5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen

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1 5.5. Absrake Abiuraufgaben zu Eponenialfunkionen Aufgabe : Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe Gegeben is die Funkion f() ( ) e,5. a) Unersuchen Sie das Schaubild von f auf Achsenschnipunke, Erem- und Wendepunke sowie auf Asympoen. Zeichnen Sie ein Schaubild für 5 3. (4) b) Berechnen Sie den Inhal der Fläche, die durch das Schaubild von f und die beiden Koordinaenachsen eingeschlossen wird. (6) c) Die Senkreche u mi u < schneide die Achse im Punk P und das Schaubild von f im Punk Q. Für welches u wird der Flächeninhal des Dreiecks OPQ maimal? (6) Achsenschnipunke: S y ( ) und S ( ) () Ableiungen: f () e,5, f () ( 4 + ) e,5 und f () ( 8 + ) e,5 Asympoen: lim f () negaive -Achse is Asympoe () Erema: T( ) () Wendpunke: ( e 4 ) () Schaubild () () A FE,5 ( ) e d,5,5 ( ) e e d,5,5 ( ) e 4e 8,87 A(u) ( u) ((f(u) ) (u u ) e,5u mi A (u) ( u u )e,5u und A (u) ( u + u )e,5u rel. und abs. Maimum bei u 5. 8 Aufgabe : Kurvenunersuchung mi Parameer, Inegraion, Opimierungsaufgabe Für jedes posiive reelle is die Funkion f gegeben durch f () + e mi R. Ihr Schaubild heiß K. a) Unersuchen Sie K auf den Schnipunk mi der y-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunke sowie auf Asympoen. Zeigen Sie, dass es keinen Schnipunk mi der -Achse gib. Zeichnen Sie K im Bereich,5 5 mi LE cm. () b) Unersuche Sie, für welchen Wer von R das Schaubild K die -Achse berühr. (6) c) Zeigen Sie, dass F mi F (),5 e mi R eine Sammfunkion von f is. Das Schaubild K, die y-achse, die. Winkelhalbierende und die Gerade mi der Gleichung u mi u > schließen eine Fläche mi dem Inhal A(u) ein. Berechnen Sie A(u). (5) d) Die Gerade mi der Gleichung a (a > ) schneide das Schaubild K im Punk Q und die. Winkelhalbierende im Punk P. Der Ursprung O sowie die Punke P und Q sind die Eckpunke eines Dreiecks. Besimmen Sie a so, das der Flächeninhal des Dreiecks OPQ ein relaives Maimum annimm. Berechnen Sie den Flächeninhal dieses Dreiecks. (7) Ableiungen: f '() e, f ''() e, f '''() e (3) Schnipunke mi der y-achse ( ): N( e ) () Asympoe g(), da lim f () und lim f()- () Tiefpunk (f'() und f''() > ): T( 3) (3) keine Wendepunke, da f''() > für R () kein Schnipunk mi der -Achse, y TP 3 > und kein WP. () Wereabelle und Schaubild ()

