Fortsetzung eines formellen Zusammenhangs auf G m nach O. Gabber und N. Katz

Transkript

1 Forsezung eines formellen Zusammenhangs auf G m nach O. Gabber und N. Kaz Diplomarbei von Kay Rülling Universiä Essen

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3 Vorab möche ich mich bei Frau Prof. Dr. Esnaul bedanken, uner deren Anleiung diese Diplomarbei ensanden is. Sie ha nich nur mein gesames Sudium als Dozenin begleie, sondern mir auch in vielen Besprechnungen das nöige Wissen zur Ersellung dieser Arbei vermiel. 3

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5 5 Hiermi versichere ich, daß ich diese Diplomarbei selbsändig und nur uner Zuhilfenahme der angegebenen Quellen ersell habe. Essen, im April 2002 Kay Rülling

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7 INHALTSVERZEICHNIS 7 Inhalsverzeichnis 0 Einleiung 8 1 Zusammenhänge 10 2 Formelle Zusammenhänge 11 3 Irreduzible Zusammenhänge und Körpererweierungen 17 4 Die Gabber-Kaz-Forsezung Konsrukion einer Forsezung der U ji Konsrukion einer Forsezung von Rang 1 Zusammenhängen Konsrukion einer Forsezung eines irreduziblen Zusammenhangs Zusammenfassung A Anhang 36

8 8 0 EINLEITUNG 0 Einleiung Dies is eine Diplomarbei von Kay Rülling, ersell uner der Anleiung und Bereuung von Frau Prof. Dr. Esnaul, die auch das Thema ausgewähl ha. Es werden zunächs ein paar Wore zum Zweck, zur Vorgehensweise und zum Aufbau dieser Arbei gesag. In der gesamen Arbei sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakerisik 0. Das Ziel is es nun einen Saz von O. Gabber und N. Kaz (siehe ([K-1], (2.4.10) Theorem) oder auch ([K-2], Main Theorem )) zu beweisen, der folgendes besag: Jeder formelle Zusammenhang, das heiß jeder Zusammenhang über dem Körper der formellen Laurenreihen mi endlicher Pol-Ordnung, läß sich in kanonischer Weise zu einem Zusammenhang auf G m = Spec k[, 1 ] forsezen, der regulär singulär in is. Doch während der Beweis von Gabber und Kaz eher absraker Naur is, wird in dieser Arbei ein konkrees Verfahren zur Konsrukion einer solchen Forsezung angegeben. Hierzu zerlegen wir einen formellen Zusammenhang E in eine direke Summe von Zusammenhängen der Gesal M U mi einem irreduziblen Zusammenhang M und einem regulär singulären Zusammenhang U, der eine Marixdarsellung A =(nilpoener Jordanblock)d/ besiz und sezen U und M einzeln for. Die Forsezung von U is einfach ein freier O Gm -Modul vom Rang = Rang U, dabei wird die Zusammenhangsabbildung in einer gewissen Basis gegeben durch die Marix A. Um M forzusezen benöigen wir ein Lemma von Beilinson (siehe [B]), das besag, daß jeder irreduzible Zusammenhang von einem Rang 1 Zusammenhang über einem größeren Laurenkörper herkomm. Is genauer n der Rang von M und k((z)) k(()) eine Körpererweierung mi z n = und is ψ : k(()) z n k((z)) der ensprechende Körperhomomorphismus, so gib es einen Rang 1 Zusammenhang L über k((z)) mi M = ψ L. Wir zeigen, daß L eine Marixdarsellung ω k[ 1 ] d besiz und definieren dann die Forsezung von L als ein freier Rang 1 O Gm -Modul L zusammen mi einer Zusammenhangsabbildung, die in einer gewissen Basis durch die Marix ω gegeben is. Bezeichnen wir mi π : G m,z G m, den von der Inklusion k[, 1 ] k[z, 1 z ] induzieren Morphismus, so is dann π L eine Forsezung von M. Zusäzlich sind diese Forsezungen von U und M mi folgenden Eigenschafen eindeuig besimm: (a) Die Forsezung von U is eine sukzessive Exension des rivialen Zusammenhangs (O, d), die U als sukzessive Exension des rivialen Zusammenhangs (k(()), d) forsez. (b) Die Forsezung von M is regulär singulär in und zerfäll auf G m,z in Rang 1 Zusammenhänge, die ebenfalls regulär singulär in sind. Insgesam erhalen wir eine Forsezung von E, die die Zerlegung von E in isoypische Komponenen respekier (das heiß die isoypischen Komponenen werden einzeln forgesez) und mi den obigen Eigenschafen eindeuig besimm is. Die Arbei is wie folg aufgebau: Im ersen Abschni werden ein paar grundlegende Definiionen zum Thema Zusammenhänge auf einer zusammenhängenden glaen Kurve wiederhol. Der zweie Abschni gehör den formellen Zusammenhängen. Auch hier werden einige Definiionen und wohl bekanne Aussagen zusammengesell. Wesenlich für die späeren Konsrukionen sind folgende Ergebnisse: Jeder formelle Rang 1 Zusammenhang besiz einen Basisvekor, so daß die Marix des Zusammenhangs bezüglich dieses Vekors ein Elemen aus k[ 1 ] d is.

9 9 Jeder formelle Zusammenhang läß sich in eine direke Summe isoypischer Komponenen zerlegen. Jede isoypische Komponene läß sich in der Form M i U i schreiben mi einem irreduziblen Zusammenhang M und regulär singulären Zusammenhängen U i, die eine Marixdarsellung (nilpoener Jordanblock) d besizen. Der drie Abschni widme sich im wesenlichen dem Beweis eines Lemmas von Beilinson (siehe [B]) (das hier jedoch als Saz ersrahl). Das Lemma besag, wie schon weier oben erwähn, daß jeder irreduzible Zusammenhang von einem Rang 1 Zusammenhang über einem größer Laurenkörper herkomm. Im vieren Abschni schließlich beweisen wir den oben erwähnen Haupsaz von Gabber und Kaz: Jeder formelle Zusammenhang läß sich zu einem in regulär singulären Zusammenhang auf G m forsezen. Die Forsezung respekier die Zerlegung in isoypische Komponenen und is mi gewissen Eigenschafen eindeuig. Der Beweis glieder sich in folgende drei Abschnie: Konsrukion einer Forsezung eines regulär singulären Zusammenhangs U, der eine Marixdarsellung (nilpoener Jordanblock) d besiz. Konsrukion einer Forsezung von Rang 1 Zusammenhängen Konsrukion einer Forsezung von irreduziblen Zusammenhängen. Den Schluß bilde ein Anhang, in dem ein paar Definiionen und Faken zu der 0-en und 1-en de Rahm Kohomologiegruppe sowie zu Ex 1 aufgelise sind. Generelle Voraussezungen. In der gesamen Arbei sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakerisik 0. Wir bezeichnen mi k(()) den Körper der formalen Laurenreihen mi Koeffizienen in k und endlicher Pol-Ordnung. (Elemene aus k(()) sind also formale Summen i= m a i i mi a i k und m N.) Wir nennen k(()) auch Laurenkörper. Desweieren sei G m, := G m := Spec k[, 1 ]. Is X eine algebraische Varieä, so bezeichnen wir mi O X oder auch O die Garbe der regulären Funkionen auf X und mi Ω 1 X oder Ω1 die Garbe der Differenialformen 1. Ordnung auf X. d : O Ω 1 sei die Differenialabbildung (ensprechend auch d : k(()) k(())d).

