Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße

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1 aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen Anhaltspunkt dafür, we wet en konkreter Merkmalswert von enem solchen Zentrum abwechen kann. Maße, de de Abwechung von enem Zentrum ener äufgketsvertelung beschreben, nennt man Streuungsmaße oder Dspersonsmaße. D... (Spannwete) Als Spannwete (be enem nchtgrupperten Datenmateral) bezechnet man R : = ma mn B... Be enem grupperten Datenmateral st R G g p BS... (Sehe BS...). Nchtgruppert. Gruppert R = =.0. R =.0. B... De Spannwete st geegnet, falls - man sch für den gesamten Streuberech nteressert. - de beden Randwerte ene bedeutende Rolle spelen. De Spannwete st ncht geegnet - be großen Stchprobenumfängen. - bem Auftreten von Ausreßern. - um de Streuung der Grundgesamthet zu schätzen.

2 D... (Quartlsabstand) Als Quartlsabstand bezechnet man = QA: BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert. Gruppert QA = =.5. QA = =.85. D... (Mttlerer Quartlsabstand) BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert Q : = Gruppert Q = ( ) = X = ( ) = B... Im Verglech zur Spannwete haben der Quartlsabstand und der mttlere Quartlsabstand den Vortel, von den Etremwerten der Vertelung ncht beenflusst zu werden. D... (Mttlere absolute Abwechungen). Als mttlere absolute (bzw. lneare) Abwechung vom Medan bezechnet man d. 0.5 n : = 0.5 n =. Als mttlere absolute (bzw. lneare) Abwechung vom arthmetschen Mttel bezechnet man n d : =. n =

3 BS... (Fortsetzung). 0 d = 6.0 = = 0. 0 d = 6.0 = = B.. 5. (Mnmalegenschaft des Medanes) Es glt: n n 0.5 Z, Z R : belebg = =. B.. 6. (Mttlere absolute Abwechungen be enem grupperten Datenmateral) Es glt: d, 0.5 p : 0.5 n = p d :. n = Falls de lassenmttel ncht vorhanden snd, werden se durch de lassenmtten m ersetzt. BS... (Fortsetzung) Es st 0.5 = 6.9, = 6.0. [ [ [ [ [ [ [ 7.00, 8.0[ m m 6.9 m 6.0 =.00, = 5.00, = 6.00, = d , d

4 D.. 5. (Mttlere quadratsche Abwechungen). Als mttlere quadratsche Abwechung vom Medan bezechnet man d. n : = ( 0.5) 0.5 n =. Als mttlere Abwechung vom arthmetschen Mttel (bzw. Varanz) bezechnet man a) be ener Grundgesamthet σ µ N : = ( ) N = b) be ener Stchprobe N µ N = =. s n : = ( ) n = = n = n n n =.. Als Standardabwechung bezechnet man de postve Wurzel der Varanz. BS... (Fortsetzung) d = ( 6.0) = = s = ( 6.0) = =.. s.. B Es glt: n ( Z ), Z R, belebg. = = n (Mnmalegenschaft des arthmetschen Mttels)

5 . Se ( ) : ( ) d Z = s + Z, Z R : belebg. eraus folgt: d ( Z) s (Verschebungssatz) B.. 8. (Mttlere quadratsche Abwechungen be enem grupperten Datenmateral) Es glt: d, p : ( 0.5) n = p σ : ( µ ), (be ener Grundgesamthet) N = s, (be ener Stchprobe) p : ( ) n = Falls de lassenmttel ncht vorhanden snd, werden se durch de lassenmtten m ersetzt. BS... (Fortsetzung) Es st 0.5 = 6.9, = 6.0. [ [ [ [ [ [ [ 7.00, 8.0[ m ( m 6.9) ( m 6.0) =.00, = 5.00, = 6.00, = d., s., s B.. 7. (Sgma-Regeln) Im Intervall σ + σ legt stets de Mehrhet, also mndestens 50 % aller Merkmalswerte Für den Fall, dass de Merkmalswerte hnrechend genau normalvertelt snd, glt de Folgende Sgma-Regel. 5

