UNIVERSITÄT POTSDAM Institut für Mathematik

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1 UNIVERSITÄT POTSDAM Insiu für Mahemaik Harness-Prozesse Diplomarbei von Carola Regine Voss Mahemaische Saisik und Wahrscheinlichkeisheorie

2 Universiä Posdam Insiu für Mahemaik Mahemaische Saisik und Wahrscheinlichkeisheorie Harness-Prozesse Carola Regine Voss Insiu für Mahemaik der Humbold-Universiä zu Berlin Preprin 2010/13 November 2010

3 Impressum Insiu für Mahemaik Posdam, November 2010 Herausgeber: Adresse: Telefon: Fax: Mahemaische Saisik und Wahrscheinlichkeisheorie am Insiu für Mahemaik Universiä Posdam Am Neuen Palais Posdam ISSN

4 Humbold-Universiä zu Berlin Mahemaisch-Naurwissenschafliche Fakulä II Insiu für Mahemaik Harness-Prozesse Diplomarbei eingereich von: Carola Regine Voss geb.: am in Uelzen Bereuer: Prof. Dr. Peer Imkeller 2. Guacher: Prof. Dr. Sylvie Roelly Berlin, den 8. Sepember 2010

5 Zusammenfassung Harness-Prozesse finden in der Forschung immer mehr Anwendung. Vor allem gewinnen Harness-Prozesse in seiger Zei an Bedeuung. Grundlegende Lieraur zu diesem Thema is allerdings wenig vorhanden. In der vorliegenden Arbei wird die vorhandene Grundlagenlieraur zu Harness-Prozessen in diskreer und seiger Zei aufgearbeie und Beweise ausgeführ, die bisher nur skizzier waren. Ziel dessen is die Exisenz einer Zerlegung von Harness-Prozessen über Z beziehungsweise R + nachzuweisen. Absrac Harness processes apply more and more in research. Paricularly harness processes in coninuous ime gain in imporance. However basic lieraure on his subjec is scarce. In he presen work we will process he exising basic lieraure on harness processes in discree and coninuous ime and complee proofs which have only been skeched so far. The objecive being o verify he exisence of a decomposiion of harness processes over Z respecively R +.

6 Danksagung Während des Ersellens dieser Arbei haben mich viele Menschen unersüz und mi Aufmunerung beigesanden. Dafür bin ich ihnen sehr dankbar. Die gue Bereuung von Herrn Prof. Dr. Peer Imkeller und vor allem seine anregenden Fragen veranlassen mich dazu über meine eigenen Ideen hinaus zu denken und mich iefer in das Thema Harness-Prozesse vorzuwagen. Frau Prof. Dr. Sylvie Roelly danke ich herzlich für die Geduld mi der Sie das Manuskrip von D. Williams aufgespür und dami diese Arbei überhaup ers möglich gemach ha. Außerdem danke ich ihr für ihre engagiere Hilfe und Anleiung. Besonderer Dank geh an Saskia Becker und Chum Chum, dass sie mich immer wieder daran erinner haben wieviel Spaß Mahemaik machen kann. Sandra Gerber ha mir durch ihre konsrukiven Anmerkungen zu meiner Arbei geholfen, aber vor allem durch ihre Freundschaf meine Sudienzei sehr bereicher. Meiner ganzen Familie danke ich dafür, dass sie mir dieses Sudium ermöglich haben und immer für mich da sind.

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8 Inhalsverzeichnis Einleiung 1 1 Grundlagen 3 2 Harness-Prozesse in diskreer Zei Harness-Prozesse über Z Differenzenharness-Prozesse Harness-Prozesse in seiger Zei Definiion und Beispiele Der zu Y assoziiere Prozesse Quadraische Variaionen Die quadraische Variaion des zu Y assoziieren Prozesses Umkehrung der Zei Zerlegung von Harness-Prozessen in seiger Zei Ausblick: Harness-Prozesse über den reellen Zahlen Ansaz 1: Affiner Prozess Ansaz 2: Brownsche Bewegung mi Drif Ansaz 3: Ornsein-Uhlenbeck Prozess Fazi 50 Lieraurverzeichnis 52 Symbolverzeichnis 55

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10 1 Einleiung Nach ihrer Einführung durch J.M. Hammersley fanden Harness-Prozesse als isorope Analogie der Maringaleigenschaf in den achziger Jahren wachsende Aufmerksamkei in der mahemaischen Forschung [26, 10. Sei 2004 soßen sie durch ihre enge Beziehung zu Maringalen und Lévy-Prozessen [6, 3 und Anwendungen in der Srukuranalyse von Meallen [11, 12 auf immer größer werdendes Ineresse. Perspekivisch zeichne sich darüber hinaus eine zunehmende Bedeuung für die Finanzmahemaik ab, wo man für einige sochasische Prozesse durch die Erweierung der beracheen Filraionen ( Enlargemen of filraions ) die Harness-Eigenschaf erhäl [16, 20. In seinem Paper von 1966 ha J.M. Hammersley [15 für ein mahemaisches Modell von meallischen Srukuren den Begriff Harness-Prozess vorgeschlagen. Die Aome in Meallen sind auf regelmäßigen Giern angeordne. Allerdings beseh ein Klumpen Meall nich aus genau einem regelmäßigen Gier von Aomen, sondern aus vielen Klümpchen, die aus solchen Giern besehen. Die Aomgier der einzelnen Klümpchen sehen zueinander verdreh. Jedem Gier wird nun durch Wahl eines Koordinaensysems eine Orienierung zugeordne. Von einem zum nächsen Gier kann dann die Abweichung als Winkel beschrieben werden. J.M. Hammersley solle diese Abweichung der Gier zueinander modellieren. Durch Beobachungen wurde fesgesell, dass die Abweichung von einem zum nächsen Gier von derselben Größenordnung is, wie von zwei beliebigen Giern zueinander. Diese Erkennnis wurde von J.M. Hammersley folgendermaßen umgesez: Er fixiere ein Gier G 0 und lege dessen Orienierung durch das Sandard- Koordinaensysem (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) fes. Da ein Klumpen Meall ein dreidimensionales Objek is und die Menge der Gier abzählbar, kann die Indexmenge durch Z 3 beschrieben werden. Der Erwarungswer der Orienierung eines von G 0 beliebig wei enfernen Giers G n häng gemäß obiger Beobachung nur von den Orienierungen seiner direken Nachbarn ab und kann somi als Linearkombinaion der Orienierung der Nachbarn beschrieben werden. Für die Modellierung ha J.M. Hammersley vorgeschlagen, die Maringaleigenschaf geeigne zu erweiern. Im eindimensionalen mi diskreem Index gil für ein Maringal (X n ) n N für alle n N, dass E[X n X n 1 = X n 1. D. Williams schlug moivier von J.M. Hammersleys Vorsudien in [26 die folgende Erweierung vor: E[X n X m : m n = 1 2 (X n+1 + X n 1 ).

11 2 Einleiung Im mehrdimensionalen Fall exisieren zu jedem Gier naürlich mehrere Nachbarn, was D. Williams in folgender Definiion aufgriff: Definiion 0.1 (Q-Harness-Prozess [24) Sei A Z d ein Gier, mi (i 1,...,i d ) = i A, und sei Q = (q ij ) 1 i,j d die Einschri-Übergangsmarix einer einfachen Irrfahr. Ein Prozess X = (X i ) i A heiß Q-Harness-Prozess, wenn X i L 1 (Ω,F,P) für alle i A und E[X i X j,j i = j Aq ij X j. Harness-Prozesse wie sie heue verwende werden, zum Beispiel in [20 oder [11, basieren auf dieser Definiion von D. Williams. Nachdem er 1973 für das Buch Sochasic Analysis [24 einen Abschni über Harness-Prozesse über der Indexmenge Z d beigeragen hae, verfasse er 1980 ein Manuskrip [25, in dem er sich mi Harness-Prozessen in seiger Zei befasse. Dieses Manuskrip wurde nich veröffenlich. Und obwohl sein Haupresula in Fachkreisen bekann is, is es aufgrund der wenigen vorhandenen Kopien kaum zugänglich. Hinzu komm, dass dor auf nur sieben handschriflichen Seien in sehr knapper Form die Grundlagen von Harness Prozessen in seiger Zei skizzier werden. Auch zu Harness-Prozessen über eindimensionalen, diskreen Indexmengen is nur sehr wenig Lieraur bekann. Dieser Fall wird auf nur zwei Seien in [26 behandel. In der vorliegenden Arbei wollen wir die Grundlagen von Harness-Prozessen über eindimensionalen Indexmengen aufarbeien und so für Sudenen und ineressiere Mahemaiker zugänglich machen. Wir befassen uns in Kapiel 2 mi Harness-Prozessen über Z und in Kapiel 3 mi Harness-Prozessen über R +. In beiden Fällen exisier eine für diese Prozesse charakerisische Zerlegung, die wir herleien werden. Außerdem geben wir Beispiele bekanner Prozesse an, die den jeweiligen Definiionen genügen. Im lezen Kapiel zeigen wir verschiedene Möglichkeien auf, wie Harness-Prozesse über der erweieren Indexmenge R zerleg werden können. In der gesamen Arbei wird bewuss nur sochasisches Grundwissen vorausgesez. Um Missversändnisse zu vermeiden, werden späer benöige Definiionen und weierführende Aussagen aus der Sochasik zu Beginn im Kapiel 1 eingeführ. Wichige Noaionen können zudem im Symbolverzeichnis jederzei nachgeschlagen werden.

