Optimales Management eines Garantiefonds

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1 Opimales Managemen eines Garaniefonds Opimal Managemen of a Garanee Fund Maserarbei vorgeleg von: Sefan Blanke Marikelnummer: Sudiengang: Maser of Science, Mahemaik Ersprüfer: Priv.-Doz. Dr. Volker Paulsen Zweiprüfer: Prof. Dr. Seffen Dereich Münser, 6. Januar 6

2 Inhalsverzeichnis Einleiung iii Grundlagen. Zeiseiges Finanzmarkmodell Handelsraegien und Vermögensprozess Nuzenfunkionen Porfolioopimierung miels der Maringalmehode Shor-Rae Modell 4. Das Einfakor Bondmarkmodell Das Vasicek-Modell Das Forward Maringalmaß HJM-Modell 6 3. Grundlagen des HJM-Modells Aufbau des HJM-Modells Das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae Porfolioopimierung mi deerminisischer Garanie Allgemeine Mehode Opimierung in einem Black-Scholes Modell Opimierung in einem Vasicek-Modell Opimierung in einem Mixed Sock Bond Mark Opimierung in einem Gaußschen HJM-Modell Porfolioopimierung mi sochasischer Garanie Allgemeine Mehode Opimierung in einem Black-Scholes Modell Opimierung in einem Mixed Sock Bond Mark Fazi und Ausblick Lieraurverzeichnis 3 ii

3 Einleiung Diese Maserarbei beschäfig sich mi dem opimalen Managemen eines Garaniefonds in verschiendenen Finanzmärken. Bei Garaniefonds handel es sich um Invesmenfonds, welche am Ende des Handelszeiraumes die zu Beginn eingezahle Summe zuzüglich das bis dahin erwirschafee Plus garanieren. Um diese Garaniefonds opimal zu managen, wird eine Porfolioopimierung mi Garanie berache, also einem zenralen Besandeil der modernen Finanzmahemaik. Ziel is es ein opimales Porfolio aus den an dem Finanzmark gehandelen Finanzgüern zusammenzusellen. Ob eine solche Zusammensellung für einen besimmen Invesor jedoch opimal is, häng von seinen Präferenzen ab. Manche Invesoren bevorzugen mehr Rendie und gehen dafür mehr Risiko ein, andere Invesoren präferieren eine sichere Geldanlage. Der Begründer der modernen Porfolioopimierung war Harry Markowiz im Jahre 95. Er berachee einen zeidiskreen Mark und verwendee das µ-σ-prinzip. Seine Grundidee war es Porfolios zu berechnen, die eine erwaree Mindesrendie besizen und uner diesen Porfolios, dasjenige zu wählen, welches das kleinse Risiko beinhale. Die erwaree Rendie wird mi µ und die Sandarabweichung als Maß für das Risiko mi σ bezeichne. Wir werden in dieser Arbei jedoch nich mi dem µ-σ-prinzip arbeien, sondern Nuzenfunkionen verwenden. Weierenwickel wurde dieser Ansaz von Meron H. Miller. Er behandele in seiner Arbei Lifeime Porfolio Selecion under Uncerainy: he Coninous-ime-Case zum ersen Mal ein Porfolioopimierungsproblem in einem seigen Finanzmark, das sogenanne Meron Problem. Der Lösungsansaz is hier, den erwareen Endnuzen des Invesors zu maximieren. Auch eine Opimierung uner Berücksichigung von zwischenzeilichem Konsum wurde berache. Da es sich um ein sochasisches Konrollproblem handel, nuze Meron die sogenanne Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung zur Besimmung der explizien Lösung. Eine andere Mehode zur exaken Berechnung des Opimierungsproblems enwickele S. Pliska 986 mi der Maringalmehode. Hierbei wird das Meron Problem in zwei seperae Probleme aufgeeil und gelös. Man lös zunächs ein zeiunabhängiges, saisches Problem, wodurch man das opimale Endvermögen und den opimalen Konsum erhäl. Miels dieser Informaionen kann dann das Darsellungsproblem gelös werden und man erhäl zudem die opimale Invesiionssraegie. Auf die Maringalmehode wird in dieser Arbei späer noch eingegangen. Es is möglich, die Porfolioopimierung in vielen verschiedenen Finanzmarkmodellen durchzuführen, wie beispielsweise in einem Akienmark, einem Devisenmark oder einem Bondmark. In dieser Maserarbei finde die Porfolioopimierung sowohl in dem klassischen Black- Scholes Modell als auch in einem Zinssrukurmodell wie dem Einfakor Vasicek-Modell und dem HJM-Modell sa. Inhal dieser Maserarbei is wie schon zuvor beschrieben, das opimale Managen eines Gaiii

4 Einleiung raniefonds. Zenrales Hilfsmiels hierzu is die Porfolioopimierung mi einer Garanie. Dies bedeue, dass die Opimierung uner der Nebenbedingung geschieh, dass der Fond am Ende des Handelszeiraums eine vorher fesgelege Summe als Endvermögen mindesens erreichen muss. Dieser vorher fesgelege Benchmark wird zunächs als eine Konsane angenommen und eine allgemeine Mehode zur Lösung dieses Problems enwickel. Anschließend werden explizie Opimierungen in verschiedenen Finanzmarkmodellen durchgeführ. Wichig is jedoch für die Berechenbarkei, dass die Volailiäen der gehandelen Finanzgüer deerminisisch sind, da in der Opimierung eine Call-Opion bewere werden muss. Im Anschluss wird die Annahme des konsanen Benchmarks zu einem sochasischen Benchmark, einer Zufallsvariablen, verallgemeiner. Hierdurch veränder sich der allgemeine Lösungsweg, sodass nun eine Exchange-Opion sa einer Call-Opion bewere werden muss. Inhallich glieder sich die Maserarbei in 5 Kapiel mi folgenden zenralen Schwerpunken. Das erse Kapiel liefer auf Basis eines mehrdimensionalen Semimaringalmodells eine kurze Einführung in die Finanzmahemaik. Zudem werden wichige Begriffe wie Handelssraegie, Porfolioprozess und Nuzenfunkionen eingeführ. Abgeschlossen wird dieses Kapiel mi einer kurzen Einführung in die Porfolioopimierung miels der bereis erwähnen Maringalmehode. Es werden erse Opimierungsprobleme gelös. Dabei werden, wie in der gesamen Arbei, im Schwerpunk logarihmische- sowie Power-Nuzenfunkionen genuz. Im zweien Kapiel wird zunächs ein allgemeines Shor-Rae Modell beschrieben und die abiragefreien Bondpreise, sowie die Volailiäen analysier. Anschließend wird das Vasicek-Modell als Beispiel eingeführ. Danach werden für diese Arbei wichige Zwischenergebnisse fesgehalen, wie die Bewerung einer Call-Opion in diesem Modell auf einen Bond. Am Ende des Abschnis wird zudem das Forward Maringalmaß eingeführ, welches im weieren Verlauf der Arbei in der Opimierung eine wichige Rolle spielen wird. Die Berachungen des zweien Kapiels werden im drien Kapiel verallgemeiner und das HJM-Modell eingeführ. Hierfür werden zunächs wichige Grundlagen geleg und anschließend ein spezielles HJM-Modell, das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae analysier. In diesem Modell finden späer explizie Opimierungen sa. Im vieren Kapiel wird zuers die Porfolioopimierung mi deerminisischer Garanie beschrieben und ein allgemeiner Lösungsweg aufgezeig. Anschließend wird eine Opimierung im Black-Scholes, Vasicek- und HJM-Modell, sowie in einem Mixed Sock Bond Mark berieben. Grundlage für die Modellierung der Präferenzen des Invesors sind hier immer die logarihmische- und die Power-Nuzenfunkion. Im fünfen Kapiel wird die Annahme einer deerminisischen Garanie zu einer sochasischen Garanie verallgemeiner. Auch hier wird zunächs ein allgemeiner Lösungsansaz beschrieben und anschließend eine Opimierung in einem Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen und in einem Mixed Sock Bond Mark durchgeführ. iv

