Physik A VL11 ( )

Transkript

1 Physk A VL11 ( ) Dynamk der Rotatonsbewegung I Kresbewegung und Kräfte Drehmoment und räghetsmoment

2 Kresbewegung und Kräfte en Massepunkt (Schwerpunkt) führt nur ene ranslatonsbewegung aus ausgedehnte Körper können roteren: Grund: Drehmoment aus Betrachtung der Rotatonsbewegung: ranslatonsgröße und Rotatonsgröße hängen über Abstand vom Schwerpunkt zusammen

3 Kresbewegung und Kräfte Roterende starre Körper be enem starren Körper bleben de Abstände zwschen belebgen Punkten P konstant alle Punkte P drehen sch um den glechen Wnkel φ. damt gelten de Gesetze der Rotatonsbewegung: Wederholung: Rotatonsbewegungen ranslaton Rotaton Zusammenhang Weg s s = r Geschwndgket v = ds/dt = d /dt v = r Beschleungung a = dv/dt=d s/dt = d /dt=d /dt a = r Vektorell: Geschwndgket Beschleungung v a r r Wnkelgeschwndgket, Wnkelbeschleungung v a r r ranslatonsgröße und Rotatonsgröße hängen über Abstand vom Schwerpunkt zusammen

4 Kresbewegung und Kräfte Überlagerung von ranslaton und Rotaton rene ranslaton: Schwerpunkt bewegt sch ohne Drehung des Körpers Beschrebung: s, v, a rene Rotaton: Körper dreht sch um Schwerpunkt; Schwerpunkt blebt ortsfest Beschrebung: φ,, Überlagerung von ranslaton und Rotaton: Körper dreht sch um Schwerpunkt; Schwerpunkt bewegt sch Beschrebung: s, v, a, φ,,

5 Zentrpetal- und Zentrfugalkraft Kresbewegung und Kräfte wrd ene Masse herumgeschleudert, wrkt ene Kraft de Zentrpetalkraft erzeugt de Kresbewegung, de Kraft st nach nnen gerchtet mv F Z ma m r r nach dem 3. Newton schen Axom muss ene glech große, nach außen gerchtete Zentrfugalkraft (= Flehkraft) wrken: F F F Z Zentrfugalkraft F F st de Gegenkraft (räghetskraft!) zur Zentrpetalkraft F Z Zentrfugalkraft st nur für enen mtbeschleungten Beobachter wahrnehmbar! En äußerer Beobachter beobachtet nur de Zentrpetalkraft

6 Zentrpetal- und Zentrfugalkraft Enstellung von Regelgrößen Der Flehkraftregler: mt stegender Drehzahl stegt de Zentrfugalkraft, de auf de Gewchte wrkt, und dese nach außen drückt Durch de dargestellte Mechank wrd en Ventl (unten) graduell geöffnet Regulerung der Drehzahl z.b. be Dampfmaschnen. Kresbewegung und Kräfte

7 Zentrpetal- und Zentrfugalkraft Bespel für Flehkräfte: Erdmodell Zentrfugalkraft am Äquator: F a F F m r r Kresbewegung und Kräfte 3 Zu den Polen hn nmmt de Zentrfugalkraft ab Messungen: R(Äquator) = R(Pol) + 0 km r m/s 310 Antparallel zur Gewchtskraft (Deser entgegen gerchtet) für alle anderen Längengrade snd Zentrfugalkraft und Gewchtskraft ncht antparallel Grund: De Erde st en Ellpsod (Newton, 1677 & Huygens 1690) Das Erdnnere st flüssg und de Erde rotert Flehkräfte g Rotatonsellpsode: Ellptztät über Wnkelgeschwndgket enstellbar

8 Kräfte am starren Körper Kresbewegung und Kräfte Kräfte, deren Wrkungslnen durch den Mttelpunkt enes starren Körpers laufen, erzeugen kene Drehung Kräfte, de an anderen Lnen angrefen, erzeugen Drehungen F 1 F 1 F wrkt ene Kraft F auf enen enzelnen Massenpunkt, führt nur de tangentale Komponente zu enem Drehmoment: F t de radale Komponente erzeugt kene Drehbewegung, sondern wrkt auf das Achslager oder bewrkt ene ranslaton des Gesamtsystems F r F sn F cos F φ F t F r r F

9 Kresbewegung und Kräfte Drehmoment () und räghetsmoment () Analogeüberlegungen: ranslaton aus der Ruhe: Kraft erforderlch We kann man ene Rotaton erzeugen? Das Drehmoment erzeugt Drehbewegungen: Drehmoment ~ Wnkelbeschleungung st auch ene Kraft Wenn Kraft F auf enen Massetel Δm m Abstand r vom Mttelpunkt wrkt: Masse wrd tangental beschleungt mt a t bzw. Wnkelbeschleungung t Masse erhält en Drehmoment = r F F r r r m a m Das Drehmoment hängt von der Masse ab t const a t r Für enen spezellen Körper