12 3 1 Grundlagen Bevor wir beginnen uns mi Harness-Prozessen zu beschäfigen, müssen einige Voraussezungen geschaffen werden. Im Grundlageneil werden Noaionen, Definiionen und Aussagen, die wir in dieser Arbei verwenden wollen, ziier und auf weierführende Lieraur verwiesen. Noaion 1.1 Im Folgenden seien: 1. (Ω, F, P) der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeisraum, 2. N := {1,2,...} {0,1,2,...} =: N, 3. T eine Indexmenge, genauer: T := N, T := Z oder T R ein Inervall. Diese und weiere Mengenbezeichnungen können bei Bedarf im Symbolverzeichnis auf Seie 55 nachgeschlagen werden. Noaion 1.2 (Wichige Begriffe zu σ-algebren) 1. Wenn G und H Uner-σ-Algebren von F sind und im Folgenden für die bedinge Erwarung seh E[. G, H, dann is dami die korreke Form gemein: E[. G,H := E[. σ (G,H). 2. Eine Familie von Uner σ-algebren F := (F ) T heiß aufseigend oder Filraion, wenn F s F F s. 3. Eine Familie (F ) T von Uner-σ-Algebren, für die gil F F s F s nennen wir abnehmend oder abseigend. 4. Wir nennen einen Prozess X = (X ) T adapier bezüglich einer auf- oder abseigenden Familie (F ) T von σ-algebren, wenn X F -messbar is für alle T. 5. Eine Familie von σ-algebren (F ) T heiß gemäß [2 rechs-seig, falls F u = F für alle T u> und links-seig, falls F s = F für alle T. s<

13 4 Grundlagen Für die folgenden Beweise wird wiederhol eine Eigenschaf der bedingen Erwarung verwende, die sogenanne Turmeigenschaf, oder auch ieriere bedinge Erwarung: Lemma 1.3 (Turmeigenschaf [18, S.176) Seien X eine L 1 (Ω,F,P)-Zufallsvariable und A, G mi Uner-σ-Algebren von F. Dann gil: A G F E[E[X G A = E[E[X A G = E[X A. (1.1) Außerdem benöigen wir das 0-1-Gesez von Kolmogorov: Theorem 1.4 (0-1-Gesez von Kolmogorov, [18) Sei (X n ) n N eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen und sei T die Tailσ-Algebra von (X n ) n N, das heiß Dann gil T = n N σ (X m m > n). (1.2) F T P(F ) = 0 oder P(F ) = 1. Harness-Prozesse besizen sowohl Vorwärs- als auch Rückwärsmaringaleigenschafen. Daher führen wir uns hier noch einmal beide Definiionen vor Augen. Definiion 1.5 ((Vorwärs-)Maringal) Sei F := (F ) T, eine Filraion. Ein reellweriger Prozess M = (M ) T is ein Maringal bezüglich der Filraion F = (F ) T, wenn folgende Bedingungen erfüll sind: i) M L 1 (Ω,F,P) T ii) M is bezüglich F adapier. iii) E[M F s = M s P-fas sicher für jedes Paar s, T mi s < Definiion 1.6 (Rückwärsmaringal ([14, S.112, [21, S.115)) Sei F := (F ) T eine abnehmende Familie von Uner-σ-Algebren von F. Dann heiß M = (M ) T Rückwärsmaringal bezüglich (F ) T, falls i) M L 1 (Ω,F,P) T oder M (ω) > 0 ω Ω, T ii) (M ) T adapier is bezüglich F, iii) E[M s F = M P-fas sicher für jedes Paar s, T mi s <.

14 5 Bemerkung 1.7 (Bezeichnungen) 1. In der Lieraur finde sich of die Bezeichnung inverse Maringale für Rückwärsmaringale. Dieser Begriff kann aber irreführend sein, wenn er so aufgefass wird, als inveriere man ein Maringal. Daher legen wir uns in dieser Arbei auf die Bezeichnung Rückwärsmaringal fes. 2. Für den diskreen Fall finde man Definiionen von Rückwärsmaringalen, die als Indexmenge N benuzen, siehe [1 oder [13. In diesem Fall wird F (n+1) F n F n N. (1.3) als Folge von Uner-σ-Algebren von F berache. Die Eigenschaf (iii) wird dann zu E [ M n F (n+1) = M (n+1) n N. 3. In den folgenden Kapieln wird immer wieder in der Berachung zwischen Vorwärs- und Rückwärsmaringalen gewechsel. Der Einfachhei halber werden wir bei Vorwärsmaringalen nur von Maringalen sprechen. An dieser Selle schließen wir Konvergenzsäze für Rückwärsmaringale an. Wir werden sie nuzen, um in den nächsen Kapieln eine allgemeine Zerlegung von Harness-Prozessen sowohl über Z, als auch über R + zu zeigen. Den diskreen Fall finde man zum Beispiel in [21 auf S.115 oder in [1, S.171. Für den seigen Fall siehe [8, S.79 oder [23, S.176 und vergleiche auch [1, 21. Die Aussagen werden of nur für Rückwärs-Supermaringale bewiesen. Maringale sind aber insbesondere auch Supermaringale und dami gelen das folgende Theorem und Korollar implizi auch für sie. Theorem 1.8 (Konvergenz von Rückwärsmaringalen) Sei (F ) T eine abseigende Familie von Uner-σ-Algebren von F, und F sei definier durch F := lim F. + Dann gil für jedes Rückwärsmaringal (M ) T bezüglich (F ) T : 1. (M ) T is gleichgradig inegrierbar. 2. M := lim M exisier P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P). 3. M = E[M F P-fas sicher für alle T. Ein Spezialfall dieses Theorems is das Downward Theorem. Dies is für einige Beweise in dieser Arbei der enscheidende Punk. Es gib davon allerdings viele verschiedene Versionen. Der diskree Fall wird in [26 uner dem Namen Lévy s Downward Theorem behandel und der seige in [8, 17. Korollar 1.9 (Downward Theorem) Wir berachen die gleiche Siuaion wie in Theorem 1.8. Zusäzlich sei γ eine inegrierbare Zufallsvariable und M := E[γ F.

15 6 Grundlagen Dann exisier M := lim + M P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P) und M = E [ γ lim + F = E[γ F P-fas sicher. Bemerkung In diskreer Zei gelen das Theorem und das Korollar völlig analog auch für T = N, beziehungsweise als Konvergenz für. 2. Im seigen Fall, siehe [8, exisier außerdem für jedes inegrierbare Maringal (M ) >0 bezüglich der Filraion (F ) >0 lim 0 M = M 0 P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P). Insbesondere gil diese Konvergenzaussage für 0 auch für das Korollar. 3. Aufgrund der speziellen Form von (M ) T im Korollar bilde (M ) T hier ein Rückwärsmaringal, das gleichgradig inegrierbar is, siehe [ Sowohl im Theorem als auch im Korollar berachen wir Folgen von Unerσ-Algebren von F. Aufgrund der Monoonie dieser Algebren gil F = F. 5. Wir werden in Kapiel 2 das Downward Theorem sowohl für die Indexmenge N, als auch für N anwenden. Dabei berachen wir dann also eine Folge von σ-algebren wie in (1.3), wobei die Aussagen dann für M n und F n, n N, gelen. Die Aussagen des Theorems 1.8 und des Korollars 1.9 werden nich veränder, wenn anselle von N N verwende wird. Als nächses zeigen wir eine Aussage, die D. Williams in [25 und in [26 als eine von P. Lévy bewiesene Tasache voraussez, deren Beweis aber nich mi angegeben wird. Sie is im diskreen und im seigen Fall enscheidend für den Beweis der allgemeinen Zerlegung von Harness-Prozessen. Lemma 1.11 Seien X,Y L 1 (Ω,F,P) so, dass Dann gil: T E[X Y = Y P-fas sicher, E[Y X = X P-fas sicher. P(X = Y ) = 1.

