WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

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1 WORKING PAPERS Arbeispapiere der Berieblichen Finanzwirschaf Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre, insbes. Beriebliche Finanzwirschaf Bfw29V/03 Zusandsabhängige Bewerung mi dem sochasischen Diskonierungsfakor am Beispiel von Click-Opionen von Wolfgang Breuer und Olaf Soz Firs Draf: This Version: (WISU 2004, Hef, demnächs) Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

2 Zusandsabhängige Bewerung mi dem sochasischen Diskonierungsfakor am Beispiel von Click-Opionen von Wolfgang Breuer und Olaf Soz Zusammenfasssung: Die Bewerung unsicherer Zahlungssröme is ein zenrales Problem in der Finanzierungsheorie. Die Mehode des sochasischen Diskonierungsfakors is eine Möglichkei, unsichere Zahlungssröme zu beweren. Anhand von markgängigen Click- Opionen wird in einem Praxisbeispiel gezeig, wie die Mehode des sochasischen Diskonierungsfakors angewende werden kann. Professor Dr. Wolfgang Breuer** Dr. Olaf Soz RWTH Aachen RWTH Aachen Lehrsuhl für Beriebliche Finanzwirschaf Lehrsuhl für Beriebliche Finanzwirschaf Templergraben 64, Aachen, Germany Templergraben 64, Aachen, Germany Tel: Fax: Te.: Fax: wolfgang.breuer@rwh-aachen.de soz@abwl.rwh-aachen.de

3 Zusandsabhängige Bewerung mi dem sochasischen Diskonierungsfakor am Beispiel von Click-Opionen I. Bewerung unsicherer Zahlungssröme mi dem sochasischen Diskonierungsfakor Mi dem Kauf eines Werpapiers wie bspw. einer Akie oder Opion erwirb ein Anleger das Rech auf einen Zahlungssrom, dessen Höhe zum Daum des Kaufs unbekann is. Ein Anleger, der zum Zeipunk bspw. eine Akie der Deuschen Telekom AG (kurz Telekomakie) kauf, kenn weder den zukünfigen Verkaufspreis in noch die vom Unernehmen ausgeschüee Dividende. Die Rückflüsse X aus dieser Anlage sind somi unsicher und werden von einer Vielzahl verschiedener Fakoren beeinfluss. Eine Deerminane kann ewa die Wirschafliche Enwicklung sein, die im einfachsen Fall die Ausprägung Boom und Rezession mi ensprechenden Wahrscheinlichkeien p Boom und p Rezession annehmen kann, wie in folgender Abbildung skizzier is. Wirschafliche Enwicklung Zahlung aus einem Werpapierengagemen p Boom Boom X,Boom p Rezession Rezession X,Rezession Abbildung : Zusände und Auszahlungen. Abhängig von dem Zusand der wirschaflichen Enwicklung wird die Rückzahlung aus einem Akienengagemen unerschiedlich hoch ausfallen. In einer wirschaflichen Boom - Phase werden der Akienpreis und die ausgeschüee Dividende über der Rezessions -Phase liegen, d.h. X,Boom > X,Rezession. In der Realiä nehmen die relevanen Zusände jedoch mehr als nur zwei Ausprägungen an. X,i bezeichne dann die Auszahlung an den Inhaber der Akie in einem beliebigen Zusand i {,..., N} zum Zeipunk, wobei N die Anzahl der möglichen Umwelzusände beschreib. Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

