1.6 Energie Arbeit und Leistung Wird ein Körper unter Wirkung der Kraft F längs eines Weges s verschoben, so wird dabei die Arbeit

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1 3.6 Energe.6. Arbe und Lesung Wrd en Körper uner Wrkung der Kraf F längs enes Weges s verschoben, so wrd dabe de Arbe W = F s Arbe = Kraf Weg verrche. In deser enfachen Form gülg, wenn folgende Voraussezungen vorhanden snd: A) Kraf s längs des Weges konsan B) für skalare Schrebwese müssen F und s glechgerche sen Wenn B) nch erfüll s: nur Komponene von F n Rchung s s wrksam W = F s (Skalarproduk: F s = F s cosα = F x s x + F y s y + F z s z ) W s ene skalare Größe! Wenn F senkrech zu s seh cos α = 0 W = 0 [W] = N m = J (Joule) Wenn Kraf enlang des Weges nch konsan s d W = F ds Weg von nach W = Fds heß Lnennegral Lesung s de pro Zeenhe verrchee Arbe: P = dw [P] = s J = W (Wa) W = P()

2 4.6. Knesche und enzelle Energe An Körper der Masse von m gref Kraf F an Beschleungung. De von F Länge des Weges s verrchee Arbe beräg dv d W = F ds = m a ds = m ds ds = m dv = m dv v = d mv = d E kn Körper führ de an hm verrchee Arbe als Bewegungsenerge m sch, dese heß knesche Energe E kn [ E kn ] = J E kn = m v v v W = F ds = m v dv = mv v v = mv - mv = E kn () E kn () W bewrk Zunahme der kneschen Energe von E kn () nach E kn (). Kraffeld An jedem Punk m Raum wrk Schwerkraf. Man sag, en Raum s von enem Kraffeld erfüll, wenn jedem Punk des Raumes (Orsvekor r an den Koordnaen x, y, z) en Krafvekor F (r) zugeordne werden kann. 3D-Kraffeld: Schwerkraffeld D-Kraffeld: Federkraffeld Konservave Kräfe Arbe m Schwerefeld für Wege: W 3 = mgs 3 = mgs 4 + mgs 43 W + W 3 = mgs cosα + mgs 3 cosα = mgs 4 + mgs 43 W 3 = W + W 3 Verrchee Arbe s unabhängg vom Weg! Häng nur von Anfangs- und Endpunk ab. Typsch für das Schwerkraffeld. Man nenn ene Kraf, de en solches Kraffeld aufbau, ene konservave Kraf.

3 5 Konservave Kräfe: Schwerkraf, Gravaon, Federkraf... Nch-konservave Kräfe: Rebung, da Arbe n Wärme umgesez wrd, das s wegabhängg, Für konservave Kräfe gl: W (Weg I) = W (Weg II) = - W (Weg oder ) W + W = 0 F ds = 0 Inegraon über geschlossenen Weg Poenzelle Energe In velen Fällen wrd de an enem Sysem verrchee Arbe nch sofor n knesche Energe umgesez, sondern gespecher sog. enzelle Energe, E Jedes Sysem sreb enem Mnmum der enzellen Energe zu! Bespel Skfahrer: Lf brng Skfahrer gegen de Schwerkraf auf den Berg de. Energe erhöh sch. Da de Gravaonskraf, de durch de äußere Arbe überwunden wrd, nach unen zeg, de Arbe aber ene Bewegung nach oben bewrk, bedeue das dw = F G ds < 0 (da anparallel) + E > 0 (wrd größer) (Bem Runerfahren genau umgekehr, dw > 0, E < 0) W = Fds = - E Arbe ensprch mmer ener Poenzaldfferenz. Das Poenzal selbs s nch messbar und kann deshalb zweckmäßg (= passend zum Problem) gewähl werden.

4 6 De enzelle Energe s nur vom Or (nch vom Weg) abhängg, E = E (x,y,z). Bespele: ) Lageenerge bzgl. Erdoberfläche, Bezugspunk h = 0 E (0) = 0 h E (h) = - 0 F G ds = - h 0 -mg ds = m g h ) Federenerge, Bezugspunk Ruhelage x 0 = 0, E = 0 x E = - 0 x F F dx = - -kx dx = k x 0 Da man jeden Punk m Raum Kraf und Poenzal zuordnen kann, s de Beschrebung m Kraf- und Poenzalfeld glechwerg. Poenzaldfferenz berechenbar aus Kraffeld über Inegraon. Wenn Poenzal aus Kraffeld berechenbar s durch Inegraon, kann man umgekehr das Kraffeld aus dem Poenzalfeld durch Dfferenzeren erhalen. F x = - E x ( x) n D F = - grad E (x,y,z) m grad E = E x E, y E, z = - E sog. Nabla Operaor Q.M.! Aus skalarer Größe wrd durch Graden en Vekor. Im Kräfe-Glechgewch gl: F ges = Σ F = 0 E Fx = - = 0 x wo E Exremum ha herrsch Glechgewch sables Glechgewch lables Glechgewch ndfferenes Glechgewch

