Seminar: Quantitatives Risikomanagement Grundlegende Konzepte des Risikomanagements Risikofaktoren und die Verlustverteilung.

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1 Prof: Hanspeer.Scmili Bereuung: Julia Eisenberg Sun,Fang Seminar: Quaniaives Risikomanagemen Grunlegene Konzepe es Risikomanagemens 2.. Risikofakoren un ie Verlusvereilung 2.. Allgemeine Definiion Wir beobacen en Warsceinlickeisraum ( Ω, F, Ρ) V(s) is er Wer es Porfolios in em Zeipunk s. bezeicne en Zeiorizon, z.b. ein Tag oer zen Tagen. Der Verlus,er aus einem Porfolio in em Zeiraum [s,s+ ] is urc: Die Vereilung von [ s, s + ] wir Verlusvereilung genann. Bemerkung 2. Wir beracen als fesen Zeiraum. In iesem Fall is es zweckmäßig, Zei in Eineien zu messen. Sei Y(s) ein Prozess un urc : = = V V,( ) Y eine Folge mi N Y : = Y ( ),ann wir er Verlus bescrieben. Zum Beispiel, in Markrisikomanagemen wir er Verlus äufig auf Tagesbasis gemessen, aber in Finanzmoellen wir ie Zei in er Regel auf Jaresbasis gemessen. Da ein Jar 365 Tagen a, sezen wir = /365, oer ein Jar von 250 Arbeisagen sezen wir = /250. Die Zufallvariablen V s V s [ ] : =, ( + s s+ ) V un () V + bezeicnen jeweils er Wer es Porfolios am Tag un +, un + is er Verlus zwiscen en Tagen zu +. Ein -imensional Zufallsvekor a Komponenen Risikofakoren Ζ = ( Z, Z, ),... ' a folgene Darsellung. V (, ) = f Ζ (2)

2 ,wo f eine messbare Funkion is. V eiss Risikoabbilung. Die Auswal er Risikofakoren äng von em Porfolio ab. Häufig verwenee Risikofakoren sin logarimisc Preise er finanziellen Vermögenswere, Erräge sowie logarimisce Wecselkurse. Sei ( X ) N eine Folge von Risikofakoränerungen un X := Z. Z Aus (2) können wir en Verlus es Pofolios bescreiben urc: ( (, ) (, )) = f + Z + X f Z + + (3) Wenn Ζ bekann is, wir ie Verlussvereilung von er Risikofakoränerung X + abängen. Wir bescreiben ier einen neuen Begriff. Der Verlusoperaor [ ] : l R R is efinier als l x : = f +, Ζ + x f, Ζ, x R, [ ] ( ) ( ) Un offensiclic [ ] [ ] + = l X +. (4) Is f ifferenzierbar is, so beobacen wir ie Approximaion erser Ornung + in er Gleicung (3), ann gil + : = f (, Z ) + f zi (, Z ) X +, i, i= (5) wobei ie Inizes von f ie pariellen Ableiung bezeicnen. Dann is er linear Verlusoperaor gegeben urc l[ ] ( X ) : = (, ) z (, f Z + f Z ) i xi i= (6) Bemerkung 2.2 Bei er Enwicklung von Formeln (2) zu (6) sin wir avon ausgegangen, ass ie Zei in Eineien gemessen wir. Dami mi Mark-Konvenion in unseren Beispielen zu zieen, wir es mancmal ie Abbilungen er Form g (s, Z) berace, wobei ie Zei s in Jaren gemessen wir; in iesem Fall ie Gleicungen (2) un (3) weren umgeform zu

3 ( ( ) ) : = g +, Ζ + X g, Z, + + wobei ie änge es Risikomanagemenzeiraums im Jar is. Die lineare Version er Gleicung (5) kann wie folg bescrieben weren: g Z g Z X + : = s (, ) + zi (, ) +, i i=. Bemerkung 2.3 In unserer Definiion von Verlus es Porfolios nemen wir an, ass ie Zusammensezung es Porfolios über en Zeiraum unveräner bleib Beinge un unbeinge Verlusvereilung Die Differenz zwiscen beinger un unbeinger Verlusvereilung äng sark von er Risikofakoränerungen ab. Nemen wir an, ass ie Risikofakoränerung eine saionäre Vereilung F X auf R a. Das beeue im Wesenlicen, ass ie Vereilung von ( ) N is. (siee Kapiel 4) Sei ϕ X konsan eine σ -Algebra, ie öffenlic zugänglice Informaionen zum Zeipunk bescreib. ϕ σ { X s } = ( : ) wir of als ie Gescice bis zum Zeipunk s (einscließlic Zeipunk ) genann. FX Typiscerweise + ϕ bezeicne ie beinge Vereilung von X + gegeben ϕ. Die beinge Verlusvereilung F ϕ + is efinier als ie Vereilung es Verlusoperaors [ ] (.) l uner F ϕ X + Für l R, gil [ ] 2..3 Risikoabbilung Beispiel 2.4. ( ) F l = P l X l ϕ = P l ϕ ϕ Beracen wir ein Porfolio von Akien. Sei λi ie Anzal er Akien i im Porfolio zum Zeipunk. Der Preis-Prozess er Akie i wir urc ( S, i ) N