10 10 1 ZUSAMMENHÄNGE 1 Zusammenhänge In diesem Abschni sei X eine zusammenhängende, nich singuläre algebraische Kurve. 1.1 Definiion Ein Zusammenhang auf X is ein Paar (E, ) besehend aus einem lokal freien O X -Modul endlichen Ranges E und einem Morphismus von k- Vekorraumgarben : E E OX Ω 1 X, der zusäzlich die Leibnizregel (αe) = α (e) + e dα für α O X und e E erfüll. (E, ) is vom Rang n, falls n der Rang von E als lokal freie Garbe is. (Wir bemerken, daß E als lokal freie Garbe einen wohl definieren Rang ha, schließlich is X zusammenhängend.) Wir schreiben auch kurz E sa (E, ), wenn klar is, daß wir uns auf den Zusammenhang beziehen. 1.2 Definiion Seien (E, E ) und (G, G ) zwei Zusammenhänge auf X (i) Ein flacher Morphismus von E nach G is ein Morphismus von O X -Moduln ϕ : E G, der zusäzlich (ϕ id) E = G ϕ erfüll. Wir bezeichnen mi Hom(E, G) die Menge der flachen Morphismen von E nach G. (ii) Wir definieren das Tensorproduk von Zusammenhängen (E, E ) (G, G ) als das Paar (E O G, E G ) mi ( E G )(e g) := E (e) g + e G (g) für e E und g G. (Offenbar is E G wohl definier und erfüll die Leibnizregel.) (iii) Die direke Summe von Zusammenhängen is definier durch (E, E ) (G, G ) = (E G, E G ) mi ( E G )(e g) := E (e) + G (g) für e E und g G. (iv) Sei Hom(E, G) die Garbe von O X -Modul Morphismen von E nach G. Dann is Hom(E, G) eine lokal freie Garbe von O X -Moduln und wir können einen Zusammenhang (Hom(E, G), ) definieren, indem wir ( ϕ)(e) = G ϕ(e) ϕ( E e) sezen für ϕ Hom(E, G) und e E. (Offenbar definier das einen Zusammenhang.) Im folgenden sei (E, ) immer ein Zusammenhang des Ranges n. 1.3 Lokale Marixdarsellung eines Zusammenhanges Is U X eine offene Menge und sind e 1,..., e n E(U) mi E U = n i=1 O Ue i, so is der Zusammenhang auf U gegeben durch U : O U e i Ω 1 U e i. Es exisieren daher ω ij Ω 1 (U), i, j = 1,..., n, so daß e i = j ω jie j. Dann definieren wir die Marix von U bezüglich der Basis {e i } in der alhergebrachen Weise: ω 11 ω 12 ω 1n ω 21 ω 22 ω 2n M( U, {e i }) =... ω n1 ω n2 ω nn Is nun f = n i=1 λ ie i E U = n i=1 O Ue i, so liefer die Addiiviä von zusammen mi der Leibnizregel ( n n n n ) n f = λ i e i + dλ i e i = λ i ω ji e j + dλ i e i i=1 i=1 j=1 i=1 i=1

11 11 Denken wir uns f also als Spalenvekor, so erhalen wir eine Darsellung von f mi der Marix M( U, {e i }): ω 11 ω 1n λ 1 dλ 1 f = = M( U, {e i })f + df ω n1 ω nn λ n dλ n Basiswechsel (Siehe auch ([L], 1. a)).) Sind {e 1,..., e n } und {f 1,..., f n } zwei Basen von E U als freier O U -Modul, so exisier eine Marix T GL(n, O U ) mi f i = T e i. (T und f i in der Basis {e i } geschrieben.) Dann gil, wie wir leich nachrechnen können: M( U, {f i }) = T 1 M( U, {e i })T + T 1 dt 1.4 Definiion Sei A 1 :=Spec k[1/] =Spec k[u] mi u = 1/. A 1 is also nichs anderes, als G m, wobei hier dem Primideal (u) k[u] ensprich. Desweieren sei Ω 1 A (log ) 1 die Garbe der 1-Formen auf A 1, die höchsens Pole der Ordnung eins in haben. Also Ω 1 A (log ) = O du 1 A 1 u. Sei nun (E, ) ein Zusammenhang auf G m. Dann sagen wir (E, ) is regulär singulär in (oder auch im Unendlichen), falls es einen Zusammenhang (E, ) auf A 1 mi einem Pol erser Ordnung in gib, der (E, ) forsez, das heiß : E E Ω 1 A 1 (log ) und (E, ) G m = (E, ) Eine allgemeinere Definiion von regulären singulären Punken finde sich in ([K-3], Deligne s definiion of regular singular poins in he general case, Seie 546.) 1.5 Definiion Seien G und E zwei Zusammenhänge auf X. Dann sagen wir G is ein Unerzusammenhang von E, falls es einen flachen injekiven Morphismus G E gib. Ein Zusammenhang E heiß irreduzibel, wenn jeder von Null verschiedene Unerzusammenhang isomorph zu E is. 2 Formelle Zusammenhänge In diesem Abschni schreiben wir auch Ω 1 sa k(())d. 2.1 Definiion Ein formeller Zusammenhang vom Rang n über k(()) is ein Paar (E, ) besehend aus einem n-dimensionalen k(())-vekorraum E und einem k-vekorraum Homomorphismus : E E k(()) Ω 1, der die Leibnizregel erfüll, das heiß (λe) = λ e + e dλ für e E und λ k(()). Offensichlich können wir das Tensorproduk und die direke Summe von formellen Zusammenhängen sowie flache Homomorphismen zwischen formellen Zusammenhängen analog zum ersen Abschni definieren. (Wir können formelle Zusammenhänge auch mi Zusammenhängen auf dem Schema Spec k(()) idenifizieren und dann alle Definiionen einfach übernehmen.) Genauso können wir auch hier jedem formellen Zusammenhang eine Marix bezüglich einer gewählen k(())-vekorraumbasis zuweisen; der Basiswechsel funkionier in der selben Weise wie im ersen Abschni. Wir sagen ein formeller Zusammenhang (E, ) besiz die Marixdarsellung A, falls A die Marix von in einer gewissen Basis is.

12 12 2 FORMELLE ZUSAMMENHÄNGE 2.2 Definiion Seien (E, E ) und (G, G ) zwei formelle Zusammenhänge. Wir bezeichnen mi Hom(E, G) die Menge der k(())-vekorraumhomomorphismen. Dann is Hom(E, G) selber ein k(())-vekorraum und wir definieren den Zusammenhang (Hom(E, G), ), indem wir ( ϕ)(e) = G ϕ(e) ϕ( E e) sezen für ϕ Hom(E, G) und e E. Desweieren bezeichnen wir mi Hom((E, E ), (G, G )) = Hom(E, G) die Menge der flachen Homomorphismen von E nach G. Es is ein k-vekorraum. 2.3 Bemerkung Seien E und G wie oben. Dann haben wir Hom(E, G) = Ker( : Hom(E, G) Hom(E, G) Ω 1 ) =: HdR 0 (Hom(E, G)) Der Beweis is klar. (Schließlich gil für ein ϕ Ker per Definiion G ϕ = ϕ E.) Im folgenden wollen wir ein paar Eigenschafen formeller Zusammenhänge herausarbeien, die späer von Nuzen sein werden. 2.4 Definiion Ein formeller Zusammenhang (E, ) heiß regulär singulär, falls eine Basis von E exisier, bezüglich welcher die Marix von E höchsens einfache Pole ha. 2.5 Lemma Sei (L, ) ein formeller Rang 1 Zusammenhang über k(()). Dann besiz L eine Marixdarsellung a d für ein a aus k[ 1 ]. a is eindeuig besimm modulo Z. Sind außerdem e und e L \ {0} mi e k[ 1 ] d e und e k[ 1 ] d e, so gib es ein p Z und ein λ k mi e = λ p e. Beweis. Sei 0 f L und sei b k(())d die Marix von in der Basis f (das heiß f = bf). Is nun ẽ eine andere Basis von L, so gib es ein p Z und ein u k[[]] (=Einheien des Ringes der formalen Poenzreihen) mi ẽ = p uf, daher is die Marix von in der Basis ẽ gleich b + p d + du d u. Schreiben wir nun b in der Form a + vd für ein a k[ 1 ] und ein v k[[]] und wählen u k[[]] als Lösung von du u = vd (das is sicherlich möglich), so is die Marix von in der Basis e := uf gerade das gewünsche a d. Außerdem is du u für jedes u k[[]] immer ein Elemen aus k[[]] und daher is der Haupeil der Marix von L nur durch p d für ein p Z modifizierbar. Das besimm unser a eindeuig modulo Z. Ferig. 2.6 Definiion Seien (E, ) und (G, ) zwei formelle Zusammenhänge. Dann is G ein Unerzusammenhang von E, falls es einen flachen injekiven Homomorphismus G E gib. E heiß irreduzibel, wenn jeder von Null verschiedene Unerzusammenhang isomorph zu E is. Offenbar sind Rang 1 Zusammenhänge irreduzibel. 2.7 Bemerkung Zwei irreduzible Zusammenhänge (M 1, 1 ) und (M 2, 2 ) sind nich isomorph genau dann, wenn Hom(M 1, M 2 ) = 0. Beweis. Offenbar können M 1 und M 2 nich isomorph sein, wenn Hom(M 1, M 2 ) = 0. Sei nun 0 ϕ Hom(M 1, M 2 ). Dann is (Kerϕ, 1 Kerϕ ) ein Unerzusammenhang von M 1. (Hier is zu beachen, daß für ein Elemen m Kerϕ gil 0 = 2 ϕ(m) = ϕ( 1 m) und somi 1 nach Kerϕ Ω 1 abbilde.) Da aber M 1 irreduzibel is und ϕ 0, muß Kerϕ = 0 sein. Also is M 1 ein Unerzusammenhang von M 2. Die Irreduzibiliä M 2 s liefer nun, daß M 1 isomorph zu M 2 is. Das bescher uns die Behaupung.

