Demo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.

Transkript

1 Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is sehr umfangreich. Ich habe sehr lange recherchier, um herauszufinden, was das Inerne alles so anbiee, oder mi anderen Woren, welche Kurvenaren und welche Fragesellungen zu unersuchen sind. Ich habe jez abschließend die Soffvereilung so vorgenommen, dass ich im Tex 5 zunächs beschreibe, was für Aren von Kurvengleichungen aufreen können. An Hand einiger Beispiele zeige ich dann, wie man sie ineinander umrechnen kann. Diesen Tex solle man ansehen, bevor man sich in den vorliegenden Tex hineinarbeie. Hier geh es nun um Kurvendiskussionen, was man auch uner dem Namen Differenialgeomerie zusammenfass. Es handel sich um eine vorläufige Version, die noch erweier wird. Quellen: Danke an Herrn Andrè Mössner vom Gymnasium Kanonsschule Zug Schweiz, der mir mi seiner Arbei Geomerie der Kurven, die im Inerne zu finden is, einige Anregungen gegeben ha. Ebenso danke ich Herrn Gerhard Heinscho für seine Manuskripe Rollkurven - Vom Spiel zum PC, ebenfalls aus dem Inerne. Demo-Tex für

3 5 Differenialgeomerie Inhal Ableiungen. Vekordarsellung von Parameerkurven 5. Die. Ableiung von Parameerkurven Tangenen und Normalen 6 Tangenen und Normalen an einen Kreis 6 Waagreche und senkreche Tangenen finden 9. Die. Ableiung in Polarkoordinaen 9. Die. Ableiung in Parameerdarsellung.5 Trainingsaufgaben Krümmung eines Kurvenbogens. Krümmungsformel (Koordinaendarsellung): k y" y' /. Krümmung eines Kreises. Krümmungskreise für Ellipsen 5. Allgemeine Formel für den Krümmungskreisradius 7 Anwendung auf die Ellipse 7 Sinuskurven 8 Keenlinie x y a cosh a.5 Krümmungsformel für die Parameerdarsellung: k y x xy x y / Anwendung: Kreis in Parameerdarsellung Anwendung: Ellipse in Parameerdarsellung Anwendung: Zykloide in Parameerdarsellung Trainingsaufgaben Länge eines Kurvenbogens. Für eine Funkion y fx Beispiel: Keenlinie x y cosh. Bogenlänge für eine Kurve in Parameerdarsellung 6 Beispiele: () x Demo-Tex für () Zykloide: x * sin und y cos () Ellipse: x cos und y sin () x und y sin (5) Aseroide: x a cos und y a sin r Bogenlänge für eine Kurve in Polarkoordinaen

4 5 Differenialgeomerie Flächenberechnung Beispiel: Zykloide Für Polarkoordinaen) Beispiel: Archimedische Spirale Lösung der Aufgaben 6-6 Demo-Tex für

5 5 Differenialgeomerie 5 Ableiungen. Vekordarsellung von Parameerkurven Als Schüler lern man, dass die geomerische Darsellung einer Funkion zu Schaubildern führ. Diese nenn man meis Funkionsgraph oder auch Kurven. Bei Funkionen lieg dabei eine eindeuige Zuordnung x y fx vor. Dann aber gib es Kurvenbeispiele (Kreis, Ellipse, in x-richung geöffnee Parabel usw., die nich mehr Schaubild einer Funkion sein können, weil die Zuordnung x y nich mehr eindeuig is. Bei vielen Kurven kann man die Punke auch miels eines Parameers berechnen, der meisens genann wird, weil dazu auch of die Vorsellung pass, dass eine Zei angib. Dadurch erschein die Kurve als Darsellung einer Bewegung. Auf Seie 5 dieses Texes wurde dazu der waagreche Wurf als Beispiel angeführ. Für die wissenschaflich beriebene Mahemaik is es an dieser Selle nowendig, den Begriff Kurve zu definieren. Definiion: x, die jedem Wer eines Inervalls D a;b n Eine Kurve C is eine Abbildung x x eindeuig einen Vekor x der Menge zuordne.... xn heiß der Kurvenparameer, der Vekor heiß Parameerdarsellung der Kurve C. Der Punk A x (a) xa... xna heiß Anfangspunk der Kurve und ensprechend dazu is B x (b) xb... xnb ihr Endpunk. Dami besiz die Kurve eine Durchlaufrichung oder Orienierung. Im Falle n = sprich man von einer ebenen Kurve, im Falle n = von einer räumlichen Kurve. Beispiele: x oder x() a) x x y() sell eine Parabel dar. Im Tex 5 wird gezeig, wie man daraus die Koordinaengleichung x oder x() cos b) x x y() sell einen Kreis dar. sin Er ha diese Koordinaengleichung x y 6: x r sin c) Die Schraubenlinie (Helix): x y rcos,. ; z c y x erhäl. Demo-Tex für is eine räumliche Kurve. (Raumkurven werden in 5 besprochen).