4 Eine der grundlegenden Aufgaben der Finanzierungsheorie is es, für unsichere (bzw. zusandsabhängige) Zahlungen einen Wer zu besimmen. Dazu wird ein ypischer Anleger berache und unersuch, welchen Preis P er für eine Akie bezahlen würde. Der Preis wird von den Präferenzen des Anlegers abhängen, die in der Regel über Nuzenfunkionen modellier werden, im Weieren durch U bzw. u bezeichne. Bei der Berachung von zwei Zeipunken is die Nuzenfunkion über den Konsum in und den Konsum in wie folg definier: U(K, K ) = u(k ) + β E(u(K )). () Da der Konsum K aus Sich von ebenfalls unsicher is (bspw. wird in Rezessionsphasen weniger konsumier als in Boomphasen), wird der Erwarungsnuzen E(u(K )) berache. Dieser wird mi einem subjekiven Diskonierungsfakor β von nach rechnerisch ransferier. β is in der Regel kleiner als eins, da der Anleger heuigen Konsum gegenüber Konsum in späeren Perioden präferier. So wird ein Anleger in der Regel ceeris paribus ein sofor erhälliches neues Auo einem neuen Auo ers in zehn Jahren vorziehen. Die Anlage in die Telekomakie (oder allgemein in jedes andere Werpapier) ermöglich es dem Anleger, den Konsum seinen Präferenzen ensprechend opimal (d.h. nuzenmaximierend) zwischen und aufzueilen. So ha er die Möglichkei, auf Konsum in zu verzichen, um dafür in poeniell mehr zu konsumieren. Den ersparen Konsum kann er dann durch den Kauf von y Werpapieren zum Preis von P anlegen. Mi der Anlage verfolg er das Ziel, seinen nun von y abhängigen Nuzen U(K (y), K (y)) zu maximieren. Formal wird diese Enscheidung, wie viele Werpapiere er kaufen soll, mi folgendem Maximierungsproblem gelös: max u(k ) + E( β u(k K K y = K = K P y, + X y. )) uner den Nebenbedingungen (2) Dabei is K der Konsum, den der Anleger ohne die Möglichkei eines Werpapierengagemens ansreben würde. Aus der Opimaliäsbedingung des Maximierungsproblems (2) (vgl. Campbell, Lo und MacKinlay 997), u' ( K ) = E( β u'(k ) X ), (3) P

5 läss sich dann der Preis der unsicheren Zahlung X ableien, den der Anleger im Nuzenmaximum bezahlen würde: P u'(k ) = E β X u' ( K ). (4) Der Term M u'(k ) β (5) u' K ) ( wird als sochasischer Diskonierungsfakor bezeichne (vgl. Cochrane 200). Wenn der Grenznuzen u ( ), wie üblicherweise angenommen wird, posiiv is (mehr Konsum is generell besser als weniger Konsum), dann is auch der sochasische Diskonierungsfakor posiiv. Im Opimum is der Grenznuzen eines Verzichs auf Konsum in gleich dem Grenznuzen des gewonnenen Konsums in. Mi der Gleichung (vgl. Ingersoll 987) P = E N = p ( M X ) i= i M, i X,i (6) können dann beliebige unsichere Zahlungen bewere werden. Der Diskonierungsfakor M wird somi selbs zu einer Zufallsvariable, da er vom zusandsabhängigen Konsum beeinfluss wird. Deswegen is er auch als sochasischer (bzw. zusandsabhängiger) Diskonierungsfakor bekann. Frage : Wie läss sich die Opimaliäsbedingung (3) aus dem Maximierungsproblem (2) ableien? Die Frage, uner welchen Voraussezungen Gleichung (6) in der Praxis angewende werden kann, wird im nächsen Abschni diskuier. Prinzipiell sind zwei Anwendungsfelder möglich. Als Erses können bereis bekanne Preise danach beureil werden, ob sie zu hoch oder zu niedrig sind (vgl. auch Breuer und Gürler 997). Anhand von Opionen auf die Telekom- Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

