Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik

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1 Seminar Bewerungsmehoden in der Personenversicherungsmahemaik Akuarielle und finanzmahmaische Bewerung I Xiaoying Xu Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Sommersemeser 2010 Bereuung: Prof Schmidli, Dr. Eisenberg

2 1.1 Die Uni-linked Versicherung Die Uni-linked Lebensversicherung als bedinger Anspruch S 1 () : der Wer des Indexes zur Zeipunk mi 0, S 1 : der Wer des Indexes zum Fälligkeiszei Wir nehmen an, daßes l x Versicherungnehmer gib. Wir bezeichnen die Lebenszei von Versicherungsnehmern mi 1,..., l x. Und die Lebenszeien sind idenisch, unabhängig vereil. π 0 is die Prämie zur Zei 0. f S 1 is der zahlbaren Berag, wenn der Versicherungsnehmer zur Zei noch überleb.und es is abhängig von der Enwicklung des Indexes. Wir konzenieren uns zuers auf die Bewerung von Gewinn des Indexes. Der Wer der Verpflichung des versicherungsunernehmens beim Versicherungsnehmer zur Zei 0 is die diskoniere zukünfige Bezahlung: H = l x r u du 1 i > f S1 e 0 i=1 (1.1) mi r :Zinssaz Die Formel (1.1) kann als bedinger Anspruch berache werden. Und er is abhängig von dem Index und der Anzahl der Überlebenden. Beispiel: 1) f S 1 is abhängig nur von Wer der Akie zur Zei : f S 1 = S 1 2) Oder is f S 1 is mi einer Garanie K : f S 1 = max S 1, K Wir können die zufällige Lebenszei durch deren Erwarungswer ersezen. Dann kriegen wir mi H = l x p x f S 1 e p x = P 1 > und l x+ = l x p x r u du 0 = l x+ f S 1 e 0 r u du 2

3 1.2 Das Kono von Versicherungsnehmer π 0, π 1,..., π 1 sind die Prämienzahlungen (bruo). Die Neoprämie zur Zei is 1 γ π. V is der Wer des Konos von Versicherungsnehmern nach der Bezahlung von Neoprämie 1 γ π zur Zei. Wir invesieren die Prämien in die zugrundliegende Akie (oder Porfolio), deren Wer zur Zei gleich S 1 is. Die Rendie von diesem Index im Zeiraum 1, is definier als ε = S1 S 1 1 S 1 1 b ad is die zahlbare Summe zur Zei, wenn der Versicherer im Zeiinerval 1, sirb. Die grundlegende Idee is: der Versicherer bekomm V, wenn er den Zeipunk überleb. Der Konosand von Versicherungsnehmer is gegeben duch folgende Formel: Konosand am Anfang + Rendie aus dem Invesmen + Prämie- Kosen Bezahlung für die Gaanie Risikoprämie = Konosand am Ende Der Wer des Konos zur Zei 0 für ein Porfolio mi l x Versicherungsnehmer is V por 0 = l x V 0 = l x 1 γ 0 π 0 Und die Enwicklung des Konos können wir durch die folgende rekursive Formel darsellen: V por = 1 + ε V por 1 +l x+ 1 γ π l x+ 1 ν d x+ 1 b ad (1.2) wobei d x+ 1 = l x+ 1 l x+ die erwaree Anzahl der Versicherer, die im Jahre -1 o serben, bezeichne is. ν is der Wer der jährlichen oder Schlussgaranie. ε is die Rendie, die dem Kono von Versicherer gugeschrieben werden soll. Wir dividieren V por durch die akuelle Anzahl von Überlebenden l x+ zur Zei und sezen (1.2) ein, kriegen wir (1.3) 3

4 V = V por l x+ = 1 + ε l x+ 1 l x+ V por 1 l x+ 1 d x+ 1 l x+ b ad + 1 γ π l x+ 1 l x+ = 1 + ε V γ π l x+ 1 ν ε l x+ 1 l x+ 1 V 1 d x+ 1 l x+ l x+ b ad ν Wir definieren μ x + = d x+ 1 l x+ (1.4) und die Risikosumme R = b ad V ε ν (1.5) Wir sezen (1.4) und (1.5) in (1.3) ein und erhalen: (1.6) V = 1 + ε V γ π ν μ x + R Der Finanzmark Wir benuzen hier das Black-Scholes Modell von dem lezen Kapiel. Wir berachen zwei Akiven: ein riskanes Akiv S 1 und eine risikolose Geldanlage S 0 Die Dynamik is gegeben durch S 1 = exp α 1 2 σ2 + σw S 0 = e r wobei W = W 0, eine sandard Brownsche Bewegung is. F = σ S 1 u u is eine σ-algebra, die die Informaionen und die Enwicklung von S 1 bis zur Zei enhäl. Sei Q ein Maigalmaßfür S1 S 0, so dass S 1 = exp r 1 2 σ2 + σw Q wobei α durch r und W durch eine Q Sandard BB ersez werden sind. 4

