Statistik und Wahrscheinlichkeit

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1 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse Komplementäreregns zu trtt dann en, wenn das Eregns ncht entrtt. Komplementäreregns zu trtt dann en, wenn das Eregns ncht entrtt. Verengung (Verengungsmenge) trtt dann en, wenn enes der Eregnsse oder entrtt. = + []. = ( ) ( ) ( ) Durchschntt (chnttmenge) ORIGIN = 0 lle erechnungen erfolgen mt dem Rechenprogramm MathCad. De relatve Häufgket h errechnet sch aus der nzahl der nteresserenden Eregnsse n nt und der Gesamtzahl der Eregnsse n enes Zufallsexperments. n nt h := n []. h = 0. Ist das nteresserende Eregns ncht engetreten, hat de relatve Häufgket den Wert h = 0. En mt cherhet entretendes Eregns hat de relatve Häufgket h =. Mt wachsender Gesamtzahl n der Eregnsse schwankt de relatve Häufgket h mmer wenger um enen bestmmten Wert, der als Wahrschenlchket Q gedeutet wrd. De erechnung von Eregnssen sowe deren Wahrschenlchketen, mt denen se entreten, lässt sch auf de erechnung von Mengen zurückführen. Es gelten de Gesetzmäßgketen der Mengenlehre. trtt dann en, wenn glechzetg das Eregns und entrtt. = 0 nverenbare Eregnsse und 0 Verenbare Eregnsse und Morgansche Regeln = = De folgenden Venn-Dagramme lassen den Zusammenhang zwschen Eregns- und Mengenalgebra erkennen. En Eregns st das Ergebns oder der usgang ener Versuchsdurchführung. En Eregns st m nne der tatstk und Wahrschenlchket zufällg und ncht vorhersehbar. nwendungsgebete der tatstk und Wahrschenlchket pele und nterhaltung: rnenexperment, Glücksrad, Würfel, Roulette, Lottere, Toto, Lotto, Fußballwette usw. Wssenschaft: Physk, ologe, Medzn, Ethnologe, Industre usw...00 xome.mcd

2 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung ddtonsregel ddtons- und Multplkatonsregel werden durch das Venn-Dagramm verdeutlcht. Für de erechnung der Wahrschenlchket von Eregnssen gelten de glechen Gesetzmäßgketen we für de erechnung von Mengen n der Mengenlehre. Für verenbare Eregnsse und glt de ddtonsregel Q ( ) = Q ( ) + Q ( ) Q ( ). De Wahrschenlchket für das Entreten enes Eregnsses mt mehreren usprägungen (Merkmalen) n enem Zufallsexperment st de umme der Wahrschenlchketen der enzelnen usprägungen, wenn be der kton, de das Zufallsexperment ausmacht, das Eregns der ersten oder der zweten oder ener weteren usprägung erwartet wrd. nd de Eregnsse telwese verenbar, müssen auch de chnttmengen der entsprechenden Eregnsse berückschtgt werden. em Würfelexperment (Würfelspel) mt enem Würfel (Hexaeder) beträgt de nzahl der nteresserenden Eregnsse n nt := De Gesamtzahl der möglchen unverenbaren Eregnsse beträgt gemäß der nzahl der ebenen egrenzungsflächen des Hexaeders n :=.. De Wahrschenlchket Q, bem Würfelexperment mt enem Würfel ene bestmmte vor dem Wurf festgelegte ugenzahl auf der oben legenden Würfelfläche zu erhalten, beträgt unter Voraussetzung der Glechwahrschenlchket aller Vorgänge und der enutzung enes dealen Würfels (Hexaeder) Q := n nt n Q = 0.. Varable und Parameter k := nzahl der erwarteten Eregnsse e Wahl der Rechenopton ORIGIN = 0 n MathCad wrd der Index des ersten Elementes enes Feldes auf Null gesetzt. Dese Enstellung muss be der teratven ddton und Multplkaton beachtet werden. De Wahrschenlchket, mt enem Würfel und enem Wurf ene von k vorher festgelegten, belebgen, als Wurfergebns erwarteten ugenzahlen zwschen und zu würfeln, beträgt nach nwendung der ddtonsregel und be nwendung der teratven ddton nach MathCad mt Hlfe ener Matrx..00 xome.mcd