6 5 Differenialgeomerie 6. Die. Ableiung von Parameerkurven Tangenen und Normalen x Wir berachen differenzierbare Funkionen x x, d. h. x() und y() seien differenzierbar. y Beispiele a) x() x y() Koordinaenweises Ableien: x dy, denn x und y d d (Die Ableiung nach (der Zei) bezeichne man in der Regel durch einen Punk.) dy y d dy Durch Division enseh: y' x x Andererseis enseh: d y x x Konrolle mi der parameerfreien Darsellung: Die Funkion x x. Sez man in Leie man diese Funkion ab, folg is sreng monoon und daher umkehrbar. Die Umkehrfunkion is y ein, folg x y x bzw. Also ha man folgende Möglichkei, Ableiungen zu berechnen: Den Vekor x y x. dy y' x. Man erhäl (naürlich) dasselbe! y' x dy d d dy y x x nenn man Tangenenvekor oder Geschwindigkeisvekor. y Die Gleichung einer Tangene kann man mi der Punkseigungsform yy mx x aufsellen oder mi dem Tangenenvekor: x x kx Analoges gil für die Gleichung einer Normalen: Da eine Normale auf einer Tangene senkrech seh, verwende man als Seigung für die Normale den negaiven Kehrwer. Für die vekorielle Normalengleichung verwende man den Normalenvekor als Richungsvekor. Dieser enseh aus dem Tangenenvekor durch Verauschen der Koordinaen und Änderung des Vorzeichens einer Koordinae. Beispiel: Eine Tangene habe die Seigung m T =, was man durch einen Tangenenvekor u realisieren kann. Die Normale ha dann die Seigung mn, was man mi dem Normalenvekor n erreich. Hinweis: Die Punkseigungsform läss sich umformen: y y y y' x x y y x x x Demo-Tex für y y y x x x So wird sie auch of für Parameerkurven angegeben.

7 5 Differenialgeomerie 7 b) Tangenen und Normalen an einen Kreis. x() cos Gegeben sei der Kreis x y() sin Berechnung der Ableiung: Tangenenseigung: Normalenvekor: x sin x y cos y' x () () Tangenenvekor y cos cos co x sin sin an cos n sin Dies is die aus der Schule fas verschwundene Koangensfunkion (Kehrwer des Tangens). Andererseis ha dieser Kreis die Gleichung x y 6 und die beiden Halbkreisfunkionen x x y 6 x bzw. y 6 x. Deren Ableiungen sind dann y, ' 6x 6x (A) Gleichungen der Tangene und Normale für. Kreispunk: x y' an Tangenenseigung: Oder so: y' Aus der Punkseigungsform erhäl man dann die Tangene: y x Oder vekoriell: Tangenenvekor in P : Mi dem verkürzen Richungsvekor: Tangene: Normale in () d. h. P y x 6 8 d. h. y x P : Seigung: mn m Punkseigungsform: y x Vekoriell: Normalenvekor in P : x s d. h. y x n Normalengleichung: x s T () x sin x y cos Demo-Tex für

