Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung, also A y b, so gil: A x A y. Also liefer Muliplikaion mi A von links: x y. Ha umgekehr jees LGS A x b eine Lösung, so is ie Marix A inverierbar. Grun: Für e,..., e n gib es ie Lösungen x,..., x n, mi A x i e i. Daher gil A ( x,..., x n (A x,..., A x n ( e,..., e n E n Definiion: Eine Marix A heiß injekiv, wenn gil: Is A x A y, so folg x y. Eine Marix A heiß surjekiv, falls es zu jeem y ein x gib, mi A x y. Bemerkung: Eine quaraische Marix A is genau ann injekiv, wenn A x nur ie Lösung x ha. Grun: Gib es eine weier Lösung y, so is A y A, also A nich injekiv. Is A nich injekiv, so gib es x y, mi A x A y, also A ( x y un x y. Lemma: Eine m n Marix A mi n > m is nie injekiv. Grun (Heurisik: A efinier eine Abbilung R n R m. Eine injekive Marix bile jeoch jeweils zwei verschieene Vekoren auf wieerum auf verschieene Vekoren ab. Da n > m is, wir ein größerer Raum auf einen kleineren abgebile. Beies zusammen kann nich funkionieren. Folgerung: Zu Vekoren x,..., x m R n mi m > n gib es λ,..., λ m R (nich alle gleich, mi λ x λ m x m. Grun: Die n m Marix A (x,..., x m is wegen m > n nich injekiv. Also gib es einen Vekor λ R m, λ, mi A λ Definiion: Für eine n n Marix A heiß ein Vekor v Eigenvekor von A zum Eigenwer λ, wenn A v λ v also wenn Beispiel: Der Vekor ( enn ( 3 8 (A λe n v R is Eigenvekor von A ( ( ( 3 8 ( zum Eigenwer 3, Für eine n n Diagonalmarix gil: λ... e i λ i e i λ n

2 3 Für eine iagonalisierbare Marix A gil: A P P D. Definieren wir ie Vekoren v i : P e i, so gil: A P e i P D e i P (λ i e i λ i P e i also A v i λ i v i Besimmung von Eigenweren Erinnerung: Die Deerminane einer Marix is ( a b e c a bc Weier is ( a b c a bc ( b c a Allgemein is ie Deerminane einer n n Marix efinier als e(a : n k ( k+ e(a k wobei Marix A k ie Marix bezeichne, ie enseh, wenn man aus A ie erse Spale un ie k e Zeile sreich. Eigenschafen er Deerminane: a A is inverierbar e(a b e(a B e(a e(b c e(a e(a Es is für eine n n Marix: A v λ v (A λ E n v Die reche Seie is ein lineares Gleichungssysem, welches genau ann eine Lösung verschieen von ha, wenn e(a λ E n is. Definiion: χ A : e(a λ E n heiß as charakerisische Polynom er Marix A. Seine Nullsellen sin also ie Eigenwere er Marix A ( cos ϕ sin ϕ Beispiel: Für ie Drehmarix D ϕ is χ Dϕ e D ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ λ sin ϕ (cos ϕ λ + sin ϕ. Dieser Ausruck wir genau ann, wenn sin ϕ cos ϕ λ jeer Summan is. Aus sin ϕ folg: ϕ oer ϕ π un ami λ. cos ϕ,.

3 ( 3 A 8 ( 3 λ. Dann is χ A e 8 λ (3 λ ( λ Dami sin ie Nullsellen, also ie Eigenwere von A, ie Were un 3. Die Eigenvekoren erhäl man also Lösungen von: ( v ( 8 4 v v ( un ( 3 ( 8 ( v ( 4 8 v v ( Eigenwere von symmerischen Marizen Wir berachen zunächs en Fall einer symmerischen Marix A ( a b b c b, so is ie Marix bereis in Diagonalgesal un nichs is zu un. Sei also b Das charakerisische Polynom von A laue :. Is χ A ( (c + a + ac b Nach er p q Formel sin ie Nullsellen hiervon:, c + a ± (c + a 4ac + 4b 4 c + a ± (c a + 4b 4 Man beache, aß er Ausruck : (c a + 4b 4 srik posiiv is, also. Es gib also zwei Eigenvekoren v, v zu zwei verschieenen Eigenweren. Unen weren wir sehen, aß iese beien orhogonal sin. Wir können weier annehmen, aß ie beien Eigenvekoren normier sin. Wir sezen P : ( v, v. Dann gil: ( AP A( v, v (A v, A v ( v, v P Außerem is P orhogonal, enn es is P P ( v v ( v ( v, v v v v v v v v ( v < v, v > < v, v > v ( a A ha nur reelle Eigenwere b Eigenvekoren zu verschieenen Eigenweren sin orhogonal Grun: zu a Wir erinnern uns, aß für komplexe Zahlen gil : z z z R. Die komplexe Konjugaion von Vekoren un Marizen wir komponenenweise efinier. Dann gil: λ v v (λ v v A v v v A v v A v λ v v

4 Daraus erhäl man λ λ, also λ R. zu b Seien v un v Eigenvekoren zu en beien verschieenen Eigenweren λ un λ. Dann gil: λ v v (A v v v A v v A v v (λ v λ v v Also is (λ λ v }{{} v also ie Behaupung. Folgerung: Ha eine symmerische Marix A n verschieene Eigenwere λ,..., λ n R mi en zugehörigen normieren Eigenvekoren p,..., p n, so is A P iag(λ,..., λ n P wo ie p i ie Spalenvekoren er Marix P sin. Darüberhinaus is P orhogonal. p p p p p n Grun: Es is P P. ( p,..., p n..... E n p n p n p p n p n a ie p i paarweise orhogonal un normier sin. Weier is: P iag(λ,..., λ (λ p,..., λ n p n un: A P (A p,..., A p n (λ p,..., λ n p n Die Gram-Schmi-Orhonormalisierung: Is v,..., v n R n eine Basis, so bilen ie Vekoren v : v,..., v k k : v v k v j k v j j j v v j nach Normierung eine Orhonormalbasis,.h. eine Basis für ie zusäzlich gil: v i v j für i j un v i v i für alle i Die Vekoren sehen also alle paarweise senkrech aufeinaner un haben ie Länge eins. Saz: Für reelle Marizen sin äquivalen: i Jee symmerische Marix is orhogonal iagonalisierbar ii Jee symmerische Marix is iagonalisierbar iii Jee symmerische Marix ha einen Eigenwer Grun: Klarerweise gelen ie Folgerungen i ii iii iii i: Sei A eine reelle, symmerische n n Marix. Dann ha A einen Eigenwer λ mi zugehörigem Eigenvekor v, en wir als normier annehmen. Diesen ergänzen wir zu einer Orhonormalbasis v,..., v n von R n (Gram-Schmi Orhogonalisierung.

5 Dann is P : ( v,..., v n eine orhogonale Marix. Es sei B : P AP Da P orhogonal is, is B wieer symmerisch. Es is P e i v i, also is ie erse Spale von B : B e P AP e P A v P λ v λp v λ e Daraus ergib sich wegen er Symmerie von B: B λ.... B mi einer symmerischen n n Marix B. Per Inukion gib es eine orhogonale n n Marix R, mi R B R iag(λ,..., λ n : D Es sei R :.... R Dann is.... R (PR A(PR R BR... λ.... B. R λ.... D Saz (Haupachsenransformaion: Zu jeer symmerischen Marix gib es eine orhogonale Marix P un eine Diagonalmarix D, so aß A PDP. Grun: Wir nehmen an, ie Beaupung sei richig für alle symmerischen n n Marizen. Wir schreiben ie Marix A wie folg als Blockmarix auf: ( A b b mi einer symmerischen n n Marix A, b R n un R..Fall: Is, so efinieren wir x : b. Wir haben nun: ( ( ( E n x A b b x E n

6 ( ( A + x b b ( b + x A + x b + b x + x x b + x x E n b + x Also is A iagonalisierbar. Der obige Saz sag uns nun, aß A sogar orhogonal iagonalisierbar is..fall: : Sei b i, ann y : (,..., δ,... (δ an er i en Selle. Dann is ( y E n ( A b b ( En y ( δ a ii + δb i Dann wähle δ mi δ a ii + δb i un wir sin wieer in Fall. Beispiel: A : marix([,, ], [,, ], [,, ]; Der Befehl unieigenvecors(a liefer eine Lise zurück. Deren erses Elemen is eine Lise von Eigenweren un ihren Vielfachheien: f irs(unieigenvecors( [[ ] ] 3, 3 +,, [,, ] Der zweie Teil er Lise is eine Lise er zugehörigen normieren Eigenvekoren: secon(unieigenvecors( [[[ ]] [[ ]] [[ ]]],,,,, Wir ersellen araus ie Marix P : P : marix([/, /, /sqr(], [ /sqr(, /sqr(, ], [/, /, /sqr(]; Es is: ranspose(p.p; un: rasimp(ranspose(p.a.p;

7 3 3 + Hier is rasimp eine Maximafunkion zur Termvereinfachung.