13 Lemma Seien E und G zwei formelle Zusammenhänge mi Hom(E, G) = 0. Dann gil: Jede exake Sequenz von Zusammenhängen 0 G V E 0 spale, das heiß V = G E (als Zusammenhang). Beweis. Wir verwenden ein paar Definiionen und Aussagen aus dem Anhang. Wir berachen den Zusammenhang (Hom(E, G), ). Nun is also wegen 2.3 HdR 0 (Hom(E, G)) = 0. Der Saz A.5 verrä uns daher, daß HdR 1 (Hom(E, G)) ebenfalls gleich Null is und somi liefer uns A.7 Ex 1 (E, G) = 0. Die Behaupung folg direk aus A Bemerkung Sei (E, ) ein formeller Zusammenhang und G E ein Unerzusammenhang. Dann is E/G in naürlicher Weise wieder ein Zusammenhang und die Resklassenabbildung E E/G is ein flacher Homomorphismus. Das wollen wir kurz sehen. Sei e E/G und e E ein Verreer. Wir definieren (e) := (e) = Resklasse von (e) in E/G Ω 1. Dann is : E/G E/G Ω 1 eine wohl definiere Abbildung. Denn is e+g für g G ein anderer Verreer von e, so is (e + g) = (e + g) = (e) + (g). Aber (g) G Ω 1 (schließlich is G ein Unerzusammenhang), also (e + g) = (e). Offenbar is addiiv und erfüll die Leibnizregel. Daher is (E/G, ) ein Zusammenhang und per Definiion is die sandard Resklassenabbildung E E/G ein flacher Homomorphismus Definiion Sei (E, ) wie immer ein formeller Zusammenhang und sei M E ein irreduzibler Unerzusammenhang. Dann sagen wir (V M, ) E is eine isoypische Komponene von E mi irreduziblen Fakor M, falls V M maximal mi der folgenden Eigenschaf is: V M besiz eine Filrierung mi Zusammenhängen V i, die (i) V 1 = M und (ii) V i+1 /V i = M für i = 1,..., m 1 V 1 V 2... V m = V M erfüllen. Dabei sind die Isomorphismen jeweils flach Saz Sei (E, ) ein formeller Zusammenhang. Dann besiz E eine Zerlegung in isoypische Komponenen (E, ) = (V M j, j ) j Dabei sind die M j irreduzible Unerzusammenhänge von E, die nich isomorph zueinander sind. Die Zerlegung is bis auf Isomorphie eindeuig. Bevor wir den Saz beweisen, ers noch ein Lemma Lemma Sind M und P zwei irreduzible, nich isomorphe Zusammenhänge und V M sowie V P isoypische Komponenen mi irreduziblen Fakoren M beziehungsweise P, so gil:

14 14 2 FORMELLE ZUSAMMENHÄNGE (i) Hom(M, P ) = 0 (ii) Hom(V M, P ) = 0 (iii) Hom(V M, V P ) = 0 Beweis. (i) haben wir schon gesehen (2.7). Kommen wir zu (ii). Sei also ϕ : V M P ein flacher Homomorphismus und M = V 1... V m = V M eine gemäß 2.10 exisierende Filrierung. Wir zeigen ϕ Vi = 0 für i = 1,..., m. ϕ V1 is Null wegen (i). Sei nun ϕ Vi = 0 für ein i {1,..., m 1}. Dann induzier ϕ einen flachen Homomorphismus ϕ : V i+1 /V i P. Aber per Definiion der Filrierung is V i+1 /V i = M, daher is (wegen (i)) ϕ = 0 und somi auch ϕ Vi+1 = 0. Wenden wir uns (iii) zu. Sei ϕ Hom(V M, V P ) und W 1... W l = V P eine Filrierung von V P. Dann is die Zusammensezung der sandard Resklassenabbildung mi ϕ, V M ϕ V P W l /W l 1 = P, ein Elemen aus Hom(V M, P ) und is somi gleich Null (nach (ii)). Das bedeue aber, daß ϕ eigenlich ein Elemen aus Hom(V M, W l 1 ) is. Die Behaupung folg indukiv. Beweis des Sazes. Zuers bemerken wir, daß jeder Zusammenhang naürlich einen irreduziblen Unerzusammenhang besiz. In der Ta, is E selbs nich irreduzibel, so gib es per Definiion einen echen von Null verschiedenen Unerzusammnehang von E. Is dieser irreduzibel sind wir ferig, ansonsen wiederholen wir das Argumen und erreichen so gewiß unser Ziel, da ja schließlich alles endlich dimensional is und Rang 1 Zusammenhänge irreduzibel sind. Wenden wir uns nun der Exisenz einer Zerlegung, wie in der Behaupung zu. Wir machen Indukion über den Rang von E. Offenbar is die Aussage erfüll, falls Rang E = 1. Sei also Rang E = n und die Behaupung wahr für Zusammenhänge kleineren Ranges. Sei M E ein irreduzibler Unerzusammenhang, dann besiz E/M nach Indukionsannahme eine Zerlegung in isoypische Komponenen E/M = (V M j, j ) mi irreduziblen und paarweise nich isomorphen Zusammenhängen M j. Wir unerscheiden zwei Fälle. Erser Fall: M is zu keinem M j isomorph. Dann sezen wir V M := M; offenbar is das eine isoypische Komponene von E. Es bleib zu zeigen: E = V M j V M j (= M E/M). Das Lemma sag uns Hom(V M j, M) = 0 für alle j und somi haben wir auch Hom( j V M j, M) = 0. Also sag uns 2.8, daß die exake Sequenz von Zusammenhängen 0 M E E/M 0 spale und das beweis die Exisenz in diesem Fall. Zweier Fall: M is isomorph zu einem M j, sagen wir M 1. Es gib einen Zusammenhang V M, der uns folgendes kommuaives Diagramm mi exaken Reihen und Spalen liefer: M V M π V M V M M E π E/M 0 Wobei π die sandard Resklassenabbildung is. Wir können V M ganz konkre angeben, und zwar (V M, M ) := (π 1 (V M 1 ), π 1 (V M 1 )). Wir wollen kurz sehen, daß dies in der

15 15 Ta ein Zusammenhang is. Sei v V M = π 1 (V M 1 ), dann haben wir, da π ein flacher Homomorphismus is, π( M (v)) = 1 (π(v)) V M 1 Ω 1. Also is M eine Abbildung von V M nach V M Ω 1 und somi is (V M, M ) rivialerweise auch ein Zusammenhang. Offenbar erfüll V M das Diagramm. Als nächses zeigen wir, daß V M eine isoypische Komponene von E is. Sei M = M 1 = V 1... V m = V M 1 eine nach Indukionsannahme und gemäß 2.10 exisierende Filrierung von V M 1. Wie oben definieren wir Zusammenhänge V i := π 1 (V i ) für i = 1,..., m. Also is M =: V 0 V 1... V m = V M eine Filrierung von V M mi V i+1 /V i = (Vi+1 /M)/(V i /M) = V i+1 /V i = M für i = 0,..., m 1. V M is maximal mi dieser Eigenschaf, da V M 1 es is. Das heiß V M is eine isoypische Komponene von E. Um endlich Gewißhei über die Exisenz unserer Zerlegung zu erlangen, fehl nur noch, daß die exake Sequenz 0 V M E E/V M = V Mj 0 j mi M j =M spale. Also wollen wir wieder Hom( M j =M V M j, V M ) = 0; das folg aber direk aus 2.12 (iii). Kommen wir nun zur Eindeuigkei. Seien j V M j = i V P i zwei isomorphe Zerlegungen in isoypische Komponenen, wobei jeweils die M j und die P i paarweise nich isomorph sind. Wegen P i V P i V P l V M j l j und da P i irreduzibel is, is P i ein Unerzusammenhang eines V M j für ein j. Sei M = V 1... V m = V M j die Filrierung von V M j. Dann wird ein flacher Homomorphismus P i V M j V M j /V m 1 = M j induzier. Aber P i und M j sind irreduzibel, also is dieser Homomorphismus enweder ein Isomorphismus, das heiß P i = Mj, oder er is gleich Null, das heiß P i V m 1 und dann folg P i = Mj durch Ieraion. Also is jedes P i isomorph zu einem M j und umgekehr und somi is jedes V P i auch eine isoypische Komponene mi einem irreduziblen Fakor M j und umgekehr. Insbesondere haben wir genauso viele P i wie M j, daher können wir ohne Einschränkung annehmen P i = Mi. Dann liefer uns 2.12 (iii) Hom(V M j, V P i ) = 0 für i j. Deswegen erhalen wir aus dem Isomorphismus i V M i = i V P i für alle i einen injekiven Homomorphismus V M i V P i.(denn für i j is der Homomorphismus V M i V Ms V P Projekion s V P j gleich Null). Es folg direk V M i = V P i und das beende den Beweis Definiion Ein formeller Zusammenhang (E, ) heiß unzerlegbar, falls er nich als direke Summe von Zusammenhängen kleineren Ranges geschrieben werden kann Bemerkung Jeder formelle Zusammenhang läß sich eindeuig als direke Summe unzerlegbarer formeller Zusammenhänge schreiben. Beweis. Die Exisenz einer solchen Zerlegung is offensichlich. Seien nun i V i = j W j zwei Zerlegungen in unzerlegbare Zusammenhänge. Da also insbesondere die V i unzerlegbar sind, gib es für jedes i 0 ein j 0, so daß V i0 ein Unerzusammenhang von W j0 is. Daher erhalen wir i V i/v i0 = i i 0 V i = j j 0 W j W j0 /V i0. Daraus folg j W j = i V i =

