Dynamik starrer Körper

Transkript

1 Dynamk starrer Körper Bewegungen starrer Körper können n Translaton und Rotaton zerlegt werden. De Rotaton stellt enen nneren Frehetsgrad des Körpers dar, der be Punktmassen ncht exstert. Der Schwerpunkt st en ausgezechneter Punkt des Körpers, für dessen Bewegung bestmmte Zusammenhänge der Punktmechank gelten. Versuch: Bewegung auf Luftkssentsch 5

2 Rotaton um ene fest engespannte Achse Zur Beschrebung ener Rotaton defneren wr dϕ, so dass: dr dϕ r Achse De Rchtung on Rchtung der Achse mt st de rechtshändgem Drehsnn. Der Betrag on um den gedreht wurde. Enhet on ϕ dϕ dϕ st der Wnkel : rad (egentlch kene Enhet) Ene olle Umdrehung hat den Betrag π. dϕ r d ϕ d r 53

3 Kreuzprodukt (Vektorprodukt) b a α a b Rchtung on steht senkrecht auf und Betrag: b a a b snα b a b a In kartesschen Koordnaten: x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a b a 54

4 Kreuzprodukt be Drehungen Achse z y y Achse z dr Bespel Bespel dϕ r dr x dϕ r x De schrafferte Ebene legt n beden Bldern n der xz-ebene. steht jewels senkrecht auf der schrafferten Ebene und zegt n y-rchtung. dr dr r dϕ Ebenso we be der lnearen Verschebung, erzeugt be ener Drehung um de Achse ene Verschebung des Punktes um dr 55

5 Wnkelgeschwndgket dϕ dt hat de Rchtung der Drehachse ebenso we Der Betrag gbt de Drehgeschwndgket an. Enhet: rad/s (oder besser /s) Be konstantem π T glt: Wenn de Achse durch den Ursprung des Koordnatensystems geht, st de momentane Geschwndgket enes Punktes: dr dϕ r r dt dt T : Zet für ene Umdrehung dϕ 56

6 Energe enes roterenden Körpers De knetsche Energe des Körpers berechnet sch als Summe sener enzelnen Massepunkte De Geschwndgket schreben wr als Geschwndgket des Schwerpunktes plus Rotaton um den Schwerpunkt ( : Ort bzgl. Schwerpunkt) kn m E + S kn r m E ) ( + + S S r r m ) ( + + S S r r m M ) ( 56b r

7 Für den letzten Term glt: Es folgt: Wel r r sn a R E r kn damt folgt E + m S r + M S m auf den Schwerpunkt bezogen st, glt: kn + M S m R Achse R r snα m α r De Bewegungsenerge des Körpers st daher de Summe aus der knetschen Energe ener entsprechenden Punktmasse m Schwerpunkt und der Rotatonsenerge. R m r mr 0 E Rot m R 57

8 Träghetsmoment De Rotatonsenerge kann geschreben werden als E Rot mr Wobe der Ausdruck n Klammern nur on der Geometre des Körpers abhängt. Wr defneren daher das Träghetsmoment m R und schreben de Rotatonsenerge als E Rot De gesamte Bewegungsenerge des Körpers st dann gegeben als E kn M S + 57b

9 Massenelemente, de weter on der Achse entfernt snd, tragen mehr Energe als achsnahe Massepunkte, da hre Geschwndgket größer st. Versuch: mgh mgh m R m m 58

10 Integrale Schrebwese: bem Grenzübergang dm 0 wrd aus der Summe en Volumenntegral: ρ R V dv R: Abstand on der Achse Herbe st ρ de Dchte Masse / Volumen ρ m V Bespel: Zylnder dv R V ρ R π ρh π Rh dr dv R max 0 R 3 dr π ρh R 4 max MR max Gesamtmasse: M ρπ R max h 59

11 Bespele für Träghetsmomente: Zylnder, Schebe Hohlzylnder Kugel M R M ( R a + R ) 5 M R Stab - Achse am Ende Stab - Achse n der Mtte Hantel 3 M L M L 4 M L M: Gesamtmasse, R: Radus, L: Länge 60

12 Stenerscher Satz: Ist das Träghetsmoment bezüglch ener Achse durch den Schwerpunkt bekannt, ergbt sch für ene andere dazu parallele Achse: m R m m R a m ( a + ' R ' + a R ' + R + ' a mr 0 ' ) + a Das Träghetsmoment bezüglch der neuen Achse: m andere Achse a R Achse durch Schwerpunkt ' R + S M a a : Abstand der Achse om Schwerpunkt 6

13 Drehmpuls und Drehmoment: Für ene Punktmasse multplzeren Newtons Aktonsprnzp on lnks über das Kreuzprodukt mt dem Vektor mr a r F Dann st des de zetlche Abletung der Glechung mr r p r denn mr + mr r p + r p r m + mr r p + r p mr r p mr a r F 6

14 Wr nennen den Term aus der zweten Glechung Drehmpuls und defneren: L r p Den Term aus der ersten Glechung nennen wr Drehmoment und defneren M r F Es folgt unmttelbar Achse M M dl d t r F 63

15 Wr übertragen de Defntonen nun auf enen ausgedehnten starren Körper. Wenn de Bewegung der Massenelemente als gemensame Rotaton um ene feste Achse erfolgt. Daher glt und somt L m r m r ( ) r mr ( r ) Für enen Körper, der symmetrsch um de Rotatonsachse st, folgt L r r Her ohne Bewes. Für unsymmetrsche Körper ergbt sch der Träghetstensor (sehe hnten). Das Drehmoment auf enen Körper st gegeben durch M r F De Kräfte müssen ncht notwendgerwese auf jedes Massenelement wrken Es können Volumen oder Oberflächenkräfte sen. 64