4 bezeicne. Aus er Praxis in Finanz- un Risiko-Managemen benuzen wir logarimisce Preise als Risikofakoren, z.b. wir nemen an Z, i : = ln S, i, i Die Risikofakoränerungen is ann X+, i = ln S+, i ln S, i.dann bekommen Wir V = λ exp un ami ( Z, ) i= i i = V V + + = λ exp ( Z +, ) λ exp( Z, ) i i i i i= i= ( exp( ln S +, ) exp( ln S, )) = λ i= i i i ( S+, i ) ( S i ) exp ln = λ exp ln ( S, ) exp( ln S, ) i i i i= exp ln, = λ exp exp ln exp ln i= = λis, i ( X +, i ) i= ( X +, ) ( S, ) ( S, ) i i i i ( exp ) Der linearer Verlus + ergib sic als + = λi, i +, i =, i +, i i= i= S X V w X wobei as Gewic, ( λ, ) w : = S / V en Weraneil er Akien i am Gesamwer es i i i Porfolios angib. Der ensprecene lineare Verlusoperaor is urc l X = V w X : = V w x gegeben. Nemen wir an, ass ie Zufallvariable X ' [ ] i=, i i eine Vereilung mi Erwarungswer µ un Kovarianzmarix a. Mi en allgemeinen Regeln für ie Erwarungswer un ie Varianz eralen wir sofor ' ( [ ] ) = un [ ] E l X V w µ 2 ' Var l X = V w w Beispiel 2.5 (Europäisce Call-Opion) Eine europäisce Call-Opion mi Basispreis K un Ausuebungszeipunk T gib em Inaber as Rec, nic aber ie Verpflicung, eine Akie in T zu einem Preis von K zu kaufen. Wir verwenen ie Black-Scoles-Formel für ie Bewerung unseres Porfolios. (9) Definiere ie Funkion BS C als

5 (, ;, σ,, ) : ( s) BS r T C s S r K T = SΦ Ke Φ 2 (0) wobei Φ für ie Sanar-Normalvereilung bezeicne, r is en seigen risikolosen Zinssaz, σ bezeicne ie Volailiä auf järlicer Basis es Unerlying Akie, un = ( S K ) + r + ( T s) ln / 2 σ 2 σ T s un 2 = σ T s () Wir ineressieren uns für ie äglicen Verluse un sezen = /250. Daer nemen wir an Z ( ln S, r, σ ) ' = als Risikofakoren. Nac em Black-Scoles-Formel er Wer er Call-Opion am Tag enspric (,exp;, σ,, ) V = C Z r K T. BS Die Risikofakoränerungen weren wie folg bescrieben: ( ln ln,, ) X = S S r r σ σ, s.. er linearer Verlus is: ( BS BS exp BS BS σ ) = C + C Z X + C X + C X. + s s +, r +,2 +,3 2.2 Messungen es Risikos In er Praxis weren Risikomasse für viele Zwecke verwene. Die wicigsen Zwecke sin ie folgenen: () Besimmung es Risikokapials un er Kapialunerlegung. Eine er wicigsen Funkionen es Risikomanagemens in em Finanzsekor is Besimmung es Kapials, welces als Buffer gegen unerwaree Verluse in einer Finanzinsiuion ses voranen sein soll. (2) Managemen Insrumen. Risikomassen weren of bei Managemen als Massen zur Begrenzung er Risiken verwene. (3) Versicerungsprämien. Versicerungsprämien kompensieren as Risiko,as eine Versicerungsgesellscaf übernimm. Die Höe ieser Kompensaion kann als Maß für as Risiko angeseen weren Ansäze zur Messung es Risikos Die Ansäze zur Messung es Risikos lassen sic in vier verscieene Kaegorien zusammenfassen: imaginärer Kapialwer ; Masse für Fakorsensiiviä; Risikomasse basieren auf Verlusvereilung; Risikomasse basieren auf Szenarien. Imaginärer Kapialwer-Ansaz: Das is er älese Ansaz zur Quanifizierung es Risikos eines Porfolios. In em imaginären Kapialwer is as Risiko eines Porfolios als ie Summe er imaginären Were er einzelnen Werpapiere efinier.

