Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

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1 Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert; Formeln, Tabellen und Programme Verlag Vahlen

2 Varanz - Bespel Bespel: Für das Gewcht der 0 betrachteten Personen ergbt sch be enem arthmetschen Mttel von 65 g de emprsche Varanz we folgt: ame Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls r x (x - µ) Summe.984 g² [ 0 ( 44 65) ² + ( 46 65) ² ( 0 65) ²] 98,4 g ² Infolge des Quadrerens hat de Varanz ncht de gleche Maßenhet we das Mermal selbst. De Interpretaton st daher ncht snnvoll. 3 Standardabwechung De (emprsche) Standardabwechung st de postve Wurzel aus der (emprschen) Varanz. Es glt: ² De Standardabwechung bestzt de gleche Dmenson we de Mermalsausprägungen und deren Mttelwert, se st zur Interpretaton daher besser geegnet als de Varanz. De Standardabwechung st genau dann glech ull, wenn alle Daten den glechen Wert haben (a a a ). 4

3 Standardabwechung - Bespel Bespel: Für das Gewcht der 0 betrachteten Personen ergbt sch be enem arthmetschen Mttel von 65 g de emprsche Varanz we folgt: ame Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan ls r x (x - µ) Summe.984 g² [ 0 98,4 ( 44 65) ² + ( 46 65) ² ( 0 65) ²] 98,4 g ² 7,74 De Streuung des Gewchtes, gemessen mt der Standardabwechung, beträgt 7,74 g. Zum Verglech: de mttlere absolute Abwechung gegenüber dem arthmetschen Mttel beträgt 5 g. 5 Varanz und Standardabwechung - Bespel Bespel: Klausuraufgabe 3 vom Februar 003 (geürzt) In orddeutschland lebten m Jahr 00 5 Mll. Enwohner. Für de 5 Bundesländer legen für 00 folgende Ecdaten über Bevölerung, Erwerb, vor: Bundesland Bevölerungsantel Erwerbs- (%) tätge (Tsd.) HB 4,8 385 HH MV I SH,6,8 53,0 8,8 Erwerbsquote orddeutschland Erwerbsquote (%) 53,5 60, 4, 43,8 43,6 45,8 Berechnen Se Varanz und Standardabwechung der Erwerbsquote. ² (0,535-0,458)² 0, (0,60-0,458)² 0,6 + (0,4-0,458)² 0,8 + (0,438-0,458)² 0,530 + (0,436-0,458)² 0,88 ² 0,0034 0, De enzelnen Bundesländer legen durchschnttlch 5,7 Prozentpunte vom Wert der Erwerbsquote für orddeutschland entfernt. Berech EWQ 40,% bs 5,5% 6 3

4 Varanz und Standardabwechung - Bespel Bespel: Klausuraufgabe 3 vom Februar 003 (geürzt) In orddeutschland lebten m Jahr 00 5 Mll. Enwohner. Für de 5 Bundesländer legen für 00 folgende Ecdaten über Bevölerung und Bruttonlandsprodut vor: Bundesland Bevölerungsantel (%) Bruttonlands- Produt (Mrd. ) HB 4,8 3,4 HH,6 75,5 MV,8 9,7 I 53,0 80,4 SH 8,8 66,0 BIP je Enwohner orddeutschland BIP je Enwohner (Tsd. ) Berechnen Se de Varanz und Standardabwechung des BIP je Enwohner (n Tausend Euro). 3,5 43,4 6,8,7 3,4 5,0 ² (3,5-5)² 0, (43,4-5)² 0,6 + (6,8-5)² 0,8 + (,7-5)² 0,530 + (3,4-5)² 0,88 ² 53,9 7,93 De enzelnen Bundesländer legen durchschnttlch 7.93 vom Wert des BIP je Enwohner von entfernt. Berech BIP/EW 7,7 bs 3,3 (Tausend Euro). 7 Sgma-Bereche - Bespel In den Bespelen wrd ene Interpretaton der Standardabwechung vorgenommen, welche de Berechsangabe um das arthmetsche Mttel benutzt. Man benutzt dese n der beschrebenden Statst auch als anschaulche Interpretaton folgender Art: m -Sgma-Berech um das arthmetsche Mttel legen mndestens 75% der Daten, W( X-µ <)W(µ-<X< µ+) 0,75 m 3-Sgma-Berech um das arthmetsche Mttel legen mndestens 89% der Daten. W( X- µ <3)W(µ-3<X< µ+3) 0,89 Dese Aussagen gehen auf de Tschebyscheff-Unglechung der Wahrschenlchetsrechnung zurüc. Es st allerdngs Vorscht geboten be lenen Mengen, we bem Bespel hochaggregerter Regonaldaten. De Interpretaton wrd n desen Bespelen sachbezogen vorgenommen, um ene Vorstellung der Dfferenzerthet der Bundesländer zu gewnnen. De enzelnen Bundesländer legen durchschnttlch 5,7 Prozentpunte vom Wert der Erwerbsquote für orddeutschland entfernt. Berech (µ-<x<µ+) für EWQ 40,% bs 5,5% De enzelnen Bundesländer legen durchschnttlch 793 vom Wert des BIP je Enwohner von 5000 entfernt. Berech BIP/EW 7,7 bs 3,7 (Tausend Euro). 8 4