5 Grundlagen In diesem Kapiel werden die wesenlichen finanzmahemaischen Grundlagen, welche in dieser Arbei benöig werden, vorgesell. Zunächs wird ein zeiseiges Finanzmarkmodell für einen mehrdimensionalen Finanzmark beschrieben. Anschließend wird auf Handelssraegien und Vermögensprozesse eingegangen. Um die Präferenzen des Invesors beschreiben, beziehungsweise modellieren zu können, werden im drien Abschni Nuzenfunkionen eingeführ. Ein wichiges Hilfsmiel bei der Lösung der Porfolioopimierung is die Maringalmehode, welche im lezen Abschnis dieses Kapiels präsenier wird. Die in diesem Kapiel beschriebenen Grundlagen reichen jedoch nich aus, um als mahemaische Einführung in die zeiseige Finanzmahemaik angesehen zu werden. Hier wird auf [6] beziehungsweise [7] verwiesen, welche ebenfalls als Quellen für dieses Kapiel dienen. Ebenso wurde sich an [9] und [7] orienier.. Zeiseiges Finanzmarkmodell In diesem Abschni wird ein zeiseiges vollsändiges Semimaringalmodell zur Beschreibung eines mehrdimensionalen Finanzmarkes eingeführ. Dieses wird von einem mehrdimensionalen Wiener Prozess gerieben. Wir berachen den Handelszeiraum [, ], mi < < und einen filrieren Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P, wobei der Informaionsverlauf F eine Wiener Filraion sei, also eine von einem Wiener-Prozess erzeuge Filraion, die die usual condiions erfüll. Genauer: Definiion. Eine Filraion F heiß vollsändig, wenn F alle Nullmengen enhäl, heiß rechsseig, wenn F = s> F s für jedes, erfüll die usual condiions, wenn sie vollsändig und rechsseig is. Is eine Filraion vollsändig, so enhäl nich nur F alle Nullmengen, sondern auch F für jedes. Dies lieg daran, dass Filraionen aufseigend geordne sind, also für alle s < gil F s F. Nun zu der Wiener-Filraion. Diese läss sich wie folg konsruieren Konsrukion. Berache einen n-dimensionalen Wiener Prozess W = W,..., W n auf einem filrieren Wahrscheinlichkeisraum Ω, G, P. Wir sezen F := σw s : s für alle.

6 Grundlagen Somi is dann F + := ɛ> F +ɛ eine rechsseige Filraion. Berachen wir nun die Nullmengen des Maßes P. Wir bezeichnen mi N die Menge aller eilmengen von Nullmengen bezüglich P, also Sezen wir nun N := {A Ω : B F mi PB = und A B. F := σf + N, so erhalen wir eine vollsändige Filraion, welche ebenfalls rechsseig is. Nach Definiion. handel es sich also um eine Filraion, die die usual condiions erfüll. Zudem is W ein Wiener Prozess bezüglich F. Dies is die kleinse Filraion, die die usual condiions erfüll und bezüglich welcher W ein Wiener Prozess is. Aus diesem Grund wird sie als Wiener Filraion bezeichne. Als nächses führen wir die auf dem Finanzmark zu handelenden Finanzgüer ein. Dazu berachen wir nun einen n-dimensionalen Wiener Prozess W = W,..., W n als Quelle des Zufalls in dem Finanzmarkmodell und sezen die dazugehörige Wiener-Filraion voraus. Unser Finanzmark beseh aus n, n N Finanzgüern Akien und Bonds, auch Basisfinanzgüer genann, welche seig über die Zei gehandel werden. Ihre Preise werden zum Zeipunk durch S,..., S n für mi srik posiiven Sarweren beschrieben. Wir nehmen an, dass diese Preisprozesse srik posiive Semimaringale sind. Definiion.3 gil: X is adapier, Ein sochasischer Prozess X mi Weren in R n heiß Semimaringal, wenn X ha càdlàg Pfade, das heiß, dass die Pfade von X rechsseiig seig sind und linksseiige Limien exisieren, es exisier eine Zerlegung X = X + M + A, wobei X eine fas sicher endliche und F -messbare Sarvariable, M ein lokales seiges Maringal mi M = und A ein Prozess mi endlicher Variaion und A = is. Da wir geforder haben, dass die risky Asses S = S,... S n posiive Semimaringale bezüglich F sind, exisier eine Zerlegung S i = S i + M i + A i,, i =,..., n.. Miels eines Maringaldarsellungssazes [7, Saz 3.4.5] folg, dass die lokalen Maringale M i für alle i =,..., n seige Pfade haben und das previsible Prozesse K i = K i,..., K in exisieren mi M i = = j= K i sdw s K ij dw j s,..

7 Grundlagen Nun müssen wir voraussezen, dass die Prozesse A i fas-sicher absolu seig sind. Miels des Haupsazes der Lebesque-Inegralrechnung exisieren dann progressiv-messbare Prozesse J,..., J n mi Wir sezen nun σ ij := K ij S i A i = und J i sds,..3 µ i := J i,, i, j =,..., n.4 S i und erhalen mi. -.4 für die Preisdynamik der risikobehafeen Finanzgüer S i = S i + S i sµ i sds + Es gil also die sochasische Differenzialgleichung ds i = S i µ i d + σ ij dw j j= j= S i sσ ij sdw j s. S i,, i =,..., n..5 Der Prozess µ wird als Drif und σ ij als Volailiä bezeichne. Die Eigenschafen, die diese Prozesse erfüllen werden weier unen aufgelise. Des Weieren führen wir ein weieres Finanzgu, ein Numeraire-Finanzgu N ein. Dies kann sowohl ein Geldmarkkono, aber auch ein risikobehafees Finanzgu S n+ mi S n+ > P fas sicher für alle sein. Der Preisprozess dieses Numeraire-Gues is im Falle eines Bankgeldkonos gegeben durch dβ = βrd,, β =.6 und im Falle eines risikobehafeen Finanzgues durch ds n+ = S n+ µ n+ d + σ n+,j dw j,, S i = s i,. j= Hierbei sind die Prozesse r, µ := µ,..., µ n, σ := σ ij i,j n und σ n+,j := σ n+,,..., σ n+,n progressiv messbar und erfüllen die folgende Inegrabiliäsbedingung.7 rs + µ n+ s + µs + σ n+ s + σ i s ds < P fas sicher,.8 wobei die euklidische Norm im R n und σ i die i-e Zeile der Marix σ bezeichne. Zudem is die n n-marix σ auf [, ] Ω inverierbar. Wir wollen einen Finanzmark berachen, in welchem ein Maringalmaß P exisier. Dazu die folgende Definiion: 3