2 Teil b ) Ableiungen: f () + e, f '() e und f ''() e () Tiefpunk: (f' () und f ''()>) T( +) (3) T lieg auf der -Achse, falls +. () Teil c ) Sammfunkion: F '() f () () Flächenberechnung: A(u) F(u) F() e ( e u ). (3) A(a) g h a f (a) a a e a mi a >.(3) A'(a) ( a) e a und A''(a) (a ) e a () rel. Ma bei a. Randwere A() lim A(a) abs. Ma bei A mi A() a e. (3) Aufgabe 3: Kurvenunersuchung mi Parameer, Inegraion, Opimierungsaufgabe Für jedes posiive reelle is die Funkion f gegeben durch f () e + mi R. Ihr Schaubild heiß K. a) Unersuchen Sie K auf den Schnipunk mi der y-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunke sowie auf Asympoen. Zeigen Sie, dass es keinen Schnipunk mi der -Achse gib. Zeichnen Sie K im Bereich 5,5 mi LE cm. () b) Unersuchen Sie, für welchen Wer von R das Schaubild K die -Achse berühr. (6) c) Zeigen Sie, dass F mi F () e +,5 mi R eine Sammfunkion von f is. Das Schaubild K, die y-achse, die Gerade y und die Senkreche u mi u > schließen eine Fläche mi dem Inhal A(u) ein. Berechnen Sie A(u). (5) d) Die Gerade mi der Gleichung a (a > ) schneide das Schaubild K im Punk Q und die Gerade y im Punk P. Der Ursprung O sowie die Punke P und Q sind die Eckpunke eines Dreiecks. Besimmen Sie a so, das der Flächeninhal des Dreiecks OPQ ein relaives Maimum annimm. Berechnen Sie den Flächeninhal dieses Dreiecks. (7) Ableiungen: f () e +, f '() e +, f ''() e + und f '''() e + (3) Schnipunke mi der y-achse ( ): N( e ) () Asympoe g(), da lim f () und lim f() () Tiefpunk (f'() und f''() > ): T( 3) (3) keine Wendepunke, da f''() > für R () kein Schnipunk mi der -Achse, y TP 3 > und kein Wendepunk. () Wereabelle und Schaubild: () Ableiungen: f () e +, f '() e + und f ''() e + () Tiefpunk: (f' () und f ''()>) T( +) (3) T lieg auf der -Achse, falls +. () Sammfunkion: F '() f () () Flächenberechnung: A(u) F() F( u) e ( e u ). (3) A(a) g h a f ( a) a ae a mi a >. (3) A'(a) ( a) e a und A''(a) (a ) e a () relaives Maimum (A'(a) und A''(a) < ) bei a () maimale Fläche: A() e. ()

3 Aufgabe 4: Kurvenunersuchung mi Parameer, Inegraion, Opimierungsaufgabe, Orskurve Für jedes R sind die Funkionen f und g gegeben durch f () ( ) e + und g() e +. K is das Schaubild von f und G is das Schaubild von g. a) Zeigen Sie, daß f () g() is. Unersuchen Sie K auf Schnipunke mi den Koordinaenachsen, Asympoen, Hoch-, Tief- und Wendepunke. Zeichnen Sie K und G für 5 mi LE cm. () b) K und die Koordinaenachsen begrenzen im ersen Feld eine Fläche. Berechnen Sie den Inhal dieser Fläche. (6) c) Die Gerade mi der Gleichung u mi u schneide K in A und G in B. Die Punke A und B sowie der Koordinaenursprung O bilden ein Dreieck. Besimmen Sie u so, dass die Fläche dieses Dreiecks maimal wird und geben Sie den maimalen Flächeninhal an. (7) d) Besimmen Sie die Orskurve der Wendepunke von K. (5) Ableiungen: f () e +, f () ( ) e + () Schnipunk mi der y-achse ( ): N y ( e) (,5) Schnipunk mi der -Achse (f() ): N ( ) () Hochpunk (f () mi VZW): H( e) () Wendepunk (f () mi VZW: W( ) (3) Asympoe: lim f (), also waagr. A. y für (,5) Wereabelle und Schaubild: (3) A ( ) e d () + ( ) e ( ) e d (3) ( ) e + e () e e () A(u) b h ( u) (f (u) g(u)) u e +u mi u (,5) A (u) (+u) e +u und A (u) (+ u) e +u () relaives Maimum (A (u) und A (u) < ) bei u () Randwere: A() lim A() () absolues Maimum bei u mi A( ),5. () Ableiungen: f () ( ) e +, f () ( ) e + und f () ( 3 ) e + (3) Wendepunk (f () mi VZW): W( e ) () Orskurve: y e + mi R. () Aufgabe 5: Kurvenunersuchung mi Parameer, Inegraion, Opimierungsaufgabe, Orskurve Für jedes R sind die Funkionen f und g gegeben durch f () ( + ) e und g() e. K is das Schaubild von f und G is das Schaubild von g. a) Zeigen Sie, daß f () g() is. Unersuchen Sie K auf Schnipunke mi den Koordinaenachsen, Asympoen, Hoch-, Tief- und Wendepunke. Zeichnen Sie K und G für 5 mi LE cm. () b) K und die Koordinaenachsen begrenzen im zweien Feld eine Fläche. Berechnen Sie den Inhal dieser Fläche. (6) c) Die Gerade mi der Gleichung u mi u schneide K in A und G in B. Die Punke A und B sowie der Koordinaenursprung O bilden ein Dreieck. Besimmen Sie u so, dass die Fläche dieses Dreiecks maimal wird und geben Sie den maimalen Flächeninhal an. (7) d) Besimmen Sie die Orskurve der Wendepunke von K. (5) 3

