Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)

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1 Theoretsche Physk 2 (Theoretsche Mechank Prof. Dr. Th. Feldmann 28. Oktober 2013 Kurzzusammenfassung Vorlesung 4 vom Dynamk mehrerer Massenpunkte Dynamk für = 1... N Massenpunkte mt.a. komplzerter Abhänggket der F von Koordnaten und Geschwndgketen: m x (t = F ( x 1,..., x N ; x1,..., x N ; t,. Auftelung n nnere (Wechselwrkungen unterenander und äußere Kräfte. Verenfachende Annahme: Innere Kräfte resulteren aus 2-Körper Wechselwrkungen, d.h. hängen nur von Ort und Geschwndgket jewels zweer MP ab (unabhängg von anderen (N 2: F = N j F j ( x, x j ; x, x j ; t + F ext ( x, x, t (41 Defnton: Abgeschlossene Systeme F ext 0 für alle = 1... N Wetere Annahmen ( Axome der Mechank schwaches Wechselwrkungsprnzp : Fj = F j (vgl. 3. Newtonsches Axom: acto=reacto starkes Wechselwrkungsprnzp : ( x x j F j = 0 Kräfte entgegengesetzt glech, entlang Verbndungslne zwschen und j (Bsp: Gravtaton. Systeme von Massenpunkten global charaktersert durch Gesamtmasse: M = N m, Schwerpunkt: X = 1 M N m x (42 1

2 Gesamtmpuls: Gesamtdrehmpuls: N N P = p = m x = M X (43 N L = x p = N ( x X p + X P (44 }{{} nnerer Drehmpuls Für de zetlche Änderung des Gesamtmpuls ergbt sch dp dt = M X = m x = Denn mt schwachem WW-Prnzp glt F j =,j ( j,j ( j F j + j F ext F j j =,j ( j = F j = 0 F ext, (45 Schwerpunkt we enzelner Massenpunkt (unabhängg von nnerer Dynamk. Im abgeschlossenen System st Gesamtmpuls erhalten ( Impulssatz Für de zetlche Änderung des Gesamtdrehmpuls erhält man d L dt = x F =,j ( j x F j + x F ext Denn mt schwachem und starkem WW-Prnzp x F j = ( x F j + x j F j =,j ( j,j (<j,j (<j Innere Kräft tragen also ncht zum Gesamtdrehmoment be. = x F ext (46 ( x x j F j = 0. Im abgeschlossenen System st Gesamtdrehmpuls erhalten ( Drehmpulssatz Energesatz für N Massenpunkte: Gesamte knetsche Energe: T = 1 2 m ( v 2 dt dt = m x x = x F (47 Auftelung n konservatve und dsspatve Kräfte F = grad U( x 1,..., x N + F dss mt grad = Gradent bzgl. der Koord. des -ten Massenpkt., und x grad U = du dt. 2

3 Somt glt d dt (T + U = x F dss (48 Potentalantel der nneren Kräfte hängt nur vom Abstand der Massenpunkte ab, U j = U j ( x x j = U j, (49 Daraus folgen automatsch das starke und schwache WW-Prnzp, denn und somt x x j = x x j x x j, (50 F j = x x j x x j U ( x x j = F j und ( x x j F j = 0. (51 Für das Gesamtpotental ergbt sch somt U = <j U j ( x x j + U ext ( x = 1 2 U j ( x x j + U ext ( x (52 j Für enen starren Körper st de nnere potentelle Energe U j zetlch konstant. 2. Lagrange-Formalsmus 2.1 Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten Bsherge Betrachtung: unengschränkte Bewegung der Körper, allene durch de explzt vorgegebenen Kräfte n den Bewegungsglechungen bestmmt. Häufg st de Bewegung aber durch Zwangsbedngungen engeschränkt. Bespel: (ebenes Fadenpendel Zwangsbedngung st konstante Fadenlänge l, so dass sch 2-dm. Ortsvektor (Ursprung m Aufhängepunkt allen durch Auslenkungswnkel ϕ parametrseren lässt, r = ( x y ( sn ϕ := l 1 cos ϕ, e r = ( sn ϕ cos ϕ, e ϕ = ( cos ϕ sn ϕ Dann glt r = l ϕ e ϕ, r = l ϕ eϕ l ϕ 2 e r 3

4 Zerlege Kräfte n Antele senkrecht und parallel zum Faden ( Skzze: F = mg sn ϕ e ϕ (Projekton der Schwerkraft n Bewegungsrchtung F Z e r (enthält zunächst unbekannte Zwangskraft Aus m r = F + F ergbt sch n Komponenten ϕ = g l sn ϕ, Z = ml ϕ2 De erste Glechung st de gesuchte Bewegungsglechung (lässt sch z.b. n der Näherung klener Auslenkungen, sn ϕ ϕ, explzt lösen. Ensetzen der Lösung n 2. Glechung lefert dann de aufgrund der Zwangsbedngung auf den Faden wrkende Gesamtkraft Z. Für mehrere/komplzertere Zwangsbedngungen st Konstrukton auf dese Wese unhandlch elegantere Methode: Lagrange-Formalsmus. Dazu Vorbemerkungen: Generalserte Koordnaten: Fasse zunächst kartessche Koordnaten aller Massenpunke zu enem großen 3N-komponentgen Vektor zusammen, { r 1 = (x 1, y 1, z 1, r 2,..., r N } {x 1, x 2,..., x 3N } Häufg günstger (we n obgem Bespel sog. generalserte Koordnaten : x 1 = x 1 (q 1,..., q f ; t... x 3N = x 3N (q 1,..., q f ; t (53 Generalserte Koordnaten müssen ncht de Enhet ener Länge haben (z.b. Wnkel Da Zwangsbedngungen ggf. drekt benutzt werden können, um Koordnaten zu elmneren, glt.a. für de durch de q k beschrebenen Frehetsgrade : f 3N. Defntonen zur Charakterserung von Zwangsbedngungen: Ene Zwangsbedngung hesst holonom, wenn se durch ene Glechung der Form ausdrücken lässt (anderenfalls ncht-holonom. g(q 1,..., q f ; t = 0 (54 Ene Zwangsbedngung hesst skleronom, wenn se ncht explzt von der Zet abhängt; anderenfalls rheonom. Ene Zwangsbedngung hesst lnear dfferentell, wenn se von der Form st: f A (q 1,..., q f ; t dq + B(q 1,..., q f ; t dt = 0 (55 4

5 Jede holonome ZB st auch lnear dfferentell, denn aus g = 0 folgt dg = f g dq + g dt = 0 (56 q t was obger Form mt A = g q und B = g t entsprcht. Umgekehrt st ene lnear dfferentelle ZB nur dann holonom, wenn de sog. Integrabltätsbedngungen gelten, A q j! = A j q B! = A q t (57 Im folgenden, werden wr den Lagrange-Formalsmus für holonome und für lnear dfferentelle Zwangsbedngungen entwckeln. 5