3 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung k 0. Q := Q = Q 0 = 0. Q = 0. k := Q := Q Q = = 0 Im vorlegenden Fall st de vorher festgelegte ugenzahl k =. De Nummererung der Enzelwahrschenlchketen begnnt mt = 0 (tartndex) und recht bs k- be der teratven ummaton nach MathCad. Multplkatonsregel De Multplkatonsregel lässt sch durch das gleche Venn-Dagramm verdeutlchen we de ddtonsregel. Q ( ) = Q ( ) Q ( ) Voraussetzung Q ( ) 0 Q () st de durch bedngte Wahrschenlchket von. Q ( ) = Q ( ) Q ( ) Voraussetzung Q ( ) 0 Q () st de durch bedngte Wahrschenlchket von. De Wahrschenlchket für das Entreten enes Eregnsses mt mehreren usprägungen (Merkmalen) n enem Zufallsexperment, st das Produkt der Wahrschenlchketen der enzelnen usprägungen, wenn be der kton, de das Zufallsexperment ausmacht, das Eregns der ersten sowohl als auch der zweten und ener weteren usprägung erwartet wrd. De erechnung von Eregnssen sowe deren Wahrschenlchketen, mt denen se entreten, lässt sch auf de erechnung von Mengen und deren Gesetzmäßgketen zurückführen. Handelt es sch be den Eregnssen und um unabhängge Eregnsse, entfällt de bedngte Wahrschenlchket und wrd durch de bedngungslose Wahrschenlchket Q() bzw. Q() ersetzt. Q ( ) = Q ( ) Q ( ) Varable und Parameter k := nzahl der Würfel De Wahrschenlchket, mt enem enem Wurf und k (farbg) gekennzechneten Würfeln ene vorher festgelegte Konstellaton von k den Würfeln zugeordneten ugenzahlen (erwartete Eregnsse) zu würfeln, beträgt be nwendung der teratven Multplkaton nach MathCad mt Hlfe ener Matrx uswertung ORIGIN = 0 k 0. Q := Q = Q 0 = 0. Q = 0. Q := 0. Q Q = 0.0. = 0 De Nummererung der Enzelwahrschenlchketen begnnt mt = 0 (ORIGIN = 0 ) und recht bs k- be der teratven Multplkaton nach MathCad. Im vorlegenden Fall handelt es sch um k = Würfel. Würfelexperment De Produkt- und ddtonsregel soll mt Hlfe der relatven Häufgket und der bzählmethode an enem weteren Würfelexperment unter Verwendung von zwe Würfeln nachgeprüft werden. Es soll untersucht werden mt welcher Wahrschenlchket ene vorher festgelegte ugensumme der beden Würfel errecht werden kann. Das Experment soll de xome plausbel machen, ncht aber bewesen. Das würde dem Charakter der xome wdersprechen. Varable und Parameter k := ugenzahl je Würfel := 0.. k Zählvarable Erstellen ener Matrx mt den möglchen ugensummen bem Würfeln mt zwe Würfeln a := b := + c := a + b d := c + a e := d + a f := e + a g := f + a De Matrzenrechnung n MathCad erlaubt es, de Zahlenverhältnsse be dem Würfelexperment anschaulch darzustellen...00 xome.mcd

4 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung a = b = c = d = e = f = g = h := erwetern( a, b) h := erwetern( a, b) h := erwetern( a, b) h := erwetern( a, b) h := erwetern( a, b) h := erwetern( a, b) m := erwetern( h, h, h, h, h, h) n := erwetern( a + b, a + b, a + b, a + b, a + b, a + b) 0 0 Möglche ugenzahlen der beden Würfel Möglche ugensummen m = n = ( ( )) l sort stapeln n 0 n, n, n, n :=,, n k []. ORIGIN = 0 ugensummen und hre Häufgket nzahl glecher ugensummen zelen( verglech(, l) ) = p 0, 0 := zelen( verglech(, l) ) p 0, 0 = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech( 0, l) ) = p 0, := zelen( verglech( 0, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, := zelen( verglech(, l) ) p 0, = zelen( verglech(, l) ) = p 0, 0 := zelen( verglech(, l) ) p 0, 0 = nzahl der möglchen ugensummen zelen( l) =..00 xome.mcd

