Theoretische Physik: Mechanik

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1 Ferenkurs Theoretsche Physk: Mechank Sommer 2017 Vorlesung 2 (mt freundlcher Genehmgung von Merln Mtscheck und Verena Walbrecht) Technsche Unverstät München 1 Fakultät für Physk

2 Inhaltsverzechns 1 Systeme von Massenpunkten Schwerpunktsmpuls Drehmpuls Energe Beschleungte Bezugssysteme Lnear beschleungte Bezugssysteme Roterende Bezugssysteme Lagrange Glechungen 1. und 2. Art Zwangsbedngungen Verallgemenerte Koordnaten Lagrange Glechungen 2.Art Lagrange Glechungen 1.Art Technsche Unverstät München 2 Fakultät für Physk

3 1 Systeme von Massenpunkten Im folgenden werden Systeme von N-Telchen beschreben. Herzu werden weder Impuls, Drehmpuls und Energe des Systems dskutert. Grundlegend glt für en System von N-Telchen: N-Telchen (,...,N), Ortsvektor r, Massen m Geschwndgketen ṙ = v = dr Impuls p = m v Innere Kräfte: Kräfte zwschen zwe Telchen F j = F j,j = (1,...,N) und j Äußere Kräfte: Zusätzlch kann auf jedes Telchen noch ene äußere Kraft F ext wrken Gesamtkraft auf Telchen : F = j F j + F ext = ṗ = dp Bewegungsglechungen snd en System von N gekoppelten Dfferentalglechungen 2. Ordnung: d 2 2 m r = F ext + j F j (1) Mt F ext = F ext und den nneren Kräften j F j = Schwerpunktsmpuls Der Schwerpunkt enes Veltelchensystems st we folgt defnert: R = 1 M m r mt M = m (2) Hermt ergbt sch de Bewegungsglechung für den Schwerpunkt: F ext = M d2 R 2 (3) De Bewegung des Schwerpunktes fndet also so statt, als ob de Masse n hm verengt st und als ob de Summe der äußeren Kräfte auf hn wrkt. Weterhn können wr den Gesamtmpuls defneren: P = p und F ext = d P (4) Technsche Unverstät München 3 Fakultät für Physk

4 Der Schwerpunktsmpuls P st erhalten (P = const), falls F ext = N sch also um en abgeschlossenes System handelt. F ext = 0 st, es Be der Beschrebung von Systemen von Massenpunkten verwendet man bevorzugt en Inertalsystem, n dem der Schwerpunkt ruht. 1.2 Drehmpuls Analog zum Gesamtmpuls defnert man den Gesamtdrehmpuls als de Summe der enzelnen Drehmpulse l : L = l = r p (5) Weterhn st das Gesamtdrehmoment defnert als: M ext = r F ext und dl = M ext (6) Handelt es sch um en abgeschlossenens System, also F ext = 0, so glt Drehmpulserhaltung (L = const). 1.3 Energe Für Veltelchensysteme glt: knetsche Energe: T = 1 2 m v 2 p 2 = (7) 2m konservatve Kräfte: F j = U j (r r j ) und F j = + j U j (r r j ) (8) Heraus folgt, dass U j = U j symmetrsch und U = 0 (*) potentelle Energe(für konservatve Kräfte): U = U(r 1, r 2,..., r N ) = ( ) = U ext (r ) N 1 U ext (r ) + U j (r r j ) (9) j> U j (r r j ) (10) j, Technsche Unverstät München 4 Fakultät für Physk

5 De zetlche Änderung der Gesamtenerge E = T + U entsprcht der Lestung der äußeren Kräfte: d N (T + U) = v F ext (11) Für en abgeschlossenes System (F ext = 0) st de Energe erhalten, also: E = T + U = const (12) Technsche Unverstät München 5 Fakultät für Physk

6 2 Beschleungte Bezugssysteme Systeme, n denen de Newton schen Axome gelten, heßen Inertalsysteme. Weterhn gbt es jedoch Bezugssysteme n denen de Axome ncht gelten. Dese snd relatv zu enem Inertalsystem beschleungt. De her entstehenden Zusatzterme n den Bewegungsglechungen sollen m folgenden dskutert werden. 2.1 Lnear beschleungte Bezugssysteme Betrachtet werden zwe Bezugssysteme. En Inertalsystem (IS) und en beschleungtes Bezugssystem (KS ). Abbldung 1: Lnear beschleungtes Bezugssystem Da der Ursprung von KS relatv zu IS konstant beschleungt st, glt: Woraus sch folgende Transformaton ergbt: d(t) = 1 2 at2 (13) r(t) = r (t) at2 (14) Somt defnert sch de Bewegungsglechung für en kräftefrees Telchen n KS : Technsche Unverstät München 6 Fakultät für Physk

