3 g-adische Ziffernentwicklung reeller Zahlen

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1 1 3 g-adche Zffernentwcklung reeller Zahlen In deem Kaptel e tet 2 g N und Z g = {0, 1, 2, 3,..., g 1} N. Motvaton: Wr wollen jede potve reelle Zahl x > 0 n der Ba g 2 dartellen (g-adche Dartellung von x. Dafür verwenden wr,,zffern au der Menge Z g. Für negatve reelle Zahlen x etzen wr da Vorzechen vor de g-adche Dartellung von x. Defnton 11. E een 0 < x R, d Z und ( d mt Z g ene Folge n Z g (ene Folge von,,g-adchen Zffern. Dann heßen d der g-adche Exponent und ( d de g-adche Zffernentwcklung von x, wenn folgende glt: (G1 z d 0 (G2 x = (G3 zu jedem n Z gt e en max{n, d} mt g 1. (z d z d+1... z 2 z 1 z 0, z 1 z 2 z 3... g fall d 0 Schrewee: x = (0, 00 }{{... 0} z d z d+1... g fall d > 0 d 1 De Zahl g nennt man de Ba der Zffernentwcklung von x. Spezell agt man für 10-adch auch dezmal, für 2-adch auch dual, für 8-adch auch oktal und für 16-adch auch hexadezmal oder edezmal. Bemerkung: Hat x > 0 ene g-adche Zffernentwcklung we n Defnton 11, o nennen wr de g-adche Zfferentwcklung von x. g Bepel: De reelle Zahl π R etzt de Dezmaldartellung π = (3, = (d = 0, z 0 = 3, z 1 = 1, z 2 = 4, z 3 = 1,.... De 3-adche Dartellung von π t π = (10, = (d = 1, z 1 = 1, z 0 = 0, z 1 = 0, z 2 = 1, z 3 = 0, z 4 = 2, z 5 = Bepel 3.1: Wählen Se ene natürlche Zahl zwchen 100 und 150 und geen Se für dee den g-adchen Exponenten und de g-adche Zffernentwcklung für g = 10, 2, 7 und 16 an! Bepel 3.2: Warum t de Folge ( 2 mt = 1 für alle 2 kene 2-adche Zffernfolge für 1 2? We eht de 2-adche Zffernfolge von 1 2 au?

2 2 0 für 0 Bepel 3.3: Zegen Se, da de Folge ( Z mt = 1 für ungerade > 0 4 für gerade > 0 ene 5-adche Zffernfolge für 0,375 t. Bepel 3.4: Geen Se für x = 1/3 den g-adchen Exponenten und de g-adche Zffernentwcklung für g = 10, 3 und 2 an! Lemma 5 (Kennzechnung der g-adchen Zffernentwcklung. E een 0 < x R, d Z und ( d ene Folge n Z g. Dann nd folgende Auagen äquvalent: a d t der g-adche Exponent und ( d t de g-adche Zffernentwcklung von x. z d 0 und für alle n d glt: n 0 x g < 1 g. (* n Bewe. a : (G1 ergt z d 0. (G2 ergt für jede n d: x n g = z 0, wel alle Summanden 0 nd. =n+1 < g 1 = 1 mt (G3. gn =n+1 a: Offenar t (G1 erfüllt. (G2 ergt ch au (* durch Grenzüergang n. Nehmen wr an, da (G3 falch wäre: e gt en n Z, oda für alle n glt: = g 1. Dann erhalten wr mt deem n n der rechten Unglechung von (* ene Glechhet, alo enen Wderpruch. Bepel 3.5: Machen Se ch de Bedeutung von Lemma 5. vertändlch, ndem Se de erten Dezmalzffern von x = 3 etmmen. We erhalten Se de jewel nächte Dezmalzffer? Satz 22. Für jede 0 < x R extert genau ene g-adche Zffernentwcklung. Bewe. I. Extenz: Da de Potenzen g d für d Z treng monoton von + nach 0 fallen, gt e en endeutg etmmte d Z mt g d x < g (d 1. Man üerlegt ch lecht, da dee d der enzg möglche Wert für den Exponenten von x für ene g-adche Zffernfolge von x t. Für alle k d defneren wr rekurv de Folge z k = ( k 1 [g k x ],

