Versicherungstechnik

Transkript

1 Operaions Research und Wirschafsinformaik Prof. Dr. P. Rech // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 42 Versicherungsechnik Übungsbla 13 Abgabe bis zum Diensag, dem um 10 Uhr im Kasen 19 Überschüsse in der Lebensversicherung: a Wie ensehen Überschüsse in einem Versicherungsunernehmen? b Wie is der prognosiziere Überschuss g +1 für die +1-e Versicherungsperiode definier? Inerpreieren Sie diese Formel, ohne dabei auf Konribuionsgewinne einzugehen. c Was verseh man uner dem Effekiv-Beirag? d Zeigen Sie bie die Güligkei von Saz 4.1 der Vorlesung. Machen Sie dabei Ihre einzelnen Rechenschrie deulich! g +1! = g Z +1 + g R +1 + g K +1 für = 0,1,..., n 1, wobei g Z +1 := 1 β B a K α Γ + V a L 0 i +1 i +1 g+1 R := L 1 +1 V a q + q + g+1 K := K α K α + β β B a + Γ Γ 1 + i +1 e Was verseh man uner den folgenden Überschusszuweisungssysemen und wann werden die Überschüsse jeweils fällig? Barauszahlung Beiragsverrechnung verzinsliche Ansammlung Bonussysem f Was verseh man uner Gewinnzueilung? g Erklären Sie bie, was man in diesem Zusammenhang uner mechanisischen Verfahren verseh. h Erläuern Sie bie deaillier, was man uner laufenden Überschussaneilen verseh und wie sich diese zusammensezen. i Was verseh man uner dem Begriff Schlussüberschussaneil? j Erläuern Sie bie in diesem Zusammenhang kurz die Begriffe gebundende bzw. freie RfB. 5 Punke

2 Lösungsvorschlag: a Überschüsse ensehen dadurch, dass bei der Kalkulaion nur prognosiziere Daen verwende werden können und das Vorsichsprinzip gil. Daher ergib sich in der e pos Berachung ein Überschüss an bezahlen Beirägen. b g +1 = B a + V a L 0 K α β B a Γ 1 + i +1 q + L1 p + +1V a Mi den Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung wurden die Beiräge B a und das jährliche DK V a besimm. Zur progn. Überschussberechnung nimm man nun diese Größen mi den im Verrag fesgelegen Leisungen und errechne die Differenz aus der linken und rechen Seie der VT-Äquivalenzgleichung mi den Rechnungsgrundlagen 2-er Ordnung. Diese Differenz is der progn. Überschuss. c Effekiv-Beirag: P = Ba K α β Ba Γ D. h. Beirag abzüglich der prog. Kosen 2-er Ordnung. Dieser geh asächlich in den Abrechnungsverband ein. d g Z +1 + g R +1 + g K +1 = 1 β B a K α Γ + V a L 0 i +1 i +1 i i +1+1 = + L 1 +1 V a q + q + + K α K α + β β B a + Γ Γ 1 + i +1 1 β B a K a Γ + V a L 0 i β B a K a Γ + V a L 0 i L 1 q + L 1 q + +1V a q V a q + = +1 V a P + +1V a + K α K α + β β Bα + Γ Γ 1 + i +1 = g i +1 K α K α + β B α β Bα +Γ Γ Bα + P Bα + K α + Γ V a + L 0

3 +L 1 a q + v +1 +1V q + v V a v +1 = 1 1+i +1 =P + +1 V a v +1 Versicherungsechnische Bilanzgleichung = 0 = g +1 e Barauszahlung: Überschussaneile werden laufend im ensprechenden Jahr bar ausgezahl, d. h. zum Zeipunk erfolg eine Auszahlung der Höhe Z := δ 0 +1 ma{0, V a } + Ü δ 0 ma{0, 1 V a } für 1. Beiragsverrechnung: Überschussaneile werden laufend im ensprechenden Jahr mi dem Beirag verrechne, d. h. zum Zeipunk zahl der VN den Beirag B real = B a Z für 1. verzinsliche Auszahlung: Überschussaneile gehen im ensprechenden Jahr auf ein separaes Kono und werden dor bis zum Verragsende verzins. Dann ers bekomm der VN den Gesamberag ausgezahl! Bonussysem Zu jedem Zeipunk wird für den VN der Berag Z = δ 0 +1 ma{0, V a } + Ü δ 0 ma{0, 1 V a } als Einmalbeirag in eine zusäzliche Lebensversicherung Bonusversicherung eingezahl. Führ zu einer Erhöhung des Leisungsspekrums. f Gewinnzueilung = Vereilung der ensehenden bzw. ensandenen Überschüsse. g Werden Überschüsse nach einem mechanisischen Verfahren zugeeil dien ein fier Wer als Bezugsgröße. Die asächliche Ensehung Wo? und Wann? der Überschüsse bleib unberücksichig. h Laufende Überschussaneile werden jährlich ausgezahl. Für das + 1-e Jahr is: Ü +1 := δ 0 Z +1 + δ +1 ma{0, V a δ Z +1 } } {{ } Zinsüberschuss + δ R +1 ma{0, Br } Risikoüberschuss + δ G +1 S Grundüberschuss Dabei wird δ +1 ma{0, 0 V a } am Anfang des +1-en Versicherungsjahres gugeschrieben Direkguschrif. Der Res wander in die RfB und wird am Jahresende gugeschrieben. i Der Schlussüberschussaneil Ü S := δ 1 +1 S n wird am Verragsende ausgezahl und jährlich akualisier.