5 Dann für u E Q e r u S 1 u F = S 1 (1.7) Jährliche Garanien und Prämien Es exisier eine jährliche Garanierendie δ und ε = max ε, δ. Dann die rekursive Formel des Konos von Versicherungsnehmer wird V = V ε + δ ε + V γ π ν μ x + R (1.8) Wir suchen jez die Bezahlung ν für die Garanie im Jahr, dann (1.9) V 1 = e r E Q V π 1 γ + μ x + R F 1 d.h. der Wer des Konos zum Zeipunk -1 ensprich dem We des Konos zum Zeipunk minus die Neoprämie zur Zei plus die Risikoprämie. Einsezen von (1.8) in (1.9), ergib: e r V 1 = V 1 E Q 1 + ε F 1 + E Q δ ε + F 1 ν wobei ν bereis in -1 gewähl, d.h. ν is F 1 -messbar. Nach (1.7) (1.10) E Q 1 + ε F 1 = 1 + E Q S1 S 1 1 S 1 1 = e r F 1 = 1 + e r 1 Einsezen in (1.10) ein, erhalen wir eine Darsellung für ν : ν = V 1 E Q δ ε + F 1 Explizie Darsellung für den Garaniepreis Der Preis ν kann mi Hilfe der Black-Scholes-Formel explizi besimm werden. Wir nehmen an, dass δ in -1 gewähl worden is, d.h. δ is F 1 -messbar. Wir bemerken, dass 5

6 δ ε + = 1 + δ S1 S Nach der Black-Scholes-Formel, bekommen wir E Q S0 1 S δ S1 S S 1 1 = 1 + δ e r Φ z 2 Φ z 1 mi z 1 = log 1 + δ + r σ2 σ z 2 = log 1 + δ + r 1 2 σ2 σ wobei Φ eine Sandardnormalvereilung is. Und der faire Preis der Garanie im Zeiraum 1, is ν = V δ Φ z 2 e r Φ z 1 Wer des odesfallzahlungskonos Wir nehmen R = 0 an, d.h. b ad = V ε ν Uner dieser Annahme, erhalen wir eine Vereinfachung der rekursiven Formel für den Wer des Konos: V = V ε + δ ε + V γ π ν für =1,..., = π j j =0 1 γ j 1 + ε s + δ j ε j + V j 1 ν j j =1 1 + ε s 6

7 1.2.3 Schlussgaranie ε is die Rendie, die dem Kono von Versicherungsnehmer gugeschrieben wird. Der zahlbaren Berag zur Fälligkei is max V, G und R = 0 Dann bekommen wir : V = V ε + 1 γ π ν = π j 1 γ j 1 + ε s ν j j =0 j =1 1 + ε s Die Frage is, wie können wir ν 1,..., ν wählen, dami der Verrag fair is. Wir suchen jez solche ν 1,..., ν, dass der Markwer des Gewinns auf die Prämie abgesimm is. Wir bekommen die folgende Gleichung: 1 j =0 e rj j p x 1 γ j π j = E Q p x j 1 j =1 Wir wählen ν = ν consan, kriegen wir E Q e r max V, G 1 q x+j +1 e rj b ad j + p x e r max V, G = E Q e r max π j 1 γ j j =0 ν 1 + ε s, G wobei π = 0. Die Gleichung kann man durch Simulaion lösen. 7

8 1.2.4 Erlebensfallversicherung mi Einmalprämie Die Prämie wird nur zur Zei = 0 bezahl, d.h. π 1 =...= π 1 =0 und b ad 1 =...=b ad =0. Der Verrag is fair, wenn der Markwer des Gewinns gleich dem Markwer der Prämie is. d.h. wenn 1 γ 0 π 0 = p x E Q e r max V, G wobei V durch rekursive Formel (1.6) definier is. Der Wer V is abhängig von der Enwicklung der Akie, der einzigen Neoprämie 1 γ 0 π 0 und dem Wer der Garanie ν. 1.3 Absicherung der inegrieren Risiken durch Diversifikaion π 0, f is der Preis der Opion zur Zei 0. Und die Opion ha den Wer f S 1 zur Zei. Wir nehmen an, dass die Versicherungsunernehmen zur Zei 0 κ Opionen für jeden Versicheren kaufen, insgesam l x κ Opionen. Die Invesiion bring l x κf S 1 zur Zei. Der Neoverlus des Versicherungsunernehmens zur Zei 0 is: L = Y e r u du 0 f S 1 l x π 0 l x κf S 1 r u du e 0 l x κπ 0, f mi Y = l x i=1 1 i > = Anzahl der Überlebenden zur Zei 0, Der Neoverlus können wir umschreiben: und L = Y l x κ e E L = l x p x Für E L = 0 bekommen wir l x κ E e 0 r u du f S 1 l x κπ 0, f π 0 0 r u du f S 1 + l x κπ 0, f π 0 und κ = p x. π 0 = p x π 0, f 8