Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e
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- Annika Busch
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1 De Transzendenz der Eulerschen Zahl e nach Jean-Paul Delahaye Der n [1, Seten 21-22] skzzerte Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wrd m folgenden ausgeführt. En alternatver Bewes, der auf Ideen von Davd Hlbert ( beruht, fndet sch n [2] Vorbemerkung. Ist P en reelles Polynom, das heßt, en Polynom mt reellen Koeffzenten n der Unbestmmten x, so bezechnet das Symbol P auch de Funkton R + R, ξ P (ξ. Das bedeutet, dass m Gegensatz zum üblchen Gebrauch der Defntonsberech der zu dem Polynom gehörgen Polynomfunkton auf de Menge ncht negatven reellen Zahlen engeschränkt wrd. Hlfssatz 1. Es seen P en Polynom mt reellen Koeffzenten und m ene natürlche Zahl ( N mt Grad P m. Dann glt: I(t : e t x P (xdx e t Bewes durch Indukton nach m: Induktonsanfang be m : P (x a R, e t x a dx a m P ( ( m P ( (t. (1 e t x dx a ( e t x t a ( e + e t e t a a Induktonsschluss mt parteller Integraton: Es se Grad P m + 1. Ernnerung: In Umkehrung der Produktregel (u v u v + u v hat man: u v (u v u v + u v und damt u v u v u v. Mt u(x P (x, v (x e t x 1
2 2 berechnet man: u (x P (x v(x e t x I(t e t x P (xdx e t P ( P (t + e t e t m+1 P ( ( m+1 u v u v t m P (+1 ( P ( (t. v u e t x P t + m P (+1 (t e t x P (xdx Aus Grad P m+1 folgt Grad P m und damt st de Induktonsvoraussetzung anwendbar. Bezechnung. Für en reelles Polynom P m r a rx r wrd gesetzt: m P a r x r. Hlfssatz 2. Für reelle Polynome P, Q glt: 1. De Funkton P st monoton wachsend (Defntonsberech R +!. 2. P P. 3. Für alle t glt: I(t te t P (t. 4. (P Q (P Q. Bewes. Es se P Q r m a r x r, r n b s x s. s 1. Aus x < y R und a r folgt mt den Monotonegesetzen zunächst a r x r a r y r für alle r {, 1,..., m} und damt auch P (x P (y. 2. P (x P (x m r a rx r m r a rx r m r a r x r P (x. 3. I(t et x P (x dx et x P (x dx 2. et x P (xdx 1. et P (tdx te t P (t. 4. Es glt: (P Q(x P (x Q(x m+n t t a r b t r x t, wobe a r für r > m und b t r für t r > n gesetzt st. Damt folgt: (P Q (x m+n t t a r b t r x t r m+n t r t a r b t r x t P (x Q (x (P Q (x. t
3 3 Bezechnung. Für n, p N, p Prmzahl, wrd gesetzt H x p 1 (x 1 p (x 2 p (x n p R[x]. Hlfssatz 3. Für das reelle Polynom H glt: 1. De Koeffzenten des Polynoms H und aller sener Abletungen snd ganze Zahlen. 2. Der nedrgste von verschedene Koeffzent von H hat den Grad p 1 und st glech ( 1 np (n! p. 3. Grad H (n + 1p 1 : m. 4. Für {, 1,..., m} und k {1, 2,..., n} snd de ganzen Zahlen H ( (k durch p! telbar; genauer glt: {, < p, H ( (k (2 p! c k, p m. mt c k Z. 5. Für {, 1,..., m} glt:, < p 1, H ( ( (p 1!( 1 np (n! p, p 1, p! c, p m. (3 mt c Z. 6. Für alle x [, n] und k {, 1,..., n} glt: H (k (2n m. (4 Bewes. 1. De Koeffzenten auf der rechten Sete der bnomschen Formel p ( p (x k p ( k p r x r r r snd für alle k Z ganze Zahlen. De Koeffzenten von H ergeben sch daraus durch Addton, Subtrakton und Multplkaton, also durch Operatonen, de ncht aus dem Berech der ganzen Zahlen herausführen. Ene Dvson wrd ncht benötgt. 2. p 1 + n p (n + 1 p ( 1 p ( 2 p... ( n p ( 1 np (n! p. 4. Ernnerung an de Produktregel für höhere Abletungen: (u v ( u ( v (.