3 woe [ ] de Gauß-Klammer ezechnet. Wr eween nun, da de o defnerte Folge (z k k d ene g-adche Zfferentwcklung von x t, ndem wr mt volltändger Indukton zegen, da dee Folge de Kennzechnung (* au Lemma 5. erfüllt. Induktonanfang: n = d De rekurve Defnton lefert z d = [g d x] Z, und wegen oger Wahl von d erhalten wr 1 [g d x] < g, alo 1 z d Z g. Induktonchlu: von n auf n + 1 Wr nehmen an, da (* für den Index n erfüllt t, und eween damt, da z n+1 Z g und (* für den Index n + 1 glt. [ Verwenden wr (* für den Index n n der Rekuronformel z n+1 = g n+1( x n ], o erhalten wr unmttelar, da 0 z n+1 < g glt, alo z n+1 Z g. Mt der Unglechung 0 g n+1( x n ( 1 g n+1( x n g n+1 g zn+1 g zn+1 < 1 erhalten wr mt x n+1 drekt de Unglechung (* für den Index n = II. Endeutgket: De Endeutgket von d ergt ch au den Üerlegungen am Beweanfang oen. Nehmen wr an, wr hätten zwe verchedene Zffernentwcklungen für x, alo x = =. E e j d der mnmale Index mt z j z j. Dann erhalten wr aer mt der Unglechung (* für den Index n := j enen Wderpruch, da ede g-adche Zfferndartellungen von x een. Bemerkung: De Rekuronformel m Bewe gt an, we de g-adche Zffernfolge von x erhalten werden kann. Kennen wr eret z 1,..., z 3 der 3-adchen Dartellung von π (vgl. Bepel oen, o erhalten wr z 4 = [ 3 4 (π ] = [ 3 4 π ] = [ 2, ] = 2 und z 5 = [ 3 5 (π ] = [ 3 5 π ] = [ 1, ] = 1. Satz 23. E e 0 < x R. De g-adche Zffernentwcklung ( d von x wrd perodch (d.h. e gt m d und l N +, oda für alle n m glt: z n+l = z n genau dann, wenn x Q glt. Bewe.,, : E een m und l o we m Satz gegeen. In der Umformung (g l 1x = gl m+l 1 g = g + l =m+l m 1 g l g =m heen ch wegen der Perodztät der Zffern a dem Index m de eden unendlchen Summen auf, und wr erhalten (g l 1x Q, und omt x Q.