6 Der Voreil es imaginären Kapialwer -Ansazes is seine Einfacei. Maß für Fakorsensiiviä: Maß für Fakorsensiiviä gib ie Veränerung es Weres eines Porfolios bei Veränerung er Risikofakoren. Darüber inaus verursac as Maß für Fakorsensiiviä Probleme bei er Aggregaion er Risiken. Daer sin iese Masse nic ser nüzlic. Risikomasse basieren auf Verlusvereilung: Das Konzep er Verlusvereilung is sinnvoll für ie Besimmung er Höe einer Kapialanforerung, nic nur für ein Porfolio, as aus einem einzigen Insrumen bese, sonern auc für ie ganze Finanzinsiuion. Ricig gescäz spiel ie Verlusvereilung auc Aufrecnungs- un Diversifikaionseffeke wier. Es gib auc Probleme bei er Benuzung er Verlusvereilung. z.b Alle Scäzung über ie Verlusvereilung sin auf en vergangenen Daen basier. Risikomasse basieren auf Szenarien: Das Risiko eines Porfolios wir urc en maximalen Verlus es Porfolios gemessen. Wir geben jez eine formale Bescreibung. Sei { x x } χ =,... n er Risikofakoränerungen (Szenarien) un einen Vekor w = [ ] n w,... w 0, bezeicne Gewic. Beracen wir ein Porfolio von riskanen n Werpapieren un l [ ] bezeicne en ensprecenen Verlusoperaor. Das Risiko es Porfolios ergib sic wie folg Bemerkung 2.9 { } ψ =, (6) [ ] : max wl [ ] ( x, ),..., wnl w [ ] ( x χ n ) Nemen wir an, ass l [ ] (0) = 0,.. er Wer er Posiion bleib unveräner, wenn alle Risikofakoren gleic bleiben. Das is sinnvoll für ein kleines Risikomanagemenzeiraum. Es bezeicne δ x as Dirac-Maß, er Warsceinlickeismasse auf, w = x δ x = un ρ [ ] bezeicne ie Menge χ,w 0, sons R, { 0,..., 0} ρ δ δ δ δ [ ] = w, x + ( w ) w ( w ) n x + w χ n n Dann gil ϕ { E ( l ) P ρ[ χ ]} = max Χ : (7) P [ χ ] [ ], w, w Risikomasse basieren auf Szenarien sin ser nüzlice Risikomanagemen-Insrumene für Porfolien, ie vergleicesweise wenig

7 Risikofakoren aben. Das Problem is Besimmung von Szenarien un Gewicsfakoren Value-a-Risk Definiion 2.0 (Value-a-Risk). Sei ( 0,). Value-a-Risk (VaR) von em Porfolio zum Nivea is ie kleinse Zal l, so ass ie Warsceinlickei, ass er Verlus as Niveau l überscreie, nic größer als ( - ) is. { } { } VaR = inf l R : P > l = inf l R : F l In er probabilisiscen Version is VaR ein Quanil er Verlusvereilung. Typisce Were für sin = 0,95 oer =0,99. Im Markrisikomanagemen is er Zeiraum in er Regel ein Tag oer zen Tage, im Kreirisikomanagemen un operaionellen Risikomanagemen is in er Regel ein Jar. Das Bil 2. illusrier en Begriff VaR. 95%-VaR is ie urcgeene senkrece inie.der urcscnilice Verlus is als gepunkee senkrece abgebile. Beacen Sie, ass ie urcscnilice Verlus negaiv is (E () = -2,6). Das beeue, ass wir einen Gewinn erwaren, aber en recen Teil er Verlusvereilung is ziemlic lang im Vergleic mi em linken Teil. Die 95%-VaR beeue, ass wir mi ie Cance von 5% minesens iesen Berag verlieren. (8) Abbilung 2. Ein Beispiel für eine Verlusvereilung mi 95%-VaR is mi einer verikalen inie gekennzeicne, er expece sorfall is mi einer gesricelen inie gekennzeicne. Bemerkung 2.. (Mean-VaR). Wir bezeicnen mi µ en Erwarungswer er Verlusvereilung. Mancmal benuz