16 7 Beweis Berache zunächs X,Y L 2. Dann erhalen wir analog dazu ergib sich Dami können wir weier folgern Aus Symmeriegründen is auch und somi E [ (X Y ) 2 X = E [ X 2 2XY + Y 2 X = X 2 2XE[Y X + E [ Y 2 X = E [ Y 2 X X 2, E [ (X Y ) 2 Y = E [ X 2 Y Y 2. E [ (X Y ) 2 = E [ E [ (X Y ) 2 X E [ X 2 E [ Y 2. = E [ E [ Y 2 X X 2 = E [ Y 2 E [ X 2 0 E [ Y 2 E [ X 2, E [ X 2 = E [ Y 2 und E [ (X Y ) 2 = 0. Daraus folg X = Y P-fas sicher. Um das Ergebnis auch für X,Y L 1 (Ω,F,P) folgern zu können, approximieren wir X und Y durch zwei in L 1 (Ω,F,P) konvergierende Folgen von Zufallsvariablen (X n ) n,(y m ) m L 2. In Kapiel 3 benöigen wir die beiden folgenden Definiionen der quadraischen Variaion eines sochasischen Prozesses: Definiion 1.12 (Quadraische Variaion) 1. Definiion nach [22: Sei (X ) R ein reellweriger sochasischer Prozess. Dann ha (X ) R endliche quadraische Variaion, falls ein Prozess ( X ) R exisier, so dass es für jedes [0, ) eine Folge von Zerlegungen n := { 0 =: n 0 < n 1 <... < n i n := } von [0, gib mi n := max n 1 i i i n i 1 0 für n und n X := lim n i i n ( X n X ) 2 i n i 1 <.

17 8 Grundlagen 2. Definiion nach [14: Sei X = (X ) 0 ein seiges Maringal. Dann exisier ein eindeuig besimmer Prozess ( X ) 0, für den (X 2 X ) 0 ein Maringal is. Dieser Prozess wird als quadraische Variaion von X bezeichne. Bemerkung 1.13 Die quadraische Variaion des Prozesses (X ) 0 auf einem beliebigen Inervall [a, b [0, ) kann dann folgendermaßen besimm werden: X b a := X b X a

18 9 2 Harness-Prozesse in diskreer Zei Dieses Kapiel, das auf einigen Seien des Buches Probabiliy wih maringales von D. Williams, [26 basier, dien als Einsieg in das Thema Harness-Prozesse. Dazu beginnen wir mi der Definiion von Harness-Prozessen in diskreer Zei Z. Die Idee dieser Definiion is eng verbunden mi der von Maringalen, weshalb auch ihre jeweiligen Inerpreaionen in einem engen Zusammenhang sehen. Außerdem besizen Harness-Prozesse über Z Maringal-, beziehungsweise Rückwärsmaringaleigenschafen, die im Abschni 2.1 besprochen werden. Auch wenn auf den ersen Blick Harness-Prozesse zum Vergleich mi Maringalen anregen, muss man doch vorsichig sein. Denn am Ende des Abschnis 2.1 werden wir zeigen, dass ein Harness-Prozess über Z eine sehr einfache Form ha. Genauer: wenn X ein Harness-Prozess über Z is, dann is X affin in n, das heiß, fas alle Pfade von X sind Geraden. Wir wissen aber, dass es durchaus nich-riviale Maringale über Z gib. Das bedeue, die zusäzlichen Bedingungen, die im Vergleich zu Maringalen an Harness-Prozesse gesell werden, schränken die Klasse der sochasischen Prozesse über Z deulich ein. Sobald man jedoch die Indexmenge vergrößer oder die beracheen Prozesse modifizier, erhäl man Harness-Prozesse, die eine komplexere Form haben. Der Abschni 2.2 dien als Ausblick. Dor werden Differenzenharness-Prozesse vorgesell, welche eine Möglichkei sind die Klasse der Harness-Prozesse über Z zu vergrößern. Wir werden zeigen, dass zum Beispiel klassische Irrfahren Differenzenharness-Prozesse sind. 2.1 Harness-Prozesse über Z Bevor wir zur Definiion von Harness-Prozessen kommen, führen wir spezielle Uner-σ-Algebren ein, die für das ganze Kapiel 2 benöig werden. Noaion 2.1 Sei X := (X n ) n Z ein sochasischer Prozess. Es sei für m Z: G m := σ (X k < k m) = σ (X m,x m 1,X m 2,...), H m := σ (X r m r < + ) = σ (X m,x m+1,x m+2,...). Bemerkung 2.2 (Inerpreaion der σ-algebren) 1. Wir inerpreieren hier G n 1 als alle Informaionen über den sochasischen Prozess X bis zum Zeipunk n 1, also die Vergangenhei, wenn n die Gegenwar darsell. Analog dazu kann man H n+1 als alle Informaionen über X ab dem Zeipunk n+1, also die Zukunf des Prozesses X, inerpreieren. 2. J.M. Hammersley führe in [15 Harness-Prozesse zur Modellierung dreidimensionaler Objeke ein. In diesem Konex kann man die ensprechenden σ-algebren als Informaionen über die räumliche Orienierung der Nachbarn auffassen. Für eindimensionale Indexmengen hingegen erschein die Inerpreaion als Zeiachse geeigneer, da so der Zusammenhang mi der Mar-

19 10 Harness-Prozesse in diskreer Zei ingalheorie hervorgehoben wird. Dami ergeben sich insbesondere Anwendungsbeispiele im Bereich der Finanzmahemaik, wo zum Beispiel Kursverläufe in Abhängigkei von der Zei durch sochasische Prozesse beschrieben werden. Auch die sogenannen Nachbarn eines Punkes werden dann bezüglich der Zei und nich mehr bezüglich ihrer räumlichen Posiion fesgeleg. Wir berachen also ausgehend von der Gegenwar (heue) zum Beispiel die direke Vergangenhei (gesern) und die direke Zukunf (morgen). Definiion 2.3 (Harness-Prozess über Z) Ein sochasischer Prozess X := (X n ) n Z heiß Harness-Prozess, wenn i) X n L 1 (Ω,F,P), n Z ii) E[X n X m : m n = 1 2 (X n 1 + X n+1 ), n Z. (2.1) Bemerkung 2.4 (Inerpreaion der Definiion) 1. Mihilfe der Uner-σ-Algebren G m und H m läss sich die Eigenschaf (2.1) auch wie folg schreiben: E[X n X m : m n = E[X n G n 1,H n+1 = 1 2 (X n 1 + X n+1 ), n Z. (2.2) Diese Noaion ermöglich uns, auch andere Familien von σ-algebren als die in Noaion 2.1 eingeführen zu verwenden, wenn der berachee Prozess an sie adapier is. Sie is somi ewas allgemeiner, was wir insbesondere in Kapiel 3 ausnuzen wollen. Wie auch D. Williams in [25, 26 werden wir daher im weieren Verlauf die bedinge Erwarung haupsächlich bezüglich der ensprechenden σ-algebren darsellen. 2. Mihilfe von G m und H m haben wir die Zei symmerisier. Diese Symmerie nuzen wir im weieren Verlauf des Kapiels aus und drehen sozusagen die Zei um. Der Grundgedanke is, dass Eigenschafen, die man in eine Zeirichung zeigen kann uner umgekehrer Zei auch in der anderen Richung gelen. 3. (2.2) besag, dass ein Harness-Prozess zum Zeipunk n beding durch die ganze Vergangenhei bis n 1 und die ganze Zukunf ab n + 1 nur vom Rand, also von der nächsen Vergangenhei X n 1 und von der nächsen Zukunf X n+1, abhäng. Sie bilde insbesondere eine lineare Funkion des Randes. 4. So wie im Einleiungsex erklär, kann die Orienierung eines Aomgiers in Meallen uner bedinger Erwarung durch seine direken Nachbarn beschrieben werden. Die Definiion von Harness-Prozessen über Z greif diese Eigenschaf auf. Denn ein Harness-Prozess muss die Eigenschaf erfüllen, dass er uner bedinger Erwarung von seinen direken zeilichen Nachbarn ausgedrück wird.