8 5 Differenialgeomerie 8 (B) Tangene und Normale für =: Kreispunk: Tangenenseigung: x() cos x P y() sin x und y' " " an d. h. der Kreis ha in P eine senkreche Tangene: x Hinweis: Das erfähr man auch so: 8 y' " " " " 6 6 Vekoriell: Tangenenvekor: sin x cos Tangene: x Normale in P : Seigung: mn m an d. h. horizonale Gerade durch Vekoriell: Normalenvekor: n Normale: x s (C) Tangene und Normale für = 5 6 Kreispunk: Tangenenvekor: Normalenvekor: Tangenenseigung: Tangene in P : Punkseigungsform Normale inp T P, also die x-achse: y =. cos x P 6 5 sin 6 5 sin 5 6 x 6 5 cos 6 n y y' oder so: y' x 5 an y x y x 8 Vekoriell: x s : Seigung: mn m y x y x Punkseigungsform: Vekoriell: x s T 6 Demo-Tex für

9 5 Differenialgeomerie 9 Waagreche und senkreche Tangenen finden Wir haben beim Beispiel des Kreises gesehen, dass es im Punk P eine senkreche Tangene gib. Dor ha eine Tangene eine unendlich große Seigung. Da man die Tangenenseigung durch y' x y x berechne, folg, dass im Falle x und y der Wer von y' unendlich groß is: senkreche Tangene. y = und x die Tangenenseigung is, was auf waagreche Tangene hinweis. Tri der Fall auf, dass beide, also Zähler und Nenner werden, dann kann der Saz von de L Hospial weierhelfen, was ich späer am Beispiel einer Zykloide zeige. Doch nun müssen wir zuers lernen, wie man zweie Ableiungen berechne.. Die. Ableiung in Polarkoordinaen r r rcos und y r sin Wenn eine Kurve durch die Gleichung gegeben is, ersell man mi Hilfe von x zwei Gleichungen, in denen dann y als Parameer aufri. Dann gil wie zuvor y' x Beispiel: Für die Archimedische Spirale gil r. Also erhäl man diese Parameerdarsellung: x r cos cos y r sin sin Ableiungen nach mi der Produkregel: Tangenenseigung: Wenn x cos sin cos sin y sin cos sin cos y' is, kann man durch an y' an Tangene für. Kurvenpunk: y sin cos. x cos sin cos kürzen: Demo-Tex für sin / cos / x P sin cos Tangenenseigung y' cos sin Tangenengleichung: y x y,67 x

10 5 Differenialgeomerie. Die. Ableiung in Parameerdarsellung Wir haen ermiel: y' x dy d d dy y x Mi Keenregel und Quoienenregel erhäl man daraus die. Ableiung: x x y () () ( ) d d d d y y y x x y y" x y' x y' d d x x x x x Erklärungen dazu: () Da y(x) von x abhäng, benöig man die Keenregel, d. h. man leie y' zuers nach ab, und dann (x) nach x, was man als innere Ableiung kenn. Beispiel: x. Zuers die explizie Gleichung: x x x in y() ersezen: y 8x x yx Daraus folg: y' x x und y" x 8x Ersez man hierin : y' 6 () Hier wurde dann y' x Nun die Ableiung der Parameerform: x() x y() d Daraus folg y"(x) d d y' 6 d y' Ersez man hierin : y" x x 8x y x Und da x d d is, gil für den Kehrwer x eingesez. Diesen Bruch muss man anschließend nah ableien. () Der große Bruch enseh durch Anwendung der Quoienenregel auf Merke also: y' x y x y" x xyxy x und Man kann sich den Zähler dieses Bruches auch so merken: Er läss sich als Deerminane schreiben: Demo-Tex für x x y() y y x x y x y