8 man Mean VaR : =VaR µ sa VaR. Wenn er Zeiraum nur einen einen Tag beräg, wir Mean VaR als Täglice Earnings a Risk (EaR) genann. Die Unerscie zwiscen VaR un Mean VaR is von geringer Beeuung in as Markrisikomanagemen, weil er Zeiraum kurz is un µ nae an Null is. Es wir im Kreigescäf von Beeuung, weil er Zeiraum länger is. Weil Quanile eine wicige Rolle im Risikomanagemen spielen, geben wir jez eine wicige Definiion. Definiion 2.2. (Umkerfunkion an Quanilfunkion) (i ) Sei T: R R eine Funkion. Die Umkerfunkion von T is efinier als { } : inf : T y = x R T x y (ii ) Sei F Vereilungsfunkion, ie Umkerfunkion F is als Quanilfunkion von F genann. Für ( 0,) ie -Quanilfunkion von F is gegeben urc { } : inf : q F = F = x R F x Für eine Zufallvariable X mi Vereilungsfunkion F benuzen wir of ie alernaive Screibweise q ( X ) : q ( F ) =. Wenn F seig un sreng monoon wacsen is, ann aben wir q ( F ) F ( ) =,wobei F ie allgemeine Umkerfunkion von F is. emma 2.3 x R is as -Quanil von er Vereilungsfunkion F genau ann, wenn F ( x ) 0 ; F ( x ) < für alle x < x 0. Beispiel 2.4 (VaR für Normal-un -Verlusvereilung). 2 Sei Vereilungsfunkion F normal vereil mi Erwarungswer µ un Varianz σ. Für ( 0,) fes, gil Mean = + Φ un VaR σ ( ) VaR µ σ = Φ (9) Wobei Φ ie Sanar-Normalvereilungsfunkion is un Φ ( ) as Quanil von Φ is. 0 Der Beweis is einfac, a F sreng monoon wacsen is. Nac emma 2.3 braucen wir nur zu zeigen, ass F ( VaR ) =. Jez aben wir

9 µ P( VaR ) = P Φ ( ) = Φ ( Φ ( )) = σ Dieses Ergebnis is in em Varianz-Kovarianz-Ansaz verwene (auc als Dela-Normal-Ansaz genann). Ein weieres nüzlices Beispiel is ie -Verlusvereilung. Nemen wir an, für Verlus besiz ( µ ) / σ eine Sanar--Vereilung mi Freieisgra υ.dann 2 aben wir ~ (,, ) υ µ σ un E()= µ, Var() = 2 / ( 2) υσ υ fürυ > 2. Dann bekommen wir VaR = + v µ (20) wobei υ ie Vereilungsfunkion von Sanar--Vereilung is Weiere Kommenare über VaR Nic-Subaiiviä: VaR als Risikomass wure kriisier, a es sclece Aggregaionseigenscafen a. An ieser Selle bemerken wir, ass Nic-Subaiiviä beeue: wenn wir zwei Verlusvereilungen F un F 2 für zwei Porfolios aben un F bezeicne ie gesame Verlusvereilung es Gesamporfolioes = + 2. Es is nic zwingen, aß q ( F ) q ( F ) + q ( F ), so ass er VaR es Gesamporfolioes urc ie 2 Summe er VaR er einzelnen Porfolios nac oben bescränk is. Moell-Risiko un Markliquiiä: In er Praxis weren VaR-Zalen of falsc inerpreier, was irrefüren un sogar gefärlic is; ie Aussage, ass ie äglice Value-a-Risk mi em Konfienzniveau = 99% von einem besimmen Porfolio gleic l is. verse man als mi einen Warsceinlickei von 99% wir er Verlus kleiner als l. " Es gib zwei Grüne,warum iese Inerpreaion falsc is: () Moell-Risiko. Moel-Risiko is efinier als as Risiko, ass eine Verlüse enseen, weil ie verweneen Risikomanagemen-Moelle falsc sin oer einige er zugrunliegenen Annamen ieser Moelle in er Praxis nic erfüll sin. (2) Markliquiiä.Ein Mark für ein Werpapier wir liqui genann, wenn ie Anleger können große Mengen von Werpapieren in kürzeser Zei kaufen oer verkaufen one ass er Werpapierpreis sark beeinfluss wir. Umgeker, ein Mark kann als illiqui genannen weren Anere Risikomassen,ie auf er Verlusvereilung basier. Varianz:

10 Die Varianz is ein gues Konzep, as einfac analysier weren kann. Aber Varianz als Risikomass a zwei Naceile: () Auf em ecniscen Bereic, wenn wir Varianz benuzen, müssen wir avon ausgeen, ass as zweie Momen es Verlusevereilung exisier. (2) Auf er konzepionellen Bereic, weil es keinen Unerscie zwiscen posiiven un negaiven Abweicungen vom Mielwer gib, is Varianz ein gue Risikomass nur für ie Vereilung, ie symmerisc um en Mielwer is, wie ie Normalvereilung oer, ganz allgemeinen, ie ellipisce Vereilungen, ie in Kapial 3 besprocen weren. Expece Sorfall: Definiion 2.5(Expece Sorfall) Für einen Verlus mi E ( ) p un ie Vereilungsfunkion Expece Sorfall mi en Niveau ( 0,) un is efinier als F bezeicne ie ES = qu ( F ) u, (23) Wobei q ( F ) F ( u) u = ie Quanilfunkion von F bezeicne. Expece Sorfall is in Zusammenang mi VaR se, weil ES = VaRu u. Offensiclic äng ES nur von er Vereilung von ab un ES VaR. emma 2.6. Für ein Verlus mi seigen Vereilungsfunkion F un ein (0,) aben wir ( ; ) E q ES = = E VaR wobei A F is. ( ) Wir aben ie Noaion E (X; A): = E (X I A ) für eine inegrierbare Zufallvariable X, verwene. Beweis: Sei U ein Zufallvariable un auf em Inervall [0,] gleic vereil. Es is eine wolbekanne Tasace, ass ie Zufallvariable F ( U ) ( ; ) a. Wir müssen zeigen, ass ( ) Vereilungsfunkion E q = F u u.jez aben wir ( ) ( ) E ; q = E F U ; F U F = E F U ; U (24) F In ie leze Gleicung aben wir ie Tasace benuz, ass F sreng wacsen

11 is, wenn F seig is. Dann eralen wir ( ; ) =. E F U U F u u Bemerkung 2.7 Für eine nic seige Verlusvereilungsfunkion F is ie Gleicung (24) nic für alle geeigne, saessen aben wir ie folene Gleicung: ES = E q + q P q ( ( ; ) ( )) Beispiel 2.8. (Expece sorfall für Gauß-Verlusvereilung). Nemen wir an, ass ie Verlusvereilung Für (0, ) fes aben wir ( Φ ) ϕ ES = µ + σ (25) 2 F normal vereil is mi Erwarungswer µ un Varianzσ. wobeiϕ ie Dice er Sanar-Normalvereilung is. Der Beweis is einfac, zuers aben wir (26) µ µ µ ES = µ + σ E q σ σ σ Daer kann men en Expece Sorfall für = ( ) ( % ) ϕ Φ % : µ / σ berecnen. Dann gil ϕ ( Φ ( )) ϕ Φ ( ) ES = l l l = l = Beispiel 2.9. (Expece Sorfall für -Verlusvereilung). Sei erverlus bezeicne, s.. = ( ) % : µ / σ besiz Sanar--Vereilung mi Freieisgraυ. Nemen wir an, assυ >. Dann aus Beispiel 2.8 aben wir ES = µ + σ ES. Expece Sorfall von er Sanar--Vereilung is leic urc ireke Inegraion berecne weren.es gil ES ( v ( )) + v ( ) 2 g v υ % = (27) v wobei v ie Vereilungsfunkion is un g v ie Dice bezeicne. emma Seien i i eine Folge von Zufallvariablen ii mi Vereilungsfunkion N F, ann gil

