Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

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1 Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils unerschiedliche Lösungsechniken erfordern. Wir gehen hier noch einmal diese drei Typen durch. In allen Fällen bezeichnen wir die gesuche Funkion als x, die Variable als, und die Ableiungen als ẋ() = dx/d, ẍ() = d 2 x/d 2. Naürlich gil alles hier Gesage genauso, wenn andere Bezeichnungen gewähl werden ewa y für die gesuche Funkion, x für die Variable, mi Ableiung y (x) = dy/dx ec. Die drei Gleichungsypen sind ẍ() + a ẋ() + b x() = f(), ẋ() = a() b(x()), ẋ() = a() x() + f(). Schwingungsgleichung separiere Differenialgleichung 1. Ordnung Lineare Differenialgleichung 1. Ordnung Es fallen gleich einige Unerschiede zwischen diesen Gleichungen auf: Bei der Schwingungsgleichung ri neben der ersen Ableiung ẋ auch die zweie Ableiung ẍ auf (man sag, die Schwingungsgleichung is 2. Ordnung), während in den anderen beiden Fällen nur erse Ableiungen aufreen. Die Schwingungsgleichung und die lineare Differenialgleichung 1. Ordnung (also Fall I und Fall III) sind linear, d.h. es reen x, ẋ, ẍ nich in Poenzen oder anderen nich-linearen Funkionen auf. Im Unerschied dazu is bei der separieren DGL wegen der rech beliebigen Funkion b auch auch ein nichlineares Verhalen möglich z.b. für b(u) = u 10 haben wir den Term x() 10. In der Schwingungsgleichung sind a, b Konsane, d.h. reelle Zahlen, die nich von abhängen, während in Fall II und III a und b Funkionen von bezeichnen. In Fall I und III ri weierhin noch eine vorgegebene Funkion f auf, die Inhomogeniä genann wird. Da diese Gleichungen so unerschiedlich sind, verwunder es nich, dass man zum Lösen auch ganz unerschiedliche Verfahren verwende. Es komm also darauf an, zuers zu erkennen, mi welchem Typ man es in einer konkreen Aufgabe zu un ha, und dann das richige Verfahren anzuwenden. Dazu gib es weier unen Beispiele. In allen Fällen wird man daran ineressier sein, die Lösungen der beracheen DGL zu besimmen, also Funkionen x(), die die DGL erfüllen. Es gib üblicherweise viele (unendlich viele) Lösungen, die Menge aller Lösungsfunkionen nenn man die allgemeine Lösung der DGL. Diese allgemeine Lösung enhäl freie, unbesimme Parameer zwei Parameer c 1, c 2 R im Falle der Schwingungsgleichung, und einen Parameer c R in den anderen beiden Fällen. (Das lieg daran, dass die Schwingungsgleichung 2. Ordnung und die anderen 1. Ordnung sind.) Neben der allgemeinen Lösung ineressieren in der Physik auch häufig spezielle Lösungen, die durch sogenanne Anfangsbedingungen fesgeleg sind. Das bedeue, dass man zusäzlich zu der DGL noch eine oder zwei weiere Ideniäen forder, nämlich im Fall der Schwingungsgleichung x( 0 ) = ξ 1, ẋ( 0 ) = ξ 2, (0.1) 1

2 mi vorgegebenen Zahlen 0, ξ 1, ξ 2 R (meis is 0 = 0), und in den anderen beiden Fällen x( 0 ) = x 0 (0.2) mi vorgegebenen Zahlen 0, x 0 R. Forder man (0.1) bzw. (0.2), so lassen sich die freien Parameer c 1, c 2 bzw. c eindeuig besimmen, so dass man nur eine einzige Lösung der DGL mi zusäzlicher Anfangsbedingung ha. Bevor wir uns den Lösungsmehoden zuwenden, noch zwei Bemerkungen: Ersens sind die drei hier aufgeliseen Typen von Differenialgleichungen längs nich alle möglichen, sondern vielmehr drei häufig aufreende, aber sehr spezielle DGLen. Wenn man also auf eine DGL söß, kann es leich sein, dass sie zu keiner der obigen Klassen gehör, und deshalb mi den Mehoden dieser Vorlesung auch nich zu lösen is. Zweiens is zu bemerken, dass es zwar relaiv komplizier sein kann, eine (spezielle oder allgemeine) Lösung einer DGL zu berechnen, aber eine Probe, ob man asächlich eine Lösung gefunden ha, denkbar einfach is: Man nimm einfach die vermeinliche Lösungsfunkion x() her, sez sie in die DGL ein (d.h. berechne die Ableiungen ec) und prüf, ob die fragliche DGL erfüll is oder nich. So eine Probe empfiehl sich eigenlich immer. Jez zu den Lösungsmehoden für die drei unerschiedlichen Typen. 