5 7.6.3 Energeerhalungssaz Nochmal Skfahrer: Wenn man Rebung vernachlässg, dann wrd Folgendes passeren: E (h) = m g h E = m g h für E (h=0) = 0 E kn = m v = m g h E kn = -m g h für E kn (h)= 0 F s E kn + E = 0 d (Ekn + E ) = 0 E kn + E = cons.! In jedem abgeschlossenen Sysem bleb de Gesamenerge erhalen. E ; = cons. In mechanschen Sysemen: E ges = E kn + E (konservave Kräfe) Allgemen: Wärmeenerge (Rebung!), Srahlung ec. müssen m berückschg werden, also alle konservaven und nchkonservaven Kräfe. Bsp. Fangpendel E (B) = 0 E (A, C) = m g h We Skfahrer: E kn = m v = m g h = E

6 8.7 Impuls Wegnegral von F Energe Zenegral con F Impuls Impuls: p = m v dv s. Newon : F = m a = m = d(mv) dp = dp = F F = dp = p ( ) p ( ) = m v m v Impulserhalung: Massen m, m, dazwschen wrken Kräfe F, F ; kene äußeren Kräfe, de Massen blden abgeschlossenes Sysem. F = - F dp dp = - d (m v ) = - d (m v ) d (m v + m v ) = 0 m v + m v = p + p = cons. Impulserhalung, genauso fundamenal we Energeerhalung!

7 9.8 Telchensyseme, Massenmelpunk Bsher haben wr auch ausgedehne Körper als Punkmassen behandel. Warum s das erlaub? D- Bespel: Massen, de be Koordnae x und x legen. Koordnae x s des Masseschwerpunks m ges : m ges x s = m x + m x Be glechen Massen be halbem Absand, sons näher be größerer Masse. Allg.: m ges r s = m r für Syseme enzelner Telchen m ges r s = r dm für konnuerlche Syseme Glechgewchslage, wenn be drehbarer Lagerung Sysem m Schwerpunk unersüz wrd. -Kugelsysem: E = m g y = g m y = m ges g y s m ges y s Sysem kann als -Telchensysem behandel werden, be dem Schwerkraf am Schwerpunk angref.

8 30 Wenn man Sysem außerhalb des Massemelpunkes unersüz, dann befnde sch der Massenmelpunk am nedrgs möglchen Punk drek uner dem Drehpunk. ) Konservave nnere Kraf zeh Sysem mmer n enen Zusand mnmaler enzeller Energe ) Möglchke, Schwerpunk komplexer Körper zu besmmen Bewegung des Massemelpunkes m ges r s = m r dr m s ges = m dr = m v = p = p ges Ohne äußere Kräfe bleb der Impuls des Gesamsysems erhalen. m ges a s = m a = F F läss sch n zwe Kaegoren elen, de nneren Kräfe F,n (von nern) und de äußeren Kräfe F, ex (von exern). m ges a s = F,n + F,ex ; Σ F,n = 0; wegen 3. Newon, aco = reaco, heben sch de Kräfe auf m ges a s = F dp ges,ex = D.h. der Massemelpunk enes Sysems beweg sch uner dem Enfluss ener äußeren Kraf we en Telchen der Masse m ges =. m Das bedeue, dass sch der Schwerpunk ohne äußere Kraf m konsaner Geschwndgke beweg Bespel Feuerwerkskörper Manchmal s es enfacher, Bewegungen n enem Koordnaensysem zu beschreben, n dem der Schwerpunk ruh. Deses K.S. beweg sch also m v s gegenüber dem Laborsysem. En solches Koordnaensysem heß Schwerpunksysem. Da p ges = m v ges gl m Schwerpunksysem m v ges,schwerpunksysem = u ges = 0, dass p ges = 0 Null-Impuls-Bezugssysem!

9 3 Enfache Umrechnung: Laborsysem: m,, v, SP-Sysem: m,, u, u, = v - v s u = v - v s mv+mv v s = m+m u s = 0