Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

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Daniel Heintze
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1 Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh man die Gleichung d x() =f(, x()), () d für R, x R n und das seige Vekorfeld f : R R n R n. Eine Lösung von () is eine C -Funkion x : R R n, die () erfüll. Uner einem Anfangswerproblem verseh man das Sysem d x() =f(, x()), d (2) x( 0 )=x 0, (3) für die Anfangszei 0 R und den Anfangswer x 0 R n. Beispiel.(Einfachse Differenialgleichung) ẋ() =f(), (4) x( 0 )=x 0, (5) mi seiger Funkion f : R R n. Eine Lösung erhäl man durch Inegraion: x() = 0 f(s)ds + x 0. (6)

2 2 Trennung der Variablen Die Trennung der Variablen is eine Vorgehensweise zur Lösung von skalaren Gleichungen der Form mi seigen Funkionen f,g : R R und f(x 0 ) = 0: ẋ() =f(x)g(), (7) x( 0 )=x 0, (8) Trenne die Variablen: ẋ f(x) = g(). (9) Inegrieren: x Löse (wenn möglich) nach x auf. Beispiel.(Exponenialgleichung) Siehe unen. x 0 f(y) dy = 3 Lineare Gleichungen. Ordnung 0 g(s)ds. (0) Wir berachen zunächs skalare Gleichungen der Form ẋ() = a()x()+ b(). 3. Homogene Gleichung Berache ẋ() =a()x(), () x( 0 )=x 0, (2) mi a : R R seig und x 0 = 0. Trenne die Variablen und inegriere: x x 0 y dy = ln(x) ln(x 0 )= 0 a(s)ds, (3) 0 a(s)ds. (4) Exponenzieren: x() =x 0 exp a(s)ds. (5) Inhomogene Gleichung Berache nun die inhomogene Gleichung ẋ() = a()x() + b() mi b : R R seig. 2

3 Es gil: x() =x h () +x s (), wobei x h die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (siehe Abschni 3.) is und x s eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung is. Auffinden von x s mi der Variaion der Konsanen: Die homogene Lösung war x h () =c exp 0 a(s)ds. Ansaz für die spezielle Lösung: x s () =c()exp 0 a(s)ds. Ableien: ẋ s () =ċ()exp a(s)ds + a()c()exp a(s)ds (6) 0 0! = a()x s ()+b() =a()c()exp a(s)ds + b(), (7) 0 ċ() =b()exp a(s)ds, (8) 0 r c() = b(r)exp a(s)ds dr. (9) 0 Also laue die Lösung: x() =x 0 exp a(s)ds + 0 Die Anfangsbedingung is erfüll. Beispiel zum Üben. 0 0 b(r)exp r a(s)ds dr exp a(s)ds. (20) 0 0 ẋ() = x()+, (2) x() =. (22) 4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung mi konsanen Koeffizienen Berache die homogene lineare Gleichung n-er Ordnung mi konsanen Koeffizienen mi a 0,...,a n R. d n d x()+a d n n n d x()+...+ a d n d x()+a 0x() =0, (23) Vorgehensweise zur Lösung: Ansaz: x() =x 0 exp(λ) mi λ C (Eigenwer der Differenialgleichung). Begründung: Bei linearen Gleichungen is die allgemeinen Lösung eine Linearkombinaion der Eigenlösungen. Einsezen und vereinfachen: λ n + a n λ n a λ + a 0 =0. (24) 3