16 16 2 FORMELLE ZUSAMMENHÄNGE j j 0 W j (W j0 /V i0 ) V i0 und somi W j0 = (W j0 /V i0 ) V i0. Aber W j0 is unzerlegbar, also is W j0 /V j0 = 0. Ferig Lemma Jeder unzerlegbare formelle Zusammenhang is isomorph zu einem formellen Zusammenhang M U, dabei is M ein irreduzibler Zusammenhang und U ein regulär singulärer, der eine Marixdarsellung (nilpoener Jordanblock)d/ besiz. Zum Beweis ziieren wir ([BBE], 5.9.(a)(iii)) Korollar Sei (E, ) ein formeller Zusammenhang. Sei V M eine isoypische Komponene von E mi irreduziblen Fakor M. Dann is V M isomorph zu einem Zusammenhang M i U i, mi regulär singulären Zusammenhängen U i, die eine Marixdarsellung (nilpoener Jordanblock)d/ besizen. Diese Darsellung von V M is bis auf Isomorphie eindeuig besimm. (Es sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die Marixdarsellung der U j nur aus einem Jordanblock beseh und nich aus mehreren, wie es bei einer Jordanmarix der Fall wäre.) Beweis. Wir schreiben V M = s i=1 W i, mi unzerlegbaren Zusammenhängen W i. Dann gib es nach 2.15 für alle i einen irreduziblen Zusammenhang M i und einen regulär singulären Zusammenhang U i mi Marixdarsellung (nilpoener Jordanblock)d/ (geschrieben in einer Basis {e i1,..., e ini }), so daß W i = M i U i. Es bleib zu zeigen, daß die M i alle isomorph zu M sind. Wir definieren eine Abbildung ϕ i : M i W i, m i m i e i1. Das is offenbar ein injekiver Vekorraumhomomorphismus und es gil Wi (ϕ i (m i )) = Mi (m i ) e i1 + m i Ui (e i1 ). Aber per Definiion der Basis is Ui (e i1 ) = 0 und daher is Wi (ϕ i (m i )) = Mi (m i ) e i1 = ϕ i ( Mi (m i )). Also is ϕ i auch flach. Sei M = V 1... V m = V M die Filrierung von V M als isoypische Komponene und i 0 {1,..., s}. Wir haben eine Sequenz von flachen Homomorphismen: ϕ i0 Einbeung M i0 W i0 W i V M Reskl.-Abb. V M /V m 1 = M Wir bezeichnen die Inklusion M i0 V M mi ψ io und die Resklassenabbildung V M V M /V m 1 mi π m. Is nun 0 π m ψ i0 Hom(M i0, M), so folg M i0 = M (wegen 2.7) und wir sind ferig. Is π m ψ i0 = 0, so is ψ i0 Hom(M i0, V m 1 ) und wir erhalen eine Sequenz ψ i0 π m 1 Vm 1 V m 1 /V m 2 = M M i0 Also liefer uns die Wiederholung des Argumens früher oder späer M i0 = M. Die Eindeuigkei dieser Darsellung folg, da die Zerlegung in unzerlegbare Komponenen von V M nach 2.14 eindeuig is Definiion Sei (E, ) ein formeller Zusammenhang. Wir sagen E = j (M j i U ji) is die Prima-Sandard-Zerlegung von E, falls folgendes gil: (i) Die M j sind paarweise nich isomorphe, irreduzible formelle Zusammenhänge, (ii) die U ji sind regulär singuläre formelle Zusammenhänge, deren Marix in einer gewissen Basis der Gesal (nilpoener Jordanblock)d/ is und

17 17 (iii) E = j (M j i U ji) is die Zerlegung in isoypische Komponenen aus Wir sagen,, Marix von U ji, wenn wir uns auf die Marix aus (ii) beziehen Bemerkung Aus 2.11 und 2.16 folg: Jeder formelle Zusammenhang besiz eine bis auf Isomorphie eindeuige Prima-Sandard-Zerlegung. 3 Irreduzible Zusammenhänge und Körpererweierungen Bisher haben wir die Srukur formeller Zusammenhänge unersuch und haben gezeig, daß wir jeden formellen Zusammenhang in eine direke Summe von Zusammenhängen der Gesal M U mi einem irreduziblen M und einem regulär singulären U zerlegen können. Außerdem wissen wir, daß die Marix eines solchen U in einer guen Basis einfach (nilpoener Jordanblock)d/ is. Allein über die irreduziblen Zusammenhänge können wir bisher nichs Genaues sagen. In diesem Abschni wollen wir das ändern. Und zwar unersuchen wir das Verhalen irreduzibler Zusammenhänge uner Körpererweierungen: k((z)) k(()) mi z n =. Wir werden ein Lemma von Beilinson (siehe [B]) beweisen, daß besag: jeder irreduzible Zusammenhang komm in gewisser Weise von einem Rang 1 Zusammenhang über einem größeren Laurenkörper her. In diesem Abschni sagen wir auch k(())-zusammenhang sa formeller Zusammenhang über k(()). 3.1 Definiion Sei n N und z ein Elemen aus dem Abschluß von k(()) mi z n =. Sei ψ der Körperhomomorphismus ψ : k(()) k((z)) = k(())[x] (x n, zn ) Wir idenifizieren die Galoisgruppe der Körpererweierung k((z)) k(()) Gal(k((z))/k(())) mi der Gruppe der n-en Einheiswurzeln µ n. (i) Sei (F, ) ein k((z))-zusammenhang. Dann bezeichnen wir mi (ψ F, ψ ) = ψ F den Zusammenhang F aufgefass als k(())-zusammenhang. (ii) Sei F wie oben und σ µ n. Wir definieren: σ F := (F, ) σ (k((z)), d) = F σ k((z)). Dabei is F σ k((z)) das übliche Tensorproduk mi g(z)f h(z) = f g(σ(z))h(z) für g, h k((z)) und f F. Es is ein k((z))-vekorraum mi skalarer Muliplikaion g(z) (f h(z)) = f g(z)h(z). (iii) Sei (E, ) ein k(())-zusammenhang. Wir definieren den k((z))-zusammenhang ψ E über ψ E := (E, ) k(()) (k((z)), d) = E k(()) k((z)). 3.2 Bemerkung Wir wollen uns kurz anschauen, wie sich (i), (ii) und (iii) auf die Marixdarsellungen auswirken. (i) Wir berachen nur einen Rang 1 Zusammenhang über k((z)). (Das is ersens einfacher und zweiens auch der einzige Fall den wir benöigen. Allgemein geh