5 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung p = Wahrschenlchket Q für das Zustandekommen von glechen ugensummen mt p ummanden Q := stapeln p, p zelen( l) Wahrschenlchket Q := Zählvarable Q = Je mehr Möglchketen es für de ldung ener bestmmten ugensumme gbt, desto größer st de Wahrschenlchket, dese ugensumme zu erzelen (ddtonsregel). Je mehr Würfel an dem Experment telnehmen umso gernger st de Wahrschenlchket ene bestmmte ugenzahl zu erzelen (Multplkatonsregel). 0. Q, 0. p 0, 0 0 Wahrschenlchket 0 0 nzahl der möglchen ugensummen nmöglches Eregns Das unmöglche Eregns st durch de Wahrschenlchket cheres Eregns Das schere Eregns st durch de Wahrschenlchket Es trtt dann mt cherhet rgenden Eregns aus dem Eregnsraum en. nabhänggket Von z.. zwe Eregnssen und beenflusst das Eregns ncht das Eregns. Das Eregns st vom Eregns unabhängg. Krterum für de Wahrschenlchket zweer unabhängger Eregnsse und : Q ( ) = Q ( ) Q ( ) nverenbarket De Eregnsse schleßen sch gegensetg aus. Von zwe Eregnssen trtt entweder das ene oder das andere en. Dadurch snd se aber vonenander abhängg. Krterum für de Wahrschenlchket zweer unverenbarer Eregnsse und : Q ( ) = 0 Q() = Q() = 0 gekennzechnet. gekennzechnet...00 xome.mcd

6 Regeln der Wahrschenlchketsrechnung edngung Von z.. zwe Eregnssen und kann Eregns unter der edngung geschehen, dass das Eregns entrtt und das Eregns kann unter der edngung geschehen, dass das Eregns entrtt. Krterum für de bedngte Wahrschenlchket zweer Eregnsse und : Q ( ) = Q ( ) Q ( ) = Q ( ) Q ( ) Normerung Wenn de Wahrschenlchket für das Entreten rgendenes, also enes ncht bestmmten Eregnsses aus dem gesamten Eregnsraum glech st, dann muss das Integral der Wahrschenlchketsdchte über den gesamten Eregnsraum glech sen. Dese edngung muss von der Wahrschenlchketsdchte notwendgerwese erfüllt werden. Das Integral erstreckt sch über den gesamten Defntonsberech der Wahrschenlchketsdchte. nderersets kann jede mathematsche Funkton, de dese edngung erfüllt, als Wahrschenlchketsdchte fungeren oder mt Hlfe der Normerung dazu gemacht werden. In der tatstk snd vele solcher Funktonen bekannt, z.. de Wahrschenlchketsdchte der Gaußschen Normalvertelung. Enzelheten und e snd n den Kapteln Dskrete Wahrschenlchketsvertelung und tetge Wahrschenlchketsvertelung zu fnden. xome. nwendungen und Defntonen n der Eregnsalgebra (Mengenlehre). De Wahrschenlchket enes Eregnsses Q() wrd durch ene ncht negatve reelle Zahl angegeben. De Wahrschenlchket des scheren Eregnsses beträgt Q() = De Wahrschenlchket des unmöglchen Eregnsses beträgt Q() = 0. ddtons- und Multplkatonsregel Jedes statstsche Problem bedarf ener sorgfältgen nalyse. Nur de formale nwendung der xome führt ncht zum Zel. Der Vorgang, Zustand oder dgl., über den ene statsche ussage gemacht werden soll, muss zuerst mt allen Konsequenzen durchdacht werden. Man unterschedet de beschrebende und de beurtelende tatstk. In der beschrebenden tatstk wrd ungeordnetes Datenmateral (Rohdaten, rlsten, andaufzechnungen, Erhebungen, eobachtungen usw.) geordnet, ausgewertet, grafsch aufberetet und rechnersch hnschtlch der nteresserenden Maßzahlen (Mttelwert, treuung usw.) untersucht. In der beurtelenden tatstk werden aus den gewonnen Daten Rückschlüsse gezogen, de de Probleme n dem untersuchten erech lösen oder ene Verbesserung und Weterentwcklung ermöglchen sollen. Da be jedem Ordnen und Zusammenfassen von Daten Enzelheten verloren gehen, muss de rechnersche ufberetung und uswertung mt großer ach- und Fachkenntns auf dem untersuchten Gebet vorgenommen werden, damt aus der tatstk auch Nutzen gezogen werden kann...00 xome.mcd