5 Tschebyscheff-Unglechung Se X en Zufallsvarable mt Erwartungswert µ und Varanz ². Dann glt für alle reellen Zahlen >0: W( X µ < ) De Unglechung gbt ene untere Grenze für de Wahrschenlchet an, dass en Wert ener Zufallsvarable X mt endlcher Varanz nnerhalb enes bestmmtes Bereches um den Erwartungswert der Varable legt. Damt st auch ene obere Grenze für de Wahrschenlchet angegeben, dass de Werte außerhalb deses Bereches legen. Der Satz lässt sch auch auf Vertelungen anwenden, de ncht "glocenförmg" snd und setzt Grenzen dafür, we vele der Daten "n der Mtte" legen und we vele ncht. Untere Grenze 3 -/² 0 0,75 8/9 0,89 ur für > lefert de Unglechung ene nützlche Informaton. 9 Telgesamtheten und Grundgesamthet - Bespel Beobachtungswerte önnen n Telmengen (Telgesamtheten) vorlegen, de zu ener Gesamtmenge zusammengefasst werden önnen. Bespel: Fasst man de 50 betrachteten Fahrzeuge als Gesamtmenge auf, so lässt sch dese z. B. nach der Karossereform n Telmengen untergledern. Lmousnen, Kombs, Stufenhec- und Großraumlmousnen lassen sch umgeehrt weder zur Gesamtmenge zusammenführen (aggregeren). Allgemen: Mermalswert.. Mermalswert j.. Mermalswert Telmenge a a j a : Telmenge a a j a : Telmenge a a j a,..., j,..., 0 5

6 µ µ µ µ Varanzzerlegung µ Arthmetsches Mttel der Telgesamthet [ ( a j µ ) + ( µ µ )] j 0 ( a j µ ) j Arthmetsches Mttel der Gesamthet Aus deser Formel und mt Hlfe mathematscher Transformatonen lässt sch de Varanz der Grundgesamthet n zwe Summen zerlegen. De erste Summe lefert de durchschnttlche Varanz nnerhalb der Telgesamtheten und de zwete den durchschnttlchen Abstand (Varanz) zwschen den Telgesamtheten. Varanzzerlegungssatz Für ene Grundgesamthet, de aus Telgesamtheten mt den Umfangen,,,, den arthmetschen Mtteln µ, µ,, µ und den Standardabwechungen,,, besteht, ergbt sch de Varanz: µ µ µ oder + + ( µ µ ) ( µ µ ) mt und. Summand: Varanz nnerhalb der jewelgen Gruppe, Schcht, Telgesamthet µ µ. Summand: Varanz zwschen den Gruppen, Schchten, Telgesamtheten De Varanz der Gesamthet ergbt sch aus der Summe der Gruppenvaranzen (Telgesamtheten) und der Varanz zwschen den Gruppen (Telgesamtheten). 6