20 2.1 Harness-Prozesse über Z Außerdem erinner die Harness-Eigenschaf in der Noaion (2.2) sark an die Maringaleigenschaf: E[X n G n 1 = X n 1. Auch hier kann die bedinge Erwarung des Prozesses X uner der Vergangenhei als lineare Funkion des Randes aufgefass werden. Der Rand beseh zum Zeipunk n aber nur aus X n 1 und dami is der Koeffizien 1. Ein deulicher Unerschied zu Harness-Prozessen is die Symmerisierung der Zei. Bei Maringalen wird die Zukunf in die Berachungen nich mi einbezogen. 6. Sogar der Name Harness-Prozess wurde von J.M. Hammersley bewuss vorgeschlagen, um die Verbindung zu Maringalen zu beonen. Der Begriff Maringal seh uner anderem für einen Riemen, welcher am Zaumzeug von Pferden befesig werden kann. Er dien dazu, den Kopf eines Pferdes eng am Hals zu halen, dami es ihn nich plözlich hochreißen kann. Besonders im Dressurreien wird dieser Riemen verwende. Harness, übersez Geschirr, wird ebenfalls bei Zugieren verwende. Ein Geschirr schränk ein Tier, zum Beispiel ein Pferd, in der Bewegung särker ein, als ein Maringal. Diese Resrikion in mehrere Richungen ha J.M. Hammersley bei der Namensgebung aufgegriffen, da sie Harness-Prozesse charakerisier. Wir wollen nun einige wichige Eigenschafen von Harness-Prozessen unersuchen: Proposiion 2.5 (Rekursionseigenschaf) Ein Harness-Prozess X = (X n ) n Z erfüll für a,b Z mi a < b folgende Rekursionseigenschaf: E[X n G a,h b = 1 2 (E[X n 1 G a,h b + E[X n+1 G a,h b ) a < n < b. (2.3) Beweis Für a < n < b folg aus der Turmeigenschaf (1.1): E[X n G a,h b = E[E[X n X m : m n G a,h b = E [ 1 2 (X n 1 + X n+1 ) G a,h b durch (2.1), = 1 2 (E[X n 1 G a,h b + E[X n+1 G a,h b ). Aus dieser Proposiion ergib sich die Frage, ob die Rekursionseigenschaf nur für die nächsen Nachbarn von n Z, also n + 1 und n 1, gil. Die nächse Proposiion und das daraus folgende Korollar sellen verallgemeinere Rekursionseigenschafen dar. Korollar 2.6 Sei X = (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann gil für alle n Z, u,k N mi k u, dass E[X n k G n u,h n+1 = (k + 1)E[X n G n u,h n+1 kx n+1 (2.4)

21 12 Harness-Prozesse in diskreer Zei und somi E[X n G n u,h n+1 = 1 u + 1 X n u + u u + 1 X n+1. (2.5) Hierbei kann man 1 u+1 und u u+1 als Gewichung von X n u und X n+1 berachen. Beweis Wir zeigen die erse Aussage per Indukion. Dazu nuzen wir wiederhol die Turmeigenschaf (1.1) und die Harness-Eigenschaf (2.2). Für k = 1 erhalen wir so dass E[X n G n u,h n+1 = E[E[X n G n 1,H n+1 G n u,h n+1 = E [ 1 2 X n X n+1 G n u,h n+1 = 1 2 E[X n 1 G n u,h n X n+1, E[X n 1 G n u,h n+1 = 2 E[X n G n u,h n+1 X n+1. Per Indukionsannahme sei Gleichung (2.4) für 1 k u 1 erfüll. Andererseis is E [ X n (u 1) G n u,h n+1 = E [ E [ X n (u 1) G n u,h n (u 2) Gn u,h n+1 = 1 2 X n u E [ X n (u 2) G n u,h n+1 }{{} (2.4) für k=u 2 = 1 2 X n u ((u 1)E[X n G n u,h n+1 (u 2)X n+1 ). (2.6) Durch Gleichsezen von (2.4) für k = u 1 und (2.6) folg X n u = (u + 1)E[X n G n u,h n+1 ux n+1. Dami is der erse Teil gezeig. Die Gleichung (2.5) ergib sich dann für k = u. Bemerkung 2.7 Obwohl die Eigenschaf (2.4) särker is als die Folgerung (2.5), wird sie im Folgenden keine weiere Rolle spielen. Denn für die nächsen Folgerungen reich (2.5) aus und is sogar ein enscheidender Punk im weieren Verlauf dieses Kapiels, um die allgemeine Zerlegung von Harness-Prozessen über Z herleien zu können. Späer in diesem Kapiel wollen wir die Zei sozusagen umkehren und als Gegensück zu der Vergangenhei G n u die Zukunf H n+u+1 berachen. Dazu zeigen wir an dieser Selle zunächs eine analoge Aussage zu Korollar 2.6 für beliebige Zukunf n + u + 1.

22 2.1 Harness-Prozesse über Z 13 Korollar 2.8 Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann gil für alle n Z und u,k N mi k u, dass: und insbesondere E[X n+k+1 G n,h n+u+1 = (k + 1)E[X n+1 G n,h n+u+1 kx n E[X n+1 G n,h n+u+1 = Beweis Analog zum Beweis von Korollar 2.6. u u + 1 X n + 1 u + 1 X n+u+1. (2.7) Bemerkung 2.9 (Inerpreaion) Die Harness-Eigenschaf kann für jede Zukunf n + u + 1 und die Vergangenhei n als lineare Funkion des Randes mi ensprechender Gewichung dargesell werden, wenn n + 1 die Gegenwar is. Folgerung 2.10 Aus den Korollaren 2.6 und 2.8 läss sich leich folgern, dass für jede Vergangenhei n u und jede Zukunf n + v für u,v N gil: E[X n G n u,h n+v = v u + v X n u + u u + v X n+v. (2.8) Bemerkung 2.11 (Analogie zur seigen Zei) Diese allgemeine Form der Harness-Bedingung wird uns bei der Definiion von Harness-Prozessen über R + wieder begegnen. Um die zuvor erwähne Zerlegung von Harness-Prozessen folgern zu können, müssen wir Grenzwere von σ-algebren bilden. Dabei is zu berücksichigen, ob sie überhaup konvergen sind. Die σ-algebren σ (G n u,h n+1 ) nehmen für u + ab. Es lieg Nahe zu vermuen, dass ( ) lim σ (G n u,h n+1 ) =? σ u + wobei aufgrund der Monoonie der σ-algebren gil und lim u + G n u,h n+1 σ (G n u,h n+1 ) = lim σ (G n u,h n+1 ) u u + ( ) ( ) σ G n u,h n+1 = σ lim G n u,h n+1. u u +, (2.9) Die Gleichung (2.9) gil aber im Allgemeinen nich. Im folgenden Gegenbeispiel, aus [26, soll verdeulich werden, warum. Da dor kein Beweis angegeben is, werden wir ihn hier ewas ausführlicher diskuieren. Proposiion 2.12 (Gegenbeispiel) Seien Y 0,Y 1,Y 2,... unabhängige Zufallsvariablen mi P(Y n = +1) = P(Y n = 1) = 2 1, n N.

