Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

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1 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen n Frage gestellt, ja als Phantasegeblde des menschlchen Gestes abgetan wurden. Des wrd mmer weder auch an den Adjektven deutlch, de mt desen Zahlen verbunden werden. Berühmte Mathematker nennen se u. a. unmöglch, engebldet und magnär. Carl Fredrch Gauß ( beschrebt noch 181 de Haltung der mesten Mathematker den kompleen Zahlen gegenüber sehr prägnant: allen de den reellen Grössen gegenübergestellten magnären ehemals, und hn und weder noch jetzt, obwohl unschcklch, unmöglche genannt snd noch mmer wenger engebürgert als nur geduldet, und erschenen also mehr we en an sch nhaltsleeres Zechenspel, dem man en denkbares Substrat unbedngt absprcht, ohne doch den rechen Trbut, welchen deses Zechenspel zuletzt n den Schatz der Verhältnsse der reellen Grössen steuert, verschmähen zu wollen. (Gauß 187, S. 175 Phantastsch We kommt man auf? We kam es dazu, dass man sch mt desen phantastschen Zahlen ausenander gesetzt hat? Werfen wr dazu enmal enen Blck n de geschchtlche Entwcklung: Im 1. Jahrhundert beschäftgen sch vele Mathematker ntensv mt der Suche nach Lösungsformeln für Glechungen. In desem Zusammenhang stellt Heronmo Cardano ( n senem 155 n Nürnberg erschenenen Buch Ars magna folgende Aufgabe: Tele 1 n zwe Tele, deren Produkt st. Es geht also um de Lösung der Glechung ( 1. Zwar nennt Cardano dese Aufgabe unmöglch, berechnet aber trotzdem de Lösungen 5 15 und Enersets snd Wurzeln aus negatven Zahlen ncht erklärt, anderersets lösen dese Ausdrücke de Glechung, wenn man se formal ensetzt. Es stellt sch also de Frage, was ene Wurzel aus ener negatven Zahl sen soll. Cardano löst das Problem, ndem er festlegt, dass n enem solchen Fall berets de Frage selbst falsch st. Dass es durchaus Snn machen kann, mt solchen unmöglchen, engebldeten, magnären, phantastschen (d. h. der Phantase entsprungenen Zahlen formal zu rechnen, erkennt als erster Rafael Bombell ( an Hand von kubschen Glechungen der Form p q. Für desen Glechungstp hat berets Cardano ene Lösungsformel angegeben, nämlch: Abb. 1: Heronmo Cardano ( q q p q q p Se lefert ene Lösung der gegebenen kubschen Glechung, wenn de rechte Sete estert, wenn also glt: 1 von

2 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( q p, d. h. q p 7. p q p Für q < st ncht defnert und damt de Formel schenbar 7 unbrauchbar. Deser Fall gng als casus rreducbls n de Geschchte der Mathematk en. Bombell stellt n sener 157 veröffentlchen L algebra fest, dass man auch n desem Fall durch formales Weterrechnen mt der Formel we m Reellen zu snnvollen, d. h. reellen Ergebnssen kommen kann. So ergbt sch z. B. für de Glechung ( zwar 1 <, aber, unter Benutzung 7 von 1, auch ( 1 ( 1 ( 1 ( 1. 