Einführung in die numerische Mathematik

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1 Prof. Dr. M. Günther K. Gauslng, M.Sc. C. Hendrcks, M.Sc. Sommersemester 1 Bergsche Unverstät Wuppertal Fachberech C Mathematk und Naturwssenschaften Angewandte Mathematk / Numersche Analyss Enführung n de numersche Mathematk Aufgabenblatt 9 - Hermte-, Splne-Interpolaton Lösungen Präsenzaufgabe 1: Kubsche Splne-Interpolaton Gegeben seen de dre Stützpunkte x, y ) =, ), x 1, y 1 ) =, ), x, y ) = 8, ). Berechnen Se den nterpolerenden kubschen Splne s für de unten angegebenen Randbedngungen. Bestmmen Se dazu de Koezenten der Telpolynome s auf [x, x +1 ] für =, 1. a) Der Splne s habe natürlche Randbedngungen. b) Der Splne s habe de vollständgen Randbedngungen s ) = und s 8) =. Frewllg: Plotten Se de beden Splnes n MATLAB m Intervall [.5, 5.5]. s bzw. s 1 soll dabe über de Ränder lnks bzw. rechts fortgesetzt werden.) Können Se sch vorstellen woher der natürlche Splne senen Namen hat? Gegeben snd de Daten: 1 x 8 y h z 1-1 a) Zur Berechung des natürlchen Splnes ergbt sch en lneares Glechungssystem für de Abletungen b, nämlch /h 1/h b 3 z /h 1/h /h + /h 1 1/h 1 b 1 = 3z /h + z 1 /h 1 ), 1/h 1 /h 1 b 3 z 1 /h 1 d.h. Mt t = x x h 1 1/ 1/ 3/ 1/ 1/ 1/ b b 1 b = 3/ 3/ 3/ st der Splne dann gegeben durch s x) = 1 3t + t 3 ) + 3 t t + t 3 ) b b 1 b = + 3t t 3 ) t + t 3 ), x [, ), s 1 x) = 1 3t + t 3 ) t t + t 3 ) + 3t t 3 ) ) t + t 3 ), x [, 8]. /3 1/3 5/3.

2 b) Unter Verwendung der vollständgen Randbedngungen s ) = b =, s 8) = b = blebt nur noch b 1 zu bestmmen: /h + /h 1 )b 1 = 3z /h + z 1 /h 1 ) b /h b /h 1 b 1 = 1/. Damt folgt s x) = 1 3t + t 3 ) + t t + t 3 ) + 3t t 3 ) + 1 ) t + t 3 ), x [, ), s 1 x) = 1 3t + t 3 ) + 1 )t t + t 3 ) + 3t t 3 ) + t + t 3 ), x [, 8]. De folgende Skzze zegt den Splne mt natürlchen Randbedngungen gestrchelte Lne) und den Splne mt vollständgen Randbedngungen durchgezogene Lne). De Stützstellen snd ebenfalls engetragen Krese) x Präsenzaufgabe : Fehlerformel für kubsche Splnes De Fehlerformel be der Approxmaton durch enen kubschen Splne s mt ncht äqudstanten Stützstellen x < x 1 < < x n und vollständgen Randbedngungen, welcher ene vorgegebene Funkton f C [x, x n ] nterpolert, d.h. fx ) = sx ) für =, 1,..., n sowe f x ) = s x ) und f x n ) = s x n ), lautet fx) sx) 3 L h H für x [x, x +1 ] mt h := x +1 x für =, 1,..., n 1 und L := max f ) t), H := max{h, h 1,..., h n 1 }. t [x,x n] Gegeben seen de Stützstellen x = 3, x 1 =, x = 3 und de Funkton fx) = 1 1 exp 3 x). a) Schätzen Se den Interpolatonsfehler nach obger Formel jewels n den beden Telntervallen [ 3, ] und [, 3] ab.