1) Die Schwingungsgleichung Dies is wie gesag die DGL ẍ() + a ẋ() + b x() = f(), (0.3) wobei a, b Konsanen sind (also Zahlen, die nich von abhängen), und f eine vorgegebene Funkion von is. Man unerscheide hier die beiden Fälle f() = 0 (das is die homogene Schwingungsgleichung) und f() 0 (die inhomogene Schwingungsgleichung). Im homogenen Fall (d.h. f() = 0) kann man sich Lösungen per Exponenialansaz verschaffen. Das heiß, man sez x() := e λ und besimm λ so, dass die Gleichung ẍ()+a ẋ()+b x() = 0 gil. Dies führ auf eine quadraische Gleichung für λ, nämlich λ 2 + a λ + b = 0, die eine oder zwei Lösungen ha. Im allgemeinen sind diese Lösungen komplexe Zahlen. Bilde man dann Real- und Imaginäreil von e λ, d.h. Re(e λ ) = e Re(λ) cos(im(λ) ) und Im(e λ ) = e Re(λ) sin(im(λ) ), so erhäl man reelle Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung. Für den Fall, dass λ 2 + a λ + b = 0 nur eine Lösung ha (aperiodischer Grenzfall), kann man sich eine zweie Lösung durch einen anderen Ansaz verschaffen (siehe Aufgabe 34). Im Zusammenhang mi der Schwingungsgleichung spiel der Begriff des Fundamenalsysems eine wichige Rolle. Man sieh nämlich, dass, wenn x 1 und x 2 zwei Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung sind, dann auch alle Linearkombinaionen, d.h. alle Funkionen von dem Typ c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () ebenfalls Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung sind, für beliebige Parameer c 1, c 2 R. Zwei Lösungen x 1, x 2 bilden per Definiion genau dann ein Fundamenalsysem, wenn jede Lösung der homogenen Schwingungsgleichung eine Linearkombinaion von x 1 und x 2 is. Ob zwei Lösungen ein Fundamenalsysem bilden, prüf man prakisch dadurch nach, dass man nachrechne, ob die Wronski-Deerminane (siehe Aufgabe 33) ungleich Null is. Durch eine Anfangsbedingung (0.1) können dann die beiden freien Parameer c 1, c 2 in der allgemeinen Lösung der Schwingungsgleichung berechne werden. Als nächses berachen wir den inhomogenen Fall (f() 0). Hier gil es zunächs, überhaup 2

3 irgend eine Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden. Für allgemeines f wurde das in der Vorlesung nich behandel, sondern nur für harmonische Inhomogeniä, d.h. f() = cos(ω 0 ) oder f() = sin(ω 0 ), mi vorgegebenem ω 0 > 0. Für diese Fälle hilf wieder ein Exponenialansaz weier: Man geh zuers zu einer komplexen Gleichung über, indem man f() durch e iω 0 ersez, und mach dann den Ansaz x() := k e iω 0 mi einem zu besimmenden k. Einsezen führ auf eine Bedingungsgleichung für k, die man meis lösen kann (z.b. falls a 0, nur im Resonanzfall kann man die Gleichung nich lösen, und brauch einen anderen Ansaz, siehe Aufgabe 35). Ha man k besimm (das wird üblicherweise eine komplexe Zahl sein), so erhäl man eine reelle Lösung, indem man enweder den Realeil von k e iω 0 bilde (für f() = cos(ω 0 )) oder den Imaginäreil (für f() = sin(ω 0 )). Nennen wir diese so gefundene ( spezielle ) Lösung der inhomogenen Gleichung x in, dann is die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung x() = c 1 x 1 () + c 2 x 2 () + x in (), c 1, c 2 R, wobei x 1, x 2 ein Fundamenalsysem der homogenen Gleichung is. 2) Trennung der Variablen Eine separiere Differenialgleichung 1. Ordnung sieh so aus: ẋ() = a() b(x()), (0.4) hierbei sind a, b vorgebene Funkionen, also nich wie bei der Schwingungsgleichung Konsanen. Im Gegensaz zur Schwingungsgleichung is diese DGL im allgemeinen nich linear; ein Exponenialansaz führ deshalb hier nich zum Erfolg. Das richige Verfahren für