50 Matrixnormen und Eigenwertabschätzungen

Transkript

1 50 Matrxnormen und Egenwertabschätzungen 501 Motvaton De Berechnung der Egenwerte ener Matrx st aufwändg (vgl Kaptel 45, Kaptel 51) Kann man de Egenwerte ener Matrx mt gerngem Aufwand abschätzen? Des spelt z B ene Rolle be Konvergenzbetrachtungen zu teratven Algorthmen En wchtges Hlfsmttel für solche Abschätzungen snd Matrxnormen 502 Defnton: Matrxnorm Unter ener Matrxnorm versteht man ene Funkton : IR n n folgenden Egenschaften: IR mt a) A 0 für alle A IR n n (Nchtnegatvtät) A = 0 genau dann, wenn A = 0 (Nchtdegenererthet) b) λa = λ A für alle λ IR, A IR n n c) A + B A + B für alle A, B IR n n (Dreecksunglechung) d) A B A B für alle A, B IR n n (Submultplkatvtät) 503 Bespele Es se A IR n n a) Gesamtnorm: A G := n max a j,j b) Zelensummennorm: A Z := max c) Spaltensummennorm: A S := max j 177 a j a j =1

2 ( n ) 1/2 d) Frobenusnorm: A F := a 2 j, e) Spektralnorm: A 2 := λ max (A T A), wobe λ max (A T A) der größte Egenwert von A T A st Falls A symmetrsch st, glt A 2 = max λ λ Egenwert von A Da Matrzen und Vektoren oft gemensam auftreten, sollten Matrx- und Vektornormen zuenander passend gewählt werden 504 Defnton: Verträglchket von Normen Ene Matrxnorm M heßt verträglch (kompatbel) mt ener Vektornorm V, falls für alle A IR n n und x IR n glt Ax V A M x V 505 Bespele Zu den p-normen ( n x p) 1/p, 1 p <, =1 x p := max x, p = =1,,n als Vektornormen bestehen folgende Verträglchketen von Matrxnormen: a) A G und A S snd kompatbel zur Betragssummennorm x 1 b) A G, A F und A 2 snd kompatbel zur eukldschen Norm x 2 c) A G und A Z snd kompatbel zur Maxmumsnorm x 178

3 Bewes: Wr zegen nur bespelhaft de Verträglchket von A G und x Ax = max a j x j max a j x j max max a kl max x m k,l m = n max a kl max x m k,l m = A G x (Dreecksunglechungen) Zu ener gegebenen Vektornorm V exsteren oftmals vele kompatble Matrxnormen M Es gbt jedoch ene Matrxnorm, für de de Abschätzung Ax V A M x V am schärfsten st und de daher n der Praxs häufg verwendet wrd 506 Defnton: Zugeordnete Matrxnorm De zu ener gegebenen Vektornorm = V defnerte Zahl A := max x 0 Ax V x V = max x V =1 Ax V heßt der Vektornorm V zugeordnete Matrxnorm Bemerkung: Man kann zegen, dass de zugeordnete Matrxnorm alle Egenschaften der Defntonen 502 und 504 bestzt und de klenste aller Matrxnormen mt deser Verträglchket st 179

4 507 Bespele Vektornorm Betragssummennorm x 1 zugeordnete Matrxnorm Spaltensummennorm A S eukldsche Norm x 2 Spektralnorm A 2 Maxmumsnorm x Zelensummennorm A Z Matrxnormen snd nützlch zur Abschätzung von Egenwerten 508 Satz: Egenwertabschätzung mt Matrxnormen Ist λ en Egenwert von A IR n n und A ene belebge, zu ener Vektornorm kompatble Matrxnorm, so glt λ A Bewes: Es se v en Egenvektor zu λ Dann folgt λ v = λv = Av A v Da v 0, glt v 0 Also st λ A 509 Bespel 1 0,1 0,1 Für A = 0 2 0,4 erhält man 0,2 0 3 A G = 3 max a j = 3 3 = 9,j A Z = max1,2 ; 2,4 ; 3,2 = 3,2 A S = max1,2 ; 2,1 ; 3,5 = 3,5 A F = ,1 2 + ( 0,1) ,4 2 + ( 0,2) = 14,22 3,77 180

5 A Z lefert de schärfste Abschätzung: λ A Z = 3,2 Tatsächlch glt λ 1 3,0060 ; λ 2 2,0078 ; λ 3 0,9862 Offenbar erlaubt Satz 508 nur de Abschätzung des betragsmäßg größten Egenwertes Gbt es auch Abschätzungen für alle Egenwerte? 5010 Satz von Gerschgorn Gegeben se ene Matrx A = (a j ) IR n n a) De Verengung der Kresscheben K := µ C enthält alle Egenwerte der Matrx A µ a j a j b) Jede Zusammenhangskomponente aus m solchen Kresen enthält genau m Egenwerte (mt hren Velfachheten gezählt) Bewes: Sehe z B Stoer/Bulrsch: Enführung n de numersche Mathematk II Sprnger, Berln 5011 Bespel 1 0,1 0,1 Für A = 0 2 0,4 fndet man 0,2 0 3 K 1 = µ C µ 1 0,2 181

6 K 2 = µ C µ 2 0,4 K 3 = µ C µ 3 0,2 Im µ K 1 K 2 K 3 λ λ 1 λ 3 Re µ Sämtlche Egenwerte legen n K 1 K 2 K 3 Da K 1, K 2, K 3 sch gegensetg ncht überlappen, legt nach (b) n jeder der Kresscheben genau en Egenwert Ferner st A nverterbar, da 0 außerhalb von K 1 K 2 K 3 legt und somt ken Egenwert sen kann (vgl 456) 5012 Defnton und Korollar: Inverterbarket strkt dagonaldomnanter Matrzen Ene Matrx A = (a j ) IR n n heßt strkt dagonaldomnant, wenn für alle = 1,, n glt a > a j j Jede strkt dagonaldomnante Matrx A st nverterbar Bewes: Für ene solche Matrx A legt 0 außerhalb der Gerschgorn-Kresscheben, st also nach dem Satz von Gerschgorn ken Egenwert von A Bemerkung: Ganz analog lässt sch schleßen, dass ene symmetrsche Matrx A = (a j ) IR n n mt postven Dagonalenträgen a, de strkt dagonaldomnant st, postv defnt st 182