3 b) We dcht müssen äqudstante Stützstellen m gesamten Intervall [ 3, 3] gewählt werden, damt man enen Fehler überall klener als 1 3 garanteren kann? Es st de verte Abletung von fx) = 1 1 exp 3x) abzuschätzen. Es glt f ) x) = 1 1 Dese Funkton st steng monoton fallend und somt ) 3 exp 3 x) = 1 81 exp 3 x). f L = max ) t) = f ) 3 e t [ 3,3] ) = 81. a) Es glt H = 3. Für x [ 3, ] erhalten wr fx) sx) 3 e 81 ) 3 3 = 3 e 1.8 und für x [, 3] dann fx) sx) 3 e = 3 e.773. b) Be äqudstanten Stützstellen glt h := H = h für alle. Der maxmale Fehler lässt sch dann abschätzen zu fx) sx) 3 e e 81 h = 178 h. De geforderte Genaugket lefert de Bedngung e 178 h 1 3 und damt h e Mt h =.5/n st des berets ab n = 5 bzw. h =.9 erfüllt, d.h. mt Stützstellen. Präsenzaufgabe 3: Smpson-Regel a) Leten Se de Newton-Cotes-Formel für n = Smpson-Regel / Kepler'sche Faÿregel) her: Jf) = Ip) = b a ) ) a + b fa) + f + fb) mt den Stützstellen x = a, x 1 = a + b)/ und x = b. Hnwes: Verwenden Se dvderte Derenzen, um das Interpolatonspolynom aufzustellen und transformeren Se das Integral auf [, h] mt h = b a. 3

4 b) Rechnen Se den Quadraturfehler der Fassregel nach: wobe h = b a)/. Rf) = h 5 9 f ) ξ), a) Be der Smpsonregel wrd der Integrand fx) durch en Polynom vom Grad nterpolert. Mt dem Schema der dvderten Derenzen ergbt sch mt x 1 = a + b)/ a fa)... fx x 1 fx 1 ) 1 ) fa) x 1 a ) fb) fx b fb) 1 ) 1 b x 1 fb) fx1 ) b a fx 1) fa) x 1 a und damt haben wr das Interpolatonspolynom p, x) = fa) + fx 1) fa) x a) + x 1 a h fa) + fb) fx 1)) x a)x x 1 ). Mt h := b a und ener Transformaton auf [, h] durch t = x a ntegrert man nun p, t)dt = fa) + h fx 1) fa)) t + h fa) + fb) fx 1)) t t h ) = hfa) + h fx 1) fa)) h + ) h 3 h fa) + fb) fx 1)) 3 h3 = h fa) + fx 1 ) fa)) + 1 ) fa) + fb) fx 1)) = h fa) + fx 1) + fb)). b) Gemäÿ Satz 8.1 der Vorlesung berechnet sch der Quadraturfehler der Fassregel aus R f) = f ) ξ)! b a b x 1 xω 3 x)dx. Wr transformeren weder auf [, h] und erhalten für das Integral t + a)tt h/)t h)dt = = h 5 = h5 1. Insgesamt ergbt sch dann mt h = b a)/ t t h/)t h)dt + a 5 3h5 8 + h5 ) ) h + a h + h }{{} = tt h/)t h)dt R f) = h) 5 1 f ) ξ)! = h 5 9 f ) ξ).

5 Hausaufgabe 1: Stückwese Hermte-Interpolaton 1 Punkte) Gegeben seen de Funktonswerte y = fx ) und Abletungen y = f x ) ener ansonsten unbekannten Funkton f. En Interpoland px) m Intervall [x, x n ] mt den Egenschaften p C 1 [x, x n ]), p ) x) = für x < x < x +1, =,..., n 1, px ) = y und p x ) = y für =,..., n heÿt stückwese kubscher Hermte-Interpoland. In jedem Telntervall [x, x +1 ], =,..., n 1, st deser en Polynom p x) der Form p x) = a + b x x ) + c x x ) + d x x ) 3 9.1) mt noch zu bestmmenden Koezenten a, b, c, d. a) Bestmmen Se de Koezenten a, b, c, d n Abhänggket von y, y, y +1, y +1. b) Ordnet man n 9.1) de rechte Sete nach den Koezenten y, y, y +1, y +1 das Telnterval auf [, 1], so ergbt sch für p x) de Darstellung und normert p x) = y ϕ 1 t) + y +1 ϕ t) + y h ϕ 3 t) + y +1h ϕ t) mt h := x +1 x und t = x x )/h. Leten Se de Bassfunktonen ϕ 1 t),..., ϕ t) her. a) Gesucht snd de Koezenten zu p x) = a + b x x ) + c x x ) + d x x ) 3 n Abhänggket von y, y, y +1, y +1. De Glechungen zu deren Bestmmung lauten h = x +1 x ) : p x ) = a = y p x ) = b = y p x +1 ) = a + b h + c h + d h 3 = y +1 p x +1) = b + c h + 3d h = y +1 Daraus ergeben sch de Lösungen : a = y b = y c = 3y +1 y ) h d = y y +1 ) h 3 y +1 + y h + y +1 + y h 5