6 akie wird dieses Vorgehen im drien Abschni veranschaulich. Als Zweies kann die Bewerungsgleichung auch zur Besimmung von Preisen eingesez werden. Dieser Anwendungsbereich wird im Abschni IV. skizzier. II. Mögliche Anwendungen des sochasischen Diskonierungsfakors in der Praxis Ein Problem der Anwendung des sochasischen Diskonierungsfakors in der Praxis lieg in der Besimmung der nowendigen Parameer. So müssen alle möglichen Zusände i mi den zugehörigen Wahrscheinlichkeien p i, die zusandsabhängigen Zahlungen X,i und die zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren M,i vorliegen. Die Realiä wird jedoch nich wie im Beispiel des lezen Abschnies von nur einer Einflussgröße mi zwei Ausprägungen, also zwei möglichen Umwelzusänden, abhängen. So wird der Preis P der Telekomakie von einer Vielzahl weierer Deerminanen besimm, die in der Regel deulich mehr als zwei Ausprägungen annehmen können. So sind bspw. poliische Größen (Seuergesezgebung, Preisregulierungen,...), Währungsvariablen (Dollarkurs, Yenkurs,...), Zinsvariablen (kurzfrisiger Zins, langfrisiger Zins,...) und eine Vielzahl weierer Besimmungsgrößen denkbar. Hieraus wird schnell ersichlich, dass die Anzahl N möglicher Zusände bei realisischen Berachungen sehr groß werden kann. Es gib jedoch Werpapierklassen, deren Auszahlungen an ihre Haler nur von einer Einflussgröße abhängig sind. Der Rückzahlungsberag einer Opion häng bspw. lediglich von dem Kurs des Basisweres ab. Ein besonders einfaches Werpapier is dabei eine Click-Opion, die es in verschiedenen Varianen gib. Die End-High-Variane zahl dem Anleger dann einen fesen Berag (in der Regel 00 ) zurück, wenn der Kurs einer Akie eine besimme Preisschwelle erreich oder überschreie. Sink dagegen der Kurs am Ausübungsag uner dieses Niveau, dann bekomm der Anleger nichs. Die End-Low-Variane ha ein hierzu symmerisches Auszahlungsprofil. Sie zahl dem Anleger den gleichen Berag, wenn der Kurs auf oder uner einer Preisschwelle lieg. Aufgrund dieses einfachen Auszahlungsprofils haben insbesondere Privaanleger Click-Opionen in der Vergangenhei versärk nachgefrag. So biee bspw. ein in Deuschland bekannes Inerneporal für Finanzinformaionen ( eine eigensändige Kaegorie Click-Opionen an. Im weieren Verlauf berachen wir deshalb eine an den deuschen Börsen gehandele Click-Opion mi folgenden Aussaungsmerkmalen. Die End-High-Variane zahl dem Anleger dann 00, wenn am Ausübungsag ( ) der Telekomkurs bei bzw. über 3,20 (Preisschwelle) lieg. Die End-Low-Variane zahl dem Anleger bei Kursen von bzw. uner 3,20 genau 00. Das zugehörige Basispapier, die Telekomakie, noiere am bei,66. Am lag der Preis der End-High-Variane bei 22,64, der Preis der End-Low- Variane bei 88,3. Frage 2: Welches sind die relevanen Umwelzusände zur Bewerung der Click-Opionen? III. Beureilung von Markpreisen mi dem sochasischen Diskonierungsfakor

