1 Definition und Grundbegriffe

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1 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd: Eplzte Form: ) f( ; y; y' ; y'' ;; 1) ) oder Implzte Form: F( ; y; y' ;; ) ) 0 Ene Funkton y y heßt Lösung der Dfferentalglechung wenn se mt hren Abletungen de Dfferentalglechung dentsch erfüllt De allgemene Lösung (Lösungsmanngfaltgket) ener DGL n-ter Ordnung enthält n unabhängg wählbare Parameter C 1 C 2 C n : y a y a ( ; C 1 C 2 C n ) DGL 1/18 Ene spezelle Lösung (partkuläre Lösung) erhält man aus der allgemenen Lösung durch ene spezelle Wahl der Parameter De Parameter ergeben sch dabe aus der Vorgabe von Anfangs- oder Randbedngungen Das bedeutet: Anfangsbedngungen (Anfangswertproblem): An ener bestmmten Stelle 0 Funktonswert und alle Abletungen bs zur Ordnung n 1 festgelegt: y( 0 ) y' ( 0 ) y ( n 1) ( 0 ) wrd der Randbedngungen (Randwertproblem): An n verschedenen Stellen wrd der Funktonswert festgelegt: y( 1 ) y( 2 ) y( n ) Ene Lösung ener DGL wrd als snguläre Lösung bezechnet wenn se sch ncht durch spezelle Wahl der Parameter aus der allgemenen Lösung gewnnen läßt DGL 2/18

2 2 Dfferentalglechungen 1Ordnung 21 Geometrsche Betrachtungen Rchtungsfeld Isoklnen orthogonale Kurvenscharen 22 Elementare Lösungsmethoden 221 Spezalfall Im Spezalfall erhält man de allgemene Lösung als y f d F + C y' y' f( y) f DGL 3/ Trennung der Varablen Gegeben se ene DGL der Struktur y' h g( y) dy Des schrebt man als h g( y) d dy trennt de Varablen h d g( y) ntegrert bede Seten 1 bzw mt den unbestmmten Integralen dy G( y) + C und g( y) 1 h d H + C 2 Dann hat man dy g( y) und mt der entsprechenden Umkehrfunkton h d G( y) H + C y G 1 ( H + C) DGL 4/18

3 223 Substtuton In spezellen Fällen kann man durch ene Substtuton de Trennung der Varablen herbeführen: Typ I: In ener DGL der Struktur y' f( a + by + c) ; a b c R substtuert man u u a + by + c du dann hat man u' a + by' a + b f( u) d also ene DGL mt getrennten Varablen Typ II: In ener DGL der Struktur y' f y - DGL 5/18 y substtuert man u u - dann hat man u y dfferenzert bede Seten nach f( u) u und löst auf zu u' das st ene DGL mt getrennten Varablen u' + u y' f( u) 23 Lneare Dfferentalglechungen 1Ordnung Defnton: Ene DGL 1Ordnung heßt lnear wenn se n der Form darstellbar st De Funkton g y' + h y g wrd darn als Störfunkton oder als Störgled bezechnet Im Fall g 0 sprcht man von ener homogenen lnearen DGL ansonsten heßt de DGL nhomogen Satz: De allgemene Lösung y erhält man als Summe y ener nhomogenen lnearen DGL y' + h y g y y H + y S wobe y H de allgemene Lösung der homogenen lnearen DGL y' + h y 0 y S ene (spezelle) Lösung der nhomogenen DGL st st und DGL 6/18

4 De allgemene Lösung der homogenen DGL kann man dabe durch Trennung der Varablen bestmmen Ene spezelle Lösung der nhomogenen DGL erhält man durch das Verfahren der "Varaton der Konstanten" Des ergbt allgemen folgenden Satz: Satz: Gegeben se ene DGL y' + h y g De Funkton H se ene Stammfunkton von h Dann erhält man de allgemene Lösung der homogenen DGL durch y H C H e H ; C R und H ene spezelle Lösung der nhomogenen DGL durch y s e H g ( ) d e H DGL 7/18 24 Lneare Dfferentalglechungen 1Ordnung mt konstantem Koeffzenten Be ener lnearen DGL 1Ordnung mr konstantem Koeffzenten f a also y' + a y g löst man de homogene DGL durch y H C e a und hat ene sprzelle Lösung des nhomogenen Systems durch y S e a g d a e DGL 8/18

5 3 Lneare Dfferentalglechungen höherer Ordnung 31 Defnton und allgemene Lösungsverfahren Defnton: Ene DGL n-ter Ordnung heßt lnear wenn se n der Form darstellbar st De Funkton y ( n) + h n 1 y ( n 1) + h n y ( n 2) + + h ( ) y' + h y g g wrd darn als Störfunkton oder als Störgled bezechnet Im Fall g 0 sprcht man von ener homogenen lnearen DGL ansonsten heßt de DGL nhomogen DGL 9/18 Satz: De allgemene Lösung y erhält man als Summe y ener nhomogenen lnearen DGL n-ter Ordnung y y H + y S wobe y H de allgemene Lösung der homogenen lnearen DGL st und y S ene (spezelle) Lösung der nhomogenen DGL st De Gesamthet der Lösungen der homogenen DGL bldet enen n-dmensonalen Vektorraum wrd also von n lnear unabhänggen Lösungen (Basslösungen) y 2 erzeugt also y H C 1 + C 2 y C n n Lösungen y 2 der DGL snd genau dann Basslösungen (dh lnear unabhängg) wenn de "Wronsk-Determnante" W : det y 2 ' y 2 ' ' ( n) ( n) ( n) y2 yn DGL 10/18 an ener Stelle 0 unglech Null st dh W( 0 ) 0

