Schriftliche Abiturprüfung Mathematik 2013

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1 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe (NT 008, Nr) Pflicheil Bilden Sie die Ableiung der Funkion f mi f(x) = 3x e x+ und vereinfachen Sie so wei wie möglich ( VP) Aufgabe (HT 008, Nr ) G is eine Sammfunkion der Funkion g mi g( x) = 3 sin( 4x) Der Punk P(0 ) lieg auf dem Graphen von G Besimmen Sie einen Funkionserm von G ( VP) Aufgabe 3 (HT 008, Nr 3) Lösen Sie die Gleichung ( x 0) 6 + = (3 VP) 4 x x Aufgabe 4 (HT 008, Nr 4) Für eine ganzraionale Funkion h zweien Grades gil: T( 4) is der Tiefpunk und Q( 5) is ein weierer Punk ihres Graphen Ermieln Sie eine Funkionsgleichung von h Aufgabe 5 (HT 007, Nr 5, leich gekürz) Gegeben is der Graph der Ableiung f der Funkion f a) Welche Aussagen über die Funkion f ergeben sich daraus im Hinblick auf Monoonie, Wendesellen? Begründen Sie Ihre Aussagen b) Es gil f(0) = Skizzieren Sie den Graphen von f Seie von 3

2 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe 6 (NT 008, Nr 7) Pflicheil Gegeben sind die Ebenen E : x + 3x + 4x3 = und E : 5x 0 = 0 Sellen Sie die beiden Ebenen E und E in einem gemeinsamen Koordinaensysem dar Zeichnen Sie die Schnigerade der beiden Ebenen ein Geben Sie eine Gleichung dieser Schnigeraden an Aufgabe 7 (HT 008, Nr 6) Gegeben sind die beiden parallelen Geraden g und h durch 3 6 g : x = 9 + s 4, h : x = Besimmen Sie den Absand der beiden Geraden Aufgabe 8 Eine Urne enhäl 5 roe, 3 weiße und gelbe Kugeln a) Es werden 3 Kugeln mi Zurücklegen gezogen Mi welcher Wahrscheinlichkei erhäl man keine gelbe Kugel? b) Nun werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen Mi welcher Wahrscheinlichkei haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe? Aufgabe 9 Mi 3 V = π (x 4) dx wird der Rauminhal eines Roaionskörpers berechne Skizzieren Sie den Sachverhal Um welchen Körper handel es sich? (3 VP) Seie von 3

3 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe A Wahleil Analysis Das Schaubild sell die Geschwindigkei v eines Tesfahrzeugs dar [ in s, v() in m s ] a) Ergänzen Sie die fehlenden Funkionserme der Funkion v : ( ) v 4 + < 50 5 = für 0 00 für 00 < 400 für (3 VP) b) Welche Srecke ha das Fahrzeug nach vier Minuen zurückgeleg? Besimmen Sie die milere Geschwindigkei für die gesame Fahrdauer c) Beschreiben Sie die zu v gehörende Zei-Weg-Funkion durch Terme Aufgabe A f x = x + e einen Für jedes IR besiz der Graph der Funkion f mi ( ) x Tiefpunk Besimmen Sie so, dass dieser Tiefpunk möglichs ief lieg Seie 3 von 3

