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Eduard Waltz
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1 Michael Buhlmann Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen Augabe: Unersuche die ganz raionale Funkionenschar + 8 mi Parameer > 0 au: Nullsellen, Hoch- und Tiepunke, Monoonie, Wendepunke, Krümmung, Symmerie, Verhalen ür beragsmäßig große. Wie lauen die Orskurven der Tie- und Wendepunke? Lösung: a) Allgemein gil hinsichlich der Funkionsunersuchung (Kurvendiskussion) einer ganz raionalen Funkion () die olgende Vorgehensweise, wenn ein Deiniionsbereich des Funkionserm D R vorausgesez wird: Die Kurvendiskussion ermiel die Besonderheien der aus einer Funkion () sich ergebenden Kurve im -y- Koordinaensysem, des Graphen von (). Hinsichlich einer ganz raionalen Funkion () heiß das: Zenrale Punke der Kurvendiskussion n n Funkion: an + an a + a0 I. Ableiungen (nach Poenz- und Summenregel sowie Regel vom konsanen Fakor): n n '( ) na + ( n ) a +... a ''( ) n ) n n + n n 3 ( n ) an + ( n )( n ) an a n 3 n n( n )( n ) an + ( n )( n )( n 3) an II. Nullsellen (Anzahl maimal n; Gleichung () 0 lösen): () 0 ->,, -> N( 0), N( 0), (Nullsellen mi gerader Vielachhei als Hoch-/Tiepunke ohne Vorzeichenwechsel; Nullsellen mi ungerader Vielachhei mi Vorzeichenwechsel) III. Hochpunke, Tiepunke (Anzahl maimal n-; Gleichung () 0 lösen, Lösungen in () einsezen): a) () 0 ->,, b) ( ) < 0 -> H( ( )) oder ( ) > 0 -> T( ( )); ( ) < 0 -> H( ( )) oder ( ) > 0 -> T( ( )); IV. Wendepunke (Anzahl maimal n-; Gleichung () 0 lösen, Lösungen in () einsezen): a) () 0 ->,, b) ( ) 0 -> W( ( )); ( ) 0 -> W( ( )); IVa. Saelpunke 0 liegen vor, wenn (nach III. und IV.) gil: ( 0 ) 0, ( 0 ) 0, ( 0 ) 0 -> S( 0 ( 0 )) Kurvendiskussion ganz raionaler Funkionen Zusäzliche Punke der Kurvendiskussion V. Monoonie (seigende [wachsende], allende Monoonie [nach III.]; bei abwechselnden Hoch- und Tiepunken,,, n mi < < < n, 0 als Selle im jeweiligen Monoonieinervall): Monoonieinervall (-, ): () monoon seigend ( als Hochpunk, ( 0 )>0) oder monoon allend ( als Tiepunk, ( 0 )<0); Monoonieinervall (, ): () monoon allend ( als Hochpunk, als Tiepunk, vorheriges Inervall mi seigender Monoonie, ( 0 )<0) oder monoon seigend ( als Tiepunk, als Hochpunk, vorheriges Inervall mi allender Monoonie ( 0 )>0); Monoonieinervall ( n, ): () monoon allend ( n als Hochpunk, vorheriges Inervall mi seigender Monoonie ( 0 )<0) oder monoon seigend ( n als Tiepunk, vorheriges Inervall mi allender Monoonie, ( 0 )>0) VI. Krümmung (Links-, Rechskrümmung, Konveiä, Konkaviä [nach [IV.]; bei Wendepunken,,, n mi < < < n, 0 als Selle im jeweiligen Krümmungsinervall): Krümmungsinervall (-, ): () links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, ( 0 )>0) oder rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, ( 0 )<0); Krümmungsinervall (, ): () rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Linkskrümmung, ( 0 )<0) oder links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Rechskrümmung, ( 0 )>0); Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen a 3

