Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).

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1 Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de Funkton n der Nähe von x 0 durch de Tangente approxmeren: f(x) f(x0) + f (x 0 ) ( x - x 0 ) oder f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ) + REST x 0 heßt n desem Zusammenhang Entwcklungsstelle oder Entwcklungspunkt. De Approxmaton st lnear: de Varable x kommt auf der rechten Sete nur n der ersten Potenz vor; de approxmerende Funkton (de Tangente) st en Polynom ersten Grades. Bspl. ) f(x) = x, f (x) = / ( 2 x ) Gesucht se. 2. Mt x 0 = ergbt sch: x + / ( 2 ) ( x ) und damt:.2 + / ( 2 ) (.2 ) =.. De Wahl von x 0 = als Entwcklungspunkt st snnvoll, da bekannt und x =.2 n der Nähe von x 0 = st. Man hätte auch x 0 =.2 nehmen können. De obge Approxmaton st also ene Möglchket, um den gesuchten Wurzelwert zu berechnen. Beachten Se: de Betätgung der entsprechenden Taschenrechnertaste bzw. der Aufruf der entsprechenden Funkton n enem Programm (Sqrt... ) löst ene ähnlche Berechnung aus, de nur wesentlch genauer st. Ene Verbesserung der Approxmaton wrd m zweten Abschntt dskutert.

2 2 2) f(x) = cos(x), f (x) = - sn(x) Gesucht se cos(0.). Man kann natürlch den Taschenrechner benutzen. Aber beachten Se: de Betätgung der entsprechenden Taschenrechnertaste bzw. der Aufruf der entsprechenden Funkton n enem Programm löst auch erst mal ene Berechnung aus! Ene solche Berechnung soll m Folgenden untersucht werden. Wr versuchen es weder mt der lnearen Approxmaton durch de Tangente. Als Entwcklungspunkt betet sch x 0 = 0 an, da cos(0) bekannt und 0. n der Nähe von 0 legt. Aber: f (0) = 0, de Funkton hat an deser Stelle ene horzontale Tangente. De lneare Approxmaton recht ncht aus: cos(x) st ncht sehr aufschlussrech. Entweder wählt man enen anderen Entwcklungspunkt, z.b. x 0 = π / 6 : cos(x) cos( / 6 π ) - sn( π / 6 ) ( x - π / 6 ) = (/2) 3 - (/2) ( x - / 6 π ) cos(0.) (/2) 3 - (/2) ( 0. - / 6 π ).078. Dese Approxmaton st offenschtlch ncht sehr gut; 0. legt anschenend ncht nahe genug be x 0 = π / 6. Oder man approxmert cos(x) durch en Polynom höheren Grades (Grad n > ). Damt lässt sch auch de Genaugket der Approxmaton steuern. Des soll m Folgenden gezegt werden.

3 3 2. Das Taylorpolynom De Tangentenglechung erhält man aus den Bedngungen, welche de Tangente T(x) m Entwcklungspunkt x 0 erfüllen muss: T ( x 0 ) = f ( x 0 ), T ( x 0 ) = f ( x 0 ). Dese Bedngungen werden für das gesuchte Polynom n-ten Grades verallgemenert. Das gesuchte Polynom hat n+ (noch) unbekannte Koeffzenten: p n (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n ( * ) Dese Koeffzenten ergeben sch aus den folgenden n+ Bedngungen: p n ( x 0 ) = f( x 0 ), p n ( x 0 ) = f ( x 0 ), p n ( x 0 ) = f ( x 0 ),., (n) p n ( x0 ) = f (n) ( x 0 ). Man fordert also, dass das Polynom n-ten Grades an der Entwcklungsstelle x 0 mt der approxmerten Funkton f(x) m Funktonswert und den ersten n Abletungen überenstmmt. De Funkton f(x) muss natürlch n mal dfferenzerbar sen. De Auswertung deser Bedngungen erbrngt für de Koeffzenten das folgende Ergebns: a = f () (x 0 ) /! (sprch: -te Abletung getelt durch -Fakultät) ( ** ), also a 0 = f (0) (x 0 ) / 0! = f(x 0 ) a = f () (x 0 ) /! = f (x 0 ) a 2 = f (2) (x 0 ) / 2! = f (x 0 ) / 2, etc. Bewes : ( * ) n mal ableten und de Bedngungen berückschtgen