8 Definiion.4 zu P, falls i P P auf Ω, F, Grundlagen Ein Wahrscheinlichkeismaß P auf Ω, F heiß äquivalenes Maringalmaß ii der diskoniere Preisprozess des risikobehafeen Finanzgues S := N S ein lokales P -Maringal is. Allein die Annahme der Arbiragefreihei liefer in einem seigen Finanzmarkmodell noch nich die Exisenz eines Maringalmaßes. Es muss zudem geforder werden, dass die no free lunch wih vanishing risk Bedingung NFLVR erfüll is. Die Exisenz eines Maringalmaßes hingegen liefer die Eigenschaf der Arbiragefreihei. Deshalb die folgende Definiion: Ein Finanzmark heiß arbiragefrei, falls ein äquivalenes Maringalmaß exis- Definiion.5 ier. Zum Abschluss dieses Abschnis wird in dem folgenden Saz noch ein explizies Maringalmaß für diesen Finanzmark angeben: Saz.6 Es sei für das obere Finanzmarkmodell P das äquivalene Maringalmaß bezüglich des Numeraire N. Dann exisier ein R n -weriger, previsibler Prozess ϑ mi P ϑs ds < = für alle, sodass dp dp = exp ϑ i udw i u ϑ i udu =: L..9 i= Des Weieren gil, dass der Prozess S i für i =,..., n + ein N P -Maringal is. Zudem is der Wiener Prozess uner dem Maß P gegeben durch Der Prozess ϑ i= dw i = dw i ϑ i d, i =,..., n.. wird als Markpreis des Risikos bezeichne. Beweis: Für einen Beweis dieses elemenaren Sazes der Finanzmahemaik verweisen wir auf [6,.4.]. Die Arbiragefreihei läss sich zudem miels des folgenden Sazes charakerisieren: Saz.7 Ein äquivalenes Maringalmaß exisier genau dann, wenn es einen previsiblen Prozess ϑ gib, der und ϑ d < fas sicher µ + σϑ = r n,, fas sicher mi n =,..., R n erfüll und zudem gil. EL = Beweis: Ein Beweis is in [6, Saz.4.] zu finden. 4

9 Grundlagen. Handelsraegien und Vermögensprozess Nachdem der Finanzmark mi seinen Finanzgüern in dem vorherigen Abschni vorgesell worden is, wird in diesem Abschni das Handeln des Invesors modellier. Wir berachen einen Invesor, dem ein Anfangskapial von b > zur Verfügung seh. Es kann koninuierlich zu jedem Zeipunk gehandel werden bis zu einem besimmen Planungshorizon. Der Invesor kann sowohl in die n risikobehafeen Finanzgüer als auch in das Numeraire-Finanzgu invesieren. Das Handeln wird durch einen R n -werigen Porfolioprozess π = π,..., π n modellier, wobei π i den Geldberag bezeichne, welchen der Invesor zur Zei in das i-e risikobehafee Finanzgu invesier. Wir fordern zudem, dass das resliche Kapial in das Numeraire-Finanzgu invesier wird. Dieser Geldberag wird mi π bezeichne. Als Anlage hierfür kann wieder ein weieres risikobehafees Finanzgu oder ein Geldmarkkono gewähl werden. Durch das Verfolgen der Porfoliosraegie π zum Anfangskapial b wird ein Vermögensprozess X b,π erzeug. Das Vermögen zum Zeipunk sell den Gesamwer der Finanzgüer in dem Porfolio dar, das heiß es gil: X b,π = π N N + π i S i S i. Somi is der Geldberag, der in das Numeraire-Finanzgu invesier wird gegeben durch π = X b,π π i. Der Porfolioprozess wird im weieren Verlauf dieser Arbei die wichige Eigenschaf der Selbsfinanzierung erfüllen. Dies bedeue, dass die Änderung des Vermögens ausschließlich aus dem Gewinn bzw. Verlus der Invesiion resulier. Aus diesem Grund erfüll der Vermögensprozess die folgende sochasische Differenialgleichung dx b,π = π dn N + π i ds i S i, Xb,π = b. i= Wir sezen nun die Dynamiken der Finanzgüer.5,.6 und.7 ein und erhalen für die Enwicklung des Vermögensprozesses: i= i= Im Falle von N = β dx b,π = rx b,π d + π µ r n d + σdw. und im Falle von N = S n+ dx b,π =X b,π µ n+ d + σ n+ dw + π µ µ n+ n d + σ n σ n+ dw,. 5

10 Grundlagen wobei n =,..., R n. Aus dieser Vermögensgleichung is es ersichlich, dass der Porfolioprozess besimme Inegrabiliäsbedingungen erfüllen muss, dami eine eindeuige Lösung für diese Gleichung exisier. In der nachfolgenden Definiion des Porfolioprozesses werden diese Forderungen fesgehalen. Definiion.8 Ein progressiv messbarer R n -weriger Prozess π = π,..., π n heiß Porfolioprozess, wenn er die folgende Bedingung erfüll: π σ d + π µ r n d < P fas sicher..3 Bemerkung.9 Die Inegrabiliäsbedingung.3 für den Porfolioprozess folg aus dem Fall, dass das Numeraire-Finanzgu das Bankgeldkono is. Für den Fall, dass das Numeraire- Finanzgu ein risikobehafees Asse is, müsse die Inegrabiliäsbedingung π σ n σ n+ d + π µ µ n+ n d < P fas sicher lauen. Diese Gleichung ergib sich jedoch aus den Inegrabiliäsbedingungen.8 und.3 und somi reich es.3 zu fordern. Als nächses wird der Begriff der Selbsfinanzierung mahemaisch formulier: Definiion. Ein Porfolioprozess π heiß selbsfinanzierend, falls der ensprechende Vermögensprozess X b,π die Vermögensgleichung. beziehungsweise. eindeuig lös. Jedoch darf man nich alle progressiv-messbare Prozesse π < zulassen, da sons schon in einfachen Modellen Arbiragemöglichkeien ensehen. Zudem beseh die Möglichkei, dass der Invesor so hohe Schulden verursach, welche er nich mehr begleichen kann. Deshalb berachen wir nur die zulässigen Handelssraegien. Definiion. Ein selbsfinanzierender Porfolioprozess π heiß zulässig für ein Anfangskapial b, wenn der zugehörige Vermögensprozess X b,π posiiv is, dass heiß X b,π für alle P-fas sicher. Wir bezeichnen die Menge aller zulässigen Porfolioprozesse mi Anfangskapial b mi A b. Nun beschäfigen wir uns mi der Frage, welches Endvermögen durch invesieren des Anfangskapials b erreich werden kann. Dies is eine zenrale Frage in der Porfolioopimierung. Um diese Frage zu beanworen definieren wir den folgenden sochasischen Prozess H := L,..4 N Saz. Der selbsfinanzierende Porfolioprozess π sei zulässig für ein Anfangskapial b, dass heiß π A b. Dann erfüll der zugehörige Vermögensprozess X b,π die sogenanne Budgebedingung NEHX b,π b für alle. 6

11 Grundlagen Es seien ein Anfangskapial b und eine nichnegaive, F -messbare Zufallsvariable Y gegeben, für welche b = NEH Y < gil. Dann exisier ein Porfolioprozess π mi π A b, sodass der zugehörige Vermögensprozess X b,π die folgende Gleichung erfüll X b,π = Y P fas sicher. Beweis: Für den Beweis dieses elemenaren Sazes des Finanzmahemaik verweisen wir auf den Beweis von Saz.6 in [9]. Bemerkung.3 Der erse eil dieses Sazes zeig, dass zum Erreichen eines besimmen Endvermögens Y in das Anfangsvermögen in Höhe von mindesens NEH Y erforderlich is. eil sag aus, dass bei ausreichend hohem Anfangskapial jedes erwünsche Endvermögen Y in durch das Handeln ensprechend eines selbsfinanzierenden, zulässigen Porfolioprozesses π realisier werden kann. Im folgeden wird der Begriff des Hedgings eingeführ. Ein -Claim C is eine F -messbare Zufallsvariable, die auszahlbar zum Zei- Definiion.4 punk is. Die arbiragefreie Bewerung eines -Claims kann miels des folgenden Resulaes durchgeführ werden. Saz.5 Der arbiragefreie Anfangspreis eines -Claims C is gegeben durch p C = E N C N. Es bezeichne E den Erwarungswer bezüglich dem Maß P Definiion.6 Ein -Claim C heiß hedgebar oder replizierbar, falls ein selbsfinanzierender Porfolioprozess π exisier, dessen zugehöriger Vermögensprozess X π C = X erfüll. Ein Mark heiß vollsändig, falls jeder -Claim C hedgebar is. Saz.7. Fundamenalsaz der Preisheorie Ein Finanzmark is genau dann vollsändig, wenn genau ein äquivalenes Marigalmaß exisier. Beweis: Eine Beweisskizze is beispielsweise in [6, S. 3] zu finden..3 Nuzenfunkionen Jeder Invesor ha eine unerschiedliche Einsellung zum Risiko und jeder empfinde den Wer eines Geldberags als unerschiedlich. Die Idee in der Porfolioopimierung is es mi Hilfe einer 7