12 lim n n( ) i= i, n = ES (28) n ( ) Wobei, n... n, n Ornungssaisiken von,... n bezeicen. Beispiel 2.2. (VaR un ES für ie Akienerräge). Wir alen äglice Verluse in einer besimmen Akie, er akuelle Wer enspricv = 0,000. Erinnern Sie sic an Beispiel 2.4, ass er Verlus für ieses Porfolio wir von + = V X+ gegeben, wobei X + äglic log-reurn er Akie bezeicne. Wir geen avon aus, ass Erwarungswer von X + null is un σ = 0.2/ 250 is.wir nemen an, ass ie Volailiä auf järlicer Basis er Akie 20% is. Wir vergleicen zwei verscieene Moelle, un zwar (i) eine normalen Vereilung un (ii) eine -Vereilung mi Freieigra υ = 4. Sei -Vereilung eine symmerisce Vereilung, so ass große absoluen Were mi groß warsceinlickei als in er normalen Vereilung aufri weren. In Tabelle 2. sellen wir VaR un ES für beie Vereilung un verscieene Were von. Die meisen Risikomanager würen beaupen, ass ie -Vereilung riskaner als ie Normalevereilung is, a nac er -Vereilung große Verluse mi großer Warsceinlickei aufreen. Wenn wir VaR mi en Niveau 95% oer 97,5% benuzen, um as Risiko zu messen, wir ie normale Vereilung auf minesens so riskan wie as T-Vereilung, nur wenn ein Niveau über 99%, besiz ie -Vereilung as öere Risiko. 2.3 Sanar-Meoen für Markrisiken 2.3. Varianz-Kovarianz-Meoe Die Risikofakoränerungen X + besiz eine mulivariae Normalvereilung (enweer unbeing oer being). D.. X N ( µ ) ~, +,wobei µ ie Erwarungswer is un Kovarianzmarix bezeicne. Wir geen avon aus, ass er linearer Verlus in Bezug auf ie Risikofakoren eine inreicen genaue

13 Annäerung für en asäclicen Verlus is un l[ ] ( X ) =. Der linearer + + Verlusoperaor wir als folgene Funkion berace. D.. + ( x) ( c b x) wobei = + (29) c un b Konsan sin. Eine wicige Eigenscaf er mulivariae Normalvereilung is, ass ie lineare Funkion (29) von X + ' ' = ~ N ( c b µ, b b ) l X + + [ ] ( ) eine univariae Normalvereilung aben muss. Wir aben (30) Naceile er Meoe: Die Varianz-Kovarianz-Meoe biee eine einface analyisce ösung für ie Risikomessung. Diese Bequemlickei erreic urc ie folgenen zwei Annamen: ()inearisierung kann nic immer eine gue Annäerung an as Verälnis zwiscen en Verlus un ie Veränerungen es Risikofakors bieen. (2)Die Anname er Normaliä is nic realisisc für ie Vereilung er Risikofakoränerungen für as äglice Daum un vielleic auc für ie wöcenlicen un sogar monalicen Daen Hisorisce Simulaion Hisorisce Simulaions-Meoe kann man sic als Scäzung er Vereilung auf Verlusoperaors uner en Were X,... X geac weren. Uner Anwenung n+ em Verlusoperaor wir iese Meoe bescrieben. Wir eralen eine Folge von isorisc simulieren Verluse als [ ] Die Were { s = l X s : s = n +,... } %. (32) % s zeig, was as akuelle Porfolio passieren wir, wenn ie Risikofakoränerung am Tag s aufri. Voreile un Naceile er Meoe: Die isorisce Simulaions-Meoe is zwar ser arakiv: Es is einfac zu implemenieren; keine saisisce Scäzung für mulivariaen Vereilung von X is erforerlic; Insbesonere geben wir keine Annamen über ie Abängigkei zwiscen em Risikofakoränerungen. Aber er Erfolg es Ansazes äng von unserer Fäigkei ab. Wir sollen ausreicene Mengen von relevanen, syncronisier Daen für alle Risikofakoren sammeln Mone-Carlo-Meoe Die Mone-Carlo-Meoe is ein ziemlic allgemeiner Begriff für alle Annäerung für ie Messung es Risikos. Der erse Scri es Verfarens is ie Wal es Moells un ie Kalibrierung es Moells für isorisce Risikofakoränerungen Χ,..., Χ. Naürlic solle es ein Moell sein, von em man leic simulieren kann, a in er zweien Sufe wir m n+

