Reglerdimensionierung nach Ziegler-Nichols

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1 HTL, Innsbruck Seie von 8 Rober Salvador salvador@hlinn.ac.a Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Regelungsechnik, Laplaceransformaion, Umgang mi komplexen Zahlen, Kurvendiskussion, Differenzialgleichungen Kurzzusammenfassung Für eine vorgegebene PT3-Regelsrecke wird nach der Mehode von Ziegler-Nichols (Wendeangenenverfahren) ein P-Regler dimensionier. Die Güe der Regelung wird anhand eines Bodediagrammes und durch Berechnung von Ampliuden- und Phasenrand überprüf. Didakische Überlegungen / Zeiaufwand: Max. Unerrichssunden (je nach Hilfesellung durch den Bereuer) Lehrplanbezug (bzw. Gegensand / Abeilung / Jahrgang): Angewande Mahemaik/Fachheorie, Regelungsechnik 4./5.Jahrgang Mahcad-Version: Mahcad 000 Lieraurangaben: Wilhelm Haager, Regelungsechnik, Verlag hp Heinz Mann, Hors Schiffelgen, Rainer Froriep, Einführung in die Regelungsechnik, Verlag Hanser Anmerkungen bzw. Sonsiges: Die Themaik wurde vom Auor als eine von drei gleichwerigen Teilaufgaben im Rahmen der schriflichen Reifeprüfung im Fach Angewande Mahemaik und Fachheorie prakisch erprob. Der Auor unerrichee in der bereffenden Klasse Mess- und Regelechnik (nich Mahemaik!) und seuere in dieser Eigenschaf und als Co-Bereuer im Mahemaikunerrich die im Anhang wörlich angeführe Aufgabensellung zur Maura bei. Rober Salvador 00

2 HTL, Innsbruck Seie von 8 Einleiung Als Regelkreis wird der Sandardregelkreis vorausgesez, wie ihn das folgende Bild zeig: z(), Z(s) w(), W(s) x d (), X d (s) y(), Y(s) R S x(), X(s) Regler Rückkopplung Regelsrecke Bei der Regelsrecke handel es sich um ein Überragungsglied mi PT3-Verhalen mi der folgenden vorgegebenen Laplace-Überragungsfunkion: F S ( s) ( + 3 s) 3 Das Wendeangenenverfahren geh von einer S-förmigen Sprunganwor der Regelsrecke aus. Mi Hilfe der Wendeangene der Sprunganwor wird ein PT-Tozei-Ersazmodell der Srecke berechne. Die Parameer dieses Ersazmodells werden zur Dimensionierung des Reglers benöig. Sprunganwor, Wendeangene, Die Sprunganwor g der Srecke is die inverse Laplaceransformiere von F S ( s) : s g invlaplace F S( s), s, s 9 exp 3 3 exp exp Korrekerweise muss dieses Ergebnis (wegen g = 0 für < 0 ) noch mi dem Einheissprung muliplizier werden: g plo invlaplace F S( s), s, s Φ 9 exp 3 3 exp exp Φ( Zur Berechnung der Wendeangene greifen wir wegen der Berechnung der beiden Ableiungen naürlich auf die Version ohne Φ zurück: g d d g 7 exp 3 g d g d 7 exp 3 8 exp 3 Rober Salvador 00

3 HTL, Innsbruck Seie 3 von 8 Berechnung der Zei-Koordinae WP des Wendepunkes: WP g = 0 auflösen, 0 6 wovon nur die zweie Lösung sinnvoll is! Berechnung der Wendeangene: Tangenengleichung:, ang g WP ( WP ) + g( WP ) Sprunganwor und Wendeangene Einheissprung Sprunganwor Wendeangene Wendepunk Für das PT-T-Ersazmodell werden nun die Schnipunke der Wendeangene mi Zeiachse (dies ergib die Ersaz-Tozei T ) und mi der waagrechen Asympoe der Sprunganwor für --> berechne (daraus erhäl man nach Abzug der Tozei die Zeikonsane des PT-Teils): T ang = 0 auflösen, 3 ( 9 exp( ) ) exp( ) T =.46 T ang = auflösen, 7 T T T T =.084 Zum Vergleich berechnen wir die Sprunganwor des PT-T-Ersazmodells der Srecke: F S_Ersaz ( s) e s T is die ensprechende Überragungsfunkion. + s T Zur Berechnung der Sprunganwor muss zunächs nur der PT-Teil berücksichig werden: g PT invlaplace + s T, s, Φ 4 exp( ) s exp 3 exp( ) + exp Φ Rober Salvador 00