23 14 Harness-Prozesse in diskreer Zei Für n N, definieren wir X n := Y 0 Y 1... Y n und die σ-algebren Y := σ (Y 1,Y 2,...), T n := σ (X r r > n). Dann gil L := n σ (Y,T n ) σ ( Y, n T n ) =: R. Insbesondere sind folgende Aussagen erfüll: 1. Die Variablen X 1,X 2,... sind unabhängig. 2. Es gil die riviale Inklusion: R L. 3. Y 0 is eine L-messbare Funkion, aber unabhängig von R. Beweis 1. Zu zeigen is, dass k P(X i0 = ɛ i0,x i1 = ɛ i1,...,x ik = ɛ ik ) = P(X il = ɛ il ), l=0 für alle i 0,...,i k N, mi i j i l für j l, wobei ɛ il { 1,+1}. Es is offensichlich, dass P(X i = +1) = P(X i = 1) = 1 2 für i N und P(Y i... Y i+l = +1) = P(Y i... Y i+l = 1) = 1 2 für i,l N, so dass einerseis und andererseis für jedes i < j P(X i = ɛ i )P(X j = ɛ j ) = 1 4 P(X i = ɛ i,x j = ɛ j ) = P(X i = ɛ i )P(X j = ɛ j X i = ɛ i ) = 1 2 P(X i Y i+1... Y j = ɛ j X i = ɛ i ) = 1 2 P ( Y i+1... Y j = ɛ ) j ɛ i = 1 4. Wir haben somi bereis die paarweise Unabhängigkei bewiesen. Zum Nachweis der allgemeinen Unabhängigkei berachen wir i 0 < i 1 <... < i k. Dann

24 2.1 Harness-Prozesse über Z 15 is P(X i0 = ɛ i0,...,x ik = ɛ ik ) = P(X i1 = ɛ i1,...,x ik = ɛ ik X i0 = ɛ i0 )P(X i0 = ɛ i0 ) = 1 2 (Y P i Y i1 = ɛ i 1 ɛ i0,...,y i Y ik = ɛ ) i k ɛ i0 = 1 2 (Y P i Y i2 = ɛ i 2 ɛ i0,...,y i Y ik = ɛ i k ɛ i0 Y i Y i1 = ɛ i 1 ( P Y i Y i1 = ɛ ) i 1 ɛ i0 = 1 4 (Y P i Y i2 = ɛ i 2 ɛ i1,...,y i Y ik = ɛ ) i k ɛ i1. = ( 1 2 ) k P (Y ik Y ik = ɛ i k ɛ ik 1 = ( 1 2 ) k+1. Es folg die Unabhängigkei der (X i ) i N. 2. R is im Durchschni aller σ (Y,T n ) enhalen, da ( R = σ ) Y, ) T m σ (Y,T n ) für n N. m 3. Aus der Definiion von X, ergib sich, dass Y 0 = X n+1 Y 1... Y n+1 für n N. ɛ i0 ) Also is Y 0 σ (Y,T n )-messbar für alle n und dami auch L = n σ (Y,T n)- messbar. Es bleib also zu zeigen, dass Y 0 unabhängig von T is, wobei T wie in (1.2) definier sei. Für A T gil nach dem 0-1-Gesez von Kolmogorov, Theorem 1.4, dass Wenn P(A) = 0, dann ergib sich Wenn P(A) = 1, erhalen wir so dass P(A) = 0 oder P(A) = 1. P({Y 0 = ɛ 0 } A) = 0 = P({Y 0 = ɛ 0 })P(A). 1 = P(A) P({Y 0 = ɛ 0 } A) = P({Y 0 = ɛ 0 }) + P(A) P({Y 0 = ɛ 0 } A) 1 P({Y 0 = ɛ 0 } A) = P(Y 0 = ɛ 0 ). Es gil also für alle A T, dass P({Y 0 = ɛ 0 } A) = P(Y 0 = ɛ)p(a). Y 0 is somi unabhängig von T und per Definiion auch von Y, so dass schließlich die Unabhängigkei von R folg.

25 16 Harness-Prozesse in diskreer Zei 4. Würde jez L = R gelen, dann müsse Y 0 von sich selbs unabhängig sein. Die einzigen Zufallsvariablen, die von sich selbs unabhängig sind, sind aber Konsanen. Dies is ein Widerspruch zur Definiion von Y 0. Daraus ergib sich: σ(y,t n ) = L R = σ(y, T n ). n n Die Vermuung in (2.9) konne also nich besäig werden. Diese Fessellung is für unser weieres Vorgehen von besonderer Bedeuung, da wir an vielen Sellen mi einer ähnlichen Siuaion konfronier sein werden. In unserem Konex biee die Turmeigenschaf (1.1) zusammen mi Proposiion 2.12 (2) einen geeigneen Ausweg. Dami wollen wir durch Grenzwerbildung die angekündige Zerlegung von Harness-Prozessen schriweise herleien. Wir beweisen also, dass zu jedem Harness-Prozess X zwei Zufallsvariablen A und L exisieren, so dass X n = A + nl P-fas sicher n Z. Proposiion 2.13 (Exisenz von L) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess, dann exisier der Grenzwer L := X v lim v v P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P). (2.10) Beweis Wende man Korollar 1.9 auf M u := E[X n G n u,h n+1 für u N an, ergib sich M = lim u + M u exisier P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P). Wir wissen außerdem aus Korollar 2.6, dass so dass insbesondere E[X n G n u,h n+1 = 1 u + 1 X n u + u u + 1 X n+1, lim E[X n G n u,h n+1 = u + lim u + ( ) Xn u + X n+1 u + 1 P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P) exisier. Daraus folg wegen L = X v lim v v = lim X n u u + u + 1. die Behaupung. Folgerung 2.14 (Eigenschafen von L) 1. Als Grenzwer einer in L 1 (Ω,F,P) konvergenen Folge von inegrierbaren Zufallsvariablen is auch L inegrierbar.

26 2.1 Harness-Prozesse über Z Per Konsrukion is L messbar bezüglich G. Proposiion 2.15 (Rückwärsmaringaleigenschaf) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann is (X n nl) n Z ein Rückwärsmaringal bezüglich der abseigenden Folge von σ-algebren (σ (L,H n )) n Z, wobei L in Proposiion 2.13 und H n in Noaion 2.1 definier is. Beweis Es is ausreichend die Maringaleigenschaf zu zeigen, da die Inegrierbarkei und die Messbarkei aus den ensprechenden Eigenschafen von (X n ) n Z und L folgen. Wegen genüg es zu zeigen, dass Wir wissen aus Folgerung 2.14, dass E[X n nl L,H n+1 = E[X n L,H n+1 nl E[X n L,H n+1 = X n+1 L. (2.11) σ(l) G G n u für alle u N. Daher folg mi der Turmeigenschaf (1.1): [ [ E[X n L,H n+1 = E E X n lim u + σ (G n u,h n+1 ) Für M u := E[X n G n u,h n+1, besag Korollar 1.9, dass L,H n+1. E [ X n lim u + σ (G n u,h n+1 ) = lim u E[X n G n u,h n+1 P-fas sicher. Im Beweis des vorigen Lemmas haben wir außerdem gesehen, dass Daraus folg lim E[X n G n u,h n+1 = X n+1 L. u + E[X n L,H n+1 = E[X n+1 L L,H n+1 = X n+1 L. Wir können nun die Exisenz von A beweisen. Dies ha zur Folge, dass L symmerisch konsruier werden kann, woraus insbesondere die Maringaleigenschaf des Prozesses (X n nl) n Z folg. Proposiion 2.16 (Exisenz und Eigenschafen von A) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess, dann exisier A := und is inegrierbar. lim (X n nl) P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P), (2.12) n +

27 18 Harness-Prozesse in diskreer Zei Beweisskizze Die Exisenz folg direk aus Proposiion 2.15 und Theorem 1.8. Als Grenzwer von in L 1 (Ω,F,P)-konvergenen, inegrierbaren Zufallsvariablen is A ebenfalls inegrierbar. Lemma 2.17 (Symmerie der Konsrukion von L und A) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann gil: 1. Für L gil auch folgende Darsellung ( ) Xn L = lim n + n woraus insbesondere die Messbarkei bezüglich H folg. 2. A erfüll dami außerdem Beweis A = lim (X n nl) n und somi is A messbar bezüglich G und H. P-fas sicher, (2.13) P-fas sicher 1. Für hinreichend große n N gil nach Proposiion 2.16 P-fas sicher und somi A X n nl A n X n n A 0 = lim n + n = lim X n n + n L. L. (2.14) 2. Für große n N folg mi (2.14), dass A 0 = lim n n = lim X n n n L. Bemerkung 2.18 (Inerpreaion) Wir haben also gezeig, dass und A = L = X lim u X u u = lim u u + u lim (X n nl) = lim (X n nl). n + n Das heiß, dass L (und ebenso A) auf symmerische Weise konsruier werden kann. Darin spiegel sich sowohl die Symmerie der Definiion von Harness-Prozessen, als auch die Symmerisierung der Zei wieder. Demensprechend wechseln wir von nun an in unserer Berachungsweise je nach Bedarf zwischen Vergangenhei und Zukunf. Dazu unersuchen wir H n+u+1 als Gegensück zu G n u, wie wir das bereis in Korollar 2.8 angedeue haben und bilden den Grenzwer von σ (G n,h n+u+1 ) für u +. Wir können dann viele der folgenden Aussagen direk an die bisher gezeigen anlehnen und analog beweisen.