18 18 3 IRREDUZIBLE ZUSAMMENHÄNGE UND KÖRPERERWEITERUNGEN es aber genauso.) Sei also L ein Rang 1 Zusammenhang, 0 e L und (e) = ω(z)e k((z)) dz d z e. Da = n dz z, haben wir k((z)) dz z = (k(())... k(())zn 1 ) d. Also gib es ω i () k(()) d mi ω(z) = ω 0 () + ω 1 ()z +... ω n 1 ()z n 1. Dann is die Marix von ψ L in der k(())-vekorraumbasis {e, ez,..., ez n 1 } gleich ω 0 () ω n 1 ()... ω 1 () ω 1 () ω 0 () + 1 d n... ω 2 ()... ω n 1 () ω n 2 ()... ω 0 () + n 1 n (ii) Sei {f 1,..., f m } eine Basis von F über k((z)) und A(z) = (a ij (z)) n i,j=1 die Marix von in dieser Basis. Dann is m m m (f i 1) = a ji (z)f j 1 = f j a ji (σ(z)) = a ji (σ(z))(f j 1) j=1 j=1 d j=1. Also is die Marix von σ F in der Basis {f i 1} i gleich A(σ(z)) = σ(a(z)). (iii) Is B() die Marix von E in der Basis {e 1,..., e m }, so können wir wie in (ii) zeigen, daß die Marix von ψ E in der Basis {e i 1} i gleich B(z n ) is. 3.3 Saz (Level, ([L], 1. Theorem II, Seie 9)) Sei (P, ) eine direke Summe irreduzibler Zusammenhänge über k(()). Dann gib es ein n N, eine Körpererweierung k(()) k((z)) mi z n = und k((z))-zusammenhänge L i vom Rang 1, so daß ψ P = i L i. Wir sagen P is diagonalisierbar über einer endlichen Körpererweierung. Die Aussage des folgenden Lemmas finde sich auch in ([B], Beweis von Lemma 1. (i)). 3.4 Lemma Seien k((z)), k(()), ψ und µ n wie in 3.1. Sei (L, ) ein k((z))-zusammenhang vom Rang 1. Dann gil die Formel: ψ ψ L = σ µ n σ L Beweis. Der Beweis läuf uner dem Moo: Rechenspaß für Groß und Klein. Wir schreiben Ω 1 x für k((x)) dx x und idenifizieren den Vekorraum L mi k((z)). Sei ω(z) Ω1 z mi (1) = ω(z). Nach Voraussezung is Ω 1 z = Ω 1 Ω 1 z... Ω 1 z n 1, also gib es ω i () Ω 1 mi (1) = ω(z) = ω 0 ()+ω 1 ()z+...+ω n 1 ()z n 1. Schließlich sellen wir fes: als Vekorraum is ψ ψ L nichs anderes als (k(()) k(())z... k(())z n 1 ) k(()) k((z)). Wir suchen nun eine Basis {ε 0,... ε n } des n-dimensionalen k((z))-vekorraumes ψ ψ L, die (ε i ) = ω(σ i (z))ε i ( )

19 19 erfüll für ein primiives Elemen σ aus µ n. Dann is nach 3.2 (ii) k((z))ε i isomorph zu σ i L und das liefer die Behaupung. Wir definieren ε 0 := z 1 z zn 1 1 z n 1 ε 1 := z σ( 1 z ) zn 1 σ( z n 1 ).. ε n 1 := z σ n 1 ( 1 z ) zn 1 σ n 1 1 ( z n 1 ) und zeigen: die {ε i } bilden eine Basis und erfüllen ( ). Seien also a i k((z)), i = 0,..., n 1, mi a i ε i = 0. Schreiben wir σ(z) = ξz für eine n-e primiive Einheiswurzel ξ und beachen, daß {1 1,..., z n 1 1/z n 1 } offenbar eine Basis is, so folg ai = a i ξ i = a i ξ 2i =... = a i ξ (n 1)i = 0 oder auch ξ... ξ n 1 1 ξ 2... ξ 2(n 1)... } 1 ξ n 1... {{ ξ (n 1)2 } =:Λ a 0 a 1 a 2. a n 1 = 0 Aber de Λ = 0 i<j n 1 (ξj ξ i ) 0 (Vandermonde-Deerminane), also bilden die {ε i } eine Basis. Nun wollen wir ein bißchen rechnen: n 1 ( (ε 1 ) = (ω(z)z j ) 1 ) ( σ(z j + dz j 1 ) ( ) σ(z j + z j d 1 ) ) σ(z j ) j=0 Aus d/ = ndz/z folg dz j = jz j 1 dz = j n zj d/ und daher dz j 1 σ(z j ) = j n zj dzn 1 z n σ(z j ) = j n zj n dσ(z) σ(z) 1 σ(z j ) = zj d 1 σ(z j ) Also k=0 n 1 (ε 1 ) = ω(z)z j 1 n 1 σ(z j ) = k=0 j=0 n 1 = n 1 = n k 1 j=0 n k 1 j=0 n 1 j=0 k=0 ω k ()z k+j 1 n 1 σ(z j ) + j=n k ω k ()z k+j 1 σ(z j ) ω k ()z k+j 1 σ(z j ) z j+k 1 σ(z k ) σ(z j ) σ(z k ) ω k 1 k(z n ) + ω k ()z j+n 1 σ(z j k+n ) j=0

20 20 3 IRREDUZIBLE ZUSAMMENHÄNGE UND KÖRPERERWEITERUNGEN n 1 = k=0 n k 1 j=0 ( ) z j+k 1 σ(z j+k σ(z k )ω k (z n ) + ) k 1 z j z n 1 σ(z k ) σ(z j k+n ) σ(z k ) ω k(z n ) n 1 n k 1 = z j+k 1 σ(z j+k ) + k 1 z j 1 σ(z j ω k (z n )σ(z k ) = ω(σ(z))ε 1 ) k=0 j=0 j=0 }{{} =ε 1 Ersezen wir σ durch σ i erhalen wir die ensprechende Aussage für die anderen ε i und das liefer die Behaupung. Bevor wir nun den am Anfang dieses Abschnis versprochenen Saz zeigen, daß jeder irreduzible Zusammenhang von einem Rang 1 Zusammenhang über einem größeren Laurenkörper herkomm, benöigen wir noch ewas echnischen Firlefanz. 3.5 Lemma Ein Unerzusammenhang einer direken Summe von formellen irreduziblen Zusammenhängen is ein direker Fakor dieser Summe, das heiß er is selbs eine direke Summe gewisser formeller irreduzibler Zusammenhänge. Mehrere solcher Aussagen sind in ([L], 1. e), Seie 6) aufgelise. Beweis. Sei F = i M i mi irreduziblen M i s und sei E ein Unerzusammenhang von F. Aus 2.14 wissen wir, daß sich E als direke Summe unzerlegbarer Unerzusammenhänge schreiben läß. Nun is so ein unzerlegbarer Unerzusammenhang von E aber insbesondere ein Unerzusammenhang von i M i und daher folg aus der Unzerlegbarkei, daß dies ein Unerzusammenhang eines der M i s sein muß. Da die M i irreduzibel sind, folg die Behaupung unmielbar. 3.6 Lemma Seien k(()) k((z)) und ψ wie in 3.1. Sei (E, ) ein k(())-zusammenhang. Wir bezeichnen mi L j den Zusammenhang (k(()), j ) mi j (1) = j d n. Dann gil: j=0 ψ ψ E n 1 = E L j j=0 Beweis. Sei {e 1,..., e m } eine Basis von E und A() sei die Marixdarsellung von E in dieser Basis. Dann is {e 1 1,..., e m 1,..., e 1 z n 1,..., e m z n 1 } eine k(())-vekorraumbasis von ψ ψ E = ( i k(())e i) k(()) ( n 1 j=0 k(())zj ), auf die die Zusammenhangsabbildung folgendermaßen wirk (wir idenifizieren die e i mi den ensprechenden Spalenvekoren): ψ ψ (e i z j ) = (A()e i ) z j + e i jz j 1 dz Schreiben wir dz = z d n und nennen E j den von {e 1 z j,..., e m z j } aufgespannen k(())-unervekorraum von ψ ψ E, so erhalen wir ψ ψ (e i z j ) = (A() + id j d n )e i z j E j Ω 1 Also is E j ein Unerzusammenhang von ψ ψ E, der offenbar isomorph zu E L j is und das liefer die Behaupung.