12 Grundlagen Nuzenfunkion jedem möglichen Endvermögen den daraus resulierenden Nuzen zuzuordnen und anschließend die Handelssraegie so zu wählen, dass der erwaree Nuzen maximal wird. Der Grad der Risikoaversion des Invesors wird dabei durch die Nuzenfunkion modellier. Diese is wie folg definier: Definiion.8 Eine seige Funkion U :, R, die srik konkav, sreng monoon wachsend und seig differenzierbar is heiß Nuzenfunkion, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüll U + := lim x U x = +.5 U := lim x U x =..6 Diese Eigenschafen lassen sich ökonomisch wie folg inerpreieren. Wegen des sreng monoonen Wachsums wird ein höheres x immer bevorzug, da man davon ausgeh, dass mehr Geldeinsaz einen höheren Nuzen beigemessen wird. Die srike Konvexiä, sowie die Bedingungen.5 und.6 lassen sich als das erse Gossensche Gesez, das Gesez vom abnehmenden Grenznuzen inerpreieren. Dies besag, dass bei seigendem Konsum eines Gues, also wenn hier das x seig, der Zusaznuzen Grenznuzen immer kleiner wird. Nun geben wir Beispiele für Nuzenfunkion an: Beispiel.9 i Logarimische Nuzenfunkion: Ux = logx, x >. ii Power-Nuzenfunkion: Ux = x x,,,. Die Power-Nuzenfunkion gehör zur Familie der CRRA Nuzenfunkionen, also zur Familie der Nuzenfunkionen mi einem konsanen relaiven Risikoaversionsparameer consan relaive risk aversion. iii Exponenielle Nuzenfunkion: Ux = e x, x,,,. Diese Nuzenfunkion gehör zu der Familie der CARA Nuzenfunkionen. In diesem Fall handel es sich um eine Nuzenfunkion mi einem konsanen absoluen Risikoaversionsparameer consan absolue risk aversion. Im späeren Verlauf der Arbei benöigen wir die Inverse der Ableiung einer Nuzenfunkion um beispielsweise das opimalen Endvermögen zu besimmen. Definiion. ha die Form Die Inverse der Ableiung einer Nuzenfunkion wird mi I bezeichne und I = U. 8

13 Grundlagen Nun muss die Frage gesell werden, ob so eine Funkion überhaup exisier. Dies is aber nach der Definiion.8 einer Nuzenfunkion klar, denn U is seig und sreng monoon fallend, da eine Nuzenfunkion U nach Definiion seig differenzierbar und srik konkav is. Zudem is das Bild von U das Inervall,. Also is U schlussendlich bijekiv. Also exisiier eine Umkehrfunkion U = I. Zum Abschluss dieses Abschnis geben wir noch ein paar Eigenschafen von I an: Bemerkung. Die Funkion I :,, is eine sreng monoon fallende, seige, posiive Funkion mi I+ = U + = +.7 I = U =..8 Im späeren Verlauf wird die folgende Aussage für die Verifizierung einer Lösung in einem Opimierungsproblem benöig. Lemma. Ungleichung Sei U eine Nuzenfunkion und I die Inverse von U. Dann gil die folgende UIy Ux + yiy x für x, y,. Beweis: Da die Nuzenfunkion nach.8 konkav is gil unmielbar UIy Ux + U IyIy x = Ux + yiy x..4 Porfolioopimierung miels der Maringalmehode Berachen wir zunächs ein Sandard-Porfolioopimierungsproblem, in dem der erwaree Endnuzen des Invesors maximier werden soll. Die Maringalmehode spale das Opimierungsproblem in ein saisches Problem, in welchem das erwaree Endvermögen berechne wird und in ein Darsellungsproblem, in welchem miels der Lösung aus dem saischen Problem die opimale Handelssraegie besimm wird. Da es sich um ein elemenares und schon of ausgeführes Verfahren handel, werden wir zum großen eil nur die Ergebnisse präsenieren und für die Beweise auf die ensprechende Lieraur verweisen. Sei U eine Nuzenfunkion gemäß Definiion.8. Das Problem des Invesors, welcher seinen erwareen Endnuzen durch eine selbsfinanzierende Handelssraegie π mi dem Anfangskapial b > maximieren will, heiß Meron Problem. Ziel des Invesors is also das folgende: max π Ab UX b,π,.9 wobei Ab := {π : π selbsfinanzierend mi X b,π für alle und EUX b,π <.. 9

14 Grundlagen Miels der Einschränkung auf die Menge Ab is sichergesell, dass der Erwarungswer in.9 exisier. Dies bedeue jedoch nich, dass dieser nich unendlich sein kann. Beache, dass jeder -Claim C durch ein Anfangsvermögen b = p C und eine selbsfinanzierende Handelssraegie π, folgend bis zum Zeipunk, replizier werden kann. Für den dami assoziieren Vermögensprozess gil also X p C,π = C. Wegen dieses fundamenalen Zusammenhangs zwischen den Saegien und der korreken Bepreisung von Claims, kann jedes erreichbare Zielvermögen von einem Sarkapial nich größer als b als -Claim mi Sarpreis nich größer als b gesehen werden und umgekehr. Um das opimale Endvermögen zu besimmen müssen wir A einen opimalen -Claim, finanzier durch ein Anfangsvermögen nich größer als b finden und B eine Handelssraegie finden, die diesen opimalen Claim replizier. Das saische Problem A Das saische Problem wird miels der punkweisen Lagrangemehode gelös. Dazu definieren wir die Menge der beracheen Handelssraegien Ab ein wenig um: Bb := {C : C nich-negaiver -Claim mi EUC < und p C b.. Somi is das saische Problem nun gegeben durch max EUC.. C Bb Um das ursprünglich aufgesell Problem zu lösen, genüg es somi über Bb zu opimieren. Dabei kann der arbiragefreie Preis p C des -Claims C nich größer als das Sarkapial b sein. Also laue die Nebenbedingung für das Opimierungsproblem nun p C b. Da dies nich mehr abhängig von der Zei is, wird es als saisches Problem bezeichne. Um einen passenden Kandidaen für das opimale Endvermögen zu finden, verwenden wir die punkweise Lagrangemehode. Miels Saz.5 und eines Maßwechsels gil für die Nebenbedingung: p C = E N C N = EN L C N = EH C N, mi L definier wie in Saz.6, und H = N L, bezeichne den diskonieren Maringalprozess. Sei λ der Lagrangeparameer. Somi ergib sich die Nebenbedingung zu EH C b N. Wir fixieren ein ω Ω und berachen eine zufällige Auszahlung x zum Zeipunk, also x = Cω. Dann is das saische Problem max x Ux λh ωx b N.