6 32 Lneare Dfferentalglechungen höherer Ordnung mt konstanten Koeffzenten Defnton: Ene Dglg der Form y ( n) + a n 1 y ( n 1) + a n 2 y ( n 2) + a 1 y' + a 0 y g mt konstanten a R ; 1 n wrd als lneare Dfferentalglechung n-ter Ordnung mt konstanten Koeffzenten bezechnet Bldet man mt den selben Koeffzenten das Polynom λ n + a n 1 λ n 1 + a n 1 λ n 2 + a 1 λ + a 0 so wrd deses Polynom als charakterstsches Polynom bezechnet De Glechung λ n a n 1 λ n 1 a n 1 λ n 2 a 1 λ a 0 0 heßt charakterstsche Glechung DGL 11/18 Satz: Seen λ 1 λ 2 λ r de verschedenen Nullstellen der charakterstschen Glechung mt den Velfachheten α 1 α 2 α r Dann blden de Funktonen e λ 1 e λ 1 α 1 1 e λ 1 e λ 2 e λ 2 α 2 1 e λ 2 e λ r e λ r α r 1 e λ r de Basslösungen für de zugehörge homogene lneare Dfferentalglechung mt konstanten Koeffzenten DGL 12/18

7 33 Anwendung: Schwngungen Als Spezelfall ener lnearen DGL 2Ordnung mt konstanten Koeffzenten schrebt man de Schwngungsglechung am zweckmäßgsten n der Form Man unterschedet folgende Fälle: 2 y'' + 2β y' + ω 0 y f( t) β 0 Free Schwngung: Das System wrd von aussen ncht angetreben also f( t) 0 Her snd weter folgende Fälle snnvoll: Free ungedämpfte Schwngung: β 0 Free gedämpfte Schwngung: β > 0 dh m System besteht kene Rebung Erzwungene gedämpfte Schwngung: Das System mt ener perodschen Kraft f( t) angetreben β > 0 wrd von aussen mt 331 Free ungedämpfte Schwngung y( t) C sn( ω 0 t + ϕ) ; C ϕ R DGL 13/ Free gedämpfte Schwngung a) Krechfall y( t) e βt C 1 e β2 2 ω 0 t β 2 2 ω 0 t + C 2 e ; C 1 C 2 R b) Aperodscher Grenzfall y( t) ( C 1 + C 2 t) e βt ; C C R 1 2 c) Free gedämpfte Schwngung y( t) C e βt ω t ϕ 2 sn( + ); ω d d ω 0 β 2 ; C ϕ R DGL 14/18

8 333 Erzwungene gedämpfte Schwngung Für ene harmonsche Anregung f( t) f 0 sn( ωt) mt der Kresfrequenz ω erhält man ene spezelle Lösung der nhomogenen Glechung als y( t) A( ω) sn( ω t + ϕ( ω) ) Für de Ampltude glt: A( ω) f ( ω 0 ω 2 ) 2 + 4β 2 ω 2 De Phase st ϕ( ω) 2βω arc tan ω 0 ω 2 für ω < ω 0 π -- für ω ω 2 0 2βω arctan ω 0 ω 2 + π für ω > ω 0 DGL 15/18 4 Systeme von lnearen Dfferentalglechungen 1Ordnung 41 Enführendes Bespel 42 Allgemene Behandlung Defnton: b a 11 a 1 1n b Gegeben st ene reelle nn-matr A und en Vektor b 2 mt a n1 a nn b n reellen Funktonen b Hat man für n Funktonen ene Glechung der Form ' y 2 ' ' y a 11 a 1 b 1 1n y 2 b 2 + kurz y' A y + b a n1 a nn b n DGL 16/18 dann sprcht man von enem System von lnearen Dfferentalglechungen 1Ordnung mt konstanten Koeffzenten

9 Im Fall b 0 1 n kurz b 0 heßt das System homogen ansonsten nhomogen Satz: Allgemene Lösung des homogenen Systems Se det( A λ E) 0 de charakterstsche Glechung der Matr A a) Snd alle Nullstellen (Egenwerte) λ 1 λ n enfach (dh alle verscheden) mt zugehörgen Egenvektoren so st y H C 1 e λ 1 C 2 y 2 e λ 2 C n e λ n mt C C de allgemene Lösung des homogenen Systems b) Hat de charakterstsche Glechung allgemen de Nullstellen λ 1 λ r mt den Velfachheten α 1 α r so hat de allgemene Lösung des homogenen Systems de Struktur y H C 1 ỹ 1 e λ 1 C 2 ỹ 2 e λ 2 C r ỹ r e λ r dabe snd DGL 17/ ỹ α + + α α 1 α 1 Vektoren de Koeffzenten snd darn für jedes 1 r durch Ensetzen und Koeffzentenverglech zu bestmmen DGL 18/18