4 4 Setzt man dese Koeffzenten n de Glechung ( * ) en, erhält man das Taylorpolynom n-ter Ordnung für de Funkton f(x) mt dem Entwcklungspunkt x 0 : p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ) + f (x0 ) ( x - x 0 ) ! n! f (n) (x 0 ) ( x - x 0 ) n Das Taylorpolynom erster Ordnung, also p (x), st also dentsch mt der Tangente T(x). Bspl.: f(x) = cos(x), x 0 = 0 p 0 (x) =, p (x) =, da f (0) = - sn(0) = 0 a = 0 p 2 (x) = - x 2 / 2, da f (0) = - cos(0) = - a 2 = -/2 p 3 (x) = - x 2 / 2, da a 3 = 0. De Funkton f(x) wrd durch das Taylorpolynom (n-ter Ordnung) n der Nähe von x 0 approxmert; man sagt auch: f(x) wrd um x 0 n en Taylorpolynom n-ter Ordnung entwckelt, d.h. f(x) p n (x) bzw. f(x) = p n (x) + R n (x). Bspl.: cos(x) = - x 2 / 2 + R 3 (x) für x 0 = 0. cos(0.) - (0.) 2 / 2 = 0.995

5 5 We gut dese Approxmaton st, wrd durch das Restgled R n (x) bestmmt. Ene Darstellung deses Restgledes lautet: R n (x) = ( n+ ) n+ f ( x) ( x x0 ) ( n + )! Es glt offenschtlch: R n (x 0 ) = 0 ; am Entwcklungspunkt stmmen Taylorpolynom und Funkton per Konstrukton überen. Außerdem seht man: das Restgled für das Taylorpolynom der Ordnung n, also R n (x), hat de Form desjengen Summanden, der m Taylorpolynom der Ordnung n + hnzukommt: p n+ (x) = p n (x) + ( n+ ) n+ f ( x0 ) ( x x0 ) ( n + )! Aber de Abletung m Restgled wrd ncht an der Stelle x 0 ausgewertet, sondern an ener Stelle x! Das enzge, das man über dese Stelle weß, st: x legt m Intervall [x 0, x ]. Das Restgled kann daher nur abgeschätzt werden (könnte man es exakt berechnen, wäre auch der Funktonswert f(x) exakt bekannt). Dese Abschätzung st u.u. ncht ganz enfach. Wr werden m Abschntt 3 enen pragmatschen Weg besprechen. Wetere Bspl.

6 6 3. De Taylorrehe Man kann man be der Taylorentwcklung mmer höhere Ordnungen (mmer größeres n ) berückschtgen und schleßlch den Grenzübergang n untersuchen. Formal geht das Taylorpolynom, also de endlche Summe von Potenzfunktonen, n ene (unendlche) Rehe über. Es stellt sch damt de Frage nach der Konvergenz! =0 Wenn glt: lm p ( x) = a ( x x0) exstert (a sehe oben) und n n n =0 lm p ( x) = a ( x x0) der Funkton f(x) um den Entwcklungspunkt x n = f(x), dann heßt de Rehe de Taylorrehe 0. Damt des glt, müssen zwe Krteren erfüllt sen: () de Funkton f(x) muss m Intervall [x 0, x] offenschtlch belebg oft dfferenzerbar sen (2) das Restgled R n (x) muss belebg klen werden, also lm ( x) = 0. n R n Für de wchtgsten Funktonen snd deren Taylorrehen, standardmäßg für x 0 = 0 ( McLaurn-Rehe ), tabellert und der Konvergenzberech angegeben. Wenn de Taylorrehe exstert, dann kann man de Approxmaton von f(x) durch en Taylorpolynom verbessern, n dem man zu höheren Ordnungen geht. Wrd an der Stelle x ene bestmmte Genaugket gefordert (z.b. ver sgnfkante Stellen), dann muss man so lange de Ordnung erhöhen, bs sch der Funktonswert des Taylorpolynoms (trotz Erhöhung der Ordnung) m Rahmen der geforderten Genaugket ncht mehr ändert. Soll dese Genaugket für alle x n enem Intervall [x 0, x ] gelten, muss man de Rechnung an der Stelle x durchführen, da de Approxmaton umso schlechter wrd, je weter man von der Entwcklungsstelle entfernt st. Bspl.