15 Grundlagen Das nun ensandene Opimierungsproblem ohne Nebenbedingung, läss sich wie folg lösen: Wir besimmen das Maximium der Funkion fx := Ux λh x b N, indem wir nach x ableien und dann f x = sezen. Dies ergib dann x = IλH ω, wobei I die Inverse der Ableiung der Nuzenfunkion is. Da dies für alle ω Ω gil, erhalen wir als Kandidaen für die Lösung des saischen Problems den -Claim C = IλH..3 Falls jedoch U nich bei unendlich verschwinde, so exisier keine endliche Lösung, da H dann nich beschränk is. Das dieser Kandida.3 wirklich opimal is, wird im folgenden Saz gezeig: Saz.3 Sei U eine Nuzenfunkion nach Definiion.8 und b >. Für alle λ > gele EH < und EH IλH <. Dann wird das saische Problem. gelös durch C = IλH, wobei λ > eindeuig durch EH IλH = b besimm is. Beweis: Ein Beweis dieses Resulaes is in [7, Saz.4] zu finden. Das Darsellungsproblem B Der zweie Schri is eine opimale Handelssraegie π zu besimmen, welche das opimale Endvermögen IλH, welches mi Saz.3 gefunden wurde, replizier. Hier is der folgende Saz von Bedeuung: Saz.4 Zu dem Porfolioproblem.9 und zu einem -Claim C = IλH exisier uner den Voraussezungen von Saz.3 eine Handelssraegie π Ab, die das Problem opimal lös. Der zugehörige Vermögensprozess X is gegeben durch Die Handelssraegie π ergib sich aus V = H EH C F,. πσ = ψ Xϑ,, H wobei ψ durch besimm is. HX = b + ψsdw s,,

16 Grundlagen Beweis: Hier wird auf [7, Saz.5] verwiesen. Somi haben wir nun alle Insumene zusammen, um das Porfolioopimierungsproblem zu lösen. Fassen wir noch einmal zusammen: i Miels Saz.3 ermieln wir das opimale Endvermögen als Lösung des saischen Problems durch C = IλH uner der Bedingung EH IλH = b. ii Miels Saz.4 besimmen wir die Handelssraegie zum opimalen -Claim C und lösen somi das Darsellungsproblem. In den folgenden beiden Beispielen wird die hier hergeleiee heorie einmal auf die logarihmische und anschließend auf die Power-Nuzenfunkion angewende und das Opimierungsproblem explizi gelös. Beispiel.5 Lösung des Meron-Problems bei logarihmischer Nuzenfunkion In diesem Abschni berachen wir ein Sandard-Finanzmarkmodell, welches ein Geldmarkkono mi Preisprozess β und eine risikobehafee Akie mi Preisprozess S beinhale. Zudem berachen wir eine logarihmische Nuzenfukion Ux = logx und saren mi einem Anfangskapial von b >. Für die Basisfinanzgüer gelen die Dynamiken, welche in Abschni. beschrieben worden sind. Wir fordern zudem, dass EH <. Zunächs muss das saische Problem gelös werden. Die Voraussezungen von Saz.3 sind erfüll, da EH < vorausgesez worden is und für alle λ > aus U x = und x Iy = U x y = folg: y EH IλH = E H = λh λ <. Also is miels Saz.3 die Lösung des saischen Problems gegeben durch C = IλH = Das Darsellungsproblem wird gelös durch π = ϑ σ λh. µ r =. σ Im Black-Scholes-Modell mi konsanen Koeffizienen bedeue dies, dass über den gesamen Handelszeiraum ein feser Aneil von π = µ r in die Akie invesier werden muss, dami uner σ logarihmischem Nuzen opimal gehandel wird. Für explizie Rechenschrie verweisen wir wieder auf [7]. Beispiel.6 Lösung des Meron-Problems bei Power-Nuzenfunkion Wir berachen denselben finanzmahemaischen Rahmen wie im Beispiel.5 zuvor, sezen jez aber eine Power-Nuzenfunkion Ux = x mi, ansa einer logarihmischen Nuzenfunkion voraus und nehmen an, dass die in dem Sandard-Finanzmarkmodell vorkommende Akie eine deerminisische Volailiä besiz.

17 Grundlagen Auch hier besimmen wir zunächs die Lösung des saischen Problems. Dazu müssen die Voraussezungen von Saz.3 erfüll sein. Da wir die Voraussezungen aus dem vorherigen Abschni übernommen haben, gil bereis EH <. Für die Powernuzenfunkion gil Iy = y und wir erhalen EH IλH = EH λh = λ E H. Hier muss also eine weiere Voraussezung hinzugefüg werden, dami Saz.3 angewende werden kann. Es muss geforder werden, dass E H <.4 gil. Miels dieser Voraussezung ergib sich ein opimales Endvermögen von C = λh.5 mi einer eindeuig besimmen Konsanen λ. Eine vollsändige Lösung des saischen Problems is gegeben durch: C = b H,.6 m wobei m gegeben is durch m := E H und der opimale Porfolioprozess durch π = ϑ σ. Auch hier verweisen wir für exake Rechenschrie auf [7]. 3

18 Shor-Rae Modell In diesem Kapiel wird zunächs ein allgemeines Shor-Rae Modell beschrieben und Bedingungen für die Arbiragefreihei hergeleie. Anschließend wird das Vasicek-Modell berache. Wir besimmen den Preis einer Nullkuponanleihe im Einfakor Vasicek-Modell, zeigen, dass die Volailiä eines Bonds deerminisisch is und Beweren eine Call-Opion auf einen Bond im Einfakor Vasicek-Modell. Wir orienieren uns in diesem Abschni insbesondere an [4] und [7]. Abschließend wird das Forward Maringalmaß vorgesell, welches im weieren Verlauf bei der Porfolioopimierung eine zenrale Rolle spielen wird. Hier diene [3], [8] sowie [7] als Orienierung.. Das Einfakor Bondmarkmodell Wir werden ein Modell für den Zinssaz r, also für eine zufällige Zinsenwicklung, beschreiben. Dieser Zinssaz r wird als Shor-Rae bezeichne und gib den Wer des Bonds an, wenn dieser im nächsen Momen fällig is. Es wird ausgehend von der Shor-Rae ein arbiragefreies Bondmarkmodell enwickel. Wir berachen einen Handelszeiraum [, ] mi >. Die Quelle des Zufalls in dem Bondmark sei durch einen eindimensionalen Wiener-Prozess W auf einem filrieren Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P gegeben. Sei F die von dem Wiener Prozess W erzeuge Filraion. Auf dem Bondmark werden zwei Basisfinanzgüer gehandel. Zum einen das risikoneurale Geldmarkkono mi Preisprozess β, ein risikobehafee Asse, ein -Bond mi Laufzei und Preisprozess B,,. Für B, fordern wir folgende vier Eigenschafen: i B, =, ii B, is ein posiives Semimaringal mi seigen Pfaden, iii der Variaionsaneil von B, ha fas sicher absolu seige Pfade bezüglich des Lebesque- Maßes, iv B, ha für fas sicher differenzierbare Pfade, d.h. B, is differenzierbar in für fas alle ω Ω. Miels dieser Eigenschafen läss sich folgendes feshalen: Folgerung. Der Preisprozess eines -Bonds B, erfüll für alle eine sochasische Differenzialgleichung der Form db, = B, µ, d + σ, dw, B, =, 4

