Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung 5. Vorlesung Dr. Jochen Köhler.03.0

2 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wchtg!!! Vorlesung Do HCI G3 Übung 5 D Fnk & De Sancts (HPH G) Anders (HCI D) Krämer (HCI J4) Übung 6 Do alle Räume we üblch.03.0

3 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Inhalt Modellerung von Unscherheten Überscht Zufallsvarablen Egenschaften des Erwartungswertoperators Zufallsvektoren und Produktmomente bedngte Vertelungen und bedngte Momente Wahrschenlchketsvertelung für de Summe zweer Zufallsvarablen Wahrschenlchketsvertelung für Funktonen von Zufallsvarablen

4 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Modellerung von Unscherheten - Überscht Zufallsvarablen und deren Charakterstka REALITÄT MODELL UNSICHERHEIT DATEN / BEOBACHTUNGEN Zufallsvarablen

5 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Egenschaften des Erwartungswertoperators Der Erwartungswertoperator ermöglcht de Berechnung des Erwartungswertes und der Varanz ener Zufallsvarablen. Wenn wr verstehen, we der Erwartungswertoperator funktonert, können wr den Erwartungswert und de Varanz von Funktonen von Zufallsvarablen berechnen. Des dent m Besonderen der Analyse von Modellen m Ingeneurwesen mt ener oder mehreren Zufallsvarablen. BEISPIEL: Berechnung der Gesamtdauer enes Bauvorhabens als Funkton der Dauer der enzelnen Bauabschntte

6 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Egenschaften des Erwartungswertoperators Der Erwartungswertoperator bestzt folgende Egenschaften: abc=,, Konstante E[ c] = c E[ c ] = ce[ ] E[ a + b ] = a + be[ ] E[ g ( ) g ( )] E[ g ( )] E[ g ( )] + = g = ( ) Zufallsvarable. = Funkton

7 Zufallsvarablen Egenschaften des Varanzoperators De Varanz kann we folgt beschreben werden: Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Var [ ] = E ( µ ) = µ + E µ E [ ] = µ + E µ = E µ = E + µ µ

8 Zufallsvarablen Egenschaften des Varanzoperators Darüber hnaus glt: Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Var Var Var [ c] = 0 [ ] c = c Var[ ] [ ] a + b = b Var[ ] [ ] = c [ ] = ce [ ] [ + ] = + [ ] [ + g () ] = [ ] + E[ g ()] Ec E c E a b a be E g() E g()

9 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Egenschaften des Erwartungswertoperators Anhand des Ergebnsses Var E E E [ ] = ( µ ) = + µ µ = µ st erkennbar, dass grundsätzlch glt: E [ g( )] g( E[ ]) für konvexe / konkave Funktonen JENSEN'S Unglechhet!! Glechhet glt ausschleßlch für lneare Funktonen!

10 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wr beschäftgen uns häufg mt Modellen, de ncht nur ene, sondern mehrere Zufallsvarablen benhalten. Dese Zufallsvarablen können n enem Vektor verent werden. Generell snd de Bestandtele enes Vektors vonenander abhängg. BEISPIEL: Regenwetter und Wasserpegel. Folglch st es notwendg, dass wr probablstsche Modelle erstellen, welche dese Abhänggket berückschtgen. Des kann anhand von multvaraten kumulatven Vertelungsfunktonen bewerkstellgt werden

11 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wr betrachten nun ncht mehr nur ene dskrete Zufallsvarable, sondern enen Vektor von mehreren dskreten Zufallsvarablen; her z.b. zwe: Z = ( Y, ) T De bvarate Wahrschenlchketsdchtefunkton st: ( ) p = p xy = P = x Y= y ( ) ( ) ( ) ( ) z Z Y,, De bvarate kumulatve Vertelungsfunkton st: ( ) ( ) P( z ) = P ( xy, ) = P( x) ( Y y) = Z p x, y Y, Y, x xy y.03.0

12 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Zufallsvektoren x,y p(x,y), , , , , ,0 0.00, , , , , , , , , , Σ= Zufallsvarablen Gegeben se ene zwedmensonale dskrete Wahrschenlchketsdchtefunkton. p( x,y).03.0 y x

13 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De margnale Wahrschenlchketsdchtefunkton ener dskreten Zufallsvarablen st we folgt defnert: p x P = x = p xy ( ) ( ) ( ) Y,, alle y

14 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De margnale Wahrschenlchketsvertelung ener dskreten Zufallsvarablen st we folgt defnert: p x P = x = p xy ( ) ( ) ( ) Y,, alle y P x P x = p x ( ) ( ) ( ) x x = x x alle y p Y, x, y ( ) margnale Wahrschenlchketsdchte margnale Wahrschenlchketsvertelung

15 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Zufallsvektoren Zufallsvarablen Gegeben se ene zwedmensonale dskrete Wahrschenlchketsdchtefunkton: x,y p(x,y), , y, x, Σ=0.7, Dskrete multvarate 0., p( x,y) 0.05 Dchte, , Σ= , , , , Σ= , px ( x) 0.5 4, , , Σ=0.0 margnale Dchte Σ= für Zufallsvarable.03.0 x 5

16 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wr betrachten nun ncht mehr nur ene kontnuerlche Zufallsvarable, sondern enen Vektor von mehreren kontnuerlchen Zufallsvarablen; her z.b. zwe: Z = ( Y, ) T De bvarate kumulatve Vertelungsfunkton st: F z = FY, xy, = P( x) Z ( Y y) ( ) ( ) ( ) De bvarate Wahrschenlchketsdchtefunkton st: f z Z = fy, xy, = FY, xy, x y ( ) ( ) ( )

