22. Vorlesung Sommersemester
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- Edwina Becker
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1 22 Vorlesung Sommersemester 1 Bespel 2: Würfel mt festgehaltener Ecke In desem Fall wählt man den Koordnatenursprung n der Ecke und der Würfel st durch den Berech x = 0 a, y = 0 a und z = 0 a bestmmt De Integraton st genauso enfach we oben und lefert den Träghetstensor J = Ma (1) 8 Man beachte, dass weder de Dagonalelemente und Devatonsmomente unterenander glech snd: von der Ecke aus gesehen snd de dre Koordnatenrchtungen äquvalent Für de Säkularglechung zehen wr den konstanten Faktor heraus und betrachten 12J ma 2 8 λ det 8 λ = 0 = f(λ) (2) 8 λ Das führt auf f(λ) = λ + 24λ 2 λ () De Lösungen snd: λ 1 = 2, λ 2 = 11, λ = 11 mt Egenvektoren r 1 (Komponenten x 1, {1, 2, }) usw De Egenvektoren bestmmt man aus dem Egenwertproblem durch Ensetzen ewels enes der Egenwerte, z B 8 λ 1 8 λ 1 8 λ 1 x 11 x 12 x 1 = 0 (4) Mt r 1 st auch edes Velfache c r 1 Lösung: nur de Rchtung st bestmmt! De Länge kann man fre wählen, mest wrd r 1 = 1 verlangt Mt λ 1 = 2 wrd also 6 6 x 11 x 12 = 0 (5) 6 x 1 De erste Glechung führt auf 6x 11 x 12 x 1 = 0 x 11 = 1 2 (x 12 + x 1 ) (6) Subtraheren der beden anderen Glechungen und Ensetzen deses Ergebnsses ergbt 9x 12 9x 1 = 0 x 12 = x 1 (7) 1
2 Da de Länge a unbestmmt st, kann man enfach ene der (nchtverschwndenden) Komponenten wählen, z B x 1 = 1, woraus x 12 = 1, x 11 = 1 folgt Damt hat man den Egenvektor r 1 = C(1, 1, 1) normert: r 1 = 1 (1, 1, 1) (8) Für de beden anderen Egenwerte λ 2 = 11, λ = 11 st noch zu beachten, dass ede belebge Lnearkombnaton zweer Egenvektoren zu desem Egenwert ebenfall en Egenvektor st: aus A r 2 = 11 r 2 A r = 11 r (9) folgt A(c 2 r 2 + c r ) = 11 (c 2 r 2 + c r ) (10) Es wrd also nur ene Ebene bestmmt Entsprechend wrd das Egenwertproblem für desen Egenwert zu dre dentschen Glechungen x 21 x 22 = 0, (11) x 2 entsprcht also ener enzgen Glechung x 21 + x 22 + x 2 = 0 (12) Dese Glechung besagt übrgens enfach, dass der Egenvektor orthogonal zu r 1 sen muss (wr werden sehen, dass des für Egenvektoren zu verschedenen Egenwerten be ener reellen symmetrschen Matrx mmer so st): r 2 r 1 = 1 (1, 1, 1) (x 21, x 22, x 2 ) = 1 (x 21 + x 22 + x 2 ) = 0 (1) Man kann nur den Vektor r 2 unter deser Bedngung fre wählen, zb r 2 = 1 2 (1, 1, 0) Der noch fehlende Egenvektor r muss dann ebenfalls zu r 1 orthogonal sen, sollte aber vernünftgerwese auch zu r 2 orthogonal gewählt werden Das kann man über das Vektorprodukt errechen oder enfach durch Erraten Ene Wahl st r = 1 6 (1, 1, 2) 2 Das Egenwertproblem Zunächst aber noch enge allgemene Ausführungen zum Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (14) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector, egenvalue) In Komponentenschrebwese st das n A x = λx, = 1n (15) =1 Indem man de rechte Sete mttels der Enhetsmatrx I ebenfalls als Matrxmultplkaton schrebt, erhält man (A λi) x = 0 (16) 2
3 oder n Komponentenschrebwese (A λδ )x = 0 (17) Als Matrxglechung ausgeschreben seht das so aus: A 11 λ A 12 A 1n A 21 A 22 λ A 2n A n1 A n,n 1 A nn λ x 1 x n = 0 (18) Das st en homogenes lneares Glechungssystem, bekanntlch st de Bedngung für ene nchttrvale Lösung de Säkularglechung: det(a λ1) = 0 (19) Se bestmmt de möglchen Werte von λ Da det(a λ1) en Polynom n-ten Grades n λ st, f(λ) = det(a λ1) = a n λ n + a n 1 λ n 1 + a 1 λ + a 0 = 0 (20) glt für de Lösungen der Hauptsatz der Algebra: Es gbt genau n Lösungen, de a komplex sen können und ncht alle verscheden müssen Was bedeutet es, wenn ene Lösung mehrmals vorkommt? Seen de Lösungen λ 1,λ 2 λ n, Dann kann man schreben f(λ) = n a λ = C (λ λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ n ) (21) =0 und wenn ene Lösung mehrfach vorkommt, z B λ 1 = λ 2 = λ, dann wrd f(λ) = C (λ λ 1 ) (λ λ 4 )(λ λ n ) (22) Man kann