7 Eine erse Berachung der beiden Opionen läss vermuen, dass deren Preise zu hoch liegen können. Der gleichzeiige Kauf der End-Low-Variane und der End-High-Variane verursach Kosen in Höhe von 88,3 +22,64 = 0,77. Dafür erhäl der Anleger 200, wenn die Telekomakie bei exak 3,20 noier und sons 00. Uner welchen Voraussezungen diese Preise dennoch vernünfig sein können, läss sich anhand des sochasischen Diskonierungsfakors prüfen. Dazu werden zunächs die Wahrscheinlichkeien der relevanen Umwelzusände sowie die Höhe des Diskonierungsfakors in den einzelnen Zusänden besimm.. Besimmung der Zusandswahrscheinlichkeien Die Berechnung der zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren erforder nach (6) die Kennnis der Wahrscheinlichkeien p i der einzelnen Umwelzusände. Insgesam lassen sich drei relevane Zusände unerscheiden. Zusand i = umfass alle Telekomkurse von über 3,20 am Ausübungsag, im Zusand i = 2 noier die Telekomakie genau bei 3,20, und im Zusand i = 3 lieg der Kurs uner 3,20. Zur Berechnung der Zusandswahrscheinlichkeien sei angenommen, dass die jährliche Rendie der Deuschen Telekom normalvereil is mi Erwarungswer µ jährlich = 0% und Sandardabweichung σ jährlich = 60%. Die Höhe des Erwarungsweres ensprich ungefähr der langjährigen Rendie des Akienmarkes, und die Höhe der Sandardabweichung is durch die implizie Volailiä von Derivaen auf die Deusche Telekom angenäher. Die Berücksichigung der 23 Tage bis zum Verfall der Click-Opionen führ, ausgehend vom Preis in in Höhe von,66, zu einem Erwarungswer des Preises am Ausübungsag der Opion von µ = ( + 0%) 23/365,66,73 und einer Sandardabweichung der Preisänderung von σ = 60% (23/365) /2,66,75. Unersell wurde dabei die vereinfachende Annahme, dass die äglichen Rendien unabhängig und idenisch normalvereil sind. Approximier man die Wahrscheinlichkei des Zusandes i=2 über das Preisinervall [3,95; 3,205], dann erhäl man für die drei Zusände folgende Wahrscheinlichkeien, wobei f(x) die Dichefunkion der Normalvereilung mi den Parameern µ =,73 und σ =,75 bezeichne: + p = f (x) dx 0,997, p p 3,205 3,205 = f (x) dx 2 3,95 395, 0,006, = f( x) dx , 2. Besimmung der sochasischen Diskonierungsfakoren Um die sochasischen Diskonierungsfakoren in den relevanen Zusänden zu besimmen, is die Berechnung der Preise von elemenaren Werpapieren hilfreich (vgl. Breuer 200). Ein elemenares Werpapier e i zahl in in einem Umwelzusand i genau eine Geldeinhei (X,i = ) und in allen reslichen Zusänden nichs (X,i,j i = 0 ). Nach Arrow (964) und Debreu (959) sind diese Werpapiere auch als Arrow-Debreu-Securiies bekann. Abbildung 2 sell exemplarisch für i = das Auszahlungsprofil dar: P (e ) 0 Abbildung 2: Auszahlungsprofil des elemenaren Werpapiers e. 0 Jedes Werpapier kann mi Hilfe von elemenaren Werpapieren duplizier werden. Die End- High-Click-Opion ergib sich aus jeweils 00 Einheien e und e 2 und die End-Low-Variane aus jeweils 00 Einheien e 2 und e 3. Um die Preise der drei elemenaren Werpapiere eindeuig zu besimmen, is jedoch die Kennnis der Preise der beiden Click-Opionen nich ausreichend (es liegen Preise von zwei Werpapieren bei drei Zusänden = drei elemenare Werpapierpreise vor). Dem Anleger seh Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