4 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Wahleil Analysis Aufgabe A (HT 006, I 3, gekürz) f = 0 e wird die Konzenraion eines Medikamens im Blu eines Durch ( ) 0,5 Paienen beschrieben Dabei wird in Sunden sei der Einnahme und f ( ) in gemessen Die folgenden Berachungen sind nur für die Zeispanne der ersen Sunden nach der Einnahme des Medikamens durchzuführen mg l a) Skizzieren Sie den zeilichen Verlauf der Konzenraion Nach welcher Zei erreich die Konzenraion ihren höchsen Wer? Wie groß is dieser höchse Wer? Das Medikamen is nur wirksam, wenn seine Konzenraion im Blu mindesens 4 mg l beräg Berechnen Sie die Zeispanne, in der das Medikamen wirksam is Wie hoch is die milere Konzenraion des Medikamens innerhalb der ersen Sunden? (5 VP) b) Zu welchem Zeipunk wird das Medikamen am särksen abgebau? Wie groß is zum Zeipunk = 4 die momenane Änderungsrae der Konzenraion? Ab diesem Zeipunk wird die Konzenraion des Medikamens nun näherungsweise durch die Tangene an den Graphen von f an der Selle = 4 beschrieben Besimmen Sie dami den Zeipunk, zu dem das Medikamen vollsändig abgebau wäre Wie groß is zu diesem Zeipunk die asächliche Konzenraion des Medikamens im Blu? (5 VP) c) Anselle der Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun wieder die Beschreibung der Konzenraion durch f verwende Vier Sunden nach der ersen Einnahme wird das Medikamen in der gleichen Dosierung erneu eingenommen Es wird angenommen, dass sich dabei die Konzenraionen im Blu des Paienen addieren Skizzieren Sie den zeilichen Verlauf der Gesamkonzenraion für 0 Die Konzenraion des Medikamens im Blu darf 0 mg l nich überseigen Wird diese Vorgabe in diesem Fall eingehalen? (5 VP) Seie 4 von 3

5 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe B Wahleil Geomerie/Sochasik Ein Flugzeug flieg bezogen auf ein räumliches Koordinaensysem in Richung der posiiven x -Achse Seine Geschwindigkei beräg zunächs vf = 00 Gleichzeiig seig ein Ballon mi der Geschwindigkei vb = 5 verikal nach oben Zu Beobachungsbeginn befinden sich der Ballon im Punk B( ) und das Flugzeug im Punk F( ); alle Koordinaen sind in Meer gegeben m s m s a) Besimmen Sie den Absand der beiden Flugbahnen (3 VP) b) Wie nah kommen sich Flugzeug und Ballon asächlich? (3 VP) c) Das Flugzeug flieg nun mi der Geschwindigkei v F* Für einen Beobacher, der sich im Punk S( ) befinde, soßen dann der Ballon und das Flugzeug 0 s nach Beobachungsbeginn scheinbar zusammen Besimmen Sie v F* (5 VP) Aufgabe B Ein Labor enwickel einen neuen Impfsoff und ese ihn in einem Tierversuch mi 900 Mäusen Mi dem Impfsoff dürfen keine klinischen Sudien an Menschen durchgeführ werden, wenn sich im Tierversuch in mindesens % der Fälle unerwünsche Nebenwirkungen zeigen Besimmen Sie für die Nullhypohese H 0 : p % die Enscheidungsregel für den Tes mi 900 Mäusen mi einer Irrumswahrscheinlichkei von höchsens % Seie 5 von 3

6 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Wahleil Geomerie/Sochasik Aufgabe B (HT 006, II, gekürz) Die Punke A(3 5 4), B(4 4) und D( 4 9 0) legen eine Ebene E fes a) Besimmen Sie eine Koordinaengleichung der Ebene E Zeigen Sie, dass das Dreieck ABD gleichschenklig, aber nich gleichseiig is Besimmen Sie die Koordinaen des Punkes C so, dass das Viereck ABCD eine Raue is Berechnen Sie die Koordinaen des Diagonalenschnipunks M dieser Raue (Teilergebnisse: E : 4x + 5x + x3 = 9 ; M(0 5 ) ) (5 VP) b) Gegeben is ein weierer Punk S(8 5 6) Die Raue ABCD bilde zusammen mi dem Punk S eine Pyramide Besimmen Sie das Volumen dieser Pyramide (3 VP) Aufgabe B Für einen Flug sehen zwei Flugzeuge zur Verfügung, der zweimoorige Adler und die viermoorige Juhu Der Adler flieg auch noch, wenn nur ein Moor inak is Die Juhu brauch mindesens zwei inake Mooren p is die Wahrscheinlichkei, dass ein Moor während des gesamen Fluges einwandfrei arbeie a) Welches Flugzeug is sicherer, wenn p = 0,95 gil? (3 VP) b) Sellen Sie die Wahrscheinlichkeien, dass der Adler bzw die Juhu das Ziel erreich, jeweils als Funkion von p dar Für welche Were von p is der Adler sicherer als die Juhu? Seie 6 von 3

