Selle x = 0 rechwinklig schneiden, müsse gelen: g (0) g (0) = x Es gil x = e und g (x) x = e g (x) Drus folg g (0) g (0) = ( ) = Dmi is der rechwinklige Schni in S bewiesen 4 Berechnung des Schnipunkes von x x g (x) = 0 e = 0 e = x = ln() mi der x-achse: Berechnung der Fläche zwischen dem Schubild 0 ln() 0 x x 0 ln() ln() und den Koordinenchsen: ( e )dx = x e + = 0 + e ( ln() + e ) = + ln() Nun soll gelen: + ln() = (ln() ) = 0 Mi dem Sz vom Nullproduk folg = 0 oder = e D > vorusgesez wird, is = e die einzige Lösung Es gil f 0,5(x) = 0,5 sin(x) und f (x) = sin(x)

7 wwwmhe-ufgbencom Berechnung der Fläche: Zunächs wird der Schnipunk der beiden Schubilder benöig: f (x) = f 0,5(x) sin(x) = sin(x),5 sin(x) =,5 sin(x) = Die Sinusfunkion nimm im Bereich 0 < x < den Wer - bei x =,5 n Somi schneiden sich die Schubilder n dieser Selle Berechnung der Fläche:,5,5 ( ) [ ] A = 0,5 sin(x) (0,5 sin(x) dx = (,5 +,5 sin(x))dx =,5x,5 cos(x) 0,5 0,5 =,5,5 0 (0,75,5 0) =,5,5 0,5 Die Eckpunke des Dreiecks besizen die Koordinen R(0/), P(u / f (u)) und Q(u / f 0,5(u)) 7

8 wwwmhe-ufgbencom Die Fläche des Dreiecks beräg A = g h, wobei die rundseie g der Srecke PQ ensprich und die Höhe h dem Absnd des Punkes R von der rundseie Es is g = PQ = f 0,5(u) f (u) = 0,5 sin(u) (0,5 sin(u)) =,5 +,5 sin(u) Die Dreieckshöhe beräg h = u A(u) =,5 +,5 sin(u) u Somi gil: ( ) esuch is nun der Wer von u mi 0 < u <, für die die Funkion A(u) mximl wird Mi Hilfe des TR ergib sich: Für u =,7 wird die Dreiecksfläche mximl mi A =,07 Flächeneinheien Die rundfunkion g(x) = sin(x) mi Ampliude besiz im Inervll 0 < x < Einen Hochpunk bei H( / ) und einen Tiefpunk bei T( / ) Die Funkion h(x) = sin(x) sell eine Spiegelung des Schubildes von g(x) n der x-achse dr Hierdurch wird der bisherige Hochpunk zum Tiefpunk und umgekehr Die Funkion h besiz den Hochpunk H( / ) und den Tiefpunk T( / ) Um von h(x) uf die Funkion f (x) = sin(x) zu kommen, wird ds Schubild noch um nch oben verschoben Der Hochpunk dieser Funkion lieg somi bei H( / + ) und der Tiefpunk bei T( / + ) Dmi ds Schubild y-wer besizen K oberhlb der x-achse lieg, müssen die Tiefpunke einen posiiven Bedingung: + > 0 ( is größer 0 gemäß Vorussezung) + > 0 < 0 < < 8

9 wwwmhe-ufgbencom Für lle Were von zwischen 0 und lieg ds Schubild komple oberhlb der x-achse Für = 0,5 sieh mn dies n obigem gesrichelen Schubild Ds Schubild L gehör zu der Smmfunkion H Ds Schubild N gehör zu der Funkion h Ds Schubild M gehör zu der Funkion h Begründung: An den Sellen, wo ds Schubild von H Exrempunke besiz (bei x = - und x =,5) besiz ds Schubild von h Nullsellen mi dem ensprechenden Vorzeichenwechsel Somi muss h die Ableiungsfunkion von H sein An den Sellen, wo ds Schubild von h Exrempunke besiz (bei x = 0, und x = 4,8) besiz ds Schubild von h Nullsellen mi dem ensprechenden Vorzeichenwechsel Somi is h die Ableiungsfunkion von h Zu berechnen is näherungsweise Es gil,5,5 (h(x)dx (h(x)dx = H(,5) H( ) = 0 (,7) =,7 Die Were H(,5) und H(-) können direk m Schubild L bgelesen werden Somi beräg der Inhl näherungsweise,7 Flächeneinheien 9

10 wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe 4 Ansz für die Funkion 4rdes: f(x) = x + bx + c (Luer gerde Hochzhlen, d ds Schubild symmerisch zur y-achse is) Es gil f (x) = 4x + bx Die Bedingungen luen folgendermßen: f(0) = c = (d S(0/) uf dem Schubild lieg) f () = b = 4 (Seigung bei x = is -4) f ( ) = b = 0 (Exrempunk bedeue Seigung is 0) 8 + b = 0 (bei Division der leichung durch ) Folgendes lineres leichungssysem wird mi dem TR gelös: Die Lösung lue =, b = -4 und c = Die Funkionsgleichung lue c = 4 + b = b = 0 4 f(x) = x 4x + 4 Es is f (x) = x 4x + 7 Um den Nchweis der Monoonie zu führen, werden zunächs die Exremsellen der Funkion besimm Es is f (x) x 8x = und = f (x) x 8 Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 f (x) = 0 x 8x = 0 x x 8 0 = Als Lösung folg x = 0 oder x 8 = 0 x = x = ± Es is f ( ) = 8 = > 0 und dmi lieg n der Selle x = ein Tiefpunk vor D rechs von x = keine weieren Exrempunke exisieren und rechs von einem Tiefpunk ds Schubild sreng monoon wächs, gil die srenge Monoonie für x > 0