7 Varanzzerlegung - Interpretaton Be Verwendung der relatven Häufgeten der Telgesamtheten glt für de Varanz der Gesamthet: + ( µ µ )² Antelwerte für jewelge Gruppenstäre (Gruppengewcht) f + f ( µ µ )² Gewchtetes Mttel aus den Varanzen der Telgesamtheten: nterne Varanz Gewchtetes Mttel der Abwechungen der Mttelwerte der Telgesamtheten vom Gesamtmttel: externe Varanz 3 Varanzzerlegung - Bespel Bespel: De 0 Personen werden mt hren Gewchtsangaben n zwe Gruppen nach dem Geschlecht aufgetelt : 5 ame Lsa Anna Antje Mare Dörte ( x 50) x ,8 5 De Varanz für de erste Telmenge beträgt 0,8 g², der Mttelwert 50 g. 5 ame Sven Uwe Ka Jan ls ( x 80) x De Varanz für de zwete Telmenge beträgt 6 g², der Mttelwert 80 g. 0 0 (( 5 0,8) + ( 5 6) ) + ( 5 ( ) ² + 5 ( ) ² ) 73, ,4 Interne Varanz: 73,4 [g²] Externe Varanz: 5 [g²] De Varanz der Gesamtmenge beträgt 98,4 g², wobe 5 g² auf de Varanz zwschen den Telmengen zurüczuführen snd. Verglchen mt den gruppennternen Varanzen von 0,8 g² und 6 g² zegt sch, dass de Dfferenzerung zwschen den Geschlechtern größer st als nnerhalb der Gruppen. 4 7

8 Varanzzerlegung - Bespel Bespel: De Quadratmeterprese be Wohnungsmeten wurden für 85 Wohnungen n Berln untersucht. Dabe wurden entsprechend der Lage der Wohnungen zwe Gruppen gebldet (Westberln, Ostberln): Für de gesamte Erhebung stellt sch de Vertelung we folgt dar: 00 SPSS-Ausdruc für Gesamthet (Berln) 00 0 Std.abw. 5,5 Mttel 7,8 85,00 0,0 6,0 Pres (DM/m²) 46,0 4,0 38,0 34,0 30,0 6,0,0 8,0 4,0 5 Varanzzerlegung -Bespel Für de Telmengen (Westberln, Ostberln) stellt sch de Vertelung we folgt dar: 00 SPSS Ausdruc für Westberln SPSS Ausdruc für Ostberln ,0 4,0,0 0,0 8,0 6,0 4,0,0 0,0 8,0 6,0 Std.abw. 4,39 Mttel 5,6 394,00 Pres (DM/m²) Pres (DM/m²) 46,0 4,0 38,0 34,0 30,0 6,0,0 8,0 4,0 0,0 6,0 Std.abw. 4,96 Mttel 9,8 4,00 Aus den vorlegenden Angaben lässt sch de Varanz zwschen und nnerhalb der Telmengen ermtteln. 6 8

9 Berln Ost West 85 Varanzzerlegung Bespel Anzahl Varanz 6,43 9,7 4,606 Mttelwert 7,8 5,6 9,8 85 Es glt de Bezehung: ( µ µ ) ( 394 9,7+ 4 4,606) + ( 394 ( 5,6 7,8) ² + 4 ( 9,8 7,8 ) ² ) 6,43,05 + 4,406 De Varanz der Gesamtmenge beträgt 6,43 (DM/qm)², wobe 4,4 (DM/qm)² auf de Varanz zwschen den Telmengen zurüczuführen st. Verglchen mt den gruppennternen Varanzen von 9,7 (DM/qm)² und 4,6 (DM/qm)² zegt sch, dass de Dfferenzerung nnerhalb der Telmengen größer st als zwschen den beden Gruppen. Deses Ergebns ann auch dazu benutzt werden, um Grupperungen vorzunehmen oder ncht. Der Antel der externen Varanz lefert ene Begründung für Grupperungen. + 7 Lagetransformaton der Daten Lneare Transformaton der Ursprungsdaten: Fall : Y a+ y a+ X x De Varanz der transformerten Werte st glech der Varanz der Ursprungswerte, da ledglch en Socel engefügt wrd: Y X Mttelwert Mttelwert a a De Abstände zwschen Mermalswerten und Mttelwert bleben glech, de Varanz verändert sch ncht. De Varanz st lage-nvarant. 8 9