Mehrfachnullstellen auf 2 Arten feststellen, ndem man entweder das Polynom dvdert: blde f(λ) λ λ 1 hat dann mmer noch λ 1 als Nullstelle; man muss dremal dcvderen, bs das ncht mehr der Fall st, oder man bldet de Abletung an der Nullstelle: be λ λ 1 verhält sch f(λ) we (λ λ 1 ), es verschwnden also de erste und zwete Abletung an der Stelle λ 1 Allgemen hat man also ene k-fache Nullstelle, wenn de Abletungen bs zur k 1-fachen verschwnden Relle symmetrsche Matrzen De zu ener Matrx A an der Dagonale gespegelte Matrx nennt man de transponerte Matrx B = A T, wobe für de Komponenten glt B = A Ene Für relle symmetrsche Matrx st nun durch A = A T = A oder A = A = A,, = 1 n (2) gekennzechnet Für solche Matrzen gbt es zwe sehr wchtge Theoreme, deren Bewese so enfach snd, dass se her gegeben werden können
4 1 alle Egenwerte ener reellen symmetrschen Matrx snd reell Se λ en u U komplexer Egenwert mt Egenvektor x Dann bldet man das Skalarprodukt mt x : A x = λx = x A x = λ x x (24) Anderesets kann man dasselbe mt der komplex konugerten Glechung machen, wobe etzt mt x das Skalarprodukt gebldet wrd:: A x = λ x = x A x = λ x x (25) Nun st aber x A x = x A x = x A x = x A x, (26) wobe de Symmetren der Matrx benutzt und de Indzes n der Summe umbenannt wurden En Verglech der Ergebnsse zegt, dass λ = λ, also λ reell sen muss Nebenbemerkung: der Bewes zegt, dass auch ene komplexe Matrx, de de Bedngung A = A oder A = A T erfüllt, ene hermtesche Matrx deselbe Egenschaft hat Da de Egenwertglechung nunmehr vollständg relle Koeffzenten hat de Matrx und der Egenwert snd rell kann man auch o B d A relle Egenvektoren annehmen 2 Für reelle symmetrsche Matrzen snd Egenvektoren zu verschedenen Egenwerten orthogonal Es se A x = λ 1 x, A y = λ 2 y (27) Dann kan man weder de Skalarprodukte blden y A x = λ 1 x y, x A y = λ 2 x y (28), und bekommt durch Ausnutzen der Symmetre: (λ 1 λ 2 ) x y = 0 x y = x y = 0 (29) 4 De Bewegungsglechung für den starren Körper Im raumfesten System st dˆ L = ˆ M (0) Um ene Glechung für ω(t) zu bekommen, müsste man ˆ L = J ω (1) verwenden, das st aber m raumfesten System ˆ ungünstg, wel der Träghetstensor sch ebenfalls dauernd ändert Man bezeht also besser de Vektoren auf das körperfeste System, und spezell auf das Hauptachsensystem, n dem a der Träghetstensor ene besonders enfache Form hat 4
5 Beachte: wenn ˆ M = 0, dann snd de Komponenten von ˆ L m ˆ konstant, a aber ncht n, da a deser Vektor von enem roterenden System aus gesehen wrd Es gbt also de beden Zerlegungen ˆ L = ˆL x eˆx + ˆL y eŷ + ˆL z eẑ (2) und = L ξ e ξ + L η e η + L ζ e ζ () und wr werden zur Abletung der Bewegungsglechung weder de Bezehung für Abletungen m roterenden System verwenden: ( ) ( ) d d ˆ L = ˆ L + ω ˆ L (4) ˆ 5 De Eulerschen Glechungen Im raumfesten System ˆ, das a en Inertalsystem st, war de Bewegungsglechung dˆ L = ˆ M (5) Im körperfesten Hauptachsensystem mt den koordnaten ξ, η, ζ st de Bezehung zwschen der Wnkelgeschwndgket ω = (p, q, r) und dem Drehmpuls L = (Ap, Bq, Cr), da a der Träghetstensor de Dagonalform J = A B C (6) hat Man beachte m folgenden, dass der Körper sch n ncht bewegt, dass also A, B und C n desem System konstant snd De Bewegungsglechung basert nun auf der vertrauten Bezehung zwschen der Abletung m raumfesten und enem roterenden System: d = d ˆ + ω, (7) was für den Drehmpuls bedeutet ˆ M = d ˆ L = d L ˆ + ω ˆ L (8) Hern st nun und ω L d ˆ L = (Aṗ, B q, Cṙ), (9) = (p, q, r) (Ap, Bq, Cr) = (Cqr Bqr, Apr Cpr, Bqp Apq), (40) so dass man drekt de dre Eulerschen Glechungen erhält: M ξ = Aṗ + (C B)qr M η = B q + (A C)pr (41) M ζ = Cṙ + (B A)pq Es handelt sch um nchtlneare gekoppelte Dfferentalglechungen, und es st noch zu beachten, dass man de Komponenten von M n braucht En Problem wrd überhaupt sen, de Bewegung m Hauptachsensystem mt der m raumfesten n Bezehung zu setzen 5
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