Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012

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1 Technische Universiä München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis für Physiker Lösung Monag SS 0 Aufgabe Gradien und Tangene ( ) Besimmen Sie zur Funkion f(x, y) = x y + xy + y die pariellen Ableiungen, den Gradienen bei (x, y) und (0, ) sowie die Tangene (in vekorieller Darsellung) an f bei (0,) f x = xy + y xy = f(x, y) = + y f x y y = x y + xy + + xy + f(0, ) = (, ) T = = ( und f(0, ) = ) Somi is die Tangene T = x 0 + λ = ( 0 + λ ) Aufgabe Gradien und Tangenialebene ( ) Sei f(x, y, z) = x e y sin(xz). Besimmen Sie f(x, y, z), f(π/,, ) sowie die Tangenialebene E an den Punk (π/,, ) Hinweis: Es is hier sinnvoll, die Koordinaendarsellung der Ebene (E : ax + by + cz = d) zu wählen anselle der vekoriellen Darsellung. So sparen Sie sich das Suchen von Tangenialvekoren. Erinnern Sie sich an die lineare Algebra. Wir schreiben der Einfachhei halber Vekoren als Zeilenvekoren, gemein sind aber Spalenvekoren. f(x, y, z) = (f x, f y, f z ) = e y sin(xz) ( + xyz cos(xz), x sin(xz), x y cos(xz)) f(π/,, ) = e(, π/, 0) Man weiß, dass der Gradien senkrech auf der Niveaufläche einer Funkion seh, also is er der Normalenvekor n = f(π/,, ) der gesuchen Tangenialebene. Aus der linearen Algebra solle bekann sein, dass in der Normalendarsellung der Ebene E gil: E : n x = d mi x = (x, y, z). Dabei is d der Absand der Ebene zum Ursprung, wir finden d, wenn wir uns erinnern, dass dieser Absand sich gerade als Skalarproduk von Aufpunk x 0 = (π/,, ) und Normalenvekor n berechnen läss. Somi ergib sich insgesam: f(π/,, ) x 0 = f(π/,, ) x Wir führen die Skalarproduke aus und erhalen dann: eπ = e(x + y π ), also E : x + π y = π Bie erinnern sich für diese Aufgabe an die Hesse-Normalenform. Jedoch is hier der Absand d nich der asächliche Absand mi der euklidischen Merik, da wir den Normalenvekor nich normier haben. Für die Rechnung mach es aber hier keinen Unerschied, da wir die Norm des Gradienen auf beiden Seien des Gleichheiszeichens weggelassen haben.

2 Aufgabe Problemkind parielle Ableiung ( ) Man besimme die pariellen Ableiungen von f sowie f(x, y) und f(, ) für die folgende Funkion: { x y f(x, y) = x +y für (x, y) (0, 0) für (x, y) = (0, 0) Wir besimmen zunächs allgemein die pariellen Ableiungen für (x, y) (0, 0) f x = x(x + y ) x(x y ) 4xy (x + y ) = (x + y ) für (x, y) (0, 0) f y = y(x + y ) y(x y ) (x + y ) = 4x y (x + y ) für (x, y) = (0, 0) Nun müssen wir noch den Nullpunk berachen, dazu gib es zwei Möglichkeien: a) Parielle Ableiungen am Nullpunk: f x (0, 0) = (f(x, 0)) x=0 = 0, da f(x, 0) = is. f y (0, 0) = (f(0, y)) y=0 exisier nich, da f(0, y) = b) Richungsableiungen am Nullpunk: f(0, 0) f x (0, 0) = (, 0) f((, 0)) f(0, 0) f(0, 0) f y (0, 0) = (0, ) f((0, )) f(0, 0) { für y 0 für y = 0 is 0 = 0 exisier nich Demensprechend exisier der Gradien naürlich auch nur außerhalb von (0, 0), hier is: 4xy y f(x, y) = (x + y ) für (x, y) (0, 0), also is f(, ) = x Aufgabe 4 Jacobi-Marix der Kugelkoordinaen ( ) r sin ϑ cos ϕ Die Kugelkoordinaen werden durch folgende Paramerisierung besimm: f(r, ϑ, ϕ) = r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ Besimmen Sie die Jacobi-Marix dieser Abbildung. sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ J f = sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ cos ϑ r sin ϑ 0 Aufgabe 5 Richungsableiung und Gradien ( ) Besimmen Sie die Richungsableiung von f(x, y, z) = x + e y sin z im Punk (, ln, π ) nach dem Vekor v = (,, 6) sowie die Ableiung in Richung v. Zuers berechnen wir den Gradienen: f(x, y, z) = x e y sin z = f(, ln, π e y ) = = cos z Außerdem brauchen wir noch die Normierung des Vekors v für den. Teil der Aufgabe: v = v v 7 =: v 0 Richungsableiung nach v (a) und Ableiung in Richung v 0 (b): (a) f( x 0) = f(, ln, π v ) v = = ( ) (b) f( x 0) = v ( )

