VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE

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1 VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE Karl Rudolf KOCH Knut RIESMEIER In: WELSCH, Walter (Hrsg.) [1983]: Deformatonsanalysen 83 Geometrsche Analyse und Interpretaton von Deformatonen Geodätscher Netze Beträge zum Geodätschen Semnar 22. Aprl 1983 Schrftenrehe des Wssenschaftlchen Studengangs Vermessungswesen der Hochschule der Bundeswehr München, Heft 9, S ISSN:

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3 VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE von K. R. KOCH, K. RIESMEIER Insttut für Theoretsche Geodäse Unverstät Bonn Nußallee 17, 5300 Bonn 1 Bundesrepublk Deutschland ZUSAMMENFASSUNG Der Enfluß der m multvaraten Gauß-Markoff-Modell geschätzten Kovaranzen zwschen den Epochen auf de Empfndlchket der Hypothesentests be der Deformatonsanalyse wrd beschreben und an enem Bespel m Verglech mt den Testverfahren des unvaraten Gauß-Markoff-Modells demonstrert. ABSTRACT The nfluence of covarances between tme epochs estmated n a multvarate Gauss-Markoff-model upon the senstvty of hypothess testng for the deformaton analyss s descrbed and, usng an example, demonstrated n comparson wth the testng procedures of the unvarate Gauss-Markoffmodel. 197

4 1. EINFÜHRUNG Snd n enem geodätschen Netz Beobachtungen n mehreren Meßepochen durchgeführt worden, kann ene Deformatonsanalyse be Vorlegen enes dentschen Meßprogramms n allen Epochen m multvaraten Gauß-Markoff-Modell erfolgen, wogegen be ncht dentschem Programm m unvaraten Gauß-Markoff-Modell gearbetet werden muß. Da häufg de Punktkoordnaten m unvaraten Modell geschätzt werden und daher ebenfalls unvarate Hypothesentests durchgeführt werden, obwohl de Voraussetzungen des multvaraten Modells erfüllt snd, sollen deshalb m folgenden de unterschedlchen Vorhersagen über Deformatonen, de aus multvaraten und unvaraten Tests erhalten werden, anhand der von Koch (1981a) abgeleteten Ellpsode aufdeckbarer Abwechungen von der Nullhypothese aufgezegt werden und an enem Bespel demonstrert werden. 2. HYPERELLIPSOIDE AUFDECKBARER DEFORMATIONEN De für ene belebge Anzahl p von Epochen benutzbaren Modelle sollen aus Gründen der Überschtlchket auf 2 Epochen und beschränkt werden. 2.1 Unvarates Gauß-Markoff-Modell Das unvarate Gauß-Markoff-Modell se gegeben durch β X 0 = E 0 X β y y y mt D y = σ 2 I 0 0 I, (2-1) wobe X k ene feste n k u k Modellmatrx, β k en fester u k 1 Parametervektor, y en n k 1 Beobachtungsvektor bedeutet. Sollen Verschebungen k enzelner Netzpunkte oder Punktgruppen zwschen den Meßepochen getestet werden, lassen sch de Hypothesen bezüglch der Dfferenzenvektoren β β f f H 0 : β f -β f = 0 gegen H 1 : β f -β f 0, (2-2) 198

5 testen, wobe der Index f angbt, daß nur ewels Telmengen als fest angenommener Punkte aus der Gesamtmenge aller m Parametervektor enthaltenen Punktkoordnaten getestet werden. Für de Dfferenzenvektoren β -β f f lassen sch Hyperellpsode aufdeckbarer Deformatonen (Koch 1981a) ableten, d. h. Bereche, n denen ene Annahme der Nullhypothese H 0 errecht wrd. Im Fall enes Punktes n enem ebenen Netz ergbt sch de Ellpsenglechung, n der also β und β ledglch zwe Komponenten enthalten, f f ' β -β f f ' X X - ' + X X - -1 β -β = f f f = 2 σ 2 n - q - 2 F n - q 1-α; 2, u -q - 1, (2-3) X 0 q = rg, n =n 0 X +n, wobe F 1-α den Fraktlwert der F-Vertelung angbt. Wrd etzt für bede Epochen und en dentsches Modell X = X = X angenommen, geht (2-3) über n de Ellpsenglechung ' β -β X ' X f f f -1 β -β = 4 σ 2 u q - 2 F f f u - q 1-2; 2, n -q - 1. (2-4) 2.2 Multvarates Gauß-Markoff-Modell Wrd von vornheren m multvaraten Gauß-Markoff-Modell X β,β = E y,y mt D vec Y = Σ I, Y = y,y, Σ = σ (2-5) gearbetet mt den glechen Spezfkatonen we unter (2-1), läßt sch auf das unvarate Modell der Koordnatendfferenzen übergehen mt X β,β U = E Y U mt D vec Y U = U ' Σ U I = σ 2-2σ + σ 2 I, (2-6) für das Koch (1981a) ebenfalls das Hyperellpsod aufdeckbarer Deformatonen herletet, das sch m Fall ewels nur enes Netzpunktes n der Ebene weder spezalsert auf ene Ellpse mt der Glechung 199

