Das zum dualen Problem (10.2) gehörige Barriere-Problem lautet analog

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1 60 Kaptel 2. Lneare Optmerung 10 Innere-Punkte-Verfahren Lteratur: Geger, Kanzow, 2002, Kaptel 4.1 Innere-Punkte-Verfahren (IP-Verfahren) oder nteror pont methods bewegen sch m Gegensatz zum Smplex-Verfahren m (relatven) Inneren des zulässgen Polyeders zu ener Lösung. Se snd ene Alternatve nsbesondere für große LP und außerdem verallgemenerbar auf allgemene nchtlneare Optmerungsaufgaben. Wr betrachten weder das prmale LP n Normalform mt dem dualen LP Mnmere c x sodass Ax = b und x 0 (10.1) Maxmere b λ sodass A λ + s = c und s 0 (10.2) und den notwendgen und hnrechenden Optmaltätsbedngungen A λ + s = c, s 0 duale Zulässgket Ax = b, x 0 prmale Zulässgket x s = 0, = 1,..., n Komplementartät. (10.3) Wr wssen nach Satz 8.5, dass ene Lösung (x, λ, s) von (10.3) glechzetg Lösungen von (10.1) und (10.2) lefert. Wr konzentreren uns daher nun auf sogenannte prmal-duale Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung von (10.3). Wr betrachten dazu folgende Störung des Optmaltätssystems (10.3): A λ + s = c, s > 0 Ax = b, x > 0 x s = τ, = 1,..., n. mt enem Parameter τ > 0. Falls exstent, so heßt de Abbldung τ (x (τ), λ (τ), s (τ) ) (10.4) der zentrale Pfad, und (10.4) heßen Zentraler-Pfad-Bedngungen (ZPB). De Idee der Innere-Punkte-Verfahren besteht darn, den Pfad für τ 0 zu verfolgen. Alternatve Betrachtungswese: Wr führen das zu (10.1) gehörge (prmale) logarthmsche Barrere-Problem en: Mnmere c x τ ln(x ) sodass Ax = b und x > 0. (10.5) Das zum dualen Problem (10.2) gehörge Barrere-Problem lautet analog Maxmere b λ + τ ln(s ) sodass A λ + s = c und s > 0. (10.6) Den Zusammenhang zwschen (10.5), (10.6) und dem gestörten Optmaltätssystem (10.4) stellt der folgende Satz her, der en Analogon zu Satz 8.5 st. Satz 10.1 (Notwendge und hnrechende Optmaltätsbedngungen). Es se τ > 0 gegeben.

2 10. Innere-Punkte-Verfahren 61 Abbldung En Barrerefunktonal mt c = (10, 1) und τ = 1 (lnks) und zulässge Regon bzgl. der gestörten Komplementartätsbedngung x s = τ (rechts). (a) Ist x (τ) ene Lösung des prmalen Barrere-Problems (10.5), dann exsteren (λ (τ), s (τ) ), sodass (x (τ), λ (τ), s (τ) ) das System (10.4) erfüllt. (b) Ist (λ (τ), s (τ) ) ene Lösung des dualen Barrere-Problems (10.6), dann exstert x (τ), sodass (x (τ), λ (τ), s (τ) ) das System (10.4) erfüllt. (c) Erfüllt (x (τ), λ (τ), s (τ) ) das System (10.4), dann st x (τ) ene Lösung von (10.5), und (λ (τ), s (τ) ) st ene Lösung von (10.6). Bewes: En vollständger Bewes folgt später 47 (Satz 17.8), sehe auch Geger, Kanzow, 2002, Satz 4.1. Beachte: Das Pfad-Problem (10.4) hat ncht mmer ene Lösung! Bespel 10.2 (Unlösbares Pfad-Problem). Wr betrachten als prmale Aufgabe: Mnmere x 1 + x 2 sodass x 1 + x 2 = 0 und x 1 0, x 2 0 mt der endeutgen Lösung x = (0, 0). Im zugehörgen Pfad-Problem (10.4) wdersprechen sch jedoch x 1 + x 2 = 0 und x > 0, sodass (10.4) kene Lösung bestzt. (Wegen Satz 10.1 bestzen dann auch (10.5) und (10.6) kene Lösung.) Wr untersuchen jetzt de Lösbarket von (10.4). Defnton 10.3 (Prmal-dual zulässge Menge). De Menge F := {(x, λ, s) : Ax = b, A λ + s = c, x 0, s 0} heßt de (prmal-dual) zulässge Menge und F 0 := {(x, λ, s) : Ax = b, A λ + s = c, x > 0, s > 0} de (prmal-dual) strkt zulässge Menge. 47 Es geht auch ad hoc.