diesen Fall heiß Trennung der Variablen, man merk es sich am besen schemaisch so: In Schri 1 der Lösung renn man die Variablen, gemein sind dami x und d.h. man form die DGL so um, dass links nur x e und rechs nur s sehen. Dabei noier man ẋ = dx/d, erhäl also formal dx = a() d. b(x) Beide Seien dieser Gleichung machen nich viel Sinn, es handel sich nur um eine Merkregel. Für einen sinnvollen Ausdruck werden wir beide Seien inegrieren links über x, rechs über, dx b(x) = a() d + c. (0.5) Diese Inegrale sind ersmal als unbesimme Inegrale, dh Sammfunkionen, aufzufassen, wobei wir auf der rechen Seie eine beliebige Konsane c R addier haben, da Sammfunkionen nur bis auf Addiion einer Konsanen fesgeleg sind. Schri 2 der Lösung beseh jez darin, beide Inegrale auszurechnen. Dann erhäl man links eine Funkion von x, rechs eine Funkion von welche Funkionen das sind, häng naürlich von a und b ab. Im Schri 3 des Verfahrens lös man diese Gleichung nach x auf, und ha dami die Formel für die Lösung x() erhalen. Es is klar, dass diese Formel immer noch von der unbesimmen Konsane c abhängen wird. Fordern wir jez zusäzlich die Anfangsbedingung (0.2), so läss sich c eindeuig berechnen. Es sei noch bemerk, dass man die Anfangsbedingung auch gleich von Anfang an mi in das Lösungsschema einbauen kann. Ha man nämlich die Forderung x( 0 ) = x 0, so formulier man die besimmen Inegrale x() dx x 0 b(x ) = a( ) d. 0 3

4 Hier wurden als Inegraionsvariable x, verwende, um sie von den Inegraionsgrenzen zu unerscheiden. Berechnen der Inegrale und Auflösen nach x() führ dann auomaisch auf die Lösung, die auch x( 0 ) = x 0 erfüll. In dieser Form läss sich auch erkennen, dass das Lösungsschema eine Anwendung der Subsiuionsregel für Inegrale is es sell eine gue Übung dar, die Formel mi den besimmen Inegralen mal wirklich aus der DGL herzuleien (ohne formales Hanieren mi dx und d). 3) Variaion der Konsanen Eine lineare Differenialgleichung 1. Ordnung sieh so aus: ẋ() = a() x() + f(), (0.6) hierbei sind a und f vorgegebene Funkionen. Im Vergleich zur separieren DGL fäll auf: Die Funkion b fehl, aber dafür haben wir jez einen Exraerm f() die Inhomogeniä. Wie bei der Schwingungsgleichung is es für die Lösung dieser DGL wichig, sich zuers den homogenen Fall anzugucken, in dem man (vorers) f() = 0 sez. Dann ha man als DGL ẋ() = a() x() vorliegen. Das is offenbar eine DGL von Typ II, und sogar eine besonders einfache! Wir können also (0.5) verwenden, und die x-inegraion ausführen: dx a() d + c = = log x. x Wir haben die Konsane hier c genann, aber das is ja eine reine Bezeichnungssache. Auflösen nach x (was wir dann wieder x() nennen) ergib ( ) x() = exp a() d + c = e c a() d e. Lös man noch den Berag x() = ±x() auf und sez c := ±e c, so erhalen wir die Formel x() = c e a() d, c R. (0.7) Dies is die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, welche wie gesag nur ein Spezialfall von Typ II is. Nun sehen wir aber vor dem Problem, dass uns eigenlich die inhomogene Gleichung ineressier, also f() 0. Um dafür eine Lösung zu bekommen, gib es einen Ansaz ( Variaion der Konsanen ), der immer zum Erfolg führ. Man sez (wieder mi der Bezeichnung x in für die Lösung der inhomogenen Gleichung) x in () := c() e a() d. Hier is jez c keine Konsane mehr, sondern eine Funkion von, die es zu besimmen gil. Prakisch nimm man jez den Ansaz her, sez ihn in die inhomogene DGL ẋ = a()x + f() ein, und erhäl daraus eine Gleichung für (die Ableiung von) c, aus der man c besimmen kann. Dies liefer eine Lösung der inhomogenen Gleichung, und die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ergib sich nun ganz analog wie bei der Schwingungsgleichung als x() = c e a() d + x in (), c R. Wiederum läss sich die Konsane c (nich die Funkion c, die wir an dieser Selle ja schon besimm haben) durch eine Anfangsbedingung der Form (0.2) feslegen. 4