6 Im Intervall k σ, + k σ legen für k = rund 68%, für k = rund 95% und für k = rund 99% aller Merkmalswerte. D.. 6. (Varatonskoeffzent) Das Merkmal X möge nur postve Werte annehmen. Als Varatonskoeffzent bezechnet man σ v : =, µ > 0 (be ener Grundgesamthet), µ s v : =, > 0 (be ener Stchprobe). B.. 8. Der Varatonskoeffzent st en relatves Streuungsmaß, das kene Maßenhet bestzt und n der Pras mest n Prozent angegeben wrd. Er st vor allem n zweerle nscht von praktscher Bedeutung:. Der Varatonskoeffzent wrd als ene Maßzahl benutzt, um enschätzen zu können, we gut das arthmetsche Mttel alle Enzelwerte repräsentert. Dabe verwendet man de folgende Faustregel: En Varatonskoeffzent größer als 0.5 bzw. 50% st en Indz dafür, dass der Durchschntt wegen ener zu großen Streuung ken geegneter statstscher Repräsentant der Enzelwerte st.. Der Varatonskoeffzent st ene geegnete Maßzahl für den Streuungsverglech von glech und/oder unterschedlch dmensonerten Merkmals. BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert. Gruppert. v = v =

7 BS... En Fachgeschäft für Schrauben west an enem bestmmten Wochentag folgende Verkaufszahlen n den Abtelungen A und A : Abtelung A Abtelung A Verkaufsbetrag [ ] Anzahl der Verkäufe Verkaufsbetrag [ ] Anzahl der Verkäufe.50, [ [ [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50, 5.50 [ [ 5.50, 6.50 [ [ 6.50, 7.50 [. Nennen und charakterseren Se das statstsche Merkmal.. Berechnen Se für jede Abtelung den durchschnttlchen Verkaufsbetrag.. Überprüfen Se de Rchtgket folgender Aussage mthlfe der entsprechenden Varatonskoeffzenten: De Verkaufsbeträge n der Abtelung A streuen stärker als n der Abtelung A. Lösung:. Das Merkmal heßt: verkaufte Beträge. Es handelt sch (praktsch) um en dskretes Merkmal.. und. Abtelung A : Arbetstabelle a ( a ) a ( a ) j j j j a j ( 6.80) ( a ) j = = 6.80, s = = 9.0, s., v

8 Abtelung A : Arbetstabelle m m ( m.95) [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50, 5.50 [ [ 5.50, 6.50 [ [ 6.50, 7.50 [ = =.95, s = =.8, s.8, v Wegen v = 0. > 0.0 = v A A st de Aussage De Verkaufsbeträge n der Abtelung A streuen stärker als n der Abtelung A wahr. D.. 7. (k-tes Zentralmoment) Das k te Zentralmoment von n kardnalskalerten Merkmalswerten st gegeben durch: n M k : = ( ) (für en nchtgruppertes Datenmateral) n = k p M : = ( m ) (für en gruppertes Datenmateral) k n = B.. 9. De Varanz st glech M. k D.. 8. (Schefe) De Schefe der Vertelung enes kardnalskalerten Merkmals X se gegeben durch: M S : = s B.. 0. De Schefe gbt an, ob de Werte der Vertelung vom Modus aus lnks ( S > 0 ) oder rechts ( S < 0 ) schneller abfallen; das lange Ende der Vertelung st jewels auf der anderen Sete. Im ersten Falle st de Vertelung lnksstel bzw. rechtsschef; m zweten Falle rechtsstel bzw. lnksschef. 8

9 BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert S = Gruppert m ( m 6.0) S = B... (Wetere Schefemaße) Es gbt wetere Schefemaße, u. a.. Das Schefemaß aus den Quartlen: S : = ( S + ). α α Das Schefemaß nach Pearson: S P : M s. Das Schefemaß nach Yule-Pearson: = S P ( + ). BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert: S Me s Y P : = S P ( + ). S α = 0.7,

10 S P = = 0.6,. SY P ( ) = Gruppert S α , S P ,.05 SY P ( ) D.. 8. (Ezess, Wölbung, urtoss ) Der Ezess der Vertelung enes kardnalskalerten Merkmals X se gegeben durch: M : = (für ene Stchprobe), s n( n ) ( )( )( ) ( n ) ( )( ) + M : = n n n d n n (für ene Grundgesamthet). B... Der Ezess st en Maß für de relatve Flachhet ener Vertelung (m Verglech zur Normalvertelung, de enen Ezess von null aufwest.). En postver Ezess zegt ene sptz zulaufende Vertelung (ene sog. Leptokurtsche Vertelung), wohngegen en negatver Ezess ene flache Vertelung (platykurtsche Vertelung) anzegt. er zwe Bespele von Vertelungen mt unterschedlchem Ezess: 0

11 BS... (Fortsetzung). Nchtgruppert: 0.05 = Gruppert: m ( m 6.0)

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