3 62 Kaptel 2. Lneare Optmerung Wegen Satz 10.1 st F 0 notwendg dafür, dass (10.4) und damt (10.5) und (10.6) Lösungen bestzen. Des st aber auch hnrechend: Satz 10.4 (Exstenz ener Lösung für das prmale Barrere-Problem 48 ). De strkt zulässge Menge F 0 se nchtleer. Dann bestzt das prmale Barrere- Problem (10.5) für jedes τ > 0 ene Lösung x (τ). 49 (Nach Satz 10.1 bestzen also auch (10.4) und (10.6) Lösungen.) Bewes: Es seen τ > 0 und en (x 0, λ 0, s 0 ) F 0 gegeben. Es glt also Wr bezechnen mt A λ 0 + s 0 = c, Ax 0 = b, x 0 > 0, s 0 > 0. ( ) B (τ) (x) = c x τ ln(x ) de Zelfunkton n (10.5). Wr werden zegen, dass de (Sub-)Levelmenge L(x 0 ) := {x R n : Ax = b, x 0, B (τ) (x) B (τ) (x 0 )} kompakt st. (Nchtleer st se wegen x 0 L(x 0 ).) Das Barrere-Problem (10.5) st daher äquvalent zur Mnmerung der stetgen Funkton B (τ) über der kompakten Menge L(x 0 ), bestzt also ene globale Lösung, vgl. Satz 1.4. De egentlch benötgte strengere Bedngung x > 0 n der Defnton von L(x 0 ) ergbt sch automatsch aus B (τ) (x) B (τ) (x 0 ). Offenbar st L(x 0 ) abgeschlossen. 50 Für x L(x 0 ) folgt aus ( ) B (τ) (x) + τ ln(x ) = c x Daher glt De Funktonen = c x λ 0 (Ax b) = c x x A λ 0 + b λ 0 = c x x (c s 0 ) + b λ 0 = x s 0 + b λ 0. B (τ) (x) B (τ) (x 0 ) x s 0 + b λ 0 τ ln(x ) B (τ) (x 0 ) [ x s 0, τ ln(x ) ] B (τ) (x 0 ) b λ 0 =: const x [x s 0, τ ln(x )] snd auf R + wegen s 0, > 0 nach unten beschränkt und konvergeren gegen für x. Daher st L(x 0 ) auch beschränkt, also kompakt. 48 Beachte: (10.4) st also ncht nur de Störung des Optmaltätssystems (10.3), sondern senersets das Optmaltätssystem für de gestörte Aufgabe (10.5) (und (10.5)). 49 Les: globales Mnmum, denn (10.5) st ene konvexe Aufgabe, vgl. Satz als Schntt von Urbldern abgeschlossener Mengen unter stetgen Funktonen