19 Shor-Rae Modell wobei µ, und σ, previsible Prozesse sind. Für einen Beweis dieser Aussage nuz man die Eigenschafen ii und iii für einen -Bond und argumenier wie bei der Herleiung einer sochaischen Differenialgleichung einer Akie. Nun wird dieses Modell auf die Exisenz von Arbiragen unersuch. Hierzu wählen wir zunächs einen Bond mi maximaler Laufzei =. Dami das hier beschriebene Bondmarkmodell arbiragefrei is, is ein äquivalenes Maringalmaß P nöig. Dieses is miels des Sazes von Girsanov besimm durch dp dp = exp F ϑsdw s ϑ sds, und W = W ϑsds is ein Wiener-Prozess bezüglich P. Somi ergib sich für einen -Bond Sezen wir nun so erhalen wir db, = B, µ, d + σ, dw = B, µ, + σ, ϑd + σ, dw. ϑ = r µ,,, σ, db, = B, rd + σ, dw. Die Lösung dieser sochasische Differenialgleichung is gegeben durch B, = B, exp rsds + σs, dw s σ s, ds. Somi is der diskoniere Preisprozess B, := B, β kürzerer Laufzei ergib sich analog ein P -Maringal. Für Bonds mi also muss db, = B, µ, + σ, ϑd + σ, dw, r µ, σ, = ϑ = r µ, σ, für gelen. Somi können wir mi dieser Anforderung an ϑ sichersellen, dass für alle Märke mi einem -Bond mi Laufzei < und einem Geldmarkkono als Basisfinanzgüern keine Arbiragemöglichkeien exisieren. Fassen wir diese Überlegungen nochmal im folgenden Saz zusammen: 5

20 Shor-Rae Modell Saz. Das hier vorgeselle Bondmarkmodell is genau dann arbiragefrei, wenn ein previsibler, quadra-inegrierbarer Prozess ϑ exisier, sodass für alle, ] ϑ = r µ,,, σ, und E exp ϑdw ϑ d = gil. Das zu P äquivalene Maringalmaß P is gegeben durch dp dp = L = exp ϑsdw s F ϑ sds,. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass das äquivalene Maringalmaß P bezüglich dem Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P exisier. Des Weieren erfüll die Shor-Rae die folgende sochasische Differenzialgleichung für dr = b, rd + δ, rdw, r = r.. Hierbei is W ein Wiener Prozess bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes P und die Funkionen b : [, ] R R, δ : [, ] R, sind messbar bezüglich der zwei Variablen und erfüllen die Inegrabiliäsbedingungen bs, rs ds <, δs, rs ds < für alle. Nun sollen die arbiragefreien Bondpreise besimm werden. Hierfür is das folgende Lemma von Bedeuung: Lemma.3 Sei Ω, F, P ein Wahrscheinlichkeisraum und P ein äquivalenes Maringalmaß. Für den Preis eines -Bonds gil B, = E exp rsds F, wobei E der Erwarungswer bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes P is. 6

21 Shor-Rae Modell Beweis: Wir haben angenommen, dass ein äquivalenes Maringalmaß exisier und somi is der diskoniere Preisprozess eines -Bonds B, = β B,, ein P -Maringal. Zudem gil, dass B, = E B, F = E β F, da B, = und somi B, = βb, β = E β F = E exp rsds F.. Um die Menge der arbiragefreien Bondpreise explizi beschreiben zu können, definieren wir v, r := v, r, := B,. Wenden wir nun die Iô-Formel auf v an und nuzen die Darsellung. der Shor-Rae, so erhalen wir db, = dv, r = v, rd + x v, rdr + xxv, rd r = v, rd + x v, rb, rd + x v, rδ, rdw + xxv, rδ, r d = v, r + x v, rb, r + xxv, rδ, r d + x v, rδ, rdw. Wir sehen mi. durch Vergleich der d-erme, dass die Funkion v :, R, die folgende parielle Differenialgleichung erfüll v + b, r x v + δ, r xxv = rv, lim v, r =. Auch für die Volailiä eines Bonds σ, läss sich die folgende Gleichung angeben: σ, = xv, r δ, r,.3 v, r 7

22 Shor-Rae Modell da durch den Vergleich der dw -erme B, σ, = x v, rδ, r folg. In dem folgenden Saz fassen wir diese Ergebnisse nochmal zusammen: Saz.4 Falls für jedes, ] die Abbildung v :, R,,, r v, r, eine Lösung der sochasischen Differenzialgleichung is und die Shor-Rae die Dynamik v + b, r x v + δ, r xxv = rv lim v, r = dr = b, rd + δ, rdw bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes P erfüll, so is B, = v, r, für, eine Familie von arbiragefreien Bondpreisen. Für einen -Bond gil bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes die sochasische Differenzialgleichung db, = B, rd + σ, r, dw und die Volailiä des Bonds is gegeben durch. Das Vasicek-Modell σ, r, = xv, r, δ, r. v, r, Berachen wir nun ein spezielles Shor-Rae Modell, das Vasicek-Modell. Dies wurde ersmals 977 von Oldrich Vasicek publizier. In diesem Modell wird die Shor-Rae durch einen Ornsein- Uhlenbeck-Prozess beschrieben. In unserem Fall gil somi für die Dynamik der Shor-Rae dr = ba rd + δdw, r = r,.4 wobei W ein Wiener Prozess uner dem äquivalenen Maringalmaß P is und a, b, δ >. Hier is b die Mean Reversion Rae, a das Mean Reversion Level und δ die Diffusion. Is beispielsweise die Shor-Rae eine lange Zei unerhalb oberhalb des Mean Reversion Levels a, so is der Driferm posiiv negaiv. Wie sark die Shor-Rae wieder zu dem Mean Reversion Level endier, wird durch die Mean Reversion Rae b beeinfluss. Als nächses wird die sochasische Differenzialgleichung aus.4 gelös um eine explizie Darsellung der Shor-Rae im Einfakor Vasicek-Modell zu erhalen. 8

23 Shor-Rae Modell Lemma.5 Für die Shor-Rae gil im Einfakor Vasicek-Modell r = r e b + a e b + δe b s dw s..5 Beweis: Wir sezen f, x := r e b + a e b + δe b x und X := e bs dw s. Dann ensprich f, X der reche Seie von.5. Miels der Iô-Formel erhalen wir df, X = f, Xd + x f, XdX + xxf, Xd X = bre b + abe b Xδe b d + δe b dx + = ba f, Xd + δdw. Da f, X = r is, gil f, X = r für alle und somi folg die Behaupung. Als nächses läss sich beobachen, dass sich die Shor-Rae im Einfakor Vasicek-Modell wie eine normalvereile Zufallsvariable verhäl. Saz.6 gil Uner dem äquivalenen Maringalmaß P is die Shor-Rae normalvereil und es Beweis: Nach Lemma.5 gil r N re b + a e b, δ b e b. r = re b + a e b + δe b s dw s. Also folg aus dieser Darsellung miels [6, heorem 4.4.9] bereis, dass r normalvereil is, da der leze Summand mi δe b s dw s ein Iô-Inegral über eine deerminisische Funkion δe b s ds < 9

24 Shor-Rae Modell für alle is und die ersen beiden Summanden deerminisisch sind. Um den Beweis abzuschließen, berechnen wir den Erwarungswer und die Varianz von r uner dem Maß P : E r = E e b r + e b a + δ e b s dw s = E e b r + E e b a + δ E e b s dw s {{ =, Maringal und = e b r + e b a V ar r = V ar e b r + e b a + δ e b s dw s = V ar e b r + V ar e b a +δ V ar e b s dw s {{{{ = = = δ V ar e b s dw s = δ E = δ E * = δ e b s dw s E ] e b s dw s e b s ds ] [ e = δ bs b b e = δ b b wobei bei * die Iô-Isomerie genuz wurde. e b s dw s {{ =, Maringal Als nächses wird der Begriff einer Nullkuponanleihe eingeführ und der Preis einer solchen Anleihe besimm. Definiion.7 Eine Nullkuponanleihe mi Fälligkei [, ] is ein Konrak, der zum Zeipunk eine Auszahlung von einer Geldeinhei garanier. Wir bezeichnen den Preis eines solchen Bonds zum Zeipunk < mi B,. Eine Nullkuponanleihe mi Fälligkei liefer also nur zum Zeipunk die Auszahlung einer Geldeinhei und keine weieren Kuponzahlungen während der Laufzei. Der Gewinn sell sich somi für den Anleger lediglich als Differenz zwischen Anfangswer der Nullkuponanleihe und der Auszahlung am Ende dar.