16 Aus folgt M M Be fester Achsrchtung n enem starren, rotatonssymmetrschen Körper st das Träghetsmoment ncht zetabhängg. M dl d t d + dt d dt De Glechung st analog zu Newtons Aktonsprnzp Translaton F m Rotaton M 65

17 Drehmpulserhaltung Der Drehmpuls wrd für jedes abgeschlossene System on Massepunkten erhalten dl dt r F Wenn es nur nnere Kräfte zwschen den Telchen und j gbt, dann glt dl dt Wegen des Newtonschen Reaktonsprnzps heben sch de Terme paarwese auf und es glt d L dt j 0 r F j Somt belebt der Gesamtdrehmpuls des Systems erhalten. 66

18 Körper dessen Form sch ändert Wenn klener wrd, muss größer werden. Energebetrachtung: Verrchtete Arbet be der Armbewegung: 0 d d d d d d + t t t L n n n n, n n n E E n n n n n E n n E E R R m R F W R R R R d d 67

19 Glechgewcht: Wenn de Summe aller Drehmomente n Achsrchtung glech null st, trtt kene Drehbeschleungung auf. Körper blebt m Glechgewcht. M r F 0 r r F 3 F F Hebel: r F r F r F r F r r F F Übersetzung: F F 68

20 Versuch: Drehmomente durch Gewchtskraft Glechgewcht, wenn M 0. Glechgewcht mmer dann, wenn Schwerpunkt über/unter Achse legt. Stables Glechgewcht: Schwerpunkt unter Achse Be Auslenkung Drehmoment n Rchtung zur Glechgewchtslage. Lables Glechgewcht: Schwerpunkt über Achse Be Auslenkung Drehmoment weg on der Glechgewchtslage. 69

21 Stables Glechgewcht r r r r r r r r r F F F F F M r r F F + r 0 F M r F 0 M r F 0 70

22 Drehmpulserhaltung und Impulserhaltung enes enzelnen Körpers Impuls des Körpers wrd erhalten: p m Drehmpuls des Körpers wrd erhalten: L mr const. const. m α r R Achse L m r snα mr Drehmpuls des Körpers wrd erhalten: L mr const. r Impuls des Körpers wrd ncht erhalten, Achse da ene radale Zwangskraft wrkt. 7

23 Impuls und Drehmpuls Der Drehmpuls enes abgeschlossenen Systems wrd mmer bezüglch jeder Achse erhalten. Wrken auf enen enzelnen Körper nur Radalkräfte, dann ändern dese seen Drehmpuls ncht. Der Drehmpuls des enzelnen Körpers blebt erhalten. (Radalkräfte nmmt de Achse auf.) Bem Impulserhaltungssatz werden alle Kräfte auf enen Körper berückschtgt. Der Impuls enes Körpers wrd nur erhalten, wenn er kräftefre st. Der Drehmpuls ene enzelnen Körpers kann bezüglch ener bestmmten Achse erhalten sen, bezüglch ener anderen aber ncht (Radalkräfte snd jetzt kene Radalkräfte mehr). Der Impuls hat ene andere Rchtung als der Drehmpuls 7b

24 Rotaton um free Achsen Achse ncht gelagert oder n enem Punkt gelagert (Kresel) Das Drehmoment bewrkt ene Änderung der Rchtung on Das Träghetsmoment M Achse enes Körpers hängt on der Rchtung der Achse ab. r F Also ändert sch auch das Träghetsmoment. De Rchtungsabhänggket des Träghetsmomentes wrd mt enem Tensor (Matrx) beschreben. 7c

25 Träghetstensor Im allgemenen Fall st der Drehmpuls ncht parallel zur Drehachse. Man kann zegen: L ~ Achse m ~ xx yx zx xy yy zy xz yz zz L L m L m r L L L x y z xx yx zx + x + x x + xy yy zy + y + y y + xz zz yz z z z 7

26 Träghetsellpsod Trägt man erhält man enen Ellpsod. für jede möglche Achse durch den Schwerpunkt auf, Football (polate Form) oblate Form Der Ellpsod hat dre Hauptachsen (de senkrecht zuenander stehen). De Träghetsmomente n desen Rchtungen nennt man Hauptträghetsmomente. 73

27 Mt enem kartesschen Koordnatensystem entlang der Hauptachsen st der Träghetstensor dagonal: ~ 0 0 a 0 b c a, b und c snd de Hauptträghetsmomente. oblater Träghetsellpsod (größtes bzgl. senkrechter Achse) polater Träghetsellpsod (klenstes bzgl. senkrechter Achse) 74

28 Free Achsen De engezechnete Drehachse kann nur durch Kräfte auf de Achse bebehalten werden, denn dl dt 0 L Achse m Nach Fregabe der Achse erfolgt de Drehung um de Rchtung on d L 0 dt Kräfte wrken nur noch entlang der Stange (nnere Radalkräfte). L kräftefree Achse m L m Auf de Achse wrkt ken Drehmoment. Solche Achsen bezechnet man als free Achsen m 75

29 Free Achsen Achsen n Rchtung der Hauptachsen des Träghetsellpsods snd free Achsen. Der Vektor damt folgt also ( 0,0, c) L L L a b c L und damt a 0 0 hat nur ene Komponente, z.b. 0 0 b ( 0,0, c ) L c 0 0 c 0 0 c. Also st de Achse kräftefre. 76

30 Stabltät freer Achsen Rotatonen um de Achse mt dem größten und mt dem klensten Träghetsmoment snd stabl. Rotaton um de Achse mt dem mttleren Träghetsmoment st ncht stabl. (klene Störungen führen zum torkeln). Versuch: 77