4 10. Innere-Punkte-Verfahren 63 Folgerung 10.5 (Exstenz des zentralen Pfades). De strkt zulässge Menge F 0 se nchtleer. Dann bestzen de ZPB (10.4) für jedes τ > 0 ene Lösung (x (τ), λ (τ), s (τ) ). Dabe snd de (x, s)-komponenten endeutg bestmmt. Bestzt A vollen Zelenrang (rang(a) = m), so st auch λ (τ) endeutg. Bewes: Nach Satz 10.4 bestzt das prmale Barrere-Problem (10.5) für jedes τ > 0 ene Lösung x (τ). Wegen Satz 10.1 exsteren dann Vektoren λ (τ) und s (τ), sodass (x (τ), λ (τ), s (τ) ) ene Lösung von (10.4) st. Zur Endeutgket: Das prmale Barrere-Problem (10.5) bestzt ene strkt konvexe Zelfunkton (Defnton 11.9), und de zulässge Menge {x R n : Ax = b, x > 0} st konvex. Daher st x (τ) endeutg bestmmt, sehe Satz Aufgrund der Bedngungen x s = τ für = 1,..., n st damt auch s (τ) endeutg bestmmt. Bestzt A vollen Zelenrang, dann st AA R m m nverterbar, und aus A λ (τ) + s (τ) = c folgt λ (τ) = (AA ) 1 A(c s (τ) ). Defnton 10.6 (Strkt komplementäre Lösung). Ene Lösung (x, λ, s ) der Optmaltätsbedngungen (8.5) heßt strkt komplementär, wenn für alle = 1,..., n entweder x = 0 oder s = 0 glt. Satz 10.7 (Konvergenz für τ 0). De strkt zulässge Menge F 0 se nchtleer, und es gelte τ (k) 0. Es se (x (k), s (k), λ (k) ) ene Lösung von (10.4) für τ = τ (k). Dann st de Folge {(x (k), s (k) )} beschränkt und bestzt daher ene konvergente Telfolge. Jeder Häufungspunkt (Grenzwert ener Telfolge) gehört zu ener strkt komplementären Lösung (x, λ, s ) von (10.3). 51 Bewes: Es se (x 0, λ 0, s 0 ) F 0. Es glt x 0 (x (k) x 0 ) (s (k) s 0 ) = (x (k) x 0 ) A (λ 0 λ (k) ) = (b b) (λ 0 λ (k) ) = 0 >0 s (k) + x (k) s 0 >0 = } x (k) {{ s (k) } =τ (k) n + x 0 s 0 =:c>0 0 x 0 s (k) + x (k) s 0 = τ (k) n + c τ n + c für alle k N { x (k) } und { s (k) } snd beschränkt. Also exsteren konvergente Telfolgen x (k l) x 0, s (k l) s 0, und es glt Ax (k l) = b, also auch Ax = b, sowe x (k l) s (k l) = τ (k l) n 0, also auch (x ) s = Nur solche kann man also überhaupt durch prmal-duale IP-Verfahren errechen.

5 64 Kaptel 2. Lneare Optmerung De Folge {λ (k l) } erfüllt A λ (k l) = c s (k l), d. h., c s (k l) Bld (A ) für alle m N. Da Bld (A ) als Unterraum abgeschlossen st, legt auch der Grenzwert c s Bld (A ), d. h., es exstert λ mt A λ + s = c. 52 Mt anderen Worten: (x, λ, s ) erfüllt (8.5). Zur strkten Komplementartät: (x (k l) x ) (s (k l) s ) = (x (k l) x ) A (λ λ (k l) ) = (b b) (λ λ (k l) ) = 0 (x ) s (kl) + x (k l) s = x (k l) s (k l) + (x ) s = τ (kl) n =τ (k l ) n =0 x + x (k l) s s (k l) = n wegen s (k l) = τ (k l) x (k l) und x (k l) = τ (k l). De 2n Quotenten n den Summen snd jewels entweder = 0 oder konvergeren für l gegen 1. Daraus folgt entweder x = 0 oder s = 0 für alle = 1,..., n. s (k l) 52 D. h., λ st ncht notwendg Grenzwert der Folge {λ (k l) }, sondern wrd konstruert.