3 Aufgabe 6 Mehrdimensionale Taylorenwicklung I ( ) Besimmen Sie die Taylorreihe bis zur. Ordnung von f(x, y) = cos(xy) + xe y an der Selle (x 0, y 0 ) = (π, ) f(x, y) = cos(xy) + xe y f(π, ) = + π f x (x, y) = y sin(xy) + e y f x (π, ) = f y (x, y) = x sin(xy) + xe y f = y (π, ) = π f xx (x, y) = y cos(xy) f xx (π, ) = f xy (x, y) = sin(xy) xy cos(xy) + e y f xy (π, ) = + π f yy (x, y) = x cos(xy) + xe y f yy (π, ) = π + π Dami ergib sich die Taylorreihe zu: f(x, y) + π + (x π) + π(y ) + [ (x π) + ( + π)(x π)(y ) + (π + π)(y ) ] = + π + π πx (π + π )y + x + ( + π)xy + (π + π )y Aufgabe 7 Mehrdimensionale Taylorenwicklung II ( ) Of is es viel einfacher, bekanne Poenzreihen zu verwenden, um eine Taylorreihe hinzuschreiben. Benuzen Sie diese für die folgenden Aufgaben: a) Taylorreihe in. Ordnung für f(x, y, z) = cos(x) sin(y)e z an der Selle (0, 0, 0). Besimmen Sie den Konvergenzradius der gesamen Reihe. Wir schreiben für die bekannen Funkionen die Terme bis zur. Ordnung hin: f(x, y, z) = ( x +... )(y 6 y +... )( + z + z + 6 z +... ) Jez muliplizieren wir aus, berücksichigen jedoch nur Terme, deren Grad nach Ausmuliplizieren nich überschreie (lassen z.b. Terme mi x y z (Grad 6) weg): f(x, y, z) y + yz x y + yz 6 y Der Konvergenzradius is unendlich, da die einzelnen Reihen selbs unendlichen Konvergenzradius haben. b) Taylorreihe in. Ordnung für f(x, y, z) = + x + y an der Selle (0, 0). Besimmen Sie den Konvergenzbereich der gesamen Reihe. Hinweis: Hier erhalen Sie durch eine einfache Umformung eine bekanne Reihe. Durch scharfes Hinsehen und Überlegen erkenn man leich, dass sich die gegebene Funkion zu einer geomerischen Reihe umbauen läss: + x + y = ( (x + y)) = ( ) k (x + y) k k=0 = (x + y) + (x + y) (x + y) ±... x y + x + xy + y x x y xy y Der Konvergenzradius is besimm durch x + y <, da nur dor die geomerische Reihe konvergier.