25 Shor-Rae Modell Saz.8 durch wobei Der Preis eines -Bonds mi Fälligkei is im Einfakor Vasicek-Modell gegeben B, = exp rg h, gs := e bs b hs := s a e bs δ + δ e bs. b b 4b b Beweis: Wir wollen Lemma.3 benuzen und ermieln zunächs rsds. Dazu sei s und wir berachen die Shor-Rae ausgehend vom Zeipunk als Zins in s. Diese is dann nach Lemma.5 gegeben durch rs = re bs + a e bs + s δe bs u dw u. Miels des Sazes von Fubini siehe [9, Lemma 4., Seie 7] gil rsds = s re bs + a e bs + δe bs u dw u ds s = re bs ds + a e bs ds + δe bs u dw uds = re bs ds + [ = r e bs b = r e b b ] a e bs ds + + a [s + e bs b ] + u + a e b + b δe bs u dsdw u [ δ e bs u b ] u dw u δ e b u dw u. b Nach [6, heorem 4.4.9] is dieses Inegral bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes P normalvereil. Wir nuzen, dass für eine normalvereile Zufallsvariable X gil E expx = exp E X + V ar X..6 Ein Beweis dieser Aussage is in [, Saz 3.] zu finden. Es ergeben sich aufgrund der Maringaleigenschaf E rsds F = r e b + a e b b b

26 Shor-Rae Modell und miels der Iô-Isomerie V ar rsds F = δ b e b u b + e b u. b Exake Rechenschrie sind in [4] zu finden. Sezen wir diese Berechnungen in.6 ein, so erhalen wir das gesuche Resula: B, = E exp rsds F = exp E rsds F + V ar rsds F = exp r e b a e b b b + δ b e b + e b b b = exp r e b b e b a δ δ e b. b b 4b b Berachen wir nochmals die Volailiä σ,. Im Einfakor Vasicek-Modell läss sich zeigen, dass diese deerminisisch is. Saz.9 Im Einfakor Vasicek-Modell is die Volailiä σ, eines -Bonds deerminisisch und zur Zei gegeben durch Beweis: Wir nuzen.3 und es folg mi σ, = δ b exp b. x v, r = db, dr = B, g, dass gil. σ, = xv, r v, r δ = g δ = δ b exp b

27 Shor-Rae Modell Zum Abschluss soll noch eine Call-Opion auf eine Nullkuponanleihe in einem Einfakor Vasicek- Modell bewere werden. Miels der Dynamik des Preisprozesses einer Nullkuponanleihe, ausübend in, sehen wir, dass die Bewerung auf ein Black-Scholes Modell mi deerminsischen, zeiabhängigen Koeffizienen zurückgeführ werden kann. Wir haben in Saz.4 gesehen, dass db, = B, rd + σ, r, dw gil. Diese Dynamik is analog zu der Dynamik eines risikobehafeen Asses in einem Black- Scholes Modell mi deerminisischen, zeiabhängigen Koeffizienen: ds = S µd + σdw. Somi kann die Call-Opion wie folg bewere werden: Saz. Sei <. Die folgende Formel gib den Preis einer Call-Opion fällig in auf einen -Bond mi Srike K an: wobei C,,, K = B, Φd KB, Φd, d = δ B, log + δ KB, d = d δ δ = δ e b e b b b und Φ die Vereilungsfunkion einer Sandardnormalvereilung is. Beweis: Es wird auf [3, heorem 5.] verwiesen..3 Das Forward Maringalmaß Das -Forward Maringalmaß P spiel sowohl in der Lösung des saischen als auch des Darsellungsproblems bei der Porfolioopimierung ohne Garanie, sowie bei der Porfolioopimierung mi Garanie eine wichige Rolle. Uner der Voraussezung, dass der -Bond in einem Sandard-Finanzmarkmodell einen arbiragefreien Anfangspreis besiz, is das Forward Maringalmaß nach Definiion 3. aus [3] gegeben durch R := dp dp = B, F B, β B, L = H..7 B, Der Prozess R is nach Saz 3. aus [3] ein Dichequoienenprozess. Da P ein zu P äquivalenes Maringalmaß is, exisier nach dem Saz von Girsanov ein previsibler Prozess η, sodass R = exp ηsdw s η sds.8 3

28 Shor-Rae Modell gil und W := W is ein Wiener Prozess bezüglich P. ηsds Proposiion. Der Dichequoienenprozess R besiz bezüglich P die Dynamik Beweis: Siehe Beweis von Saz 3.3 aus [3]. Für die quadraische Variaion von R gil dr = RηdW..9 d R = R η d. Das Ziel is es, den Prozess η zu besimmen. Hierzu wird das zu P äquivalene Maringalmaß P benöig, sowie die asache, dass aus dem Saz von Girsanov folg. Miels parieller Inegraion folg dr = B, db, L dw = dw ϑd = B, LdB, + B, dl + d B, L = B, LB, σ, dw + B, LϑdW + B, Lσ, ϑd = Rσ, dw ϑd + RϑdW + Rσ, ϑd = Rσ, + ϑdw. Aus dem Vergleich der dw -erme von.9 und. folg, dass is. η = σ, + ϑ Bemerkung. Man sieh, dass uner der Voraussezung eines deerminisischen Markpreises des Risikos ϑ im Vasicek Modell die Funkionen, die das Forward Maringalmaß definieren, deerminisisch sind. Miels des Forward Maringalmaßes lassen sich auch arbiragefreie Preise eines Claims besimmen: Berache dazu einen -Claim C mi E <. Der arbiragefreie Preis Π zum C β Zeipunk is gegeben durch C Π = βe β F. Um dies zu berechnen, benöig man die gemeinsame Vereilung von und C. Durch das β Forward Maringalmaß kann dieser Bewerungsprozess vereinfach werden. Der folgende Saz liefer eine Beziehung zwischen den arbiragefreien Preisen und dem Forwardpreis: 4

29 Saz.3 Sei C ein -Claim mi E Shor-Rae Modell C β <. Dann is E P C < und Π = B, E P C F. E P C F bezeichne den -Forwardpreis des Claims C. Beweis: Siehe den Beweis von Saz 3.4 aus [3]. Auch Opionsbewerungen lassen sich miels des Forward Maringalmaßes durchführen. Sei < S. Von besonderen Ineresse is für uns die Call-Opion auf einen S-Bond mi Mauriä < S und Srike Preis K. Zenrale Idee zur Bewerung eines solchen Calls auf einen Bond is es, einen Maßwechsel zu dem Forward Maringalmaß durchzuführen. Saz.4 Für den Preis eines Calls in auf einen S-Bond mi Ausübungszeipunk < S und Srike-Preis K gil C,, S, K = B, SP S B, S > K F KB, P B, S > K F, wobei P und P S das - beziehungsweise das S-Forward Maringalmaß bezeichne. Beweis: Siehe Beweis von heorem 3.5 aus [3]. 5