4 HTL, Innsbruck Seie 4 von 8 Die für alle Zeien korreke Ersazsprunganwor is schließlich g Ersaz g PT T Das Ganze noch einmal (erweier) dargesell:, Sprunganwor und Wendeangene T T Einheissprung Sprunganwor Wendeangene Ersazmodell-Sprunganwor Wendepunk Nach Ziegler-Nichols solle sich nun eine brauchbare P-Regler-Versärkung K R wie folg ergeben: K R 0.9 T T K R =.06 Dami is der Regler dimensionier! Überprüfung der Regelgüe im Bodediagramm Hier geh es um die Darsellung des Bode-Diagramms des offenen Regelkreises. Wegen seines PT3-Verhalens reen Phasenwinkel bis zu -70 o auf, was von Mahcad naürlich nich richig gezeichne werden kann. Die Srecke wird deshalb als Hinereinanderschalung dreier PT-Glieder aufgefass; die ensprechenden Phasenwinkel (bis je maximal -90 o ) werden addier. Zusammensellung der Funkionen für ein PT-Glied: Laplace-Überragungsfunkion: F PT ( s, K, T) K ( + T s) Zugehörige Ampliuden-Frequenzgangfunkion (s wird durch jωersez): A PT ( ω, K, T) 0 log F PT ( j ω, K, T) in db Phasen-Frequenzgangfunkion: ϕ PT ( ω, K, T) arg F PT( j ω, K, T) Rober Salvador 00

5 HTL, Innsbruck Seie 5 von 8 Als Ampliudenfunkion für den offenen Regelkreis erhäl man dami A 0 ( ω) A PT ( ω,, 3) + A PT ( ω,, 3) + 0 log K R und als Phasenfunkion ϕ 0 ( ω) ϕ PT ( ω,, 3) + ϕ PT ( ω,, 3) Berechnung von Ampliuden- und Phasenrand ω 0. Vorgabe ϕ 0 ( ω) = π ω PD suchen( ω) ω PD = is die Phasendurchrisfrequenz Der Ampliudenrand: A R A 0 ( ω PD) A R = db ω 0. Vorgabe A 0 ( ω) = 0 ω AD suchen( ω) ω AD = 0.48 is die Ampliudendurchrisfrequenz Der Phasenrand: ϕ R ϕ 0( ω AD) + π ϕ R = Grad ω k ω k ω 0.05 k Ampliudengang des offenen Kreises ω AD ω PD A 0 R in db A 0 ( ω k ) ω k Rober Salvador 00

6 HTL, Innsbruck Seie 6 von 8 in Grad ϕ 0 ( ω k ) Grad Phasengang des offenen Kreises ω AD ω PD ϕ R 80+ Grad ω k Sowohl Phasen- als auch Ampliudenrand sind zwar posiiv (der Regelkreis is also sabil), aber relaiv klein; deshalb is ewa für die Sprunganwor des Regelkreises ausgepräges Schwingverhalen mi eher schwacher Dämpfung zu erwaren. Die Regler-Dimensionierung wird daher häufig nur als Ausgangssiuaion auf der Suche nach besseren Reglerparameern eingesez. Als lezes werden noch Frequenz f Schw und Abklingzeikonsane T Ab der zweifellos schwingenden Regelkreissprunganwor berechne: Die Führungsüberragungsfunkion des (geschlossenen) Regelkreises mi P-Regler is F w ( s, K R ) F S ( s) K R, + F S ( s) K R was sich vereinfachen läss: vereinfachen F w s, KK R KK R + 9 s + 7 s + 7 s 3 + KK R Berechnung der Polsellen: Pole + 9 s + 7 s + 7 s 3 + K R = 0 auflösen, s glei, i.463 i Das vermuee Schwingverhalen wird durch die Lage der Polsellen der Überragungsfunkion besäig: zwei davon sind komplex mi Imaginäreilen, die deulich größer sind als die zugehörigen Realeile. Man erkenn auch, dass es zwei Abklingzeikonsanen gib; die größere der beiden is naürlich die prakisch wichigere: T Ab T Ab =.5 Pole 0 T Ab T Ab = 5.58 Re( Pole ) Rober Salvador 00