17 Zufallsvektoren Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De margnale Wahrschenlchketsdchtefunkton ener kontnuerlchen Zufallsvarablen n enem bvaraten Zufallsvektor (,Y) st we folgt defnert: f ( ) ( ) x = f Y, x, y dy

18 Zufallsvarablen Bvarate Wahrschenlchketsdchtefunkton Statstk und Wahrschenlchketsrechnung

19 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Zufallsvektoren und multvarate Momente De Kovaranz zwschen dem -ten und j -ten Element enes Zufallsvektors kontnuerlcher Zufallsvarablen hesst zentrales multvarates Moment. C j [ ] ( )( ) ( ) µ )( j µ ) = x µ x j f x,x j dxdx j = E ( µ j j j Daraus st unter der Bedngung =j de Varanz für erschtlch: C [ ] = Var Der Korrelatonskoeffzent errechnet sch we folgt: C j ρ = ρ j σ σ =.03.0 j 9

20 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Zufallsvektoren und multvarate Momente Der Erwartungswert und de Varanz ener lnearen Funkton werden bestmmt durch: n = + 0 = Y a a [ ] = + [ ] EY a ae 0 n = n n [ ] Var Y = a [ ] Var + aa jc j =, j= j

21 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung bedngte Vertelungen und bedngte Momente Nehmen wr an, Informatonen über de Zufallsvarablen, de en Eregns defneren, snd bekannt..03.0

22 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung bedngte Vertelungen und bedngte Momente De bedngte Wahrschenlchketsdchtefunkton für de Zufallsvarable be gegebener Realsaton der Zufallsvarable st: f ( x x ) = f, f ( ( x x,x ) ) Wenn und vonenander unabhängg snd, glt: f ( x x ) = f ( x ).03.0

23 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung bedngte Vertelungen und bedngte Momente De bedngte kumulatve Vertelungsfunkton kann mttels Integraton errechnet werden: x F ( x x ) = f (, z x ) dz, f ( x )

24 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung bedngte Vertelungen und bedngte Momente De unbedngte kumulatve Vertelungsfunkton für de Zufallsvarable kann anhand des Theorems der totalen Wahrschenlchket aus der bedngten kumulatven Vertelungsfunkton abgeletet werden: F ( x ) = F ( x x ) f ( x ) dx Der bedngte Erwartungswert st we folgt defnert: µ ( ) = E = x = x f x x dx

25 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Häufg st man an Berechnungen der Wahrschenlchketen für Funktonen von Zufallsvarablen nteressert. Funktonen snd hlfrech, um Eregnsse, de von Interesse snd, zu beschreben se denen als Ingeneurmodelle. En enfacher Fall st de Summe zweer Zufallsvarablen dafür st es hlfrech, de kumulatve Vertelungsfunkton zu bestmmen

26 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für de Summe zweer Zufallsvarablen Wr setzten de Summe Y + und = ( x, x ), Somt können wr zuerst de Dchtefunkton für bestmmen, unter der Annahme, dass gegeben st, z.b. durch f ( x x Wr erhalten: ) = f, f ( ( x x,x ) ) f Y = x + f ( yx) = f ( y x x) Y f ( y, x ) = f ( y x x ) f ( x ) = f ( y x, x ) Y,, voraus.

27 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für de Summe zweer Zufallsvarablen De margnale Wahrschenlchketsdchtefunkton für Y kann nun durch Integraton über ermttelt werden: f Y ( y ) = f, ( y x,x ) dx Falls und vonenander unabhängg snd, erhält man das sogenannte Faltungsntegral: f Y ( y ) = f ( y x ) f ( x ) dx

28 Falls Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für Funktonen von Zufallsvarablen monoton anstegt und der Zusammenhang enendeutg st, kann de Realsaton von Y nur dann klener als y 0 sen, wenn auch de Realsaton von x = g ( y ) klener st als x 0. Dabe glt Zufallsvarablen Es soll de kumulatve Vertelungsfunkton für ene Funkton von Zufallsvarablen z.b. Y = g( ) berechnet werden. Dabe st de Wahrschenlchketsvertelungsfunkton von gegeben als F ( x). gx ( ) 0 0 und es folgt: F y P Y y P g y Y ( ) = ( ) = ( ( )) De kumulatve Vertelungsfunkton für Y st also auf folgende Wese defnert: F ( y) = F ( g ( y)) Y

29 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für Funktonen von Zufallsvarablen ausgehend von F y F g y Y( ) = ( ( )) erhält man f Y ( ( )) df g y ( y) = dy dg ( y) fy y f g y dy ( ) = ( ( )) dx fy( y) = f( x) dy

30 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für Funktonen von Zufallsvarablen Falls gx ( ) monoton fallend st, kann de Realsaton von Y nur dann klener als y 0 sen, wenn de Realsaton von größer als x 0 st. In desem Fall muss das Vorzechen vertauscht werden: F ( y) = F ( g ( y)) man erhält: Y dx fy( y) = f( x) dy Grundsätzlch folgt daraus für monoton anstegende oder fallende Funktonen: dx fy( y) = f( x) dy

31 Zufallsvarablen Statstk und Wahrschenlchketsrechnung De kumulatve Vertelungsfunkton für Funktonen von Zufallsvarablen Falls de Elemente enes Zufallsvektors Y = ( Y, Y,.. Y ) T n als enendeutge Darstellung der monoton stegenden oder fallenden Funktonen g, =,,.. n der Elemente des Zufallsvektors = (,,.. ) T angenommen werden können, ergbt sch: Mt J Y f Y = g ( ) n ( y) = J f ( x) als Betrag der Determnante von x x... y y n J = xn xn... y n

32 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Dr. Jochen Köhler