28 2.1 Harness-Prozesse über Z 19 Proposiion 2.19 (Maringaleigenschaf) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann is (X n nl) n Z ein Maringal bezüglich der Filraion (σ (G n,l)) n Z. Beweis Analog zum Beweis von Proposiion 2.15 genüg auch hier wegen E[X n+1 (n + 1)L G n,l = E[X n+1 G n,l (n + 1)L zu zeigen, dass E[X n+1 G n,l = X n + L. Mi der Turmeigenschaf (1.1) folg aus σ(l) H n+u+1 für alle u N, dass [ [ E[X n+1 G n,l = E E X n+1 lim u + σ (G n,h n+u+1 ) G n,l Für n Z liefer Korollar 1.9 mi M u := E[X n+1 G n,h n+u+1, u N, die P-fas sichere und L 1 (Ω,F,P) Exisenz von lim E[X n+1 G n,h n+u+1 (2.7) ( ) 1 = X n + lim u + u + u + 1 X (2.13) n+u+1 = X n + L, so dass sich mi Korollar 1.9 auch E[X n+1 G n,l = E[X n + L G n,l = X n + L (2.15). ergib. Lemma 2.20 Sei X = (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann gil: X n = X n+1 + L P-fas sicher n Z. Beweis Wir zeigen zunächs die folgenden Gleichungen für n Z: E[X n + L X n+1 = X n+1 E[X n+1 X n + L = X n + L. Weil σ (X n+1 ) σ (L,H n+1 ) ergib sich, dass: E[X n + L X n+1 = E[E[X n L,H n+1 + L X n+1 wegen (1.1), = E[X n+1 L + L X n+1 miels (2.11), = X n+1. Für die zweie Gleichung gehen wir ähnlich vor. X n +L is σ (G n,l)-messbar, also folg E[X n+1 X n + L = E[E[X n+1 G n,l X n + L mihilfe von (1.1), = E[X n + L X n + L wegen (2.15), = X n + L.

29 20 Harness-Prozesse in diskreer Zei Daraus ergib sich mi Lemma 1.11, dass für jedes n Z gil: X n+1 = X n + L P-fas sicher. Sei nun Ω n für jedes n die Nullmenge, auf der die Gleichung nich erfüll is, das heiß: Ω n := {ω Ω X n+1 (ω) X n (ω) + L(ω)} mi P(Ω n ) = 0. Aus der Abzählbarkei von Z erhalen wir ( ) P Ω n P(Ω n ) = 0. n = n Somi ergib sich die Behaupung. Wir haben bereis gezeig, dass sowohl L als auch A exisieren. Dami und mihilfe des obigen Lemmas beweisen wir zum Schluss, dass für Harness-Prozesse über Z die folgende Zerlegung gil. Theorem 2.21 (Zerlegung von Harness-Prozessen über Z) Sei (X n ) n Z ein Harness-Prozess. Dann exisieren inegrierbare Zufallsvariablen L und A, die σ(g,h )-messbar sind, so dass Dabei sind L = X n = A + nl P-fas sicher n Z. X lim v v v in (2.10) und A = lim (X n nl) in (2.12) definier. n + Beweis Aus Lemma 2.20 wissen wir, dass P-fas sicher für alle n Z X n+1 = X n + L, (2.16) so dass insbesondere P-fas sicher für alle n Z gil: X n = X n+1 L = X n+1 (n + 1)L + nl. (2.17) Durch einsezen von (2.17) für X n+1 in (2.16) erhalen wir X n = X n+2 L (n + 1)L + nl = X n+2 (n + 2)L + nl. = lim k + (X n+k (n + k)l) + nl = A + nl. Dieses Ergebnis bedeue anschaulich, dass Pfade von Harness-Prozessen in diskreer Zei P-fas sicher Geraden sind. Nur sehr wenige Prozesse erfüllen diese Bedingung. Wir werden in Kapiel 3 zeigen, dass alle bezüglich der ensprechenden σ-algebren messbaren affinen Prozesse Harness-Prozesse sind. Das Ergebnis

30 2.2 Differenzenharness-Prozesse 21 bedeue somi, dass sich die Forderungen an Harness-Prozesse sehr resrikiv auswirken. Diese Erkennnis war unvorhersehbar. Aber um so wichiger war es, sich für das Versändnis eingehend mi Harness-Prozessen über Z zu befassen. Denn sowohl in einem erweieren Rahmen in diskreer Zei, als auch in seiger Zei, erhalen wir bemerkenswere Resulae. Dazu werden wir im nächsen Abschni kurz Differenzenharness-Prozesse berachen und zeigen, dass jede Irrfahr ein solcher Harness-Prozess is. Im seigen Fall werden wir ähnlich wie im diskreen eine Zerlegungseigenschaf für Harness-Prozesse beweisen, indem wir genau wie zuvor die Konvergenz der Zei berachen. Außerdem verwenden wir in Kapiel 4 die Zerlegung von Harness-Prozessen über Z und deren Herleiung, um in Abschni 4.1 eine vermuee ähnliche Zerlegung von Harness-Prozessen über R zu skizzieren. 2.2 Differenzenharness-Prozesse In [26, S.171, gib D. Williams eine Möglichkei an, wie die Klasse der Harness- Prozesse über Z erweier werden könne: Dies soll hier erwähn, aber nich im Deail ausgeführ werden, da wir uns auf Kapiel 3, also auf die Zerlegung von Harness-Prozessen über R + konzenrieren wollen. Enfern man sich von dem Anspruch, für jedes X n Eigenschafen zu suchen, und berache sa dessen die Zufallsvariablen X r X s für r,s Z, dann kann man eine neue Klasse von Harness-Prozessen definieren. Definiion 2.22 (Differenzenharness-Prozess) Seien X n : Ω R für alle n Z inegrierbare Zufallsvariablen. Die Differenzen (X r X s ) r,s Z bilden einen sogenannen Differenzenharness-Prozess, wenn zusäzlich für n,k Z mi k n gil, dass: E[X n X k X m X k : m n = 1 2 (X n 1 X k ) (X n+1 X k ). Proposiion 2.23 Jede Irrfahr über Z is ein Differenzenharness-Prozess. Dazu definieren wir zunächs Irrfahren über Z, indem wir gemäß D. Williams [26 die übliche Definiion über N in folgender Weise erweiern. Definiion 2.24 (Irrfahr) Seien (Z n ) n Z unabhängige, idenisch vereile und inegrierbare Zufallsvariablen. Sei X 0 irgendeine inegrierbare Zufallsvariable auf Ω, die unabhängig von den (Z n ) n Z is. Dann is die Irrfahr X = (X n ) n Z definier durch X X n := 0 + n k=1 Z k wenn n > 0 X 0 0 k=n+1 Z k wenn n < 0. Bemerkung 2.25 (Rechferigung) Die angegebene Definiion erfüll offensichlich für alle n Z die für Irrfahren charakerisische Eigenschaf, dass Z n = X n X n 1.

31 22 Harness-Prozesse in diskreer Zei Beweis der Proposiion Wegen E[X n X k X m X k : m n = E[Z n + X n 1 X k X m X k : m n = E[Z n X m X k : m n + X n 1 X k und 1 2 (X n 1 X k ) (X n+1 X k ) = X n 1 X k X n X n 1. genüg zu zeigen, dass: E[Z n X m X k : m n = 1 2 (X n+1 X n 1 ). Dazu berachen wir zunächs die σ-algebren σ (X m X k : m n) für k < n: σ (X m X k m n) = σ k l=m+1 Z l : m < k; m l=k+1 Z l : m > k m n = σ (...,Z k,z k+1,...,z n 1,Z n + Z n+1,z n+2,...). Diese Form erhalen wir, da eine σ-algebra, die von Z l, Z l +Z l+1 erzeug wird, für unabhängige und idenisch vereile Zufallsvariablen Z i, i Z äquivalen zu einer σ-algebra is, die nur von Z l und Z l+1 erzeug wird. Aufgrund der Bedingung m n gib es uner den Erzeugern der σ-algebra keine Summe genau bis n oder ab n. Daher erhalen wir als einen der Erzeuger Z n + Z n+1, der sich nich in Z n und Z n+1 aufrennen läss. Die Z i sind voneinander unabhängig und dadurch reduzier sich die bedinge Erwarung insgesam auf Folgendes E[Z n X m X k : m n = E[Z n Z n + Z n+1. Weil die Z i idenisch vereil sind, gil außerdem E[Z n Z n + Z n+1 = E[Z n+1 Z n + Z n+1. Woraus wir folgern können, dass E[Z n X m X k : m n = 1 2 (E[Z n Z n + Z n+1 + E[Z n+1 Z n + Z n+1 ) = 1 2 (Z n + Z n+1 ) = 1 2 (X n+1 X n 1 ) Für k > n läuf der Beweis völlig analog. Somi is das Gewünsche gezeig. Wir konnen also zeigen, dass durch die Modifikaion der Definiion von Harness- Prozessen in Differenzenharness-Prozesse die Bedingungen nich mehr so resrikiv wirken wie im vorigen Abschni. Eine vielleich noch ineressanere Ar von Harness-Prozessen sind Harness-Prozesse über R + und deren Zerlegung, womi wir uns im nächsen Kapiel eingehend beschäfigen wollen.