7 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe ( ) ( ) f x = 3e + 3x (-) e = 3 - x e -x+ -x+ -x+ Lösungen Pflicheil Aufgabe Es gil: G ( x) = x + cos( 4x) + c Aus ( ) c 3 4 Gc 0 = folg c = 4 3 G x = x + cos 4x Die gesuche Sammfunkion is G mi ( ) ( ) Aufgabe = x x 6 = 0 Die Subsiuion u = x ergib u u 6 = 0 mi den 4 x x Lösungen u = und u = 3 Aus der Resubsiuion ergeben sich die Lösungen x = - 3 und x = 3 Aufgabe 4 Ganzraionale Funkion zweien Grades: h(x) = ax + bx + c T( 4) bzw h( ) = 4: (I) a b + c = 4 und h ( ) = 0: (II) a + b = 0 a = ; b = ; c = 3 Q( 5) bzw h() = 5: (III) 4a + b + c = 5 Dami ergib sich h(x) = x + x - 3 Aufgabe 5 a) Für den dargesellen Bereich gil: b) f is monoon seigend für x 3 <, da dor ( ) f x 0 gil f is monoon fallend für x > 3, da dor f ( x) < 0 gil Graph von f y 5 Graph von f f ha die Wendesellen x = 0 und x =, da f an diesen Sellen lokale Exrema besiz O x S 7/3

8 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe 6 Gleichung der Schnigeraden: 0 3 g : x = + 0,5,5 E x 3 Lösungen Pflicheil A(0,5) E x B(3 0) x g Aufgabe 7 d(g,h) = d(g,p) mi P( 5) h 3 Besimme Hilfsebene H, die zu g orhogonal is und P enhäl H: x i 4 = 0 5 Der Schnipunk der Hilfsebene H mi der Geraden g is der Punk F(5 5 5) 4 Der gesuche Absand d is d(g,h) = PF = 3 = 5 0 Aufgabe P "keine gelbe" = = = 0, a) ( ) b) P ("zwei gleiche" ) P( rr ) P( ww) P( gg) = + + = + + = Aufgabe 9 Es handel sich um einen Kegel y x S 8/3

9 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe A 4 + für 0 < a) v() = 8 für 00 < für Lösungen Wahleil b) Nach 4 Minuen zurückgelege Srecke v()d = + d 8 d = (GTR) Nach 4 Minuen sind ca 653 Meer zurückgeleg Milere Geschwindigkei Gesamsrecke: = 3733 (GTR) Milere Geschwindigkei: 3733 m 6, m 600 s s c) Zei-Weg-Funkion s Für 0 < 00 : Für d 8d d 4 s() = x + xdx = < : [ ] Für : s() = s(00) + 8 dx = + 8x = s() = s(400) + x + 4dx = + x + 4x = Aufgabe A Ableiungen: f x x (x) = + e ; f (x) = e Tiefpunk: f (x) = 0 für x = ; f () = + Somi: T( + ) Das Minimum von + ergib sich für = 0,5 (GTR) S 9/3

10 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe A a) Maximum der Konzenraion Mi dem GTR erhäl man das Maximum von f für,00 Nach ca Sunden wird die maximale mg Konzenraion von ewa 4,7 l erreich f() in Lösungen Wahleil Wirksame Zeispanne Die Gerade mi der Gleichung y = 4 schneide das Schaubild von f an den Sellen 0, und 7,5 (GTR) Dami ergib sich eine wirksame Zeispanne von ewa 6,9 Sunden Milere Konzenraion f = f() d 6,55 (GTR) 0 Die milere Konzenraion des Medikamens während der ersen Sunden mg beräg ewa 6,6 l in h b) Särkser Abbau des Medikamens Zu besimmen is die Wendeselle des Schaubilds von f Mi dem GTR erhäl man w 4,00 Ewa 4 Sunden nach der Einnahme is der Abbau des Medikamens am särksen Änderungsrae zum Zeipunk = 4 Der GTR liefer f (4),7 Die momenane Änderungsrae der Konzenraion beräg nach 4 Sunden mg ewa,7 pro Sunde l Näherung mihilfe der Wendeangene Mi f (4),7 und f(4) 0,83 erhäl man eine Gleichung für die Wendeangene: y =,7( 4) + 0,83 Schni der Wendeangene mi der -Achse: 8,00 Nach dieser Näherung wäre das Medikamen nach 8 Sunden völlig abgebau Tasächliche Konzenraion nach 8 Sunden f(8),93 ; Die asächliche Konzenraion nach 8 Sunden beräg ca mg,9 l S 0/3