14 unabängigen Risikofakoränerungen für ie näcse Zei simulieren, ie wir als % ( m),... X % zeicnen. X + + Naceile er Meoe: Für großes Porfolio kann er Recenaufwan er Mone-Carlo-Ansaz ereblic sein, a jeer Simulaion er Neubewerung es Porfolios erforer. Dies is besoners problemaisc, wenn as Porfolio viele Derivae, eren Preisen nic in gesclossener Form enäl kann Verluse über merere Perioen un Skalierung Biser aben wir Ein-Perioe-Verlusvereilung un ami verbunene Risikomassen in Berac gezogen. Es is of er Fall is, ass wir Maßnamen, um as Risiko für en Verlusvereilung über merere Perioen für Ein-Perioe Verlus scließen möcen.das wir in Kap.4 bescrieben. Skalierung. Es wäre scön, wenn wir eine einface Regeln für ie Umwanlung von Ein-Perioen-Risikomassen in -Perioen Risikomassen (> )aben. wir bezeicnen en Verlus vom Zeipunk in en näcsen Perioen urc ( ) +. Aus Gleicung () un (3) aben wir ( ) (, ) (, ) = V V = f + Z f Z ( f (, Z ) f (, Z )) = + + Χ + + Χ = : Χ ( ) l [ ] + i i= wobei l [ ] einen Verlusoperaor zum Zeipunk für ie -Perioen-Verlus beeue. Die allgemeine Frage is, wie as Risikomass für ie Vereilung ( ) + angewan wir. Den H-Perioen Verlusoperaor is verscieen von em Ein-Perioe Verlusoperaor in Siuaionen, in enen ie Abbilung explizi von er Zei abäng (z.b. Derivae-Porfolios). Zum Beispiel beracen wir en Fall, ie Abbilung nic auf [ ] em Kalener Zei abäng,.. l[ ] X = l X. Die lineare Form ieser ' Operaor is [ ] l X b X = für einen Vekor b, ie zur Zeipunk bekann is. Wir beracen as einfacere Problem er Skalierung für Risikomassen uner Anwenung er linearen Verlusvereilung. Dann gil ( ) l X b X ' + = [ ] + i = + i i= i= (33)

15 Das folgene Beispiel zeig einen besoners einfacen Fall, in em wir eine ser einface Skalierung aben, ie als Quarawurzel er Zeiperioe genommen wir. Beispiel (Quarawurzel er Zeiperioe). Nemen wir an, as Risikofakoränerungen sin ii mi er Vereilung ( 0, ) N. i= + i un ie Vereilung von Dann gil X ~ N ( 0, ) ( ) + is ( ) + ~ N 0, b b. sei ( ) ES Expece Sofall, wir aben ES φ Φ ( ) ( ) = σ Wobei b b 2 σ =, offensiclic ES ( ) ES = un mi änlicer Screibweise, VaR ( ) VaR = Backesing Nemen wir an, ass zum Zeipunk wir Scäzungen für VaR un Expece Sorfall für eine Perioe un -Perioen macen. Wir bezeicnen ie reale Ein-Perioe Risikomassen bei, VaR un VaR un ES un ie reale -Perioen Massen bei, ES. Wir müssen wissen, wie üblic, über ie Frage, ob iese Mass für ie unbeinge oer beinge Verlusvereilung benuz weren kann. Zum Beispiel, in en lezeren Fall verweisen wir,, ( ) ( ), ( ), (, ) = F = + + > VaR F ES E VaR F +, Durc er Definiion er VaR aben wir, ass P ( + f VaR ) = -, so ass ie Warsceinlickei für eine so genanne Überscreiung er VaR is gleic -. In er Praxis is as Risikomass aus en Daen gescäz weren un wir vorsellen ein Inikaor für Überscreiung er VaR: ) : )( ) I + = I I { + : = I ( ),, } + > VaR, { + > VaR } (34) Wir erwaren, ass iese Inikaoren wie Bernoulli Zufallsvariablen mi erfolgreice Warsceinlickei in er Näe ( ) veralen Ein anscaulices Beispiel Wir scließen as Kapiel mi einem Beispiel, ass einige er Ieen, ie wir erwän aben,wir in Kapiel 3 un 4 argesell. Wir beracen ie Anwenung er Meoen aus er allgemeinen Kaegorien er Varianz-Kovarianz un isoriscer Simulaions-Meoen für as Porfolio eines Invesors in en inernaionalen

