16. Vorlesung Sommersemester

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1 16. Vorlesung Sommersemester 1 Das Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (1) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector, egenvalue). In Komponentenschrebwese st das n A x = λx, = 1...n. (2) =1 Indem man de rechte Sete mttels der Enhetsmatrx ebenfalls als Matrxmultplkaton schrebt, erhält man (A λi) x = 0 () oder n Komponentenschrebwese (A λδ )x = 0. (4) Als Matrxglechung ausgeschreben seht das so aus: A 11 λ A A 1n A 21 A 22 λ... A 2n.... A n1... A n,n 1 A nn λ x 1. x n = 0. (5) Das st en homogenes lneares Glechungssystem, bekanntlch st de Bedngung für ene nchttrvale Lösung de Säkularglechung: det(a λ1) = 0. (6) Se bestmmt de möglchen Werte von λ. Da det(a λ1) en Polynom n-ten Grades n λ st, f(λ) = det(a λ1) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 (7) 1

2 glt für de Lösungen der Hauptsatz der Algebra: Es gbt genau n Lösungen, de. a. komplex sen können und ncht alle verscheden müssen. Was bedeutet es, wenn ene Lösung mehrmals vorkommt? Seen de Lösungen λ 1,λ 2... λ n, Dann kann man schreben f(λ) = n a λ = C (λ λ 1 )(λ λ 2 )...(λ λ n ) (8) =0 und wenn ene Lösung mehrfach vorkommt, z. B. λ 1 = λ 2 = λ, dann wrd f(λ) = C (λ λ 1 ) (λ λ 4 )...(λ λ n ) (9) Man kann Mehrfachnullstellen auf 2 Arten feststellen, ndem man entweder das Polynom dvdert: blde f(λ) λ λ 1 hat dann mmer noch λ 1 als Nullstelle; man muss dremal dcvderen, bs das ncht mehr der Fall st, oder man bldet de Abletung an der Nullstelle: be λ λ 1 verhält sch f(λ) we (λ λ 1 ), es verschwnden also de erste und zwete Abletung an der Stelle λ 1. Allgemen hat man also ene k-fache Nullstelle, wenn de Abletungen bs zur k 1-fachen verschwnden. 2 Relle symmetrsche Matrzen Für relle symmetrsche Matrzen mt der Egenschaft glt: A = A T = A oder A = A = A,, = 1...n (10) 1. alle Egenwerte snd reell. Der Bewes st enfach. Se λ en u. U. komplexer Egenwert mt Egenvektor x. Dann bldet man das Skalarprodukt mt x : A x = λx = λ x A x = λ x A x. (11) Anderesets kann man dasselbe mt der komplex konugerten Glechung machen: A x = λ x = x A x = λ x x = λ x A x = λ x A x. (12) En Verglech beder Glechungen zegt, dass λ = λ, also λ reell sen muss. Nebenbemerkung: der Bewes zegt, dass auch ene komplexe Matrx, de de Bedngung A = A oder A = AT erfüllt, ene hermtesche Matrx deselbe Egenschaft hat. 2

3 Da de Egenwertglechung nunmehr vollständg relle Koeffzenten hat de Matrx und der Egenwert snd rell kann man auch o. B. d. A. relle Egenvektoren annehmen. 2. Für reelle symmetrsche Matrzen snd Egenvektoren zu verschedenen Egenwerten orthogonal. Es se A x = λ 1 x, A y = λ 2 y (1) Dann kan man weder de Skalarprodukte blden y A x = λ 1 x y, x A y = λ 2 x y (14), und bekommt durch Ausnutzen der Symmetre: (λ 1 λ 2 ) x y = 0 x y = x y = 0. (15) Bespel Noch enmal de Bestmmung der Hauptträghetsmomente und Hauptträghetsachsen des Würfels, der um ene Ecke rotert. Es war J = Ma2 8 8 (16) 12 8 Für de Säkularglechung zehen wr den konstanten Faktor heraus und betrachten 12J ma 2 8 λ det 8 λ = 0 = f(λ). (17) 8 λ Das führt auf f(λ) = λ + 24λ 2 λ. (18) De Lösungen snd: λ 1 = 2, λ 2 = 11, λ = 11 mt Egenvektoren r 1 (Komponenten x 1, {1, 2, }) usw. De Egenvektoren bestmmt man aus dem Egenwertproblem durch Ensetzen ewels enes der Egenwerte, z. B. 8 λ 1 8 λ 1 8 λ 1 x 11 x 12 x 1 = 0 (19) Mt r 1 st auch edes Velfache c r 1 Lösung: nur de Rchtung st bestmmt! De Länge kann man fre wählen, mest wrd r 1 = 1 verlangt. 6 6 x 11 x 12 = 0. (20) 6 x 1