11 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 c) Einhalen der Vorgabe Für 4 wird die Konzenraion durch die Funkion k mi k() = f() + f( 4) beschrieben Mi dem GTR erhäl man das Maximum von k für 5,5 Die Konzenraion beräg zu diesem mg Zeipunk ewa,0 l Die Vorgabe wird also nich eingehalen k() in mg/l Lösungen Wahleil 4 8 in h Aufgabe B a) Flugzeug: g : x = ; Ballon: h : x = Da die beiden windschiefen Geraden g und h parallel zur x x 3 -Ebene sind, läss sich ihr Absand d als Differenz der x -Were der Süzpunke berechnen: d = 300 ( 40) = 340 Der Absand der beiden Flugbahnen beräg 340 m b) Zum Zeipunk befinde sich der Ballon im Punk B ( ), das Flugzeug im Punk F ( ) Der Absand von Ballon und Flugzeug zum Zeipunk is: d() = B F = ( ) + (780 5) Der GTR liefer das Minimum von d() für,7 mi dmin 799 Ballon und Flugzeug nähern sich bis auf ewa 800 m c) Zum Zeipunk * = 0 befinde sich der Ballon im Punk B*( ) Die Sichlinie durch die Punke S und B* is die Gerade 00 k : x = 00 + s 0 4 Schni der Sichlinie k mi der Flugzeugbahn g liefer s = 00 und = 30 Das Flugzeug befinde sich zum Zeipunk * also im Punk F*( ) Der vom Flugzeug in dieser Zei zurückgelege Weg in Meer beräg FF * = m m Die Geschwindigkei beräg somi: v F* = = 50 0 s s S /3

12 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe B Lösungen Wahleil Die Zufallsvariable X gib die Anzahl der Mäuse, an denen sich Nebenwirkungen zeigen, an Gil H 0, dann is X im Exremfall B900;0,0 -vereil Gesuch is die Zahl k 0 mi P(X k 0 ) 0,0 und P(X k 0 +) > 0,0 Mi dem GTR erhäl man P(X 8) 0,00665 und P(X 9) 0,0464 Ergebnis: Falls bei einem Versuch mi 900 Mäusen höchsens 8 Tiere Nebenwirkungen zeigen, dürfen klinische Sudien an Menschen durchgeführ werden Aufgabe B a) Koordinaengleichung der Ebene E Aus einer Parameergleichung für E: 3 7 x = OA + s AB + AD = 5 + s ergib sich als Koordinaenform: 4x + 5x + x3 = 9 Form des Dreiecks ABD AB = = 9 ; AD = = 9 ; BD = = Das Dreieck ABD is gleichschenklig, aber nich gleichseiig Koordinaen von C Es gil OC = OB + AD = + 4 = Somi C( 3 5 8) Skizze: D A M C Koordinaen von M M is der Mielpunk der Srecke BD Dami: M(0 5 ) B S /3

13 Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Lösungen Wahleil b) Die Raue ABCD bilde die Grundfläche der Pyramide Ihr Flächeninhal is 6 8 A R = AC BD = = = = 4 Die Pyramidenhöhe h is gleich dem Absand des Punkes S von der Ebene E 4x + 5x + x3 9 HNF von E: = h = d(s;e) = = = Pyramidenvolumen: V = AR h = = Das Volumen der Pyramide is V = 360 Aufgabe B a) Der Adler komm mi der Wahrscheinlichkei ( p) = 0,9975 an Die Juhu komm mi der Wahrscheinlichkei an Also is die Juhu sicherer als der Adler 4 3 p + 4p ( p) + 6p ( p) 0,9995 b) Wahrscheinlichkei, dass der Adler ankomm: f(p) = ( p) Wahrscheinlichkei, dass die Juhu ankomm: 4 3 g(p) = p + 4p ( p) + 6p ( p) Schniselle der Graphen von f und g im Inervall ]0;[ is p0 0,67 (GTR) Dem Verlauf der beiden Graphen ennimm man, dass für p < 0,67 der Adler sicherer is als die Juhu S 3/3