11 5 Differenialgeomerie.5 Trainingsaufgaben Aufgabe Gegeben is eine Ellipse durch x cos und y sin für ; a) Besimme ihre Koordinaengleichung b) y' und y'' Berechne c) Besimme die Gleichungen der Tangene und den Krümmungswer für.. d) Besimme die Gleichungen der Tangene und den Krümmungswer für x = -. Aufgabe Gegeben is eine Ellipse durch und y cos 6 sin für ; x cos sin. a) Berechne die Gleichungen der Tangenen für =, = und. b) Wo ha diese Kurve senkreche Tangenen? Aufgabe Gegeben is die Kurve K durch sin und y sin für ; x a) Berechne die Formeln für y' und y". b) Selle die Gleichungen der Tangenen für und auf. c) Besimme Hoch- und Tiefpunke sowie Rechs- und Linkspunke. also waagereche und senkreche Tangenen. Aufgabe Gegeben is eine Zykloide durch x sin cos für ; a) Berechne die Gleichungen der Tangenen für =, =,, und. b) Zeichne die Kurve und rage die Tangenen ein. Aufgabe 5 Gegeben is diese Kurve: x cos cos sin ;. a) Besimme die vier Scheiel dieser Kurve (horizonale und verikale Tangenen). b) Welche Gleichung haben Tangene und Normale für? c) Zeichne diese Tangene und Normale zusammen mi der Kurve. Aufgabe 6 Gegeben is die Kurve: ln x \ (Siehe 5 Seie ) Demo-Tex für Info: Diese Kurve ha die Koordinaengleichung a) Berechne die Gleichung der Tangene für x =. b) Berechne y" und y" 5 y anh x (Tangens hyperbolicus) c) Zeige dass die Kurve für x und für x verschiedene waagereche Asympoen ha.

12 5 Differenialgeomerie Aufgabe 7 Gegeben is die Kurve sin( ) x cos ; a) Besimme Definiionsbereich für x und Werebereich für y. b) Besimme die vier Scheiel dieser Kurve (horizonale und verikale Tangenen). c) Welche Gleichung haben Tangene und Normale für,? Aufgabe 8 Gegeben is die Kurve K durch x sin cos( ) cos sin a) Besimme den Werebereich der Koordinaenfunkionen ; x und y. Berechne Hochpunke, Tiefpunke, Rechs- und Linkspunke. Besimme die Schnipunke der Kurve mi der x-achse. Zeichne die Kurve (Wereabelle mi einem geeigneen Rechner). b) Zeige, dass K einen Doppelpunk ha. Berechne ihn und die Kreuzungswinkel. c) Welche Gleichung ha die Tangene im Punk B für. Aufgabe 9 Gegeben is die Kurve Aufgabe Gegeben: r e, a) Berechne die Tangenen für, und die Tangenenseigung für. Inerpreiere das leze Ergebnis. b) Zeige, dass diese Kurve einen Kreis als Näherungskurve ha. r nur noch weniger als, größer als? Wann is 5 r 5 cos mi ; a) Besimme eine Parameerdarsellung gib die Wermengen für b) Berechne eine Formel für die Tangenenseigung und die Tangenengleichung für. x und y an. c) Berechne mi der Regel von de L Hospial die Tangenenseigung im Ursprung. Aufgabe Gegeben is die Kurvenschar K durch r, für ; a) Berechne die Schnipunke von K mi der x-achse. b) Berechne die allgemeine Tangenenseigung y'. und. c) Zeige, dass die Tangenen an die Scharkurven im linken Schnipunk mi der x-achse durch einen von unabhängigen Punk Q gehen. Berechne diesen. Demo-Tex für d) Zeige, dass K O eine waagereche Asympoe besiz. Aufgabe Gegeben is die Kurve K durch x y y. a) Berechne implizi y' und y". b) Selle die Gleichungen der Tangenen in P y P und Ay A auf. c) In welchen Punken ha K waagereche bzw. senkreche Tangenen?

13 5 Differenialgeomerie Die Krümmung von Parameerkurven. Krümmungsformel für die Koordinaendarsellung Forsezung auf der Mahe-CD. Demo-Tex für