Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

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1 Aufgabe 1 ( Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n a) Erstellen Se das Hstogramm. b) Se F (x) de emprsche Vertelungsfunkton. Bestmmen Se F (998). F (998) = F (99) + f(998)(998 99) = (998 99) = c) Bestmmen Se das arthmetsche Mttel und de emprsche Varanz. x = 1 4 n =1 n x = 1 ( ) = s 2 = 1 4 n =1 n (x x) 2 = 1 [1( )2 + ( ) ( ) ( ) 2 ] 64.31

2 Aufgabe 2 ( Punkte) Im Folgenden snd das Alter X (n Jahren) und das Enkommen Y (n Tausend Euro) von n = Personen gegeben: x y Daraus errechnen sch: x 2 = 6030, =1 y 2 = 7362, =1 (x x)(y y) = 103 =1 a) Zechnen Se das Streudagramm. b) Bestmmen Se für de Regressonsgerade y = a + bx de emprschen Regressonskoeffzenten â und ˆb und nterpreteren Se ˆb am Sachverhalt. x = = 32 x 2 = = 1206 s 2 x = x 2 x 2 = = 182 s xy = = ˆb = s xy = s 2 x 182 â = ˆb = 1.16 bedeutet, dass nach dem vorlegenden Modell ene Person mt jedem Jahr, das se älter wrd, 1160 Euro mehr verdent. c) Erklären Se kurz de Idee der Methode der klensten Quadrate (KQ-Methode). De Idee st der KQ-Methode st es, de Regressonsgerade so durch de Punktwolke der Beobachtungen zu legen, dass der quadratsche Abstand der Beobachtungen zur Regressonsgerade mnmal st. d) Berechnen und nterpreteren Se das Bestmmthetsmaß. s 2 y = ( 1 170)2 = R 2 = s2 xy s 2 x s 2 y = R 2 = 0.77 bedeutet, dass 77% der Gesamtstreuung durch de Regressonsgerade erklärt werden.

3 Aufgabe 3 (2 + 3 Punkte) Im Rahmen ener Untersuchung der Abschlussnoten von Unverstätsabsolventen legen folgende Daten der Unverstäten X, Y, und Z vor: Unverstät X Y Z Durchschnttsnote der Absolventen Anzahl der Absolventen Emprsche Varanz der Noten 0.2? 0.4 Weterhn se bekannt, dass de emprsche Varanz der Noten aller betrachteten Absolventen s 2 = 0. beträgt. a) Berechnen Se de Durchschnttsnote aller betrachteten Absolventen. a = (n(x)x + n(y)y + n(z)z)/n = = 2.37 b) Berechnen Se de emprsche Varanz der Absolventen von Unverstät Y. s 2 y = [s 2 [n(x)s 2 x + n(z)s 2 z]/n [n(x)(x a) 2 + n(y)(y a) 2 + n(z)(z a) 2 n ]/n] = n(y) = [0. [ ]/300 [130 ( ) ( ) ( ) 2 ]/300]

4 Aufgabe 4 ( Punkte) Be ener olympschen Dszpln werden nach den olympschen Spelen Dopngtests zu der Substanz TDM gemacht. De Prüfmethode zum Nachwes von TDM west n 99% der tatsächlch postven Fälle de Nutzung nach. In % der Fälle lefert se jedoch en falsch postves Ergebns, d.h. der Test st postv, obwohl der Sportler ken TDM genommen hat. Weterhn weß man, dass 20% der Sportler TDM nehmen. a) We groß st de Wahrschenlchket, dass ene Dopngprobe postv st? P (postv) = P (postv dopng) P (dopng) + P (postv clean) P (clean) = = b) We groß st de Wahrschenlchket, dass en Sportler TDM genommen hat, obwohl sene Dopngprobe negatv war? Gegeben st: P (postv dopng) =.99, P (postv clean) =.0, P (d) =.2. P (d n) = P (d negatv) = P (n) = P (n d)p (d) P (n d)p (d) + P (n c)p (c) = c) Es werden 10 Sportler zum Test gebeten. We groß st de Wahrschenlchket, dass mndestens en Sportler postv getestet wrd, obwohl ken Enzger von hnen TDM genommen hat? Nehmen Se herbe an, dass de Wahrschenlchketen zwschen den enzelnen Sportlern total unabhängg snd. 10 P ( p P ( n c ) 10 c ) P ( 10 n 10 c ) P ( 10 c ) p( 10 (n c )) unabh. p( 10 c ) 10 P (n c ) 10 P (c ) P (n c ) P (c ) 10 P (n c ) P (n c).9 10 =.40126

5 Aufgabe ( Punkte) 1. De Anzahl X von abgesetzten Notebooks n ener belebgen Woche n ener Flale der PC-Kette Hypercom lässt sch durch ene Posson-Vertelung mt Erwartungswert E(X) = 4 beschreben. a) Bestmmen Se für ene belebge Woche de Wahrschenlchketen, dass ken Gerät λ = E(X) = 4 P (X = 0) = 40 0! e mndestens en Gerät P (X 1) P (X = 0) verkauft wrd. b) We groß st de Varanz der Anzahl von abgesetzten Notebooks n ener belebgen Woche? var(x) = λ = 4 c) Bestmmen Se für enen Zetraum von zwe Wochen de Wahrschenlchket, dass mehr als sechs aber höchstens acht Geräte verkauft werden. Bezechne Y de Anzahl an verkauften Notebooks n ener halben Woche. λ Y = E(Y ) = 8 P (6 < Y 8) = P (Y = 7) + P (Y = 8) = 87 e ! 8! e 8 2. De Anzahl von abgesetzten Notebooks n ener belebgen Woche n der gesamten PC- Kette Hypercom lässt sch durch ene Posson-Vertelung mt Erwartungswert 640 beschreben. We groß st de Wahrschenlchket, dass mndestens 6, aber höchstens 680 Geräte nnerhalb ener Woche abgesetzt werden? Bezechne K de Anzahl an verkauften Notebooks der Kette n ener Woche. λ K = E(K) = 640 Approxmatonsregel erfüllt: λ K = 640 > 9 P (6 K 680) = P (K 680) P (K 64) = P (Z P (Z ) Φ(1.60) Φ( 2.98) 0.94

6 Aufgabe 6 ( Punkte) In den zwe Laboren A und B werden methodsch unterschedlche Messungen der Lchtgeschwndgket c (n Klometer pro Sekunde) durchgeführt. De Messergebnsse von Labor A snd normalvertelt mt Mttelwert und Standardabwechung In Labor B snd se normalvertelt mt Mttelwert und Standardabwechung a) Mt welcher Wahrschenlchket legen de Messungen n den Laboren jewels über ? A: P (A > ) = P (Z > ) = Φ( 0.1) Φ(0.1) B: P (B > ) = 0. wegen Symmetre. b) Mt welcher Wahrschenlchket legen de Messungen von Labor A zwschen und ? P ( A ) = P (Z < ) P (Z < = Φ(0.2) Φ( 0.2) = 2Φ(0.2) ) c) Be ener Messung ener Geschwndgket von wenger als n enem der beden Labore wrd ene Neukalbrerung der gesamten Anlage nötg. Wenn zufällg mt glecher Wahrschenlchket enes der Labore ausgewählt wrd, mt welcher Wahrschenlchket muss dann nach dem nächsten Versuch ene Neukalbrerung durchgeführt werden? P ( Neukalbrerung ) = 0. P (A < ) + 0.P (B < ) = 0.Φ( ) + 0.Φ( ) = 0.Φ( 4) 0.Φ( 2.) 0.003