6 ' β -β X ' X - f f f -1 β -β = f f = 2 σ 2-2σ + σ 2 n q - 2 n - q F 1-2; 2; n-q - 1 (2-7) q = rg X, n = n = n 2.3 Verglech der Ellpsen aufdeckbarer Deformatonen Wrd von enem n zwe Epochen mt glechem Meßprogramm gemessenen ebenen Netz ausgegangen, lassen sch de Ellpsen aufdeckbarer Deformatonen für eden Punkt entweder mt (2-4) oder mt (2-7) angeben. Da n - q = 2 n - q glt, st 2 σ 2 = σ σ und be n-q > 20 sowe α = 0,05 glt F 1-α; 2, n -q F 1-α; 2, n-q, so daß der Untersched beder Ellpsen m wesentlchen aus der Größe -4σ folgt, de sch als geschätzte Kovaranz σ zwschen den Epochen und n (2-5) ergbt. Erhält man σ postv, bedeutet des ene Verklenerung der Halbachsen der Ellpse n (2-7) gegenüber der Ellpse n (2-4), be negatver Kovaranz ene Vergrößerung, so daß be postver Kovaranz σ der Hypothesentest m multvaraten Modell empfndlcher reagert als m unvaraten Modell und be negatver Kovaranz umgekehrt. 3. ANWENDUNGSBEISPIEL In enem n mehreren Epochen gemessenen Testnetz mt 17 Punkten wurden für de Epochen 2B und 3A, de dentsches Meßprogramm aufwesen, sowohl unvarate als auch multvarate Hypothesentests mt dem Zel der Trennung der beweglchen und festen Netzpunkte durchgeführt, wobe ene Auffelderung auf de maxmale Anzahl fester Punkte vorgenommen wurde, für de de Hypothese der Punktdenttät H 0 n beden Epochen anzunehmen war. De Durchführung der Testverfahren für de Deformatonsanalyse nach dem Lkelhood-Quotenten- Krterum (Koch 1981b), de m multvaraten Fall auf λ-vertelte Testgrößen und m unvaraten Fall auf Testgrößen führen, de de F-Vertelung als Spezalfall der λ-vertelung bestzen (vergl. Koch 1980, S. 136; S. 250 ff.), leferte folgendes Ergebns: 200

7 Getestete Punkte Nummer unvarat Annahmeberech H 0 : H β = 0 Ablehnung H 1 : H β 0 multvarat Annahmeberech H 0 : H β = 0 Ablehnung H 1 : H β 0 Offenschtlch werden vom multvaraten Test erheblch mehr Punkte als sgnfkant verschoben aufgedeckt als vom unvaraten Test; ene Folge der hohen postven Korrelatonen, de wegen (2-7) de Annahmebereche der Tests verklenern, wobe der Korrelatonskoeffzent n dem vorgestellten Bespel den Wert β = + 0,94 errechte. 4. SCHLUßFOLGERUNGEN Das vorgestellte Bespel demonstrert den Enfluß geschätzter Kovaranzen zwschen den Meßepochen auf das Testergebns. Hohe postve Korrelatonen zwschen den Epochen be Deformatonsmessungen aufgrund wederholt glechgerchteter Enflüsse etwa wegen ähnlcher Refraktonseffekte wrken sch stark auf de Empfndlchket der Tests aus und führen be multvaraten Hypothesentests zu ener Vergrößerung der Zahl der als verschoben erkannten Punkte. Es st allerdngs zu beachten, daß de Daten des behandelten Bespels genererte Daten snd. Aus desem Grunde ergbt sch offenbar de hohe Korrelaton. Be gemessenen Daten kann man sehr vel klenere Korrelatonen erwarten. 201

8 LITERATUR KOCH, K.R.: Parameterschätzung und Hypothesentests n lnearen Modellen. Dümmler Verlag, Bonn, 1980 KOCH, K.R.: Devatons From the Null Hypotheses to be Detected by Statstcal Tests. Bulletn Géodésque 55, 41-48, 1981a KOCH, K.R.: En automatsches Testverfahren zur Aufdeckung von Punktverschebungen be der Deformatonsanalyse. In "Ingeneurvermessung 80", herausgegeben von R. CONZETT, H.J. MATTHIAS, H. SCHMID, 1, B9/1-B9/9, Dümmler Verlag, Bonn, 1981b 202