4 Ableiungen: f () ( + ) e, f () e und f () ( ) e () Schnipunk mi der y-achse ( ):N y ( e) (,5) Schnipunk mi der -Achse (f() ): N ( ) () Hochpunk (f () und f () < ): H( e) () Wendepunk (f () mi VZW): W( ) (3) Asympoe: lim f (), also waagreche Asympoe y für + (,5) Wereabelle und Schaubild: (vgl. Gruppe A) (3) A ( ) e d () ( ) ( e ) e d (Produkinegraion) (3) ( ) ( e ) e () e e () A(u) b h u (f (u) g(u)) u e u (,5) Ableiungen: A (u) (+u) e+u und A (u) (+ u) e+u () > relaives Maimum (A (u) und A (u) < ) bei u () Randwere A() lim A() () > absolues Maimum bei u mi A( ),5. () Ableiungen: f () ( ) e +, f () ( ) e + und f () ( 3 ) e + (3) Wendepunk (f () und f () ): W( e ) () Orskurve: y e + mi R. () Aufgabe 6: Kurvenunersuchung mi Parameer, Inegraion, Roaionskörper, Opimierungsaufgabe a) Unersuchen Sie das Schaubild von f () ( ) e für > auf Achsenschnipunke, Erem- sowie Wendepunke. und skizzieren Sie den Verlauf von f. () b) Berechnen Sie die Fläche, die durch f und die Koordinaenachsen im. Feld begrenz wird. (6) c) Berechnen Sie auf zwei Nachkommasellen genau das Volumen in dm 3 und das Gewich in kg einer Salaschüssel aus Glas (ρ,5 g/cm 3 ), die durch die im Bereich um die -Achse roierenden Schaubilder von f,8 und f,775 begrenz wird. ( LE dm) (6) d) Berechnen Sie auf zwei Nachkommasellen genau die Kanenlängen und den Flächeninhal des größen Recheckes, das in den Raum zwischen den Koordinaenachsen und dem Schaubild von f,5 geleg werden kann. (6) Achsenschnipunke: S ( ) und S y ( ) () Ableiungen: f () ( + ) e und f () ( + 3 ) e () Hochpunk (f () und f () < ): H( e ) (3) Wendepunk (f () mi VZW da einfache NST): W( e ) (3) Schaubildskizze: () 4

5 A () ( )e d () ( ) e e e d ( e ) () V V außen V innen () π,6,6 (, 6 ) e d π,55,55 (,55 ) e d () 9,356 8,35 (MATH 9: fnin) (),3 dm 3 M ρv 3,3 kg () A(u) b h u f,5 (u) u ( u) e,5u mi A (u) (,5u,5u + ) e u () H(,56,36) (CALC 4: maimum) () Das Recheck ha die Breie u,56, die Höhe f,5 (u),58 (CALC : value) und die Fläche A(u),36 FE () Aufgabe 7: Kurvenunersuchung, Roaionskörper e Gegeben is die Funkion f mi f() für R. Das Schaubild von f sei K. e 4 a) Skizzieren Sie K mi Hilfe Ihres Taschenrechners () b) Das Flächensück zwischen K, der -Achse und den Geraden und roier um die -Achse. Besimmen Sie das Volumen des dabei ensehenden Roaionskörpers. () c) Welche Eigenschafen von K können dem Funkionserm f() ohne Verwendung von Ableiungen ennommen werden? Begründen Sie. (5) Skizze () V π Teilc) f () d 4e d,86 VE (CALC: 7 Sf()d) () f() > ; da e > und e + 4 > K besiz keine Schnipunke mi der -Achse. () f() 5 S( ) is Schnipunk von K mi der y-achse. 5 (,5) lim f () lim 4e K besiz die waagreche Asympoe y. () lim f () lim 4e K besiz die waagreche Asympoe y. () + 4e fäll sreng monoon 4e wächs sreng monoon; () Da f sreng monoon wächs, besiz K keine Erempunke. (,5) () 5