4 De erste Glechung führt auf 6x 11 x 12 x 1 = 0 x 11 = 1 2 (x 12 + x 1 ) (21) Subtraheren der beden anderen Glechungen und Ensetzen deses Ergebnsses ergbt 9x 12 9x 1 = 0 x 12 = x 1 (22) Da de Länge a unbestmmt st, kann man enfach ene der (nchtverschwndenden) Komponenten wählen, z. B. x 1 = 1, woraus x 12 = 1, x 11 = 1 folgt. Damt hat man den Egenvektor r 1 = C(1, 1, 1) normert: r 1 = 1 (1, 1, 1). (2) Für de beden anderen Egenwerte λ 2 = 11, λ = 11 st noch zu beachten, dass ede belebge Lnearkombnaton zweer Egenvektoren zu desem Egenwert ebenfall en Egenvektor st: aus folgt A r 2 = 11 r 2 A r = 11 r (24) A(c 2 r 2 + c r ) = 11 (c 2 r 2 + c r ) (25) Es wrd also nur ene Ebene bestmmt. Entsprechend wrd das Egenwertproblem für desen Egenwert zu dre dentschen Glechungen x 21 x 22 = 0, (26) x 2 entsprcht also ener enzgen Glechung x 21 + x 22 + x 2 = 0. (27) Dese Glechung besagt übrgens enfach, dass der Egenvektor orthogonal zu r 1 sen muss, we es a für Egenvektoren zu verschedenen Egenwerten be ener reellen symmetrschen Matrx sen muss: r 2 r 1 = 1 (1, 1, 1) (x 21, x 22, x 2 ) = 1 (x 21 + x 22 + x 2 ) = 0 (28) Man kann nur den Vektor r 2 unter deser Bedngung fre wählen, z.b. r 2 = 1 2 (1, 1, 0). Der noch fehlende Egenvektor r muss dann ebenfalls zu r 1 orthogonal sen, sollte aber vernünftgerwese auch zu r 2 orthogonal gewählt werden. Das kann man über das Vektorprodukt errechen oder enfach durch Erraten. Ene Wahl st r = 1 6 (1, 1, 2). 4

5 4 Der Begrff des Tensors En tensor k-ter Stufe st en Obekt mt Komponenten, de durch k Indzes numerert werden, T 1, 2,... k, 1, 2,... k {1, 2, }, (29) und das be Drehungen der Koordnaten n edem Index we en Vektor transformert (dazu unten Näheres, be (6)). Festgehalten werden sollte edoch schon, dass der Begrff Tensor physkalsch durch Transformatonsegenschaften defnert st. Das unterschedet z. B. den Träghetstensor von ener Matrx (de nchts weter st als ene rechteckge Anordnung von Zahlen). Zunächst Bespele: Für k = 0 blebt ene enzge Zahl: es handelt sch also um enen Skalar. Für k = 1 ergbt sch en Obekt mt dre Komponenten, also en Vektor. Für k = 2 bekommt man de häufgste Art von echtem Tensor, we etwa der Träghetstensor J mt senen Komponenten J kl. Da dese be wetem am häufgsten vorkommen, nennt man se oft auch enfach Tensoren. Tensoren mt k > 2 kommen vor allem n der allgemenen Relatvtätstheore vor. 5 Tensoren und Drehungen Unter Drehungen werden de Komponenten enes Vektors mt Hlfe ener Matrx transformert. Wenn wr de Drehung R nennen, so st zu schreben a = R a, a = R a, {1, 2, }. (0) =1 De Drehmatrx kennen wr aus dem letzten Semester; für ene Drehung um de z-achse z. B. st cosφ snφ 0 R = sn φ cosφ 0. (1) De Drehmatrzen müssen ene wchtge mathematsche Egenschaft erfüllen. Da nämlch unterdrehungen sch de Länge und der Wnkel zwschen zwe Vektoren ncht ändert, muss a b = a b sen, oder n Komponenten ( ) R a R k b k = a b. (2) k 5

6 Das kann nur dann für belebge Vektoren a und b erfüllt sen, wenn R Rk = δ k () st. Mt der transponerten Matrx (R T ) = R kann man das n Matrxschrebwese formuleren: R T R = I oder RR 1 = I (4) mt I der Enhetsmatrx (de entlang der Dagonalen Ensen und sonst Nullen enthält. Des st de Bedngung für ene orthogonale Matrx. An der Drehung um de z-achse oben seht man sofort, dass de transponerte Matrx enfach der Drehung um φ entsprcht, also der nversen Drehung. We seht es nun mt Tensoren aus? Nach der Formel über den Drehmpuls sollte L = J ω selbst weder en Vektor sen, und unter ener Drehung sollte gelten L = J ω, (5) d. h. man kann den gedrehten Drehmpulsoperator entweder drekt durch Drehung aus L erhalten, oder den gedrehten Träghetstensor J auf das gedrehte ω anwenden. Wr werden sehen, dass das genau mt mt der oben gegebenen Defnton enes Tensors überenstmmt: n edem Index we enen Vektor transformeren. Für den Träghetstensor ergbt des J = R k R l J kl. (6) k,l=1 Setzen wr das und de Transformaton der Vektoren n (5) en (man muss nur de Summatonsndzes e nach Bedarf umbenennen, um Doppelverwendung zu vermeden): R m L = L m = k,l ( ) R mk R l J kl R n ω n = n ( J L ) m. (7) Dabe wurden de Bestandtele der rechten Sete von (5) engeklammert, um se vonenander abzuheben. Wr dürfen aber nun alle Summen belebg vertauschen und de enthaltene Summe R l R n = δ ln (8) wegen der Orthogonaltät verenfachen. Damt st aber rechts nur noch dese Summe wegzulassen und m Rest l = n (auch kene Summe über l mehr!) zu setzen, womt R m L = ( ) R mk J kl ω l = R mk L k (9) k l k 6

7 resultert. Bs auf de rrelevante Bennenung des Summatonsndex snd bede Seten dentsch. Damt st klar, dass de Transformaton des Tensors gemäß (6) de gewünschte Egenschaft hat. 7