8 alernaiv ein risikoloses Werpapier zur Auswahl, welches in allen drei Zusänden am Ausübungsag einen Berag von ausbezahl. Das risikolose Werpapier kose heue 0,9983. Dami verzins es sich mi einer Jahresrae von ca. 2,74% und sez sich aus jeweils einer Einhei e, e 2 und e 3 zusammen. Aus dem folgenden Gleichungssysem, welches die beiden Click-Opionen und das risikolose Werpapier durch elemenare Werpapiere duplizier, lassen sich nun die Preise der elemenaren Werpapiere eindeuig besimmen: Gleichungssysem End-High-Opion: 00 P (e )+00 P (e 2 ) = 22,64, End-Low-Opion: 00 P (e 2 )+00 P (e 3 ) = 88,3, Risikoloses Werpapier: P (e )+P (e 2 )+P (e 3 ) = 0,9983. Als Lösung ergeben sich die Preise der elemenaren Werpapiere zu P (e ) = 0,70, P (e 2 ) = 0,094 und P (e 3 ) = 0,779. Aus den Preisen der elemenaren Werpapiere läss sich der zusandsabhängige Diskonierungsfakor M,i durch Umformung von (6) wie folg berechnen: P ( ei ) M, i =. (7) p i Dabei wurde ausgenuz, dass die Zahlungen eines elemenaren Werpapiers in genau einem Zusand beragen und in allen anderen Zusänden nichs. Mi der zuvor berechneen Wahrscheinlichkei p lieg nach (7) der Wer für M, bei P ( e ) p 0, 70 = Für die beiden anderen Zusände ergeben sich Were von M,2 0, 997, 68,3750 und M,3 0,9664. Deuliche Unerschiede der Diskonierungsfakoren in verschiedenen Zusänden sind nach (5) vor allem dann gerechferig, wenn sich der Grenznuzen des Konsums in den Zusänden ebenfalls unerscheide. Der signifikan höhere Diskonierungsfakor im Zusand i = 2 bedeue, dass der Grenznuzen mehr als 70-mal so hoch lieg wie in den Zusänden i = bzw. i = 3. Is das Konsumgu bspw. eine Reise, dann müsse der Invesor die Reise bei einem Telekomkurs am von 3,20 deulich lieber anreen als bei einem Telekomkurs von 3,2 oder darüber bzw. 3,9 oder daruner. Diese Erklärung obwohl heoreisch möglich erschein wenig plausibel. Wieso solle gerade bei einem Telekomkurs von 3,20 jemand lieber verreisen als bei Preisen von 3,9 bzw. 3,2? Frage 3: Was bedeue es, wenn der Diskonierungsfakor in einem Zusand deulich höher lieg als in einem anderen?

9 III. Bewerung von Click-Opionen mi dem sochasischen Diskonierungsfakor Die Implikaionen der beobachbaren Preise für die zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren besäigen somi die zuvor dargeselle Vermuung, dass die Preise der Click-Opionen zu hoch angesez sind. Offensichlich lieg der Diskonierungsfakor im Zusand i = 2 mi 68,3750 gegenüber den Zusänden i = und i = 3 zu hoch. Ziel is es nun, ein realisischeres Preissysem zu finden. Wegen der generellen Bevorzugung frühen Konsums durch Wirschafssubjeke is es vernünfig, von Diskonierungsfakoren unerhalb von eins auszugehen. Dami M,2 kleiner als eins is, muss nach Gleichung (7) der Preis des elemenaren Werpapiers P (e 2 ) uner 0,006 liegen. Alernaiv könne auch die Wahrscheinlichkei des Zusandes geänder werden, doch diese Möglichkei wird im weieren Verlauf nich berache. Angenommen, der Preis läge bei 0,0059 (sa bei 0,094 ), dann is P (e 2 ) keine Lösung des Gleichungssysems. Was muss sich an dem Gleichungssysem ändern, dami der neue Preis wiederum eine Lösung darsell? Die Auszahlungsbedingungen auf der linken Seie des Gleichungssysems bleiben gleich. Die durch die Preise der Opionen deerminiere reche Seie läss sich jedoch anpassen. Dazu käme es insbesondere dann, wenn die Opionspreise zu hoch sind. Wird nun angenommen, dass P (e 2 ) = 0,0059 gil und dass der relaive Preis zwischen der End-High- und End-Low-Opion bei P (EH)/P (EL) = 22,64 /88,3 verharr, dann änder sich das Gleichungssysem zu Gleichungssysem 2 End-High-Opion: 00 P (e )+00 0,0059 = P (EL) 22,64 /88,3, End-Low-Opion: 00 0, P (e 3 ) = P (EL), Risikoloses Werpapier: P (e )+0,0059 +P (e 3 ) = 0,9983. Die Preise für die verbleibenden elemenaren Werpapiere liegen uner den veränderen Annahmen bei P (e ) 0,2028 und P (e 3 ) 0,7939. Der Preis für die End-High-Opion beräg nun 20,44, der Preis für die End-Low-Opion 79,55. Die zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren fallen für jeden Zusand ähnlich aus und liegen nahe bei eins, so wie man es für einen Diskonierungsfakor erwaren würde. Es ergeben sich Were von M,,055, M,2 0,9938 und M,3 0,9947. Für dieses (realisischere) Szenario sind dami die Opionspreise ca. 0% uner den beobachbaren Markpreisen. Uner der Voraussezung, dass alle zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren uner eins liegen, muss zusäzlich die Bedingung aufgegeben werden, dass der relaive Preis der beiden Opionen adäqua is. Es läss sich zei- Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