5 Beispiel 1: Wir berachen die Differenialgleichung ẍ() + 4 ẋ() + 8 x() = 0, die wir als vom Typ (0.3) (Schwingungsgleichung) erkennen (mi a = 4, b = 8, f() = 0, also homogen). Häen wir ewa ẍ() + 3 ẋ() 2 + x() = 0 oder ẍ() + ẋ() + 8 x() = 0 vorliegen, können wir mi dem Soff dieser Vorlesung ersmal nichs zur Lösung sagen, weil diese Gleichungen nich vom Typ (0.3) sind (und auch von keinem der anderen Typen). Aber zurück zu ẍ()+4 ẋ()+8 x() = 0. Wir machen den Exponenialansaz x() = e λ, sezen ein, leien ab, eilen durch e λ, und erhalen so die Bedingung λ λ + 8 = 0. Auflösen nach λ ergib zwei Lösungen, λ ± = 2 ± 2i, d.h. wir haben die komplexen Lösungen z ± () := e ( 2±2i) = e 2 (cos(2) ± i sin(2)). Naürlich wollen wir reelle Lösungen haben, und bilden deshalb Real- und Imaginäreil. Das ergib Re(z ± )() = e 2 cos(2) Im(z ± )() = ±e 2 sin(2). Das sind in diesem Fall also drei Lösungen, wobei sich die aus dem Imaginäreil gewonnenen Lösungen nur um ein Vorzeichen unerscheiden, also sicher kein Fundamenalsysem bilden. Wenn wir aber x 1 () := e 2 cos(2) und x 2 () := e 2 sin(2) wählen, kann man leich nachprüfen, dass ein Fundamenalsysem vorlieg (Die Wronski-Deerminane is in diesem Fall 2 e 4 0.) Dami wissen wir, dass die allgemeine Lösung von ẍ() + 4 ẋ() + 8 x() = 0 is: x() = c 1 e 2 cos(2) + c 2 e 2 sin(2), c 1, c 2 R. (0.8) Um c 1, c 2 feszulegen, sellen wir jez zusäzlich noch die Anfangsbedingung x(0) = 0, ẋ(0) = 1. Dann ergib sich c 1 = 0, c 2 = 1 2, also die spezielle Lösung x() = 1 2 e 2 sin(2). Beispiel 2: Wir berachen die Differenialgleichung ẋ() = 9 x(), die wir als vom separieren Typ erkennen ( Ableiung von x = (Funkion von ) mal (Funkion von x) ), mi a() = 9 und b(u) = u. Wir rennen die Variablen (man könne sich auch die Lösungsformel (0.5) merken, aber Trennung der Variablen sag eigenlich alles und schon das Gedächnis), also formal dx d = 9 x = dx = x d 9 + c. Jez beide Inegrale ausrechnen: dx = x dx x 1/2 = 2 x 1/2 = 2 x, und d 9 + c = c. 5

6 Gleichsezen, auflösen: 2 x = ( 10 + c = x() = 20 + c ) 2. 2 Fordern wir jez mal noch die Anfangsbedingung x(0) = 1, so erhalen wir konkre c = 2. Beispiel 3: Wir berachen die DGL ẋ() = 3x() + x() + 4 (für > 0), die wir als vom Typ III erkennen ( Ableiung von x = (Funkion von ) mal x + Funkion von ), mi a() = und f() = 4. Nach dem ensprechenden Schema nehmen wir uns also ersmal die homogene Gleichung ẋ() = ( 3 + 1) x() vor, rennen die Variablen, und inegrieren: ( ) ( ) dx 3 dx 3 d = + 1 x = x = d c. Das x-inegral gib den Logarihmus (wie immer bei Variaion der Konsanen), und für das -Inegral erhalen wir ( ) 3 d + 1 = 3 log +. Gleichsezen (mi Konsane c ) und Auflösen nach x ergib wie in (0.7) x hom () = c e 3 log + = c 3 e. Das is die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. Jez Ansaz für Variaion der Konsanen: einsezen in ẋ() = 3x() und für die reche Seie x in () := c() 3 e, + x() + 4 liefer für die linke Seie der Gleichung ẋ in () = c() (3 2 e + 3 e ) + ċ() 3 e, 3x() + x() + 4 = 3c() 3 e + c() 3 e + 4. Gleichsezen beider Seien liefer nach Auflösung ċ() = e, also (mi parieller Inegraion) c() = d e = e + Dami haben wir als eine Lösung der inhomogenen Gleichung d e = ( + 1)e. x in () = ( + 1)e 3 e = 3 ( + 1). (Die Probe zeig, dass es simm). Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung is also x() = c 3 e 3 ( + 1). Wählen wir ewa als Anfangsbedingung x(1) = 1, so erhalen wir c = 2/e. Schlussbemerkung: Man sieh, dass in diesem Fall nich beliebige Anfangsbedingungen erfüll werden könnnen, z.b. is immer (für alle c) x(0) = 0. Das lieg daran, dass die Funkion a() = bei 0 unseig is; wir gehen auf diesen Punk hier nich näher ein. 6