4 Aufgabe 8 Produkregel bei Marixfunkionen ( ) Zeigen Sie für die Funkion f(a) = g(a) h(a) die Produkregel für Marixfunkionen: f (A)(B) = g(a) h (A)(B) + g (A)(B) h(a) Hinweis: Verwenden Sie die Definiion der Ableiung: f f(a+b) f(a) (A)(B) Wir schreiben zunächs für die Funkion h die Definiion der Ableiung hin und bilden mi deren Hilfe eine lineare Näherung (siehe hierzu auch die Bemerkung unen): h (A)(B) h(a + B) h(a) = h(a + B) = h(a) + h (A)(B) Dies können wir analog für g machen. Dami schreiben wir jez f hin und verwenden obige Aussage bei (*): f f(a + B) f(a) g(a + B) h(a + B) g(a)h(a) (A)(B) ( ) (g(a) + g (A)(B)) (h(a) + h (A)(B)) g(a)h(a) g(a) [h(a) + h (A)(B)] + [g(a) + g (A)(B)] h(a) + g (A)(B) h (A)(B) g(a) [h(a) + h (A)(B)] Def. = g(a) h (A)(B) + g (A)(B) h(a) Aufgabe 9 Keenregel bei Marixfunkionen ( ) + lim [g(a) + g (A)(B)] h(a) Zeigen Sie für die Funkion f(a) = (g h)(a) die Keenregel für Marixfunkionen: Hinweis: Verwenden Sie die Definiion der Ableiung. f (A)(B) = (g h) (A)(B) = g (h(a))(h (A)(B)) Wir überlegen uns - ganz genau wie bei der vorigen Aufgabe - zunächs für die Funkion h die Definiion der Ableiung und nehmen wieder die lineare Näherung. h (A)(B) h(a + B) h(a) = h(a + B) = h(a) + h (A)(B) Dies verwenden wir dann bei ( ), um die Ableiung von f umzuformen. f f(a + B) f(a) g(h(a + B)) g(h(a)) ( ) g(h(a) + h (A)(B)) g(h(a)) (A)(B) Jez haben wir es schon fas geschaff. Wir machen kurzfrisig zwei Umbenennungen, die zwar eigenlich nich nöig sind, aber es leicher machen, die Definiion zu sehen: h(a) =: X und h (A)(B) =: Y g(x + Y ) g(x) Def. ( ) = g (X)(Y ) = g (h(a))(h (A)(B)) ( ) 4

5 Bemerkung zu Aufgabe 8 / 9 : Es is rein von der Mahemaik her nich gleich klar, dass die lineare Näherung hier funkionier. Formell müsse man mi h(a + B) = h(a) + h (A)(B) + o( B ) rechnen. Am Beweis zu 8 änder sich dadurch nichs, da die Korrekurerme bei der Limesbildung verschwinden. Bei Aufgabe 9 änder sich der Beweis dann wie folg: f(a + B) f(a) = g(h(a + B)) g(h(a)) = g(h(a) + h (A)(B) + o( B )) g(h(a)) = g(h(a)) + g (h(a))(h (A)(B) + o( B )) + o( B ) g(h(a)) = g (h(a))(h (A)(B)) + o( B ) q.e.d. Da dies deulich komplizierer und wahrscheinlich viel weniger einsichig is, reich der obere Beweis für unsere Übungszwecke aus, da es hier im Ferienkurs mehr um die Idee hiner und das Versehen der Keenregel geh als um den absolu exaken Beweis. Dies geling mi dem einfachen Beweis wahrscheinlich besser. Warum funkionier der einfache Beweis rozdem so gu? Die Ableiung sell nach Definion eine lineare Näherung der Funkion dar. Das heiß, es is als sinnvoll anzunehmen, dass Korrekuren höheren Grades an den ursprünglichen Funkionen keine Rolle spielen. Hierbei erinnere man sich an Aufgabe 7a, wo wir die Taylorreihen der ursprünglichen Funkionen auch rechzeiig abgebrochen haben. Aufgabe 0 Ableiung einer Marixfunkion (Klausuraufgabe) ( ) Zeigen Sie, dass sich der Ableiung der Funkion f(a) = (A T A) mi A inverierbar gegeben is durch: f (A)(B) = A ((BA ) T + BA )(A T ) Hinweis: Verwenden Sie die Keenregel, Produkregel und dass für g(a) = A gil: g (A)(B) = A BA Es is hilfreich, wenn Sie f als Verkeung von zwei Funkionen darsellen. Wie im Hinweis gegeben schreiben wir f als Verkeung um: f(a) = (g h)(a) mi h(a) = A T A und g(x) = X Dann schreiben wir die Produkregel (PR) für h hin (man sieh das sofor mi Hilfe nüzlichen Aussagen aus der Vorlesung): h (A)(B) = B T A + A T B Nun wende man die Keenregel (KR) aus der Vorlesung oder der vorigen Aufgabe an: f (A)(B) = (g h) (A)(B) KR = g (h(a))(h (A)(B)) Hinw. = (h(a)) h (A)(B) (A) PR = (A T A) (B T A + A T B) (A T A) = A (A T ) (B T A + A T B) A (A T ) = A ((A T ) B T + BA ) (A T ) = A ((BA ) T + BA )(A T ) 5