3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

Transkript

1 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle spelen Dazu se daran ernnert daß f: K V K V genau dann lnear also en K- Homomorphsmus st kurz: f Hom K V V wenn fu+v = fu+fv und fκv = κfv gelten für alle u v V und alle κ K Es st berets erwähnt worden daß man dese beden Bedngungen auch durch de enzge Bedngung fκu + λv = κfu + λfv ersetzen kann Lneare Abbldungen snd also Abbldungen zwschen Vektorräumen mt demselben Grundkörper K wr können deshalb den Index K mestens weglassen Dese Defnton der Lneartät kann man auch mt Hlfe des Begrffs der lnearen Bezehung formuleren was den Durchblck verbessert: f st genau dann lnear wenn f κ v = κ fv glt so daß aus κ v = 0 wegen f0 = 0 folgt κ fv = 0 Lneare Abbldungen erhalten also lneare Bezehungen genauer: ene lneare Bezehung zwschen Urbldern v überträgt sch auf deren Blder fv : κ v = 0 = κ fv = 0 Es glt auch de Umkehrung: Werden lneare Bezehungen erhalten dann st de Abbldung lnear denn aus 0 = w u v folgt dann 0 = fw fu fv und damt fu + fv = fw = fu + v Analog ergbt sch fκu = κfu denn 0 = w κu mplzert 0 = fw κfu so daß κfu = fw = fκu folgt Wr fassen des mt weteren sehr wchtgen Egenschaften solcher lnearen Abbldungen zusammen n 331 Satz Für K-Vektorräume V V und ene Telmenge T von V glt: Genau dejengen f: V V snd lnear de lneare Bezehungen erhalten dh 0 = κ v mplzert 0 = κ fv Blder lnear unabhängger Telmengen unter njektven lnearen Abbldungen snd lnear unabhängg Ist V = K T f: T V dann kann f genau dann zu ener lnearen Abbldung f: V V fortgesetzt werden wenn f lneare Bezehungen erhält Ene solche lneare Abbldung st gegebenenfalls endeutg bestmmt v Auf lnear unabhänggen Telmengen T defnerte Abbldungen snd lnear fortsetzbar auf Basen B defnerte sogar endeutg

2 88 v Ist f Hom K V V dann glt f K T = K ft v Ist T K V dann glt: a f Ep K V V V = K T = V = K ft b f Mono K V V V = K B = fv = K fb c f Iso K V V V = K B = V = K fb Bewes: wurde berets bewesen st lecht nachzuprüfen Zum Bewes von betrachten wr das Dagramm T ι V f f V wobe ι: T V t t st de Enbettung von T n V Wegen der Injektvtät von ι gbt es nach dem Abbldungssatz ene Abbldung f für welche deses Dagramm kommutatv st de also f auf V fortsetzt Darüberhnaus st jede Fortsetzung von f dh jede Abbldung von V nach V mt ft = ft ene kommutatve Ergänzung des Dagramms also auch de Abbldung f: V V t κ t t t κ t ft wenn dese wohldefnert st dh wenn se lneare Bezehungen auf T erhält Und deses f st ganz offenschtlch ene lneare Abbldung Wel T ganz V erzeugt st se sogar endeutg bestmmt Das bewest v und v und v folgen heraus unmttelbar Snd V und V endlchdmensonal und B B Basen dann wrd nach 331 jedes f Hom K V V durch Angabe der Blder fb b B vollständg bestmmt Zur systematschen numerschen Beschrebung von f ordnen wr deshalb B und B zu Bassfolgen an: B = b 0 b n 1 B = b 0 b m 1 f st dann vollständg bestmmt durch de Koeffzenten a k aus den Glechungen 332 fb k = m 1 =0 a k b Dese Koeffzenten a k de von f B und B abhängen! füllen de m n Matrx 333 MB f B := a k

3 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 89 De dabe beachtete Konventon das Bld des k ten Bassvektors n de k te Spalte zu schreben genauer: dessen Komponenten bzgl B heßt de Spaltenkonventon Gelegentlch fndet man auch Bücher n denen de Zelenkonventon benutzt wrd 334 Bespele Im folgenden bezechnen wr mt E bzw E n stets de Standardbassfolge e 0 e n 1 von K n wobe 0 0 e := Mt den Bassfolgen B 1 := e 1 e 0 B 1 3 := 3 1 B 2 2 := B 2 := 5 von R V := R R 2 =: V glt dann für de lneare Abbldung f: V V α y y y folgendes: 0 1 ME f E = MB f B 1 = MB 2 9/5 3 f B 2 = 6/5 2 1/ De m n-matrzen beschreben also de lnearen Abbldungen aber es glt noch mehr denn auch de Komposton zweer lnearen Abbldungen wrd durch ene Matrx beschreben de das Produkt der Matrzen der Kompostonsfaktoren st Herzu müssen wr aber erst enmal en Produkt defneren Zusammen mt der kanonschen Addton ergbt sch dabe sogar ene Rngstruktur auf den quadratschen Matrzen vorgegebener Zelen und Spaltenzahl! 335 Defnton Ist R en Rng m n N dann heßen de Elemente von R m n = {a k a k R m k n} de m n Matrzen über R De Elemente oder Enträge a k von A = a k R m n werden we folgt n Zelen und Spalten angeordnet: a 00 a 12 a 0n 1 a A = 10 a 11 a 1n 1 a m 10 a m 11 a m 1n 1