7 HTL, Innsbruck Seie 7 von 8 Im Pole f Schw f Schw = π T Schw T Schw = f Schw Wegen der näherungsweisen Übereinsimmung der gößeren Abklingzeikonsanen T Ab mi der Schwingungsperiode T Schw und der physikalischen Bedeuung der Zeikonsanen bedeue das: Die Schwingung der Sprunganwor is ers nach ewa 5 Schwingungsperioden weigehend abgeklungen. Anhang Hier noch die genaue Formulierung der ensprechenden Reifeprüfungsaufgabe, wie sie den Schülern vorgeleg wurde: Für eine Regelsrecke mi der Laplace-Überragungsfunkion F S ( s) ( + 3 s) 3 is ein P-Regler zu dimensionieren. Als Regelkreismodell is der Sandardregelkreis zu verwenden: Berechnen Sie die Sreckensprunganwor und die Gleichung der Wendeangene, und sellen Sie beides gemeinsam grafisch dar! Berechnen Sie die Parameer des PT-T-Ersazmodells der Srecke, und geben Sie die Ziegler-Nichols-Reglerversärkung K R an! Verwenden Sie K R von oben, und sellen Sie dami die Frequenzgangfunkion des offenen Regelkreises in Form eines Bode-Diagrammes dar! Berechnen Sie Ampliuden- und Phasenrand des Regelkreises! Berechnen Sie Frequenz und Abkling-Zeikonsane des schwingenden Teils der Führungssprunganwor! Dimensionierung eines P-Reglers : K R = K S T T Als Ergänzung (nich mehr Gegensand der Mauraaufgabe) wird noch das zeiliche Sprungverhalen der Regelung mi dem oben berechneen Wer der Reglerversärkung demonsrier. Dazu wird zuers die Differenzialgleichung ermiel, die der Führungsüberragungsfunkion ensprich. Die Führungsüberragungsfunkion (siehe oben!) sell das Verhälnis aus Laplace-ransformierer Regelgröße und ransformierer Führungsgröße dar: F w ( s, K R ) = F S ( s) K R + F S ( s) K R = X ( s) W ( s) vereinfachen F w s, KK R KK R + 9 s + 7 s + 7 s 3 + KK R K R + 9 s + 7 s + 7 s 3 + KK R = X ( s) W ( s) Rober Salvador 00

8 HTL, Innsbruck Seie 8 von 8 Ausmuliplizier: + 9 s + 7 s + 7 s 3 + K R X ( s) = K R W ( s) 7 X ( s) s X ( s) s + 9 X ( s) s + ( + K R ) X ( s) = K R W ( s) Die zugehörige Differenzialgleichung laue demensprechend: 3 d d d 7 x + 7 x d d d x + ( + K R ) x = K R Sie wird in ein Differenzialgleichungssysem. Ordnung umgewandel (siehe Mahcad-Hilfe!) und uner homogenen 0 Anfangsbedingungen für die Regelgröße x 0 und einen Führungssprung w Φ numerisch gelös: 0 D(, x) K R x x x 0 w + K R 9 x 7 x 7 w Zei 80 N 400 xx rkfes( x, 0, Zei, N, D) 5, Zei n 0.. N.5 Regelverhalen Zei Sprung der Führungsgröße Sprunganwor der Regelgröße Die Grafik zeig die Übereinsimmung mi unserer früheren Überlegung, nach der die Regelgröße relaiv sark schwingen und nach ewa 5 Perioden ausgedämpf sein solle. Außerdem zeig sich die bei P-Regelung einer PTn-Srecke erwaree von 0 verschiedene bleibende Regeldifferenz. Rober Salvador 00