21 Lemma Seien k(()) k((z)) und ψ wie in 3.1. Wir bezeichnen mi L j wieder den Zusammenhang (k(()), j ) mi j (1) = j d n. Desweieren sei E ein k(())-zusammenhang und M ein irreduzibler k(())-zusammenhang, so daß ψ E ein Unerzusammenhang von ψ M is. Dann gib es einen flachen Isomorphismus Das j is eindeuig besimm. E = M L j für ein j {0,..., n 1}. Beweis. Wir haben also ψ E ψ M und somi nach 3.6 auch ( ) ψ ψ E n 1 n 1 = E L j ψ ψ = M L i. j=0 Wir bemerken, daß mi M auch die M L i irreduzibel sind. (Denn: Wir definieren L 1 i durch (k(()), i ) mi i (1) = i (1). Is dann P ein von Null verschiedener Unerzusammenhang von M L i, so is P L 1 i ein Unerzusammenhang von M L i L 1 i = M, also isomorph zu M und somi is P auch isomorph zu M L i.) Wegen ( ) gib es insbesondere einen von Null verschiedenen flachen Homomorphismus φ : E M L j für ein j. Jedoch is das Bild von φ dann ein von Null verschiedener Unerzusammenhang von M L j, also muß φ surjekiv sein. Aber nach Voraussezung is der Rang von M mindesens so groß, wie der von E und daher is Rang E = Rang M und φ somi ein Isomorphismus. Is M L i = E = M Lj für i j, so muß L i L 1 j isomorph zu dem rivialen Zusam- in der Basis 1 1 is i j d n. Also is, ein Widerspruch! Daher is j eindeuig menhang (k(()), d)) sein. Aber die Marix von L i L 1 j nach 2.5 Null keine Marixdarellung von L i L 1 besimm. Das war s. j i=0 3.8 Definiion Sei k(()) k((z)) und µ n wie in 3.1. Dann sagen wir ein k((z))- Zusammenhang E is µ n -äquivarian, falls eine Marixdarsellung A von E exisier mi σ(a) = A für alle σ aus µ n. Ein k((z))-zusammenhang M heiß µ n -irreduzibel, falls er selbs µ n -äquivarian is und jeder µ n -äquivariane Unerzusammenhang enweder isomorph zu M oder gleich 0 is. 3.9 Lemma Seien k(()) k((z)), ψ und µ n wie in 3.1. Dann gil: (i) Is F ein µ n -äquivarianer k((z))-zusammenhang, so is σ F = F für alle σ µ n. (ii) Für jeden µ n -äquivarianen k((z))-zusammenhang F gib es einen k(())- Zusammenhang E mi ψ E = F. (iii) Is E ein k(())-zusammenhang, so is ψ E µ n -äquivarian. (iv) M is ein irreduzibler k(())-zusammenhang genau dann, wenn ψ M ein µ n - irreduzibler k((z))-zusammenhang is. (v) Ein Rang 1 Zusammenhang L über k((z)) is µ n -äquivarian genau dann, wenn σ L isomorph zu L is für alle σ µ n.

22 22 3 IRREDUZIBLE ZUSAMMENHÄNGE UND KÖRPERERWEITERUNGEN Beweis. (i) und (ii) Per Definiion besiz ein µ n -äquivarianer Zusammenhang F eine Basis {e 1,..., e m }, so daß die Marix A(z) von F in dieser Basis σ(a(z)) = A(z) für alle σ µ n erfüll. Dann definier e i e i 1 einen Isomorphismus von F nach σ F (wegen 3.2 (ii)). Außerdem sag uns die Galoisheorie, daß wir A(z) auch als B(z n ) schreiben können. Wir definieren einen Zusammenhang E = m i=1 k(())e i mi Marix B() (in der Basis {e i }). Dann is offenbar ψ E = F (wegen 3.2 (iii)). (iii) Folg direk aus 3.2 (iii). (iv) Sei M ein irreduzibler k(())-zusammenhang. Is F nun ein von Null verschiedener µ n -äquivarianer Unerzusammenhang von ψ M, so folg aus (ii) die Exisenz eines k(())-zusammenhangs E mi F = ψ E. Dann liefer uns 3.7, daß der Rang von M gleich dem von E is, also F = ψ M. Sei nun ψ M µ n -irreduzibel. Is E ein von Null verschiedener Unerzusammenhang von M, so is nach (iii) ψ E ein von Null verschiedener µ n -äquivarianer Unerzusammenhang von ψ M und somi isomorph zu ψ M. Also is E isomorph zu M. (v) Die eine Richung folg aus (i). Sei nun σ L isomorph zu L für ein σ µ n. Nach 2.5 exisier ein e L und ein ω k[ 1 z ] dz z mi e = ωe. Dann is die Marix von σ L in der Basis e 1 gleich σ(ω) k[ 1 z ] dz z. Schick nun der Isomorphismus von σ L nach L den Basisvekor e 1 auf ein f L, so muß gelen f = σ(ω)f. Aus 2.5 folg, daß es ein p Z geben muß mi ω = σ(ω) + p dz dz z. Aber wir haben σ( z ) = dz z und daher muß p gleich 0 sein, also ω = σ(ω). Das liefer die Behaupung Lemma Seien n und m N und N := mn. Wir bezeichnen mi ψn N den Körperhomomorphismus ψn N : k(( 1/n )) k(( 1/N )), 1/n ( 1/N ) m. Desweieren sei L ein µ m -äquivarianer k(( 1/N ))-Zusammenhang vom Rang 1. Dann is für ein σ µ N /µ m und einen Verreer σ µ N der Ausdruck σ L := σ L wohl definier (nach 3.9 (i)). Außerdem sag uns 3.9 (ii), daß es einen k(( 1/n ))-Zusammenhang L 0 gib mi ψn N L 0 = L. Dann gil: σ L = ψn N τ L 0 σ µ N /µ m τ µ n Beweis. Sei ω( 1/n ) die Marix von L 0 bezüglich eines Basisvekors e. Dann is die Marix von L in der Basis e 1 gleich ω(( 1/N ) m ). Sei σ ein primiives Elemen von µ N, dann können wir für jedes Elemen aus µ N /µ m genau einen Verreer aus {id, σ,..., σ n 1 } wählen und wir haben µ n = {id, σ m,..., σ m(n 1) }. Wir müssen also nur noch sehen, daß die Marix von σ j L in der Basis e 1 gleich der Marix von ψn N σ mj L 0 in derselben Basis is für j = 0,..., n 1. Das folg aber direk aus 3.2, denn berachen wir σ als N-e Einheiswurzel, so is die Marix von σ mj L 0 gleich ω(σ mj 1/n ) und somi is die von ψ N n σ mj L 0 gleich ω(σ mj ( 1/N ) m ) = ω((σ j 1/N ) m ) und das is auch die Marix von σ j L. Ferig. Der folgende Saz is ein Lemma von Beilinson (siehe ([B], Lemma 1.)) 3.11 Saz Sei k((z)) k(()) eine Körpererweierung mi z n =, µ n =Gal(k((z))/k(())) und sei ψ der Körperhomomorphismus ψ : k(()) k((z)), z n. Wir bezeichnen mi