6 b) Umsorteren der Abhänggketen lefert : p x) = y + y x 3y+1 y ) x ) + y y +1 ) h 3 h + y +1 + y h ) x x ) 3 = y 1 3 h x x ) + ) h 3 x x ) 3 + y +1 + ) y x x ) + h 3 y +1 h x x ) ) h 3 x x ) 3 + y x x ) x x ) + 1 ) h h x x ) 3 + y +1 1 x x ) + 1 ) h h x x ) 3 De Normerung des Telntervalls [x, x +1 ] auf [, 1] durch t = x x )/h ergbt schleÿlch p x) = y Φ 1 t) + y +1 Φ t) + y h Φ 3 t) + y +1h Φ t) mt den Bassfunktonen Φ 1 t) = 1 3t + t 3 Φ t) = 3t t 3 Φ 3 t) = t t + t 3 Φ t) = t + t 3. Hausaufgabe : Interpolatonsoperator be kubschen Splnes 1 Punkte) Es se ene Zerlegung a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b des Intervalls [a, b] gegeben. Zu f : [a, b] R bezechne s f den kubschen Splne mt natürlchen Randbedngungen, der durch de Stützstellen x, fx )) für alle verläuft. a) Zegen Se, dass mt f, g : [a, b] R und λ R glt ) Lneartät: s f+g = s f + s g, s λf = λs f, ) Projekton: s sf = s f. b) Untersuchen Se de Aussagen aus a) auch für Splnes mt vollständgen Randbedngungen be f, g C 1 [a, b]) d.h. s f a) = f a), s f b) = f b), etc.) und mt perodschen Randbedngungen be perodschen Funktonen f, g : R R mt Perode b a. c) Untersuchen Se, ob stets s p = p n [a, b] glt für en Polynom p P 3 d.h. Grad höchstens 3) jewels be natürlchen und vollständgen Randbedngungen.

7 a) De kubschen Splne-Funktonen zu ener festen Untertelung des Intervalls [a, b] blden enen Vektorraum. Da s f, s g jewels Splne-Funktonen snd, glt des auch für s f + s g und λs f. Zudem übertragen sch de natürlchen Randbedngungen s f a) = s f b) = und s ga) = s gb) = zu s f a) + s ga) =, s f b) + s gb) =, λs f a) =, λs Mt der Interpolatonsegenschaft glt n den Stützstellen f b) =. s f x ) + s g x ) = fx ) + gx ) = f + g)x ) für =, 1,..., n und λs f x ) = λfx ) = λf)x ) für =, 1,..., n. Es st also s f + s g ene kubsche Splnefunkton mt natürlchen Randbedngungen, welche obge Stützstellen nterpolert. Anderersets st auch s f+g ene kubsche Splne-Funkton, für de natürlche Randbedngungen gefordert snd und de auch de glechen Werte nterpolert. Mt der Endeutgket des Splne-Funkton zu jewelgen Randbedngungen muss damt s f+g = s f + s g gelten. Analog folgt s λf = λs f. De Lneartät st somt gezegt. De Projektonsegenschaft folgt mt glecher Argumentaton, da s sf x ) = s f x ) für =, 1,..., n glt und de natürlchen Randbedngungen vorausgesetzt snd. b) Man kann de Begründung aus a) verwenden. Zu Überprüfen st nur, ob de jewelgen Randbedngungen erfüllt werden. Es glt be vollständgen Randbedngungen s f a) + s ga) = f a) + g a) = f + g) a) und s f b) + s gb) = f b) + g b) = f + g) b) sowe λs f a) = λf a) = λf) a) = s λf a) und λs f b) = λf b) = λf) b) = s λf b). Damt snd de endeutgen Splne-Interpolanten mt vollständgen Randbedngungen gerade s f+g bzw. s λf. De Lneartät st dadurch gezegt. De Projektonsegenschaft glt ebenfalls, denn man hat s s f a) = s f a) = f a) und s s f b) = s f b) = f b). Be perodschen Randbedngungen folgt de Überenstmmung der Randwerte sofort aus der Interpolatonsegenschaft der Splnes, wodurch de Lneartät gewährlestet st. De Projektonsegenschaft kann ebenfalls aus den Interpolatonsbedngungen abgelesen werden bzw. dadurch, dass s f a) = s f b) nach Konstrukton glt. c) Es glt stets be vollständgen Randbedngungen allerdngs ncht mmer be natürlchen Randbedngungen. 7