10 gen, dass im Vergleich zur End-Low-Variane die End-High-Variane preislich zu hoch angesez is. Frage 4: Welche Preise ergeben sich für die beiden Aren von Click-Opionen, wenn man die drei zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren mi M, = 0,994, M,2 = 0,995 und M,3 = 0,996 ansez? Für den Anleger, der auf die Kursenwicklung der Deuschen Telekom spekulieren möche, is demensprechend von einem Engagemen in die beiden Click-Opionen abzuraen. Die einzige Ausnahme wäre, dass ein Anleger einen außergewöhnlich hohen Grenznuzen des Konsums für den Fall aufweis, dass die Telekomakie am Ausübungsag gerade bei 3,20 noier. Lieraurempfehlung Arrow, K.: The Role of Securiies in he Opimal Allocaion of Risk Bearing. In: Review of Economic Sudies, Vol. 3 (964), S Breuer, W.: Invesiion II Enscheidungen bei Risiko. Wiesbaden 200. Breuer, W./Gürler, M.: Preisanomalien bei exoischen Währungsopionen. In: WISU - das Wirschafssudium, 26. Jg. (997), S Campbell, J. Y./Lo, A. W./MacKinlay, A. C.: The Economerics of Financial Markes. Princeon 997. Cochrane, J.H.: Asse Pricing. Princeon 200. Debreu, G.: Theory of Value. New York 959. Ingersoll, J.: Theory of Financial Decision Making. Toowa 987.

11 Frage : Wie läss sich die Opimaliäsbedingung (3) aus dem Maximierungsproblem (2) ableien? Einsezen der Nebenbedingungen in die zu maximierende Nuzenfunkion ergib max u(k - P y) + β E(u(K + X y)). Gleichsezen der ersen Ableiung nach y mi y null führ zur Opimaliäsbedingung (3). Frage 2: Welches sind die relevanen Umwelzusände zur Bewerung der Click-Opionen? Die End-High-Opion zahl 00, wenn der Kurs 3,20 erreich oder darüber lieg. Die End-Low-Opion zahl 00, wenn der Kurs 3,20 erreich, oder daruner lieg. Bei einem Kurs von 3,20 zahlen beide Opionen 00 an den Anleger aus, bei Kursen verschieden von 3,20 jeweils nur eine Opion. Deswegen lassen sich drei relevane Umwelzusände unerscheiden. Kurse der Telekomakie über 3,20 werden mi Zusand i= bezeichne, beim Kurs von genau 3,20 wird Zusand i=2 erreich, und bei Kursen von uner 3,20 is man im Zusand i=3. Frage 3: Was bedeue es, wenn der Diskonierungsfakor in einem Zusand deulich höher lieg als in einem anderen? Lieg der Diskonierungsfakor in einem Zusand höher als in einem anderen Zusand, dann is der Grenznuzen des Konsums in diesem Zusand nach (5) ebenfalls höher. Wird eine übliche Nuzenfunkion mi abnehmendem Grenznuzen unersell, dann lieg der Konsum in dem Zusand mi höherem Diskonierungsfakor uner dem Konsum mi dem niedrigeren Diskonierungsfakor. Frage 4: Welche Preise ergeben sich für die beiden Aren von Click-Opionen, wenn man die drei zusandsabhängigen Diskonierungsfakoren mi M, = 0,994, M,2 = 0,995 und M,3 = 0,996 ansez? End-Low-Variane = p 2 M,2 X,2 + p 3 M,3 X,3 = 0,006 0, ,7987 0, ,7, End-High-Variane = p M, X, + p 2 M,2 X,2 = 0,997 0, ,006 0, ,0. Aachen Universiy of Technology Deparmen of Finance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

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