23 23 M irr,n () die Kaegorie der irreduziblen formellen Rang n Zusammenhänge über k(()) und mi P(z) die Kaegorie der formellen Rang 1 Zusammenhänge L über k((z)), die zusäzlich σ L = τ L für σ τ µ n erfüllen. (Ein Morphismus zwischen zwei Objeken aus M irr,n () oder P(z) is ein flacher Homomorphismus und somi nach 2.7 enweder die Nullabbildung oder ein Isomorphismus.) Seien P(z) und M irr,n () die ensprechenden Mengen von Isomorphieklassen. Dann is die Abbildung ψ : P(z) M irr,n (), L ψ L eine Bijekion. Beweis (nach Beilinson). Zuers müssen wir sehen, daß unsere Abbildung auch wirklich da lande, wo sie landen soll. Das heiß wir zeigen: Is L P(z), so is ψ L M irr,n (). Nach 3.4 is ψ ψ L = σ µ n σ L, daher is ψ ψ L µ n -irreduzibel. Denn jeder Unerzusammenhang von ψ ψ L is nach 3.5 isomorph zu einer direken Summe von Rang 1 Zusammenhängen σ L für gewisse σ µ n. Da aber die σ L paarweise nich isomorph sind, muß jeder von Null verschiedene µ n -äquivariane Unerzusammenhang E eine direke Summe von allen σ L, also gleich ψ ψ L sein. (Ansonsen gäbe es ein τ µ n mi τ E = E, was 3.9 (i) widerspräche.) Also is ψ ψ L µ n -irreduzibel und somi is (wegen 3.9 (iv)) ψ L irreduzibel. Wir haben also gezeig: ψ L M irr,n (). Offenbar is ψ injekiv auf den Isomorphieklassen (ψ L is ja der selbe Zusammenhang wie L, nur aufgefass als Zusammenhang über k(())). Wir müssen also nur noch zeigen: Jeder irreduzible k(())-zusammenhang M vom Rang n is isomorph zu einem ψ L für ein L P(z). Es reich, wenn wir zeigen, daß es für jedes M M irr,n () ein L P(z) gib, das folgendes erfüll: ψ M = ψ ψ L = σ µ n σ L (Denn dann liefer 3.7 einen Isomorphismus M = ψ L L j, dabei is L j der Zusammenhang (k(()), j ) mi j (1) = j d n. Definieren wir L j,z als den Zusammenhang (k((z)), j,z ) mi j,z (1) = j dz z, so erhaen wir M = ψ (L L j,z ) und das is die Behaupung.) Sei also M M irr,n (). Sind m und N zwei naürliche Zahlen und m eil N, so bezeichnen wir mi ψm N die sandard Inklusion ψm N : k(( 1/m )) k(( 1/N )) und sezen ψ N := ψ1 N. Der Saz von Level (3.3) besag, daß für ein genügend großes N N ψ N M diagonalisierbar is. Vergrößern wir N is dies sicherlich immer noch richig, daher sezen wir ohne Einschränkung N := nm (m N groß genug). Es gib also Rang 1 Zusammenhänge L α über k(( 1/N )), α = 1,..., n, mi ψ N M = n α=1 L α. Möglicherweise sind einige L α isomorph zu anderen L β, wir schreiben daher ψ N M = mi P j nj = 1 L j und L j = Li für i j. Wir sezen L := L 1 und P := P 1. Die Elemene σ aus µ N, die σ L = L erfüllen, bilden eine Unergruppe, die wir mi µ m idenifizieren können. Wir schreiben N = m s für ein s N. Nun is L also nach 3.9 (v) µ m -äquivarian p j=1 P j

24 24 3 IRREDUZIBLE ZUSAMMENHÄNGE UND KÖRPERERWEITERUNGEN und somi auch P. Insbesondere is für ein σ µ N /µ m und einen Verreer σ µ N der Ausdruck σ P := σ P wohl definier. Wir wollen nun zeigen: σ P = ψ N M ( ) σ µ N /µ m Sei id σ µ N /µ m. Die µ N -Äquivarianz von ψ N M liefer, daß σ P ein Unerzusammenhang von ψ N M is. Aber wir haben σ L = L (per Definiion von µm ), daher is σ P P jσ für ein j σ 1. Offenbar is j σ j τ für τ σ µ N /µ m. Also is σ µ N /µ m σ P ein Unerzusammenhang von ψ N M. Nach 3.9 (ii) und 3.10 gib es einen k(( 1/s ))-Zusammenhang L 0 mi σ µ N /µ m σ P = n 1 1 σ µ N /µ m σ L = ψ N s n 1 1 τ µ s τ L = ψ N s ψ s ψ s n 1 1 L 0 = ψ N ψ s n 1 L 0 Daran sehen wir (mi 3.9 (iii)), daß σ µ N /µ m σ P ein µ N -äquivarianer Unerzusammenhang von ψ N M is. Aber nach 3.9 (iv) is ψ N M µ N -irreduzibel und wir erhalen die angekündige Isomorphie ( ). Daraus können wir folgern, daß P µ m -irreduzibel is. Denn ein von Null verschiedener µ m -äquivarianer Unerzusammenhang E von P is nach 3.5 isomorph zu einer direken Summe von Kopien von L und liefer daher genau wie oben einen µ N -äquivarianen Unerzusammenhang σ µ N /µ m σ E von ψ N M. Daher is σ E = ψ N M = σ P und somi E = P. Nun is also L ein µ m -äquivarianer Unerzusammenhang des µ m -irreduziblen P s und somi isomorph zu P. Das heiß ψ N M = σ µ N /µ m σ L = ψ N s τ µ s τ L 0 = Also is s = n, dami auch m = m. Insbesondere is L also µ m -äquivarian und L 0 ein Zusammenhang über k((( 1/N ) m )) = k((z)) mi ψn N L 0 = L. Fassen wir nun alles zusammen, so erhalen wir ψn N (ψ M) = ψ N M = σ L = ψn N τ L 0 σ µ N /µ m τ µ n Also ψ M = τ µ n τ L 0 und die τ L 0 sind paarweise nich isomorph (da die σ L, σ µ N /µ m, es nich sind), das heiß L 0 P(z) und wir sind ferig. n α=1 L α 1

25 25 4 Die Gabber-Kaz-Forsezung Dieser Abschni is der eigenliche Kern dieser Arbei. Wir werden einen Saz von O. Gabber und N. Kaz (siehe ([K-1],(2.4.10) Theorem) oder auch ([K-2], Main Theorem )) beweisen, nämlich, daß sich jeder formelle Zusammenhang zu einem im Unendlichen regulär singulären Zusammenhang auf ganz G m in kanonischer Weise forsezen läß. Unser Beweis liefer aber im Unerschied zu dem von Gabber und Kaz ein konkrees Konsrukionsverfahren dieser Forsezung und zusäzlich erhalen wir, daß die Forsezung die Prima-Sandard-Zerlegung des formellen Zusammenhangs respekier. In diesem Abschni benuzen wir folgende Noaionen: G m, = Spec k[, 1 ]; wir schreiben G m, falls die Variable klar is. ϕ sei der Morphismus von Schemaas ϕ : Spec k(()) G m,, der von der Inklusion k[, 1 ] k(()) induzier wird. Für ein beliebiges N N sei π N : G m, 1/N G m, der Morphismus, der von der Inklusion k[, 1 ] k[1/n 1, ] induzier wird. Wir bezeichnen mi ψ N den sandard Körperhomomorphismus k(()) k(( 1 N )) und mi den einen Punk aus Spec k(()) (also das 1/N Null-Ideal in k(())). 4.1 Definiion Sei (E, ) ein Zusammenhang auf G m,. Dann definieren wir F orm (E, ) := ((ϕ E)( ), (ϕ )( )) Dabei is (ϕ E)( ) das inverse Bild von E uner dem Morphismus ϕ, ausgewere in der offenen Menge { } und (ϕ )( ) is die Abbildung, die in naürlicher Weise von auf (ϕ E)( ) induzier wird. Wir schreiben auch kurz F orm E. F orm seh für Formalisierung und das ha seine Berechigung, denn F orm E is ein formeller Zusammenhang über k(()). Wir wollen das einmal auseinandernehmen: Wir haben Ebenso (ϕ 1 E)( ) = lim (ϕ 1 U ϕ ( ) O Gm )( ) = lim E(U) = Halm von E im Punk ϕ ( ) = E ϕ( ) U ϕ ( ) O Gm (U) = O Gm,ϕ ( ) = k[, 1 ] (0) = k() (Daher is E ϕ( ) ein k()-vekorraum.) Außerdem is O Spec k(()) ( ) = k(()). Also insgesam ( (ϕ E)( ) = (ϕ 1 ) E) ϕ 1 O Gm O Spec k(()) ( ) = E ϕ( ) k() k(()) ( Rang E = 1 k(()) Bezeichnen wir mi ϕ( ) den von auf den Halm E ϕ( ) induzieren k- Vekorraumhomomorphismus und mi d die Differenialabbildung auf k(()), so is also F orm (E, ) gleich dem formellen Zusammenhang (E ϕ( ) k() k(()), ϕ( ) d). Offensichlich induzier jeder flache Morphismus G E einen flachen Homomorphismus F orm G F orm E. Is 0 E F G 0 eine exake Sequenz von Zusammenhängen, so liefer F orm eine exake Sequenz von formellen Zusammenhängen 0 F orm E F orm F F orm G 0. )