1 Durch Ensetzen verfzert man lecht, dass tatsächlch ene Lösung der Glechung st. Es st also offenschtlch möglch über Rechnungen mt kompleen Zahlen zu reellen Lösungen zu kommen. Damt kann de Aufgabe selbst ncht als unmöglch charaktersert werden (vgl. de Lösung von Cardano und es zegt sch zum ersten Mal en echter Nutzwert der Anwendung deser magnären Zahlen. Gottfred Wlhelm Lebnz (1 171 entdeckt 1 1 und rechnet sehr geschckt mt kompleen Zahlen. Trotzdem nennt er 17 magnäre Wurzeln fene und wunderbare Zuflucht des göttlchen Gestes, benahe en Zwtterwesen zwschen Sen und Nchtsen (nter Ens et non Ens Amphbo. (ztert nach Remmert, S. 8. Leonhard Euler ( führt das Smbol für 1 en und rechnet, we wenn ² 1 se. Er hat auf deser Grundlage jahrzehntelang ntensv mt magnären Zahlen gearbetet, kennt berets 178 de Bezehung 1 1 π log π bzw. e und letet 178 de Euler schen Formeln her: 1 1 e cos e e und sn e. ( ( Trotzdem schrebt er n senem Lehrbuch Vollständge Anletung zur Algebra aus dem Jahr 177: Wel nun alle möglchen Zahlen, de man sch mmer vorstellen mag, entweder größer oder klener als oder aber selbst snd, st klar, dass Abb. : Leonhard Euler ( de Quadratwurzeln von Negatvzahlen ncht enmal zu den möglchen Zahlen gerechnet werden können. Folglch müssen wr sagen, dass se unmöglche Zahlen snd. Deser Umstand führt uns zum Begrff solcher Zahlen, de hrer Natur nach von

3 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( unmöglch snd und gewöhnlch magnäre oder engebldete Zahlen genannt werden, wel se bloß n der Enbldung vorhanden snd. ( Dennoch beten se sch unserem Verstande dar und fnden n unserer Enbldung Platz; deshalb werden se auch bloß engebldete Zahlen genannt. Obwohl aber dese Zahlen, we z. B., hrer Natur nach ganz und gar unmöglch snd, haben wr von hnen doch enen hnlänglchen Begrff, da wr wssen, dass durch se ene Zahl angedeutet wrd, de mt sch selbst multplzert als Produkt hervorbrngt; und deser Begrff st ausrechend, um dese Zahlen den Rechenverfahren zu unterwerfen. (Euler 1959, S. 8 Carl Fredrch Gauß ( st es zu verdanken, dass de kompleen Zahlen (dese Bezechnung stammt von Gauß hren Nmbus des Esoterschen und Phantastschen (m Snne von ncht real verloren haben und als echte Zahlen anerkannt werden. Sen entschedender Verdenst st de Veröffentlchung ener geometrschen Interpretaton für de kompleen Zahlen. Damt macht er de kompleen Zahlen der Anschauung zugänglch. Ene besonders knappe und deutlche Beschrebung sener später Gauß sche Zahlenebene genannten Veranschaulchung gelngt hm n enem Bref an Fredrch Wlhelm Bessel ( aus dem Jahr 1811: so we man sch das ganze Rech aller reellen Grössen durch ene unendlche gerade Lne denken kann, so kann man das ganze Abb. : Carl Fredrch Gauß ( Rech aller Grössen, reeller und magnärer Grössen sch durch ene unendlche Ebene snnlch machen, worn jeder Punct, durch Abscsse a Ordnate b bestmmt, de Grösse a b glechsam repräsentrt. (Gauß 1975, S. 15f. Obwohl er berets 1799 n sener Dssertaton den Fundamentalsatz der Algebra bewest, veröffentlcht Carl Fredrch Gauß erst 181 sene geometrsche Deutung der Kompleen Zahlen allgemen zugänglch (Gauß 187, S De formale Defnton der kompleen Zahlen als geordnete reelle Zahlenpaare, de nach der Gauß schen geometrschen Deutung schenbar auf der Hand legt, blebt aber Sr Wllam Rowan Hamlton ( vorbehalten, der se 185 veröffentlcht. Praktsch Warum komplee Zahlen m Unterrcht? De Frage, ob de kompleen Zahlen, de n den mesten Lehrplänen zur Zet ncht (mehr vorkommen, m Unterrcht thematsert werden sollten, lässt sch angeschts der Stoffüberfrachtung scher nur von jeder Lehrkraft ndvduell beantworten. Allerdngs tauchen bem Lösen von Glechungen mt Computer-Algebra-Sstemen komplee Zahlen auf herfür sollte man den Schülernnen und Schülern ene befredgende Erklärung anbeten. Auch de nach dem Spralprnzp angelegte Vermttlung der Idee der Zahlberechserweterung bem Errechen ener Grenze des aktuellen Zahlberechs wrd unterstützt, wenn man bem Glechungslösen und Wurzelzehen an Grenzen stößt und sch Gedanken über ene möglche Zahlberechserweterung macht. von