4 Besimme die Lösungen λ i von (24). Aufsellen der Lösungsräume:. Fall: λ i is einfache Nullselle von (24). Dann is {exp(λ i )} der zugehörige Lösungsraum. 2. Fall: λ i is k-fache Nullselle von (24), k>. Dann is exp(λ i ), exp(λ i ),..., k exp(λ i ) der zugehörige Lösungsraum. Aufsellen der allgemeinen Lösung als Linearkombinaion: mi b ij C. x() = λ i Lösung von (24) mi Vielfachhei k(i) k(i) j=0 b ij j exp(λ i ), (25) Beispiel.(Schwingungsgleichung) Berache die Gleichung ẍ()+k 2 x() = 0 mi k R. Der Ansaz x() =x 0 exp(λ) führ auf λ 2 + k 2 = 0 und die einfachen Nullsellen λ /2 = ±ik. Also sind x () =e ik = cos(k)+i sin(k), (26) x 2 () =e ik = cos(k) i sin(k), (27) die Eigenlösungen. Die allgemeine Lösung is eine Linearkombinaion: x() =a x ()+a 2 x 2 () mi a,a 2 C. Da wir nur reelle Lösungen berachen, is die Lösungsbasis eigenlich gegeben durch {cos(k), sin(k)}. Dieses Prinzip gil auch im Allgemeinen bei ech komplexen Eigenweren linearer reeller Gleichungen. Hier gil: mi A, B R. x() =A cos(k)+b sin(k), (28) 5 Lösungsheorie 5. Exisenz und Eindeuigkei Definiion.(Lipschiz-Seigkei) Es seien I R ein offenes Inervall und D R n offen. Eine Funkion f : I D R n, (x, ) f(x, ) heiß lokal Lipschiz-seig (gleichmäßig in ), falls für alle kompaken Teilmengen D 0 D ein K 0 unabhängig von I gefunden werden kann, sodass gil: f(, y) f(, x) sup x,y D 0, y x x=y <K. (29) Beispiel. Is f seig differenzierbar, so is f lokal Lipschiz-seig (gleichmäßig in ). 4

5 Saz.(Picard-Lindelöf) Berache das Anfangswerproblem ẋ() =f(, x()), (30) x( 0 )=x 0, (3) mi f wie in obiger Definiion, x 0 D, 0 I. Is f lokal Lipschiz-seig (gleichmäßig in ), so ha das Anfangswerproblem genau eine lokale Lösung x :( 0 δ, 0 + δ) D mi δ>0 hinreichend klein. Korollar.(Forsezung der Lösung) Uner den Voraussezungen von Picard-Lindelöf läss sich die Lösung forsezen, bis enweder der Rand von D I erreich is oder die Lösung gegen unendlich sreb. Beispiel. ẋ() =(x()) 2, (32) x(0) =. (33) Die Lösung is x() =. Wegen lim x() =+ exisier die Lösung nur für <. 5.2 Regulariä Saz.(Abhängigkei von den Anfangsdaen) Uner den Voraussezungen von Picard-Lindelöf häng die Lösung x(; 0,x 0 ) seig von den Anfangsdaen ( 0,x 0 ) ab. Saz.(Abhängigkei von Parameern) Berache das parameerabhängige Anfangswerproblem ẋ() =f(, x(); ε), (34) x( 0 )=x 0, (35) mi f : I D E R n wie oben und offenem Inervall E R. () Is f seig und lokal Lipschiz-seig (gleichmäßig in und ε), so is die Lösung x(; 0,x 0 ; ε) seig in ε. (2) Is fk-mal seig differenzierbar, so is die Lösung x(; 0,x 0 ; ε) ebenso k-mal seig differenzierbar, insbesondere nach dem Parameer ε. Beispiel.(Modellbildung-Skrip, Gleichung (2.35)) u () = (εu()+), 2 (36) u(0) = 0, (37) u (0) =. (38) Dies is ein Anfangswerproblem zweier Ordnung. Umschreiben in ein Problem erser 5

6 Ordnung im R 2 : v() := u (). Dann gil: d u() = d v() u(0) 0 = v(0) v() (εu()+) 2, (39). (40) Offenbar is die reche Seie (wo definier) seig differenzierbar. Es folg: Lokale Exisenz der Lösung nach Picard-Lindelöf, Seige Abhängigkei von den Anfangsdaen, Differenzierbarkei der Lösung nach dem Parameer ε. 6

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