32 23 3 Harness-Prozesse in seiger Zei Wir wenden uns nun Harness-Prozessen in seiger Zei zu und erweiern somi die Indexmenge. Da wir in diesem Kapiel das Manuskrip [25 von D. Williams aufarbeien wollen, berachen wir allerdings nich ganz R, sondern nur R +. Das Ziel des Manuskripes, und demnach dieses Kapiels, is Harness-Prozesse ins Verhälnis zur Brownschen Bewegung zu sezen, welche nur auf [0, ) definier is. Wir werden uns aber in Kapiel 4 Harness-Prozessen über R zuwenden. Dor werden wir Vermuungen ansellen wie eine Zerlegung von Harness-Prozessen über R aussehen könne. Die Vermuungen sind an Kapiel 2 und 3 angelehn. Um also in Kapiel 4 die Zuordnung zu erleichern und die Unerschiede zwischen Harness- Prozessen in diskreer zu seiger Zei zu verdeulichen, die wir in diesem Kapiel ausführen, werden wir Harness-Prozesse über R + nich wie vorher mi X, sondern mi Y = (Y ) >0 bezeichnen. Ausgehend vom vorigen Kapiel könne man erwaren, dass Harness-Prozesse über R + genauso einfach aufgebau sind wie Harness-Prozesse über Z. Dies is aber nich der Fall, wie wir im Folgenden zeigen werden. Wir wollen in den nächsen Abschnien beweisen, dass uner gewissen Zusazannahmen für jeden Harness- Prozess in seiger Zei eine Zerlegung exisier, die nich nur affin is, sondern zusäzlich von der Brownschen Bewegung abhäng. Zur Moivaion sellen wir im Abschni 3.1 nach der Definiion von Harness- Prozessen über R + einige ineressane Beispiele von Prozessen vor, die dieser Definiion genügen. Anschließend führen wir den zu einem Harness-Prozess assoziieren Prozess als den Reserm von Y S R ein. Wir diskuieren wichige Eigenschafen und unersuchen dann im Abschni 3.3 seine quadraische Variaion, wobei auch die Umkehrung der Zei zum Tragen kommen wird. Aufgrund dieser Vorbereiungen können wir schließlich die angekündige Zerlegung beweisen. 3.1 Definiion und Beispiele Ähnlich wie im vorigen Kapiel beginnen wir mi der Einführung einiger wichiger σ-algebren. Um die Berachungen zu erleichern sezen wir wie folgendes voraus: Zusazannahme Der Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, P) sei vollsändig, das heiß für alle N Ω mi P(N) = 0 gil N F. Noaion 3.1 (σ-algebren) Wir bezeichnen mi (G ) >0 und (H ) >0 zwei Familien von vollsändigen Uner-

33 24 Harness-Prozesse in seiger Zei σ-algebren von F, wobei G s G F 0 < s, und H H s F 0 < s. Außerdem sei (G ) >0 rechs- und (H ) >0 links-seig. Wir definieren weierhin G 0 := lim 0 G, (3.1) H := lim + H, (3.2) T := σ (G 0,H ). (3.3) Bemerkung Die Familien von σ-algebren (G ) >0 und (H ) >0 werden wir, wie schon in Kapiel 2, als Vergangenhei und Zukunf inerpreieren. 2. Im vorigen Kapiel haben wir die σ-algebren nich so allgemein definier, sondern nur als die von dem Prozess X erzeugen σ-algebren. Wir häen hier genauso vorgehen können. Allerdings sind die Zusazannahmen der Rechs- beziehungsweise Links-Seigkei eine Erleicherung. Denn wir können dadurch in Abschni 3.3 die Rechs- beziehungsweise Links-Seigkei von Hilfsprozessen zeigen, die wir zur Idenifikaion der quadraischen Variaion eines Harness-Prozess benöigen. Somi ersparen wir es uns auf Versionen dieser Prozesse umseigen zu müssen. 3. Aufgrund der Monoonie der σ-algebren gil: G 0 = H = G >0 H >0 Definiion 3.3 (Harness-Prozesse über R + ) Ein sochasischer Prozess Y := (Y ) >0 heiß Harness-Prozess bezüglich der Familie von σ-algebren (σ(g s,h u )) s,u R +, wenn er folgende Bedingungen erfüll: (i) Y L 1 (Ω,F,P) > 0, (ii) σ (Y s s ) G, σ (Y u u ) H, > 0, (iii) E[Y G s,h u = u u s Y s + s u s Y u, für s < < u. (3.4) Bemerkung Die Eigenschaf (ii) bedeue, dass der Prozess (Y ) >0 an die σ-algebren (G ) >0 und (H ) >0 adapier sein soll. Im diskreen Fall brauchen wir diese Bedingung nich, da die σ-algebren vom Prozess X selbs erzeug waren. 2. In seiger Zei gib es keine direken Nachbarn von, so wie im diskreen Fall. Daher muss auch die Harness-Bedingung (iii) angepass werden. Allerdings haben wir im diskreen Fall gezeig, dass aus der Harness-Bedingung

34 3.1 Definiion und Beispiele 25 (2.1) eine allgemeinere Bedingung folg, siehe (2.8): E[X n G n u,h n+v = v u + v X n u + u u + v X n+v, wobei u,v N und n Z. Mi = n, u = s und v = u ha sie die gleiche Form wie die Harness-Bedingung in seiger Zei, wodurch die enge Beziehung zwischen den beiden Ansäzen deulich wird. Äquivalen zur Harness-Eigenschaf gil auch folgende Bedingung. Korollar 3.5 (Äquivalene Harness-Bedingung) Die Harness-Eigenschaf is äquivalen zu: [ Y Y E G s,h u = Y u Y s für alle s < < < u u s Beweis Sei s < < < u: [ Y Y E G s,h u = 1 (E[Y G s,h u E[Y G s,h u ) = 1 ( u = 1 = Y u Y s u s u s Y s + u s s Y u u u s Y s s ( ( )Y u ( ) )Y s u s u s Y u Bemerkung 3.6 Diese Eigenschaf wird in [20 verwende, um eine Verbindung zwischen Harness- Prozessen und den sogenannen Pas-Fuure-Maringales herzusellen. Sie finde auch in [7 als spezielle Eigenschaf der Brownschen Bewegung Verwendung. Im Gegensaz zu Harness-Prozessen in diskreer Zei, kann man in seiger Zei einige ineressane Prozesse finden, die Harness-Prozesse sind. Die folgenden Beispiele sind in [6, S , inklusive kurzer Beweisskizzen nachzulesen. Wir führen die Beweise für die ersen beiden Beispiele ausführlicher durch, da wir sie im weieren Kapiel verwenden wollen. Wir sezen im Folgenden voraus, dass G s = σ(y r r s) H s = σ(y r s r) s 0 für den jeweils beracheen Prozess Y = (Y ) 0. Beispiel 3.7 (Affine Prozesse) Seien R und S zwei inegrierbare Zufallsvariablen, die messbar sind bezüglich σ(g 0,H ), dann is (Y ) >0 := (S + R) >0 ein Harness-Prozess. Beweis Sei s < < u, dann gil mi G 0 G s und H H u, s,u R + : ) E[Y G s,h u = S + R = u s (S + sr) + (S + ur) u s u s = u u s Y s + s u s Y u