4 4 (Bewes durch Indukton: Der Induktonsanfang be st klar. Zum Induktonsschluss berechnet man: (u v (+1 ( u ( v ( (u ( v ( (u ( +1 v ( + u ( v (+1 u ( +1 v ( + +1 u ( +1 v ( + u (+1 v ( (( u ( v (+1 u (+1 v ( ( + 1 u (+1 v ( u (+1 v (. ( u (+1 v ( + 1 u (+1 v ( + Für edes k {1, 2,..., m} werden de folgenden Polynome defnert: Dann glt und G ( k (x sowe spezell an der Stelle k: H ( (k G k (x k p H k H G k. H G k H k p! (p! (x kp, p,, p < G ( k (k { p!, p,, p. Für de Abletungen von H ergbt sch daraus G ( k (k H ( k (k u ( v ( u ( v (+1 + 1, < p, ( p p! H ( p k (k, p m. De Polynome H k selbst und alle hre Abletungen haben ganzzahlge Koeffzenten; se haben an den Stellen k nur ganzzahlge Werte. Damt folgt c k H ( p k (k Z, p we behauptet.
5 5 5. Es werden de folgenden Polynome defnert: G x p 1 H H G ; es handelt sch um reelle Polynome mt ganzzahlgen Koeffzenten. Dann glt und G ( (x sowe spezell an der Stelle : und G ( (k H G H (p 1! (p 1! xp 1, < p,, p { (p 1!, p 1,, p 1. H (x p H(x, wobe H das Polynom mt ganzzahlgen Koeffzenten bezechnet, das gegeben st durch H(x (x 1 p... (x n p Für de Abletungen von H ergbt sch daraus H ( ( Damt folgt G ( ( H ( ( n k1 1 x k., < p 1, ( H (p 1 ( (p 1! H k ( (p 1!( 1 np (n! p und für p ( H ( ( (p 1! H (+1 p ( p! (p 1! H (+1 p (, p 1 m. ( H ( p (. Das Polynom H selbst und alle sene Abletungen haben ganzzahlgen Koeffzenten und damt an der Stelle nur ganzzahlge Werte. Also st ( c H ( p ( Z. 6. Mt den vorher engeführten Bezechnungen glt: H G G 1 G 2... G n, also nach Hlfssatz 2, Tel 4, n H G k. k
6 6 Für k {1, 2,..., n} hat man ferner aus demselben Grund G k(x (x + k p. Damt ergbt sch H (x x p 1 (x + 1 p (x + 2 p (x + n p. Im betrachten Intervall st eder Faktor klener-glech 2n, woraus de Behauptung folgt. Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e. Annahme. De Zahl e st algebrasch, a + a 1 e + a 2 e a n e n (5 mt a k Z für alle k {, 1, 2,..., n} und a, a n. Zur Herstellung des Wderspruchs betrachten wr den Ausdruck mt P H Wr berechnen J : a I( + a 1 I(1 + a 2 I( a n I(n. (6 J n a k I(k k n m a k (e k H ( ( H ( (k nach (1 k m n m n m n a k e k H ( ( a k H ( (k a k H ( (k nach (5 k k k a (p 1!( 1 np (n! p + p!c nach (2 und (3 (p 1!(a ( 1 np (n! p + pc mt c Z. Wählen wr p > n, a, so st a ( 1 np (n! p scherlch ncht durch p telbar und damt folgt J, genauer: J (p 1!. (7 Anderersets haben wr nach (4: k k k I(k e k x H(xdx e k x H(x dx e k x H (xdx ke k (2n m, also mt J r 1 2n n a k ke k (2n (n+1p 1 r s p (8 k n a k ke k R +, s (2n n+1. k Ernnerung. Für alle s R + glt: s p lm p p!.
7 LITERATUR 7 (Bewes. Das (p+1-ste Folgengled entsteht aus dem p-ten Gled durch Multplkaton mt dem Faktor s/(k + 1. Be gegebenem s glt für alle p > 2 s, daß der hnzukommende Faktor klener als 1/2 st, also von ener bestmmten Stelle an das nächste Gled mmer - dem Betrage nach - klener st als de Hälfte des vorangehenden. Damt muß es sch aufgrund des Axoms von Archmedes-Eudoxus um ene Nullfolge handeln. Da es unendlch vele, also belebg große Prmzahlen gbt, kann man de Prmzahl p auch noch so groß wählen, dass glt s p 1 (p 1! < 1 r s, (9 und man erhält den gewünschten Wderspruch. 1 (7 J (p 1! (8 r s s p 1 (p 1! (9 < 1, Lteratur [1] Jean-Paul Delahaye: π de Story, Basel Boston Berln: 1999 Brkhäuser [2] Rudolf Frtsch: Transzendenz von e m Lestungskurs, Der mathematsche und naturwssenschaftlche Unterrcht 42 (1989, Seten 45-8 m Internet unter: frtsch/euler.pdf
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Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
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