2 Krümmungsinervall ( n, ): () rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Linkskrümmung, ( 0 )<0) oder links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Rechskrümmung, ( 0 )>0) VII. Symmerie: a) Achsensymmerie (zur y-achse): (-) () oder: nur gerade Eponenen im Term von () (gerade) b) Punksymmerie (zum Ursprung): (-) -() oder: nur ungerade Eponenen im Term von () (ungerade) c) () achsensymmerisch -> () punksymmerisch -> () achsensymmerisch usw. () punksymmerisch -> () achsensymmerisch -> () punksymmerisch usw. VIII. Verhalen ür beragsmäßig große (->, ->- ) (n als Grad der ganz raionalen Funkion): a n >0 n ungerade n gerade -> () -> () -> ->- () -> - () -> b) I. Die Ableiungen der Parameerunkion + 8 lauen: ' 3 (. Ableiung) ''( ) (. Ableiung) ) (3. Ableiung). II. Die Nullsellen der Funkion z ± z z a n <0 n ungerade n gerade -> () -> - () -> - ->- () -> () -> - Kurvendiskussion ganz raionaler Funkionen + 8 berechnen sich wie olg: z ± 9 ± ± z ± z ± 7 ± ± 3 mi der Subsiuion z und wegen >0. Nullsellen der Funkion sind somi: 3,,, 3 oder: N ( 3 0), N ( 0), N 3 ( 0), N ( 3 0). III. Hoch- und Tiepunke liegen au der Funkion + 8 dor, wo waagereche Tangenen aureen; also gil (die nowendige Bedingung): 3 3 ' ( ) ± Wir überprüen die Eisenz von Erema mi Hile der. Ableiung und erhalen: ''(0) 0 < 0 > 0 Hochpunk mi H(0 8) ''( ± ) > 0 > bzw. T ( 9 ). IV. Wegen der Eremwere mi ihren Eigenschaen: 9 ± Tiepunke mi T ( ), 0, sind die Monoonieinervalle der Funkion Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen

3 (-, ) (, 0) (0, ) (, ) Tiepunk Hochpunk Tiepunk monoon monoon monoon monoon allend seigend allend seigend V. Hinsichlich der Wendepunke berechnen wir (nowendige Bedingung) '' ± und (hinreichende Bedingung): ± ) ± 0 > W ( 3 ). 3 VI. Au Grund der Wendepunke mi ihren Eigenschaen: ± Wendepunke mi W ( 3 3 ) bzw., sind die Krümmungsinervalle der Funkion (-, ) (, ) (, + ) Wendepunk Wendepunk links gekrümm rechs gekrümm links gekrümm (wegen 0 Hochpunk) VII. Hinsichlich des Verhalens ür beragsmäßig große (Verhalen ür gegen ± ) is zu sagen: Der Term is die höchse Poenz in der Polynomunkion mi Koeizienen. D.h., es gil wegen >0: () (). VIII. Symmerie: Die Funkion + 8 is achsensymmerisch bzgl. der y-achse wegen der in der Funkionsgleichung aureenden geraden -Poenzen. Es gil zudem: ( ) ( ) ( ) , womi die Achsensymmerie bewiesen wäre. c) Für spezielle >0 ergeben sich dann von olgende Funkionsgraphen: : 8 Wereabelle: + y () '() ''() ) Besondere Kurvenpunke Nullselle N(-3 0) Tiepunk T( ) Nullselle N( ) Wendepunk W(-.35.7) Schnipunk S y(0 8) Hochpunk H(0 8) Wendepunk W(.3.08) Nullselle N(. -0.) Tiepunk T( ) Nullselle N(3 0) Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen 3

4 Graph: : + 7 Wereabelle: y () '() ''() ) Besondere Kurvenpunke Nullselle N(- 0) Tiepunk T(-.9-9) Nullselle N( ) Wendepunk W(-.7 5.) Schnipunk S y(0 7) Hochpunk H(0 7) Wendepunk W(.7.7) Nullselle N( ) Tiepunk T(.7-9) Nullselle N( 0) Graph: Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen

5 d) I. Wir besimmen zunächs die Orskurve der Tiepunke der Funkionen + 8, 9 >0. Wie oben errechne, sind die Tiepunke von der Form T( ± ) mi der -Koordinae 9 ± und der y-koordinae y. Zur Ermilung der Orskurve sellen wir die - Koordinae nach um und erhalen u.a. durch Quadrieren: ±. Das der y-koordinae ersezen wir dann durch den Ausdruck mi, also: 9 9 > y. 9 Die Orskurve der Tiepunke laue dami: y, 0 (da >0). II. Ensprechend der Orskurve der Tiepunke berechnen wir die Orskurve der Wendepunke der Funkionen + 8, >0. Wie oben errechne, sind die Wendepunke von der Form 3 W( ± ), so dass das Umsellen nach in der -Koordinae des Wendepunks ergib: 3 ±. Einsezen von in die y-koordinae des Wendepunks ühr au die Orskurve: 3 3 > y, 3 so dass 3 y, 0, die Orskurve der Wendepunke darsell. / 03.0 / Augabe 9 Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen 5

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