26 26 4 DIE GABBER-KATZ-FORTSETZUNG 4.2 Lemma (i) F orm is ein exaker Funkor von der Kaegorie der Zusammenhänge auf G m, in die Kaegorie der formellen Zusammenhänge über k(()). (ii) Seien E und G zwei Zusammenhänge auf G m, so is und F orm(e OGm G) = F orm(e) k(()) F orm(g) F orm(e G) = F orm(e) F orm(g) (Die Gleichhei is jeweils ein flacher Isomorphismus.) (iii) Sei (P, ) ein Zusammenhang auf G m,. Dann gil ψ N F orm (P, ) = F orm 1/N (π N (P, )) Beweis. (i) haben wir oben schon gesehen und (ii) is rivial. Das is (iii) eigenlich auch, aber wir schreiben es rozdem kurz auf. Wir sezen z := 1/N und bezeichnen mi d die Differenialabbildung auf O Gm,z und mi d x die auf k((x)). Dann haben wir F orm (P, ) = (P ϕ( ) k() k(()), d ). Also erhalen wir Auf der anderen Seie is ψ N F orm (P, ) = (P ϕ( ) k() k((z)), d z ) F orm z (π N (P, )) = ( (π N P) ϕz( ) k(z) k((z)), π N ) d z (( ) ) = P π N (ϕ z( )) Oπ N (ϕz( )) O ϕz( ) k(z) k((z)), ( d) d z Aber π N (ϕ z ( )) is das Null-Ideal in k[, 1 ], also gleich ϕ ( ). Daher haben wir F orm z (π N (P, )) = (( P ϕ( ) k() k(z) ) k(z) k((z)), ( d) d z ) = ( Pϕ( ) k() k((z)), d z ). Und ferig. 4.3 Definiion Sei (E, ) ein formeller Zusammenhang über k(()) und (E, ) ein Zusammenhang auf G m,. Dann sagen wir E is eine Forsezung von E auf G m,, falls F orm E = E is. 4.4 Definiion Wir sagen ein Zusammenhang (F, ) vom Rang n auf G m is eine sukzessive Exension des rivialen Zusammenhangs (O, d), falls F eine Filrierung F 1... F n = F besiz mi Zusammenhängen F i, die folgende Eigenschafen erfüllen: (i) F 1 is isomorph zum rivialen Zusammenhang (O, d). (ii) Für alle i 2 gib es eine exake Sequenz von Zusammenhängen 0 F i 1 F i O 0. Wir bezeichnen die Isomorphieklasse von 0 F i 1 F i O 0 in Ex 1 (O, F i 1 ) mi [F i ] und mi F orm[f i ] die Isomorphieklasse von 0 F ormf i 1 F ormf i k(()) 0 in Ex 1 (k(()), F ormf i 1 ).

27 4.1 Konsrukion einer Forsezung der U ji Definiion Sei U ein formeller Zusammenhang über k(()) und die Marix von U in der Basis {e 1,..., e n } sei (nilpoener Jordanblock)d/. Sei U i der formelle Zusammenhang, der durch {e 1,..., e i } erzeug wird und in dieser Basis die Marixdarsellung (nilpoener i i-jordanblock)d/ besiz. Dann is U 1 isomorph zu (k(()), d) und für alle i 2 erhalen wir eine exake Sequenz von Zusammenhängen 0 U i 1 U i (k(()), d) 0 e j e j 0 e i 1 Wir nennen U 1 U 2... U n = U die sandard Filrierung von U und bezeichnen mi [U i ] die Isomorphieklassen von 0 U i 1 U i k(()) 0 in Ex 1 (k(()), U i 1 ). Nun sind wir endlich sowei den Kernsaz dieser Arbei formulieren zu können. Es is ein Saz von O. Gabber und N. Kaz (siehe ([K-1], (2.4.10) Theorem) oder auch ([K-2], Main Theorem )). 4.6 Saz (Gabber-Kaz) Sei E ein formeller Zusammenhang über k(()) und sei E = j (M j i U d ji) die Prima-Sandard-Zerlegung von E und A ji die Marix von U ji (siehe 2.17). Sei m j := Rang M j, n ji := Rang U ji und Uji 1... U n ji ji die sandard Filrierung von U ji. Dann gib es Zusammenhänge M j und U ji Forsezungen von M j beziehungsweise U ji auf G m, mi folgenden Eigenschafen: (i) Für alle i, j is U ji regulär singulär in und außerdem eine sukzessive Exension des rivialen Zusammenhangs mi einer Filrierung Uji 1... U n ji ji, die für alle r F orm[uji r ] = [U ji r ] erfüll. (ii) Die M j sind regulär singulär in und π m j M j is isomorph zu einer direken Summe von Rang 1 Zusammenhängen auf G m, 1/m j, die ebenfalls regulär singulär im Unendlichen sind. (iii) Die U ji und M j sind mi den Eigenschafen (i) beziehungsweise (ii) bis auf Isomorphie eindeuig besimm. Insgesam gib es also eine Forsezung j (M j i U ji) von E auf G m,, die regulär singulär in is, die die Prima-Sandard-Zerlegung von E respekier und mi den Eigenschafen (i) und (ii) eindeuig (bis auf Isomorphie) besimm is. Wir werden im folgenden Schri für Schri ers die Forsezung der U ji, dann die von formellen Rang 1 Zusammenhängen und schließlich die Forsezung von irreduziblen Zusammenhängen konsruieren. 4.1 Konsrukion einer Forsezung der U ji Sei (U, ) ein regulär singulärer formeller Zusammenhang über k(()), dessen Marix in einer Basis sagen wir {e 1,..., e n } gleich Ad/ is mi einem nilpoenen Jordanblock A. Sei U 1... U n die sandard Filrierung von U. Wir Konsruieren nun einen Zusammenhang (U, ) auf G m wie folg: Sei U := n i=1 O G m e i die freie Garbe von O Gm -Moduln mi Basis {e 1,..., e n }. (Für eine offene Teilmenge V von G m is U(V ) = n i=1 O G m (V )e i.) Wir

28 28 4 DIE GABBER-KATZ-FORTSETZUNG definieren eine Zusammenhangsabbildung : U U Ω 1 G m, indem wir die (globale) Marix von bezüglich der Basis {e 1,..., e n } gleich Ad/ sezen. Wir bemerken, daß die Einräge von Ad/ enweder gleich 0 oder d/ sind, beides globale Schnie von Ω 1 G m, daher bilde in der Ta nach U Ω 1 G m ab. Wir zeigen nun (a) (U, ) is wohl definier, das heiß : Is {e 1,..., e n} eine andere Basis von U, bezüglich welcher die Marix von U ebenfalls gleich Ad/ is, so is {e 1,..., e n} auch eine andere Basis von U. (Die bezüglich {e i } und {e i } konsruieren Zusammenhänge sind also idenisch.) (b) (U, ) is eine Forsezung von (U, ), die regulär singulär in is. Außerdem is U eine sukzessive Exension des rivialen Zusammenhangs mi einer Filrierung U 1... U n = U, die für alle i F orm[u i ] = [U i ] erfüll. (c) U is mi der Eigenschaf (b) eindeuig bis auf Isomorphie besimm. Beweis von (a). Besiz U in den beiden Basen {e 1,..., e n } und {e 1,..., e n} die Marixdarsellung Ad/, so gib es eine k(())-linerare Abbildung (die wir mi der ensprechenden Marix geschrieben in der Basis {e i } idenifizieren) T GL(n, k(())) mi e i = T e i. Dann erfüll T A d = T 1 A d T + T 1 dt oder äquivalenerweise d d T = 1 (T A AT ). Wir wollen nun zeigen, daß T konsan is; die Behaupung folg dann unmielbar. Wir schreiben T = j= m j T j für konsane Marizen T j und ein m N. Wir erhalen: Also erfüllen die T j j= m j j 1 T j = j= m j 1 (T j A AT j ) T 0 A = AT 0 und jt j = T j A AT j für j 0. Um T j = 0 für j 0 schließen zu können, benuzen wir folgendes Lemma: 4.7 Lemma Seien A End(k m ) und B End(k n ) ohne gemeinsame Eigenwere. Dann is die Abbildung Hom(k n, k m ) Hom(k n, k m ), X AX XB bijekiv. Beweis des Lemmas. (Nach ([M], II Lemma(5.5))) Es reich die Injekiviä zu zeigen. Sei also AX = XB. Sei P ein Polynom mi Koeffizienen in k. Dann gil P (A)X = XP (B) (denn A j X = A j 1 XB =... = XB j ). Is P nun das minimale Polynom von A, so liefer der Saz von Cayley-Hamilon P (A) = 0, also auch XP (B) = 0. Aber nach Voraussezung is P (B) inverierbar. (Denn P (x) = (x λ i ), λ i Eigenwer von A. Daher is P (B) = (B λ i Id) und nach Voraussezung is (B λ i Id) inveriebar.) Somi is X = 0. Das beweis das Lemma. In unserem Fall läß sich das wie folg anwenden. Wir haben (jid + A)T j T j A = 0. Der