11 wwwmhe-ufgbencom Zeichnung von K Berechnung der Wendepunke von K : Es gil f (x) x 8x = und = und f (x) x 8 f (x) = 4x Hinreichende Bedingung für Wendepunke: f (x) = 0 und f (x) 0 = = = ± f (x) x 8 0 x 9 f () = 8 0 W ( / f ()) = W ( / ) Wegen der Symmerie des Schubildes zur y-achse (Funkionsgleichung besiz luer 9 gerde Hochzhlen) folg ls zweier Wendepunk W ( / ) Berechnung der Wendengene im Berührpunk W : Allgemeine Tngenengleichung: y = f (u) (x u) + f(u) Mi u = folg: 9 y = f () (x ) + f() y = (x ) y = x + 5 Schnipunk der Tngene mi der x-achse: = x + 5 x = lso S ( / 0) Aus Symmeriegründen folg, dss die Wendengene im Berührpunk W die leichung y = x + 5 besiz Schnipunk der Tngene mi der x-achse: 0 = x + 5 x = lso S ( / 0)

12 wwwmhe-ufgbencom Berechnung von (f (x) f (x))dx und f (x) f (x) dx mi dem TR: (f (x) f (x))dx = 8,4 und f (x) f (x) dx, eomerische Bedeuung des ersen Inegrls: Die Inhle der gruen Flächen für x < -,8 und x >,8 lufen ls negive Were in ds Inegrl ein, d die obere Rndkurve f und die unere Rndkurve f is Der Inhl der mileren Fläche fließ ls posiiver Wer in ds Inegrl ein Die gruen Flächen links und rechs sind dmi um 8,4 Flächeneinheien größer ls die milere Fläche eomerische Bedeuung des zweien Inegrls: Durch die Bergssriche innerhlb des Inegrls fließen die Inhle ller drei Flächen ls posiive Were in ds Inegrl mi ein Der gesme Flächeninhl zwischen den Schubildern im Bereich x = - bis x = beräg ungefähr, Flächeneinheien 4 Zunächs müssen von der llgemeinen Funkion f die Tiefpunke berechne werden 4 f (x) = x 4x + +

13 wwwmhe-ufgbencom 4 Berechnung der Ableiungen: f (x) = x 8x und f (x) = x 8 Hinreichende Bedingung für Tiefpunk: f (x) = 0 und f (x) > f (x) = x 8x = 0 x x 8 0 = Drus folg x = 0 oder x = ± D f (0) = 8 < 0 is, lieg bei x = 0 ein Hochpunk vor Es gil f ( ± ) = > 0 Somi besiz jedes Schubild zwei Tiefpunke: Es gil f ( ± ) = = + Somi besiz jedes Schubild zwei Tiefpunke: T ( / + ) und T ( / + ) leichung der Kurve, uf der T lieg: () x = und () y = + Aus () folg = x und dies in () eingesez ergib y = x + leichung der Kurve, uf der T lieg: () x = und () y = + Aus () folg = x und dies in () eingesez ergib y = x + Somi liegen lle Tiefpunke uf der Prbel y = x + Wie enseh us der Funkion h(x) = cos(x)? cos(x) cos(x) cos(x) cos(x) + 4 Umformung: Sreckung des Schubildes mi dem Fkor in y-richung Umformung: Sreckung des Schubildes mi dem Fkor in x-richung Umformung: Verschiebung des Schubildes um 4 nch oben Ampliude von g is Periode von g is p = = Die Funkion y cos(x) 4 = + (mi = ) nimm y-were n im Werebereich von [ ; 5] Für = wäre der Werebereich [ ; ] Für = wäre der Werebereich [ ; 7] Für = 4 wäre der Werebereich [0 ; 8] Dmi ds Schubild oberhlb der x-achse verläuf, muss 0 < < 4 sein

14 wwwmhe-ufgbencom Es is g 4(x) = 4cos(x) + 4 D ds Schubild von 4 komple oberhlb der x-achse verläuf, knn von durchinegrier werden A (4 cos(x) 4)dx [ sin(x) 4x] sin( ) ( sin( ) ) 4 = + = + = + = bis 4

15 wwwmhe-ufgbencom Ds Recheck PQRS besiz folgende Eckpunkkoordinen: P(u / g (u)) Q(u / 0) R( u / 0) S( u / g (u)) 4 4 esuch is der Wer von u, so dss der Umfng des Rechecks exreml (ds heiß mximl bzw miniml) wird: Der Umfng des Rechecks besiz die Formel U = PQ + QR Mi PQ = g 4(u) und QR = u folg: U(u) = g 4(u) + 4u U(u) = 8 cos(u) u wobei gil 0 u esuch is nun der Wer von u, für die die Funkion U(u) mximl bzw miniml wird Mi dem TR ergib sich: Der Umfng wird mximl für u = 0, und miniml für u =,444 Rechecksfläche für u = 0,: A = PQ QR = 7,87 0,5 =,98 Flächeneinheien Rechecksfläche für u =,444: A = PQ QR = 0,8,888 = 0,7 Flächeneinheien D,98 Flächeneinheien ungefähr ds Fünffche von 0,7 Flächeninheien sind, is die Behupung dmi gezeig 5