10 Drehmoment und räghetsmoment Summert man über alle enzelnen Drehmomente, erhält man n Analoge zur Newtons schen Bewegungsglechung: Drehmoment () und räghetsmoment () Drehmoment r m r m räghetsmoment m r Drehmoment Drehmoment = räghetsmoment mal Wnkelbeschleungung Drehmoment be Rotaton entsprcht Kraft be ranslaton. Newton sches Gesetz (Axom) für Drehbewegungen t a Schwerpunk m F

11 Drehmoment und räghetsmoment Drehmoment () und räghetsmoment () räghetsmoment stark abhängg von Massenvertelung m Körper Drehung um ene feste Achse durch Schwerpunkt Bespel: Hohlzylnder m r räghetsmoment des Hohlzylnders m r mr

12 Drehmoment und räghetsmoment Allgemene Defnton des räghetsmomentes r dm [kg m ] Das räghetsmoment beschrebt de räghet enes Körpers be Rotatonsbewegungen. Se st das Gegenstück zur (trägen) Masse der ranslatonsbewegungen. Das räghetsmoment wrd mmer bezüglch ener bestmmten Drehachse berechnet Das Drehmoment st stark abhängg von Massenvertelung m Körper Allgemene Defnton des Drehmomentes r dm a [kg m ]

13 Drehmoment und räghetsmoment räghetsmomente verschedener Objekte Bespel: Zylnder mt Drehachse = Körperachse m = Masse des Zylnders r = Radus dünnwandger Hohlzylnder: m r mr massver Zylnder : 1 mr dckwandger Hohlzylnder : 1 m( r 1 r ) r 1 = nnerer Radus, r = äußerer Radus

14 Drehmoment und räghetsmoment räghetsmomente verschedener Objekte Bespel: Zylnder mt Drehachse senkrecht zur Körperachse m = Masse des Zylnders r = Radus l = Länge des Zylnders dünnwandger Hohlzylnder: mr 1 mr 1 ml massver Zylnder : 1 mr 1 4 mr 1 1 ml dünner Stab: 1 ml 1 Verglech mt Drehmomenten be Drehachse = Körperachse ( ) zegt: En starrer Körper kann zu verschedenen Achsen verschedene räghetsmomente haben!

15 Drehmoment und räghetsmoment räghetsmomente verschedener Objekte Bespel: Kugel mt Drehachse durch Mttelpunkt m = Masse der Kugel r = Radus mr 3 dünnwandge Hohlkugel mr 5 massve Kugel Bespel: Quader mt unterschedlchen Drehachsen Massver Quader, Kantenlängen a,b (Zechnung: a und b für XX, Drehachse durch den Mttelpunkt der Fläche ab) a, b = Kantenlängen a 1 m( a 1 b ) ' XX ' ' YY' ' ZZ ' b Vektoren entsprechen den Rchtungen der Drehachsen, de zu den entsprechenden räghetsmomenten gehören

16 Drehmoment und räghetsmoment räghetsmomente verschedener Objekte

17 Der Stener sche Satz Drehmoment und räghetsmoment Bsher: Drehachse durch den Schwerpunkt des starren Körpers was passert, wenn Drehachse vom Schwerpunkt entfernt legt? Antwort lefert der Stener sche Satz Haben Drehachse und Schwerpunkt den Abstand h, so st das Gesamtträghetsmoment de Summe des räghetsmomentes durch den Schwerpunkt und des räghetsmomentes des Schwerpunkts relatv zur Drehachse: Gesamt Schwerpunkt mh Ist das räghetsmoment enes Körpers bezüglch ener Achse durch den Schwerpunkt bekannt, kann das räghetsmoment bezüglch ener Achse parallel zu deser Achse m Abstand h berechnet werden

18 Der Stener sche Satz Drehmoment und räghetsmoment Bespel: Dünner Stab mt verschedenen Drehachsen räghetsmoment durch Schwerpunkt: 1 ml 1 l räghetsmoment durch Ende: ges 1 1 ml l m 1 3 ml

19 Zusammenfassung de Zentrpetalkraft erzeugt de Kresbewegung, se zegt nach nnen de Zentrfugralkraft (= Flehkraft) zegt nach außen de Zentrfugalkraft st de Gegenkraft (räghetskraft!) zur Zentrpetalkraft mv F Z ma m r r F F F Z das Drehmoment st nach dem. Newton schen Gesetz ene Kraft, de durch räghetsmoment und Wnkelbeschleungung entsteht Drehmoment r dm a räghetsmoment r dm das räghetsmoment beschrebt de räghet enes Körpers be Rotatonsbewegungen: es wrd mmer bezüglch ener bestmmten Drehachse berechnet und st stark abhängg von der Massenvertelung m Körper.