4 4,, : E een 0 < x = r Q mt r Z, N und d der g-adche Exponent von x. Mt Satz 22 erhalten wr für jede k max{0, d}: ( k 1 z k = [g ] ] k x = [g k r k 1 g [ g k rk ] = Z g mt enem r k Z und 0 r k < g. Da e nur endlch vele Möglchketen für de natürlchen Zahlen r k gt, exteren m N und l N + mt r m = r m+l. Wr zegen nun mt volltändger Indukton, da für alle n m glt: r n = r n+l (und omt auch z n = z n+l. Induktonanfang: für n = m tmmt de Behauptung wegen oger Wahl von m und l. Induktonchlu von n auf n + 1: E gelte r n = r n+l und z n = z n+l, und wr erhalten r n+1 = g n+1 (x n z ( = g (g n x n 1 z rn z n = g( z n = ( rn+l ( n+l 1 = g z n+l = g (g n+l z n+l x z n+l = g (x n+l+1 z = r n+l+1 Bepel 3.6: Spezaleren Se den zweten Tel de Bewee von Satz 23 für de Zahl x = und g = 10, ndem Se de entprechenden z k und r k erechnen. We hängen de r k mt den e der Dvon 517 : 740 auftretenden Reten zuammen? De folgende Defnton dent dazu, de perodche Zffernentwcklung von ratonalen Zahlen näher zu unteruchen. Dazu defneren wr de,,nachkommafolge ener g-adchen Zffernentwcklung, ndem wr de Zffernentwcklung de ganzzahlgen Antel [x] gnoreren, und ene eventuell päter egnnende g-adche Zffernfolge (d > 1 mt führenden Nullen zum Komma ergänzen. Defnton 12. a Für 0 < x R e x = de g-adche Zffernentwcklung von x. Dann heßt ( 1 de g-adche Nachkommafolge von x, woe m Fall d > 1 für alle 1 < d = 0 geetzt wrd. E e 0 < x Q und ( 1 de g-adche Nachkommafolge von x, owe v = mn{m N e gt en j N +, oda für alle n > m glt: z n+j = z n } l = mn{j N + für alle n > v glt: z n+j = z n } Dann heßen v 0 de Vorperodenlänge und l 1 de Perodenlänge der g-adchen Zffernfolge von x. It v = 0, o heßt de g-adche Zffernfolge von x renperodch. It l = 1 und z v+1 = 0, o agt man:,,de g-adche Zffernentwcklung von x rcht a.

5 Bepel 3.7: Machen Se ch de Begrffe au Defnton 12. an Hand der verchedenen g-adchen Zffernentwcklungen von x = 1/3 au Bepel 3.4 vertändlch. 5 Satz 24. E e 0 < x Q und x = a de reduzerte Bruchdartellung von x [vgl. 1, Satz 9]. Weter een = max{t T ( ggt(t, g = 1} und = g. Dann nd µ = mn{j 0 g g j } de Vorperodenlänge v und λ = ord (g de Perodenlänge l der g-adchen Zffernfolge von x. Bewe. E genügt, x Q mt 0 < x < 1 zu etrachten. E een ( 1 de g-adche Nachkommafolge von x, v 0 de Vorperodenlänge und l 1 de Perodenlänge von x. Au dem erten Bewetel von Satz 23 (mt v + 1 tatt m und d = 1 erhalten wr (g l 1x = v+l l v = h g v mt enem h N, und omt a = x = h g v (g l 1. Da a de reduzerte Bruchdartellung t, mu = g den Nenner g v (g l 1 telen. Au der Defnton von ergt ch dann, da (g l 1 und g g v gelten mu (Anm.: g enthält nur Prmfaktoren von g. Somt erhalten wr λ = ord (g l und µ = mn{j 0 g g j } v. Da g λ 1 mod (, folgt (g λ 1. Wr folgen nun dem zweten Bewetel von Satz 23, d.h. für alle k 1 haen wr z k = [ r k ] mt r ( k a = gk k 1 und 0 r k < g. Damt erhalten wr Da (gλ 1g µ g r µ+λ+1 r µ+1 = (gλ 1g µ g a g ( µ+λ a = g µ+λ+1 µ+λ g g µ+λ + g ( a µ g µ+1 µ g µ. = Z, t der letzte Term n oger Umformung ene durch g telare, ganze Zahl, worau wr mt der vorangehenden Unglechung r µ+λ+1 = r µ+1 und damt z µ+λ+1 = z µ+1 erhalten. Genauo we m zweten Bewetel von Satz 23 können wr darau folgern, da für alle n > µ glt: r n+λ = r n und z n+λ = z n. Damt haen wr v µ und l λ gezegt, womt zuammen mt dem erten Bewetel Satz 24 eween t.

6 6 Bepel 3.8: Veruchen Se ene ratonale Zahl zu fnden, deren dezmale Nachkommafolge Vorperodenlänge 2 und Perodenlänge 5 hat. (Tpp: = Bepel 3.9: Welche Perodenlänge hat de duale Nachkommafolge von x = 3/5 zw. x = 5/13 zw. x = 1/31?