4 90 st also der Zelenndex k der Spaltenndex 336 Hlfssatz R m n st R Lnksmodul mt der punktwesen Addton und Skalarmultplkaton: a k + b k := a k + b k ra k := ra k R m m st Rng mt der punktwesen Addton und folgender Multplkaton: m 1 a k b k := a j b jk Bewes: Nachrechnen Dese Produktbldung läßt sch auf ncht quadratsche Matrzen verallgemenern vorausgesetzt de Spaltenzahl des lnken Faktors glecht der Zelenzahl des rechten Faktors: 337 Hlfssatz Für A R m n B R n p defnert man als Produkt de Matrx n AB := a j b jk j=1 De Produktbldung st überall dort wo se defnert st assozatv und dstrbutv: ABC = ABC AB + C = AB + AC A + BC = AC + BC Bewes: Nachrechnen Für m > 1 st der Rng R m m a ncht kommutatv zb dann wenn R en Rng mt 1 st: = = Ist R en Rng mt Ens dann st auch R m m en Rng mt Enselement 1 0 E m := 0 1 Dese Matrx heßt Enhetsmatrx Ene Matrx A R m m heßt dann nverterbar oder regulär wenn es C R m m gbt mt j=0 AC = CA = E m De Matrx D = d k R n m mt d k := a k heßt de zu A R m n transponerte Matrx und wrd mt t A

5 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 91 bezechnet Ist R kommutatv dann glt für A R m n B R n p : t AB = t B t A Snd A B R m m nverterbar dann glt AB 1 = B 1 A Satz Ist dm V K = n dm V K = m so glt für Bassfolgen B von V B von V : ϕ BB : Hom K V V K K m n f MB f B und de Abbldung ϕ BB : End K V K n n f MB f B st en Isomorphsmus zwschen Rngen mt Ens Bewes: Unmttelbar aus der Defnton von MB f B und den Defntonen der Verknüpfungen n K m n folgt daß ϕ BB Homomorphsmus lnear und njektv st De Surjektvtät st ebenfalls offenschtlch: Jede m n Matrx beschrebt ene lneare Abbldung De Homomorphe von ϕ BB bzgl Addton folgt aus Für de Multplkaton haben wr zu zegen daß Des ergbt sch so: MB g f B = MB g B MB f B g fb k = g a k b = a k gb = j a k b j b j = j b j a k b j De Tatsache ϕ BB d V = E m st trval Ganz analog folgt für endlchdmensonale V V V lneare Abbldungen f Hom K V V g Hom K V V und Bassfolgen B B und B : 339 MB g B MB f B = MB g f B dh de Matrxmultplkaton st gerade so engerchtet daß das Produkt der Matrzen de Komposton der entsprechenden lnearen Abbldungen beschrebt! Ist V K = K B und v = b B κ bb dann heßen de κ b de Komponenten von v bzgl B Im endlchdmensonalen Fall wenn B = b 0 b n 1 Bassfolge st ergbt sch der Isomorphsmus v 0 n 1 ϕ: V K K n v falls v = v b v =0 n 1

6 Folgerung Je zwe n-dmensonale K Vektorräume snd also zuenander somorph dh es gbt zu vorgegebenem Körper K und vorgegebener natürlcher Zahl n bs auf Isomorphe genau enen K-Vektorraum mt deser Dmenson Sehr wchtg st noch we man mt Hlfe der f Hom K V V darstellenden Matrx A = MB f B de Komponenten des Bldes enes Vektors ermttelt Ist v = v b dann glt nämlch wenn fv = v = v b : v = k a kv k oder n Matrxschrebwese: 3311 v 0 v n 1 v 0 = A v m 1 Sehen wr uns noch an we sch de ene lneare Abbldung beschrebende Matrx be enem Basswechsel verhält: Snd B 1 B 2 bzw B 1 B 2 Bassfolgen endlchdmensonaler Vektorräume und snd C = c k D = d k de jewelgen Übergangsmatrzen dh es glt dann folgt aus 339 wegen b 1 k = c k b 2 b 1 k = d k b 2 C = c k = MB 2 d B 1 D = d k = MB 2 d B 1 daß MB 2 f B 1 = MB 2 f B 2 MB 2 d B 1 = MB 2 d B 1 MB 1 f B 1 nsgesamt also de Glechung 3312 D MB 1 f B 1 = MB 2 f B 2 C Man sch das lecht auch so klarmachen: V B 1 C V B 2 MB 1 f B 1 MB 2 f B 2 V B 1 V B 2 D En häufg vorkommender Spezalfall st der enes Endomorphsmus: f End K V und Bassfolgen B B : 339 lefert 3313 MB d B MB f B MB d B = MB f B

7 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 93 oder explzt mt der Übergangsmatrx C = c k aus b k = c kb formuert: 3314 C MB f B C 1 = MB f B Der Übergang von der Bassfolge B zur Bassfolge B entsprcht also der Konjugaton der f beschrebenden Matrx mt der Übergangsmtrx C