10 Lneare Transformaton der Daten Fall : Y a+ b X y a+ b x Y b X De Varanz der transformerten Werte st um den Fator b² größer als de Varanz der Ursprungswerte, denn neben dem Socel (a) snd de Mermalswerte durch de Multplaton mt b gesprezt. y.b y a De Dfferenz zwschen Mermalswert und Mttelwert st um den Fator b größer, der Fator b geht mt senem Quadrat n de Varanz en. De Varanz st salen-äquvarant. 9 Lneare Transformaton der Daten - Bespel Frage: Beenflusst de Inflaton auch de Streuung der Konsumausgaben? Es legen für zwe Betrachtungszeträume de Konsumausgaben von prvaten Haushalten (HH) vor, dese seen von 00 auf 0 Prozent gestegen: 990 HH HH HH 3 HH 4 HH 5 HH 6 HH 7 Konsumausgaben 0 TDM TDM 8 TDM 5 TDM 3 TDM 8 TDM TDM 5,837 TDM ² und µ,4 TDM X, 998 X HH HH HH 3 HH 4 HH 5 HH 6 HH 7 Konsumausgaben 4 TDM 6,4 TDM,6 TDM 30 TDM 7,6 TDM,6 TDM 6,4 TDM 8,405 TDM ² und µ 5,37 TDM 998, 998, µ µ 0 0

11 Lneare Transformaton der Daten - Bespel De relatve Poston der Haushalte zuenander hat sch ncht verändert, ledglch aufgrund der Inflaton snd de enzelnen Verbrauchsausgaben um den Fator, gestegen (Ausgabenerhöhung um 0%). Folglch st der Abstand zwschen Mermalswert und Mttelwert um den Fator, größer, woraus sch für de Varanz der Fator,² ergbt. Y a+ b X Y b X 8,405 TDM ², 5,837 TDM ² Werden Analysen über de Vertelung von Mermalen zu verschedenen Zeten erstellt, so st ene größere (lenere) Varanz ncht zwngend en Beleg für de Zunahme (Abnahme) der Dfferenzerthet der Objete und hrer Mermale. Beurtelung von Varanz und Standardabwechung Varanz und Standardabwechung snd de gebräuchlchsten Streuungsmaße, se snd jedoch wenger anschaulch als de mttlere absolute Abwechung. Varanz und Standardabwechung snd be lnearer Transformaton (Fall ) der Ursprungswerte unempfndlch. De Transformaton (Fall ) bewrt ene um das Quadrat des Fators veränderte Varanz. De Varanz ener Gesamtmenge ergbt sch aus der Summe von nterner (nnerhalb der Gruppen) und externer (zwschen den Gruppen) Varanz.

12 Varatonsoeffzent Interessert de Streuung ncht n hrer absoluten Größe, sondern n hrer Relaton zu enem Lageparameter, ermttelt man den Varatonsoeffzenten (): µ Der Varatonsoeffzent gbt de relatve Streuung an, das Verhältns der durchschnttlchen Abwechungen aller Enzelwerte gegenüber dem Mttelwert. 3 Varatonsoeffzent - Bespel Bespel: Varert be den 50 Autos de Lestung oder der Hubraum stärer? Desrptve Statst Hubraum [ccm] Lestung [PS] Gültge Werte (Lstenwese) Standardab Mttelwert wechung ,8 770, ,37 57,48 50 vgl. auto_50.xls bzw. auto_50.sav En Verglech der beden Varanzen/Standardabwechungen lefert ene verwertbare Aussage, da Lestung und Hubraum unterschedlch dmensonert snd. De relatve Streuung, der Varatonsoeffzent, objetvert den Verglech beder Mermale. 57,478 PS Lestung 5,37 PS 0, ,6cm ³ Hubraum.947,8cm ³ 0,396 Interpretaton: De Lestung streut stärer als der Hubraum, de Varaton der Lestung st größer als de Varaton des Hubraums der 50 Autos. 4