4 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( En entschedendes Argument, das für ene Enführung n de kompleen Zahlen sprcht, st folgendes: Komplee Zahlen snd praktsch, wel se de mathematsche Aufarbetung von velen nner- und außermathematschen Problemen deutlch verenfachen oder überhaupt erst möglch machen. Anschaulch We kann en geometrsch ausgerchteter Zugang aussehen? Hstorsch gesehen haben sch de kompleen Zahlen erst wrklch durchgesetzt, als mt der Gauß schen Zahlenebene ene geometrsche Interpretaton vorlag. Für ene anschaulche Enführung n de kompleen Zahlen für Schülernnen und Schüler ener 1. Klasse betet sch en geometrsch ausgerchteter Zugang an. Ausgangspunkt st de Fragestellung ob es enen über de reellen Zahlen hnausgehenden Zahlberech gbt, n dem z. B. de Glechung 1 gelöst werden kann, der den Zahlberech der reellen Zahlen enthält und n dem de bekannten Rechenregeln weterhn gültg snd (Permanenzprnzp. Mathematsch gesehen geht es um de Frage, ob de Körperaome erfüllt snd und der Körper der reellen Zahlen en Telkörper deses neuen Körpers st. De her verfolgte Idee besteht darn, den anschaulchen, zum Körper der reellen Zahlen somorphen Körper der reellen Zeger zu betrachten und hn auf der anschaulchen Ebene geegnet zu erwetern. Im Folgenden soll grob skzzert werden, we en entsprechender Unterrcht durchgeführt werden kann. (Deser Vorschlag orentert sch an dem Konzept von Nederdrenk-Felgner Komplee Zahlen als Zeger De bekannte Deutung von Punkten der Zahlengeraden als reelle Zahlen wrd geometrsch erwetert auf de Punkte der Ebene, de als komplee Zahlen gedeutet werden sollen. Komplee Zahlen werden dabe durch Zeger repräsentert, de m Koordnatenursprung begnnen. Alle Zeger z ( r, ϕ z z werden endeutg festgelegt durch hre Länge r z und den Wnkel ϕ z, den se mt der postven reellen Achse enschleßen (Abb.. Dabe st r z ene postve reelle Zahl und für ϕ z glt ϕz <. Der Nullzeger wrd mt bezechnet. Damt werden z. B. de reellen Zahlen als Zeger aufgefasst, de m Ursprung begnnen und bem entsprechenden Punkt auf der reellen Zahlengeraden enden. Insbesondere lassen sch z. B. de reellen Zahlen und - schreben als (, und - (, 18 (Abb. 5. Im Vordergrund steht de Untersuchung von geegneten Verknüpfungen, de de aus dem Berech der reellen Zahlen bekannten enthalten sollen. ϕ ϕ - 1 Abb. : Zahlen der Zahlenebene werden als Zeger repräsentert. ϕ - ϕ 1 Abb. 5: De reellen Zahlen - und n der Zegerdarstellung. von

5 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( Multplkaton als Drehstreckung De Zegermultplkaton wrd operatv durch ene Drehstreckung defnert: Der Zeger des zweten Faktors wrd mt der Länge des ersten Faktors gestreckt (Streckungszentrum: Koordnatenursprung und anschleßend um den Wnkel n mathematsch postvem Umlaufsnn gedreht, den der Zeger des ersten Faktors mt der postven reellen Achse enschleßt (Abb.. Für de Zeger ( r, ϕ ( und r, ϕ ergbt sch der Produktzeger z ( r r, ϕ ϕ. Ergbt sch be der Addton der Wnkelmaßzahlen ϕ ϕ, so wrd de Wnkelmaßzahl des Summenzegers glech ϕ ϕ gesetzt. (Wr betrachten also Wnkel modulo. De Multplkaton mt dem Nullzeger ergbt mmer den Nullzeger. Offenschtlch st dese Operaton kommutatv und, we man lecht zegt, auch assozatv. Durchführung mt reellen Zegern zegt, dass dese Verknüpfung de reelle Multplkaton benhaltet. ϕ ϕ 1 Abb. a: De Zeger und werden multplzert: ϕ ϕ 1 Abb. b: wrd um de Länge von gestreckt, z ϕ ϕ ϕ 1 Abb. c: gestreckt wrd um ϕ um den Ursprung gedreht. De Zahl De Rchtung der zweten Koordnatenachse wrd durch den Zeger (, 9 1 festgelegt. Da er offenschtlch ene herausragende Bedeutung n unserem Zahlenberech hat, geben wr hm enen egenen Namen, nämlch. (In den bshergen Abbldungen der Koordnatenssteme wrd dem berets durch de Achsenbeschrftung Rechnung getragen. Wenn man mt sch selbst multplzert, dann ergbt sch ( 1, 9 ( 1, 9 ( 1 1, 9 9 ( 1, 18. Des st en Zeger auf der reellen Achse, nämlch de reelle Zahl 1. In desem Zahlensstem st de Glechung 1 also lösbar! Addton als Anenanderhängen von Zegern Es wrd ene Zegeraddton operatv defnert als Anenanderhängen von Zegern. Dabe wrd der Zeger für den zweten Summanden so parallel verschoben, dass sen Fuß mt der Sptze des Zegers für den ersten Summanden zusammenfällt. Der Summenzeger verläuft dann vom Koordnatenursprung bs zur Sptze des verschobenen zweten Summanden (Abb. 7. (Des entsprcht für reelle Zeger der bekannten Zegeraddton. Man kann auch her lecht zegen, dass dese Operaton kommutatv und assozatv st. 5 von

6 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( ϕ ϕ 1 Abb. 7a: De Zeger und werden addert: ϕ ϕ 1 Abb. 7b: wrd parallel verschoben, z ϕ ϕ 1 Abb. 7c: z st der Summenzeger. Mt der eben defnerten Zegeraddton kann jeder Zeger z als Summe dargestellt werden aus enem auf der reellen Achse legenden Zeger und enem auf der durch festgelegten Achse (wr nennen se -Achse legenden Zeger. Damt ergbt sch: z z r, r, 9 r ( ( ( r, ( r 1, 9 ( r, ( r, ( 1, 9 r 1 Abb. 8: Darstellung enes Zegers als Summe enes reellen und enes -Zegers Dabe snd r und r reelle Zahlen. Mt Hlfe deser Überlegung lässt sch z. B. der Zeger z n Abbldung 8 schreben als z 1,5. In deser Schrebwese kann das Ergebns ener Zegeraddton drekt abgelesen werden. Aus desen Grundlagen können alle üblchen Rechenregeln für Zahlen (de Körperaome relatv enfach hergeletet werden. Damt st der Nachwes erbracht, dass es sch be den neuen Geblden wrklch um Zahlen m herkömmlchen Snn handelt. Mt Ihnen kann man nun dverse Probleme n Angrff nehmen. De vorgestellte Enführung gelngt noch anschaulcher, wenn de Zeger dnamsch varert werden können. Entsprechende Dateen für das Programm EUKLID DnaGeo können von der folgenden Sete heruntergeladen werden: Lteratur Euler, L.: Vollständge Anletung zur Algebra. Unter Mtwrkung von Joh. Nessner n revderter Fassung neu herausgegeben von Jos. E. Hofmann, Reclam-Verlag, Stuttgart, 1959 Gauß, C. F.: Werke, Ergänzungsrehe, Band I, Brefwechsel C. F. Gauß F. W. Bessel. Georg Olms Verlag, Hldeshem, New York, Nachdruck 1975 Gauß, C. F.: Werke, zweter Band. Göttngen, 187 Nederdrenk-Felgner, C.: Themenhefte Mathematk, Komplee Zahlen. Ernst Klett Schulbuchverlag, Stuttgart, 1985 Remmert, R.: Komplee Zahlen. In: Ebbnghaus H.-D. et al: Zahlen. Sprnger Verlag, Berln, Hedelberg, 1988 Kurzbographen der genannten Mathematker fndet man n englscher Sprache m Internet unter: von