30 3 HJM-Modell In diesem Kapiel wird das arbiragefreie und vollsändige HJM-Bondmarkmodell eingeführ. Zunächs werden grundlegende Begriffe erklär und die für das Modell nowendigen Annahmen geroffen. Anschließend wird das HJM-Bondmarkmodell vorgesell und speziell das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae berache. Auch der Zusammenhang zu Kapiel wird hergesell, da es sich hier um eine Verallgemeinerung des in Abschni dieses Kapiels beracheen Modells handel. Dieses Kapiel orienier sich an [], [9], [], und [6]. 3. Grundlagen des HJM-Modells In diesem Abschni werden zunächs die grundlegenden Begriffe, wie die Nullkuponanleihen und die Forward-Raen erminzinsen vorgesell und einige Annahmen für die Aufsellung des Modells gemach. Im folgenden wird ein endlicher Handelszeiraum [, ] berache. Wie zuvor in Kapiel werden Annahmen zum Preis eines Bonds beziehungsweise einer Nullkuponanleihe gemach: Es gil B, = für alle mi. Mi dieser Bedingung wird ausgeschlossen, dass die Auszahlung des Bonds ausfäll. Es gil B, > für alle, mi. So werden riviale Arbiragemöglichkeien ausgeschlossen, bei der eine sichere Auszahlung einer Geldeinhei ohne Einsaz von Kapial erziel werden kann. Für jedes fixe is der Preisprozess des Bonds B, für differenzierbar. Somi wird die Wohldefinierhei der Forward-Raen gewährleise. Als nächses führen wir die augenblickliche Forward-Rae ein. Die Idee is ausgehend vom Bondpreis einen Zins in einem künfigen Zeiinervall zu vereinbaren. Definiion 3. definier durch Die augenblickliche Forward-Rae mi Fälligkei is zum Zeipunk log B, f, := lim R;, S =, 3. S wobei R;, S = logb, logb, S. S 6

31 3 HJM-Modell Sie ensprich dem Zins, der vom Mark zum Zeipunk für einen zukünfigen Zeipunk erware wird. Die Funkion f, wird als Forward-Raen-Kurve zum Zeipunk bezeichne. Bemerkung 3. Die Definiion der augenblicklichen Forward-Rae läss sich wie folg moivieren: Berache die folgende Invesiionsraegie für < < S: Verkaufe in einen -Bond und kaufe dafür B, Bonds mi der Fälligkei S. Es ensehen B,S somi zum Zeipunk keine Kosen. Zahle in eine Geldeinhei für den verkaufen -Bond. Erhale in S die Auszahlung aus den S-Bonds in Höhe von B, B,S. Diese Sragie ensprich einer Anlage von einer Geldeinhei in für den Zeiraum [, S] und führ zu einer sicheren Rückzahlung in S von B, Geldeinheien. Wir haben also durch diese B,S Sraegie einen Konrak zum Zeipunk geschaffen, welcher eine risikolose Zinsrae für den zukünfigen Zeiraum [, S] garanier. Als Forward-Rae oder erminzins wird dieser Zinssaz bezeichne. Wir gehen von einer seigen Verzinsung aus und so läss sich die seige Forward- Rae R;, S wie folg besimmen: expr;, SS = B, B, S logb, logb, S R;, S =. S endier die Länge des Zeiinervalls gegen Null, so ergib sich die augenblickliche Forward- Rae. Als nächses wird der Zusammenhang zwischen den Bondpreisen und den Forward-Raen hergesell. Bemerkung 3.3 Für die Bondpreise gil B, = exp f, udu. 3. Die in der Bemerkung angegebene Formel läss sich wie folg moivieren: Kennen wir die Forward-Rae f, für alle Were, dann gil miels einfacher Inegraion: f, udu = logb, logb, = logb,, wobei wir genuz haben, dass B, = gil. Von der augenblicklichen Forward-Rae ausgehend, wird die augenblickliche Shor-Rae definier und somi ein Zusammenhang mi Abschni. hergesell. 7

32 Definiion HJM-Modell Die augenblickliche Shor-Rae zum Zeipunk is definier durch r := f, = lim R, und gib den Zinssaz an, der akuell zum Zeipunk am Mark gehandel wird. Der Wer des Geldmarkkono wird somi, ausgehend von der Shor-Rae, als Lösung der sochasischen Differenzialgleichung.6, also durch β = exp rsds definier. 3. Aufbau des HJM-Modells In diesem Abschni wird das arbiragefreie und vollsändige Zinssrukurmodell nach Heah, Jarrow und Meron, das HJM-Modell eingeführ. Dieses Modell beschreib die zeiliche Enwicklung der Forward-Raen-Kurve und nich nur der Shor-Rae. Die Bondpreise ensehen hier aus der Dynamik von Forward-Raen. Somi sell das HJM-Modell einen enscheidenden Schri zur Enwicklung von seigen Zinssrukurmodellen dar. Zunächs muss der wahrscheinlichkeisheoreische Rahmen fesgeleg werden. Wir berachen einen Handelszeiraum [, ]. Der risikobehafee Bond ha den Preisprozess B, für und das risikolose Geldmarkkono mi Preisprozess β wird als Numeraire gewähl. Wir berachen einen Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P. Im Folgenden wird eine Bedingung angegeben, uner welcher das Maß P ein Maringalmaß is. Des Weieren sei W = W,..., Wn ein n-dimensionaler Wiener-Prozess bezüglich P. Die Forward-Rae f, uner dem Wahrscheinlichkeismaß P wird in einem HJM-Modell für jedes modellier durch f, = f, + νu, du + σ i u, dwi u,, 3.3 und in differenieller Schreibweise df, = ν, d + i= i= σ i, dw i,. 3.4 Um einen Sarwer zu erhalen sezen wir voraus, dass die anfängliche Kurve der Forward- Raen {f, ; zum Zeipunk = bekann is und mi f, u du < P -fas sicher inegrierbar is. Für den R-werigen Prozess ν = νω,,, dem Drif, und dem R n -werigen Prozess σ = σ ω,,,..., σ n ω,,, der Volailiä, aus 3.3 gelen die folgenden Eigenschafen: 8

33 3 HJM-Modell ν, σ sind progressiv-messbar bezüglich der Borelschen σ-algebra, νs, dsd < für alle, punkweise für jedes ω Ω, sup σs, < für alle, punkweise für jedes ω Ω, s, wobei die euklidische Norm auf R n bezeichne. Mi der Ideniä r = f, erhalen wir für die Shor-Rae r = f, + νu, du + σ i u, dwi u,. 3.5 Eine wichige Eigenschaf von sochasischen Prozessen is die Markov-Eigenschaf: i= Definiion 3.5 Ein sochasischer Prozess X heiß markovsch oder besiz die Markov- Eigenschaf, falls für alle s < und alle beschränke Borel-meßbare Funkion h : R R EhX F X = EhX X s gil, wobei F X die von dem Prozess X erzeuge Filraion is. Bemerkung 3.6 Im Allgemeinen muss die Shor-Rae nich die Markov-Eigenschaf besizen. Für einen Beweis hierfür, verweisen wir auf [9, Bemerkung.6]. Wir werden jedoch für die Porfolioopimierung ein HJM-Modell berache, welches eine Shor-Rae mi Markov-Eigenschaf besiz. Die Markov-Eigenschaf gewährleise uns späer, dass die Volailiässrukur der Forward-Rae seperabel is. Berachen wir die Frage, ob das Wahrscheinlichkeismaß P ein Maringalmaß is. Wird der Drif der Forward-Raen durch die Volailiä deerminier, so is P ein Maringalmaß. Dies is die sogenanne Drifbedingung. Saz 3.7 Drifbedingung Haben die Forward-Raen die Dynamik 3.3, so is das Maß P ein Maringalmaß, genau dann, wenn die Prozesse ν und σ für alle die Gleichung ν, = σ i, σ i, sds 3.6 i= erfüllen. Dies bedeue, dass die diskonieren Bondpreise uner P Maringale bilden. Beweis: Es muss die Dynamik der Bondpreise uner dem Maringalmaß besimm werden. Dazu benuzen wir 3.. Ensprechend berachen wir zunächs die Dynamik von y, := f, udu. Für y, gil mihilfe der Dynamik der Forward-Raen 3.3 y, = f, udu = f, u + νs, uds + i= σ i s, udwi s du. 9