13 Varatonsoeffzent - Bespel Bespel: Im Sozoöonomschen Panel* wurden für de Jahre 996 und 00 u.a. das persönlche ettoerwerbsenommen und das persönlche Gesamtenommen erhoben. Es beträgt: Persönlches ettoerwerbsenommen (DM, ) Persönlches Gesamtenommen (DM, ) 996 (DM) µ µ (Euro) µ µ *Das Sozoöonomsche Panel (SOEP) st ene repräsentatve Wederholungsbefragung prvater Haushalte n Deutschland. Se wrd m jährlchen Rhythmus set 984 be denselben Personen und Famlen (Längsschnttuntersuchung) n der Bundesrepubl durchgeführt. Das SOEP dect en wetes Themenspetrum ab. Es lefert Informatonen u. a. über: Haushaltszusammensetzung, Wohnstuaton; Erwerbs- und Famlenbographen; Erwerbsbetelgung und beruflche Mobltät; Enommensverläufe; Gesundhet; Lebenszufredenhet und gesellschaftlche Partzpaton. 5 Varatonsoeffzent - Bespel Bede erhobenen Mermale snd zwar glech dmensonert, jedoch st aufgrund der zetlchen Abstände sowe der unterschedlchen Mermalsausprägungen der drete Verglech nur engeschränt möglch. Persönlches ettoerwerbsenommen (DM, ) Persönlches Gesamtenommen (DM, ) µ5.000 µ (DM) (Euro) µ µ Geegneter als de absoluten Maßzahlen st der Varatonsoeffzent: etto 96 etto ,6 etto 0 etto ,6 Gesamt 96 Gesamt ,3 Gesamt 0 Gesamt ,40 Es zegt sch, dass de relatve Streuung bem ettoerwerbsenommen unverändert st. Dagegen streut das Gesamtenommen deutlch stärer als das ettoerwerbsenommen, wobe sch dese Tendenz noch fortsetzt. 6 3

14 Beurtelung des Varatonsoeffzenten Der Varatonsoeffzent st en relatves Streuungsmaß. Er st dmensonslos, da Standardabwechung und Mttelwert de selbe, sch m Bruch wegürzende Dmenson haben. Der Varatonsoeffzent st vor allem für de verglechende Beurtelung von unterschedlchen Mermalen geegnet. Sene Berechnung st strenggenommen nur für Mermale snnvoll, de auf ener Verhältnssala gemessen werden önnen und enen absoluten ullpunt haben. 7 Zusammenfassung der behandelten Streuungsmaße Mttlere absolute Abwechung sowe Varanz und Standardabwechung baseren auf der mttleren Abwechung aller Enzelwerte von hrem Mttelwert. Spannwete und Quartlsabstand baseren auf Dfferenzen zwschen Mermalswerten. Streuungsmaße snd n Abhängget von der Salerung der Mermalswerte zu verwenden. En sehr anschaulches Maß, vor allem be öonomschen Sachverhalten, st de mttlere absolute Abwechung. 8 4

15 Zusammenfassung der behandelten Streuungsmaße Varanz und Standardabwechung fnden vor allem wegen hrer mathematschen Egenschaften brete Anwendung. Varanz und Standardabwechung haben folgende Egenschaften: Zerlegung/Aggregaton von Streuungen für Gesamthet/ Telgesamthet Reaton auf Datentransformaton st berechenbar De Summe der quadrerten Abwechungen von enem Bezugspunt p st mnmal, wenn man p arthmetsches Mttel wählt (Mnmumegenschaft gegenüber arthmetschem Mttel) 9 5