16 Akieninizes. Wir nemen an, er Invesor aben Pfun (GBP) un möce in er Financial Times 00 Akien Inex (FTSE 00), ie Sanar & Poors 500 (S & P500) un er Swiss Marke Inex (SMI) invesieren. Der Anleger a somi Wärungsrisiko in US-Dollar (USD) un Scweizer Franken (CHF) un er Wer es Porfolios äng von fünf Risikofakoren ab (rei og-inex-were un zwei log-wecselkurse). Die ensprecenen Risikofakoren Rückker in em Zeiraum 992 bis 2003 sin in Bil 2.2 gezeig. An em Tag sezen wir en Gesamwer er Porfolio V in Pfun um un ie Gewice es Profolios (FTSE00, S & P500 un SMI)sin 30%, 40% un 30%.Mi einem änlicen Grun zum Beispiel 2.4 eralen wir en Verlusoperaor l e e e [ ] ( Χ ) = ( 0.3 x x + x x ) 3 x5 ( ) Un l[ ] ( X ) 0.3x 0.4( x x ) 0.3( x x ) = , wobei x, x2 un x 3 log-reurn für en rei Inizes bezeicnen un x4 un x 5 log-reurn für GBP / USD un GBP / CHF Wecselkurse bezeicnen. Unser Ziel is, VaR mi Niveau 95% un 99% für alle Arbeisage in en Jaren 996 bis 2003 zu berecnen. Wir beracen en Ferien in einzelnen Märken, so eralen run 260 Tagen Risikofakorerräge in jeem Jar.

17 Bil 2.2: Zeireie er Risikofakoränerungen. Diese sin ie og-reurn von (a)ftse00, (b)s & P500 un(c) SMI-Inizes sowie og-reurn für () GBP / USD un (e)gbp / CHF-Wecselkurs in em Zeiraum 992 bis Wir nuzen ie lezen 000 isoriscen Daen X,..., 999 X für alle VaR für Tag + mi er folgenen Meoen zu besimmen: VC. Sanar unbeinge Varianz-Kovarianz-Meoe mi mulivariaen Gaußscen Risikofakoränerungen. HS. Sanar unbeinge isorisce Simulaions-Meoe. VC-. Eine unbeinge Varianz-Kovarianz-Meoe, bei em eine mulivariae -Vereilung is für er Risikofakoränerungen geeigne.(sie Kap 3) VC-MGARCH. Eine beinge Version er Varianz-Kovarianz-Meoe, bei em eine mulivariae GARCH-Moell mi mulivariae normale Innovaionen wir verwene, um ie beinge Kovarianzmarix es Risikos für er Risikofakoränerungen am näcsen Tag zu scäzen. (sie Kap 4) VC-EWMA. Eine änlice Meoe wie VC-MGARCH, aber eine merimensionale Version er EWMA Meoe wir verwene, um ie beinge Kovarianzmarix für ie Risikofakoränerungen am näcsen Tag zu scäzen.

18 HS-CONDEVT. Eine beinge Meoe uner Verwenung er Kombinaion von GARCH-Moell un EVT (exreme Wer-Teorie). (sie Kap 7) Aus en Ergebnissen in Tabelle 2.2 scließen wir, ass ie rei unbeinge Meoen (VC, HS-un VC-) sin in er Regel von ie beinge Meoen überroffen. Aber in en Jaren 997, 998 un 2002 sin Überscreiungen sclec urc ie unbeingen Meoen beanel un füren zu vieler Überscreiungen von VaR mi em Niveau 95% un 99%. Die isorisce Simulaion is in Varianz-Kovarianz auf em 99%-Niveau bevorzug, aber es gib eine scwace eisung auf em 95%-Niveau. Es gib eine Verbesserung auf en 99%-Niveau uner ie beingungslose Varianz-Kovarianz-Meoe für eine mulivariae -Vereilung, aber asäclic mac alles sclimmer auf em 95%-Niveau. Die bese Meoe is HS-CONDEVT, ie mi em Exremwer Teorie un GARCH-Moell kombinier.

19 In em Bil 2.3 aben wir nur ie Jare 2002 berace un zeig ie asäclicen Verluse zusammen mi Risikomaßen un Überscreiung für ie gegebene zwei Meoen: HS un HS-GARCH-. In iesem Jar war ie sanare isorisce Simulaions-Meoe nic gu. Es gib 26 Überscreiungen von er 95%-VaR un 7 Überscreiungen von er 99%-VaR, oer ewa oppel so viele wie zu erwaren wäre. Das HS-GARCH--Meoe is in er age, sic en Veränerungen er Überscreiungen es gesamen Jares 2002 zu reagieren un es gib 9 un 4 Überscreiungen; as is mer als erware bei er 95%-Niveau, aber is eine gue eisung auf em 99%-Niveau. Bil.2.3 Täglicer Verlus im Jare 2002 mi Risikomassen ((a).95%-var,(b).99%-var) un auc Überscreiungen für ie Meoe HS un HS-GARCH-. HS VaR is urc eine urcgezogene inie bezeicne un Überscreiungen sin urc Kreise bezeicne; HS-GARCH- is urc eine gesricele inie mi Dreiecken bezeicne.