6 Aufgabe 8: Kurvenunersuchung, Roaionskörper Gegeben is die Funkion f mi f() für R. Das Schaubild von f sei K. a) Skizzieren Sie K mi Hilfe Ihres Taschenrechners () b) Das Flächensück zwischen K, der -Achse und den Geraden und roier um die -Achse. Besimmen Sie das Volumen des dabei ensehenden Roaionskörpers. () c) Welche Eigenschafen von K können dem Funkionserm f() ohne Verwendung von Ableiungen ennommen werden? Begründen Sie. (5) Skizze () V π Teilc) f () d π d 5,6 VE (CALC: 7 Sf()d) () f() ln4 S( ln4 ) is Schnipunk von K mi der -Achse. () f() 3 5 S( 3 ) is Schnipunk von K mi der y-achse. (,5) 5 lim f () lim K besiz die waagreche Asympoe y. () lim f () lim K besiz die waagreche Asympoe y. () 4 e fäll sreng monoon und 4 + e wächs sreng monoon fäll sreng monoon; () Da f sreng monoon fäll, besiz K keine Erempunke. (,5) Aufgabe 9: Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe e e Gegeben sind die Funkionen f() e und g() e e mi den Schaubildern K und G. a) Unersuchen Sie K auf Achsenschnipunke, Hoch-, Tief- und Wendepunke. Zeichnen Sie K und G im Bereich mi LE cm in ein gemeinsames Koordinaensysem. () b) Berechnen Sie den Inhal der Fläche, die durch die Schaubilder K und G sowie die y-achse begrenz wird. (8) c) Besimmen Sie u mi u so, dass das Dreieck mi den Ecken O( ), P(u f(u)) und Q(u g(u)) eine maimale Fläche erhäl. () Aufgabe : Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe Gegeben sind die Funkionen f() e e und g() e e. Die Schaubilder von f und g heißen K und G. a) Unersuchen Sie K auf Achsenschnipunke, Hoch-, Tief- und Wendepunke. Zeichnen Sie K und G sowie die Gerade A() e im Bereich mi LE cm in ein gemeinsames Koordinaensysem. Begründen Sie mi Hilfe der Grenzwerschreibweise und anhand der Zeichnung, dass A() für eine Asympoe für K is. () b) Berechnen Sie den Inhal der Fläche, die durch die Schaubilder K und G sowie die y-achse begrenz wird. (8) c) Besimmen Sie u mi u so, dass das Dreieck mi den Ecken O( ), P(u f(u)) und Q(u g(u)) eine maimale Fläche erhäl. Aufgabe : Kurvenunersuchung, uneigenliches Inegral (9) a) Unersuche f() e auf Symmerie, Verhalen für ±, Erem- und Wendepunke. Skizziere dann das Schaubild. (4) b) Berechne den Inhal der gesamen Fläche, die von der -Achse und dem Schaubild von f eingeschlossen wird. (5) 6

7 en: Symmerie: f is symmerisch zum Ursprung, da f( ) f() () Die -Achse is Asympoe für ±, da f(). e () Ableiungen: f () ( ) e und f () (4 3) e () Erempunke (f () und f () </> ): TP/HP(± ` m ) (4) e Wendepunke (f () mi VZW da einfache NST) WP ( ) und WP /3 (± 3 3 e 4 m ) (4) Beschrifee Skizze () A e d lim e d z lim e dz lim e (5) 3 7