4 j Die RfB Rücksellungen für Beiragsrückersaungen beinhale die freie RfB, die gebundene RfB und den Schlussüberschussaneil. Dabei ensprich der laufende Überschussaneil, welcher am Jahresende zugewiesen wird, der gebundenen RfB. Berache man die asächlichen Überschüsse, so is der Teil, der weder zum Unernehmensgewinn beiräg, noch den laufenden Überschüssen oder dem Schlussüberschussaneil zugewiesen wurde, die sogenanne freie RfB. Sie sell einen Teil der Überschüsse dar, für den die Verwendung noch nich deklarier wurde, dies kann als Reserve dienen. Der Res wird im Schlussüberschuss ausgezahl! Aufgabe 43 Der 35-jährige Rainer Zufall ha im Jahre 1995 eine kapialbildende Lebensversicherung über V S = e abgeschlossen. Aufgrund der folgenden Rechnungsgrundlagen ergab sich eine Jahreneoprämie von 2 409,49 e. konsane vorschüssige Prämienzahlung über 30 Jahre Rechnungszins 2,75 % α Z -Kosen von 4,0 % a Gegeben sei die folgende Bruoprämienformel: P a ä, A = A, n V S B + α Z P a } C {{ } D + α γ ä, n V S E + β ä, P a } {{ } F + γ ä, n V S G } {{ } H Was verbirg sich anschaulich hiner den Größen A,..., H und? b Wir kennen bereis eine Formel zur Berechnung der gezillmeren Neoprämie P Z in Abhängigkei von den absoluen Zillmerkosen Z komplee Zillmerung ohne sonsige Kosen. Welchen Wer ha hier die Größe Z für die gegebenen Daen? c Welche gezillmere Neodeckungsrücksellung 20 V Z 35 is zu erwaren? d Wie hoch is die ausreichende Prämie P a feszulegen wenn nun noch γ-kosen von 2,0 0 / 00 berücksichig werden sollen und welche ausreichende Deckungsrücksellung 20 V a 35 ergib sich daraus? Die zur Berechnung nowendigen Were ennehmen Sie bie dem Lösungsvorschlag von Aufgabe Punke Lösungsvorschlag: a A = Summe aller zukünfig zu erwarenden, ausreichenden d. h. uner Berücksichigung aller Kosen Beiräge des VN, B = Neoleisungsbarwer bei gegebener, konsaner Versicherungssummme,

5 C = sog. Beiragssumme, d. h. der Wer aller ausreichenden Zahlungen uner Vernachlässigung von Zinsen und Serbe-Wahrscheinlichkeien, D = Zillmeraneil an den Abschlusskosen, Bezugsgröße is die Beiragssumme S = P a, E = Amorisaionskosen, Bezugsgröße is die Verrsicherungssumme V S, F = Inkassokosen, Bezugsgröße is die ausreichende Prämie P a, G = allgemeine Verwalungskosen, Bezugsgröße is die Verrsicherungssumme V S, H = zusäzliche Leisung des VU, genauer: alle zu erwarenden Kosen des VU während der gesamen Verragslaufzei mi unerschiedlichen Bezugsgrößen P a, ä, n V S, bzw. ä, P a. Beache: Die unmielbaren und die laufenden Abschlusskosen verwenden hier unerschiedliche Bezugsgrößen! = Prämienzahlungsdauer b Es gil P z P z = P + Z ä, * = P + α z P z ä, P z ä, α z P z = P ä, P z = P ä, α z ä, ** Wegen * gil außerdem Z = P z P ä,. Sez man hier ** ein, so erhäl man Z = P ä, α z P ä, ä, Z = P ä, P ä, + P α z ä, ä, α z Hier gil: Z = P α z ä, ä, α z Z 35 = 2 409,49 0, , ,23132 Z 35 = 18, wegen = 19, Z 35 = 3 079, c Bekann: Woher kam das? 20V z 35 = LBz 20 BBz 20 20V z 35 = 20 V 35 Z ä55, 10

6 Also hier mi *: = V S A 55, 10 P z 35 ä 55, 10 = V S A 55, 10 P z 35 + Z ä 55, 10 = V S A 55, 10 P z 35 ä 55, 10 + Z ä55, 10 * = LB 20 BB 20 Z ä55, 10 = 20 V 35 Z ä55, 10 20V z 35 = , , , , , , = ,88 d P a ä, = V S A, n + γ V S ä, n + α z P a P a ä, α z = V S A, n + γ V S ä, n P a = V S A, n + γ V S ä, n ä, α z = P + γ V S ä, α z ä, n 2409,49 + 0, = 19, , ,04 30 = 2779,10 20V a = LB a 20 BBa 20 = V S A 55, 10 + γ V S ä 55, 10 P a 35 ä 55, 10 = ,43