35 26 Harness-Prozesse in seiger Zei Beispiel 3.8 (Brownsche Bewegung) (B ) 0 bezeichne eine Sandard Brownsche Bewegung. Dann is (B ) 0 auch ein Harness-Prozess. Bevor wir die Aussage beweisen, rufen wir uns die Definiion der Brownschen- Bewegung und ihre Charakerisierung nach P. Lévy in Erinnerung: Definiion 3.9 (Brownsche Bewegung, [18) Ein reellweriger sochasischer Prozess B = (B ) 0 heiß Brownsche Bewegung, falls i) B 0 = 0 P-fas sicher, ii) B ha unabhängige, saionäre Zuwächse, das heiß: unabhängige Zuwächse: für alle n N und alle 0 < 1 <... < n gil (B i B i 1 ) i=1,...,n is unabhängig. saionäre Zuwächse: für alle r,s, 0 is iii) B N (0,) für > 0, iv) B is P-fas sicher seig. B s++r B +r B s+ B. Die folgende Charakerisierung der Brownschen Bewegung, die wir im Abschni 3.4 benöigen, kann zum Beispiel in [18, S.559, nachgelesen werden. Proposiion 3.10 (Lévy Charakerisierung der Brownschen Bewegung) Es sei Z = (Z ) 0 ein sochasischer Prozess für den gil: Wenn Z ein Maringal is mi Z 0 = 0 P-fas sicher, dann sind folgende Bedingungen äquivalen: 1. die quadraische Variaion von Z erfüll für alle 0: Z =, 2. (Z 2 ) 0 is ein Maringal, 3. Z is eine Brownsche Bewegung. Beweis zu Beispiel 3.8 In [19 ha P. Lévy bereis gezeig, dass B s u s B u u u s B s für 0 < s < < u unabhängig von σ(g s,h u ) is. Denn: E[B s u s B u u u s B s G s,h u = E [ E [ B u s s B u G s Gs,H u u u s B s = B s u s s B s u s u B s = 0.

36 3.1 Definiion und Beispiele 27 Andererseis is eine Brownsche Bewegung auch ein Gaußscher- und ein Lévy Prozess, siehe [16, S.30, 599. Das bedeue hier, dass reelle Zahlen v und w exisieren, so dass Daraus erhalen wir E[B G s,h u = vb s + wb u E[B B s G s,h u = (v 1 + w)b s + w(b u B s ). (3.5) Wir wollen jez zeigen, dass die reellen Zahlen v und w die Form der Harness- Bedingung haben. Dazu berachen wir die folgenden Erwarungswere. E[B s (B B s ) = E[B s E[B B s G s = 0. (3.6) }{{} =0 Andererseis erhalen wir für denselben Erwarungswer mi (3.5) folgendes E[B s (B B s ) = E[B s E[B B s G s,h u = E[B s ((v 1 + w)b s + w(b u B s )) Wegen s > 0, ergib sich aus (3.6) und (3.7), dass = (v 1 + w)e [ B 2 s + w E[Bs (B u B s ) }{{} =0 = s(v 1 + w). (3.7) 0 = v 1 + w (3.8) Auf ähnliche Weise erhalen wir eine zweie Bedingung für die Zahlen v und w. E[(B B s )(B u B s ) = E[(B B s )E[B u B s G = E [ (B B s ) 2 = s. Es folg aber auch für denselben Erwarungswer mi (3.5) s = E[(B B s ) (B u B s ) (3.9) woraus mi (3.8) folg = E[E[B B s G s,h u (B u B s ) = (v 1 + w)e[b s (B B s ) +w E [ (B u B s ) 2 }{{}}{{} =0 =u s = w(u s) w = s u s v = u u s

37 28 Harness-Prozesse in seiger Zei Beispiel Lévy Prozess: Sei Y := (Y ) 0 ein Lévy Prozess bezüglich der Filraion (G ) 0, also gemäß [16, 2 ein R d -weriger sochasischer Prozess mi i) Y 0 = 0, ii) für alle s, 0 is Y +s Y s unabhängig von G s, iii) für alle s, 0 haben die Zufallsvariablen Y +s Y s und Y die gleiche Vereilung, iv) Y is sochasisch seig, das heiß für jedes > 0 und beliebiges ε > 0 gil lim u P( Y Y u > ε) = 0. Falls Y inegrierbar is, bilde Y einen Harness-Prozess. 2. Gaußscher Prozess: Sei Y := (Y ) 0 ein zenrierer Gaußscher Prozess, das heiß: für n N und 1,..., n 0 gil (Y 1,Y 2,...,Y n ) is n-dimensional normalvereil. Wenn Y außerdem Markovsch is, also für jedes A B(R), die Borelmengen von R, und jedes Paar s, 0 mi s gil P(Y A G s ) = P(Y A Y s ), dann exisieren Konsanen α s,,u und β s,,u so dass E[Y G s,h u = α s,,u Y s + β s,,u Y u für alle 0 < s < < u. 3. Prozess mi saionären Zuwächsen: Sei Y := (Y ) 0 ein in L 1 (Ω,F,P) seiger Prozess mi saionären Zuwächsen. Dann is (Y ) 0 ein Harness-Prozess. 4. Differenzierbarer Harness-Prozess: Wenn ein Harness-Prozess (Y ) 0 L 1 (Ω,F,P)-differenzierbar is, das heiß Y +h + Y lim = Y in L 1 (Ω,F,P), h 0 h dann is P(Y s = Y ) = 1 für alle s, und (Y ) 0 is ein rivialer Harness- Prozess, das heiß für alle s, is Y = S + R für inegrierbare Zufallsvariablen R und S, die σ(g 0,H )-messbar sind. Beweis Die erse Aussage haben wir bereis für einen Spezialfall bewiesen, da jede Brownsche Bewegung auch ein Lévy Prozess is. Für einen allgemeinen Nachweis siehe zum Beispiel [16, S.620, 621. Die anderen Beispiele können in [6 nachgelesen werden.

38 3.2 Der zu Y assoziiere Prozesse Der zu Y assoziiere Prozesse Ỹ Wir wenden uns nun der angekündigen Zerlegung von Harness-Prozessen über R + zu. Wir werden also zeigen, dass für Harness-Prozesse (Y ) >0, uner gewissen Zusazvoraussezungen, Zufallsvariablen R, S und α exisieren, so dass Y = S + R + αb P-fas sicher > 0, wobei (B ) 0 eine Sandard Brownsche Bewegung bezeichne. Diese Zerlegung is aus sochasischer Sich deulich ineressaner als die uner diskreer Zei, da sie insbesondere von der Brownschen Bewegung abhäng und ihre Pfade dami im Allgemeinen keine Geraden mehr bilden. Für den Beweis is auch hier wieder die Symmerie der Definiion von Harness- Prozessen von zenraler Bedeuung. Allerdings unerscheide sich die konkree Beweisführung dadurch, dass die Zeiachse nich mehr symmerisch is. Im diskreen Fall sind wir in 0, beziehungsweise verschoben in n gesare und Richung gegangen. Dann haben wir die Symmerie ausgenuz und die Zei umgekehr. So können wir in seiger Zei nich vorgehen, da wir nur R + berachen. Sadessen werden wir im Zeipunk beginnen und den Grenzwer in Richung + bilden. Um die Zei umzukehren, haben wir dann zwei Möglichkeien. Wir berachen enweder bei einem Sar in den Grenzwer in Richung 0 oder wir inverieren und unersuchen somi den Prozess bezüglich 1 für +. Dazu berachen wir zunächs den ersen Teil der oben erwähnen Zerlegung von Harness-Prozessen über R +. Wir definieren dafür zwei Zufallsvariablen R und S, die wir anschließend zu einem von der Zei affin abhängenden Prozess zusammensezen. Wir können dami dann einen Prozess idenifizieren, der die Differenz zwischen dem berachen Harness-Prozess Y und dem zuvor konsruieren affinen Prozess (S + R) >0 beschreib. Auf diesen sogenannen zu Y assoziieren Prozess wollen wir uns konzenrieren. Er bilde wieder einen Harness-Prozess, wie wir in Proposiion 3.16 zeigen und erfüll außerdem ineressane Grenzwer- und Maringaleigenschafen, die wir in den folgenden Abschnien verwenden wollen. Proposiion 3.12 (Exisenz von R und S) Für einen Harness-Prozess Y = (Y ) >0 sind folgende Aussagen erfüll: 1. Es exisieren P-fas sicher und in L 1 (Ω,F,P) R := 1 lim u + u Y u und S := lim Y s. (3.10) s 0 2. R und S sind T -messbar, wobei T = σ(g 0,H ) wie in (3.3). 3. (Y R) >0 is ein Maringal bezüglich (σ(g,h )) >0. 4. ( 1 (Y S)) >0 is ein Rückwärsmaringal bezüglich (σ(g 0,H )) >0.