7 m r(t) = 0 n IS = m r (t ) = ma n KS (15) Der Zusatzterm entsprcht enem konstanten Kraftfeld F = ma. Dese auftretenden Kräfte werden Träghetskräfte oder auch Schenkräfte genannt, da se hren Ursprung n dem Träghetsterm m r haben bzw. wel se n Inertalsystemen ncht auftreten. Bespel: Legt man das Bezugssystem n enen Fahrstuhl, der konstant beschleungt wrd, so wrkt auf hn ncht nur de Gravtatonskraft F Grav = mg, sondern auch de Träghetskraft F T rae = ma. De transformerte Bewegungsglechung lautet dann: m r = m(g a) 2.2 Roterende Bezugssysteme Das Beschleungte Bezugssystem KS rotert mt ω = dϕ (16) gegenüber dem Inertalssystem IS. Abbldung 2: Roterendes Bezugssystem Technsche Unverstät München 7 Fakultät für Physk

8 Zunächst betrachtet man enen Vektor G, welcher von KS zetunabhängg st, sowe ene konstante Länge bestzt und ene konstante Wnkelgeschwndgket ω. Aus Abbldung 3 kann man herauslesen, dass de Änderung deses Vektors gegeben st durch: Abbldung 3: Änderung enes Vektors durch Drehung Da dg rot ω und dg rot G folgt: dg rot = G dϕ sn θ (17) De Änderung von G n IS st dann glech: dg rot = dϕ G = (ω) G (18) Woraus man folgende Zetabletung erhält: dg IS = dg KS + dg rot (19) ( ) dg = IS ( ) dg + ω G (20) KS Dese Erkenntnsse über den Vektor G können nun auf enen Ortsvektor r übertragen werden. Somt erhält man für de Geschwndgket: Nochmalges Dfferenzeren ergbt de Beschleungung: ṙ = ṙ + ω r (21) Technsche Unverstät München 8 Fakultät für Physk

9 ( ) dṙ = IS ( dṙ + ω r ) KS + ω (ṙ + ω r ) (22) r = r + 2(ω ṙ ) + ω (ω r ) (23) ( d 2 ) r Mt der Beschleungung und dem 1. Axom (für frees Telchen n IS: m r = 2 = 0) kann man de Bewegungsglechung enes frees Telchens m roterenden Bezugssystem formuleren: m r = 2m(ω ṙ ) mω (ω r ) (24) De Träghetskräfte auf der rechten Sete bezechnet man als Corolskraft und Zentrfugalkraft. Bespel: Auf der Erdoberfläche mt der geometrschen Brete ϕ 0 steht en Turm der Höhe h. Der Platz auf dem der Turm steht legt n der x y Ebene, der Turm n der z -Achse des roterenden Bezugssystem KS (ω 2 -Terme sollen vernachlässgt werden). De Bewegungsglechung lautet also mt der Gravtatonskraft F Grav = mg: m r = mg 2m(ω ṙ) (25) da de Zentrfugalkraft ω 2 wrd der Term mω (ω r ) vernachlässgt. Technsche Unverstät München 9 Fakultät für Physk

10 3 Lagrange Glechungen 1. und 2. Art 3.1 Zwangsbedngungen Bewegungen n der Mechank snd oft Zwangsbedngungen unterworfen. En Bespel herfür st en starres Pendel: Abbldung 4: Starres Pendel Für deses Pendel glt de Zwangsbedngung: x 2 + y 2 l 2 = 0 (folgt aus dem Satz des Pythagoras) (26) Man bezechnet en System als holonom, wenn de Zwangsbedngungen n der Form f k (r 1,..., r N ; t) = 0 mt k = 1,..., p snd. Für Zwangskräfte kann man folgende wchtge Aussagen zusammenfassen: Ist ene holonome Zwangsbedngung ene explzte Funkton der Zet, so bezechnet man se als holonom-rheonom und holonom-skleronom falls t f k = 0 Zwangsbedngungen erzwngen Zwangskräfte (Lagerkräfte, Auflagenkräfte, Fadenspannung, usw.) Zwangsbedngungen führen zu ener Redukton n der Anzahl der unabhänggen Frehetsgrade Technsche Unverstät München 10 Fakultät für Physk

11 Allegmen glt: In enem System von N-Telchen mt 3N Koordnaten {r 1,..., r N } exsteren p Zwangsbedngungen. So st de Zahl der unabhänggen Frehetsgrade: S = 3N p 3.2 Verallgemenerte Koordnaten Für de Anzahl der unabhänggen Frehetsgrade muss man nun geegnete verallgemenerte Koordnaten, sogenannte generalserte Koordnaten, wählen: {q 1, q 2,..., q S } (27) De Wahl der neuen Koordnaten st so zu treffen, dass de verallgemenerten Koordnaten q de Lage aller Massenpunkte festlegen, also: r N = r N (q 1, q 2,..., q S ) (28) En Bespel herfür st das Fadenpendel, welches n der x-y-ebene schwngt. Es gelten folgende Zwangsbedngungen: x 2 + y 2 = l 2 z = 0 (29) Somt bestzt das System S = 3N p = 3 2 = 1 unabhänggen Frehetsgrad und damt ene verallgemenerte Koordnate. Man führt folgende neue Koordnaten en: Somt st de verallgemenerte Koordnate: x(ϕ) = l cos ϕ und y(ϕ) = l sn ϕ (30) Weterhn kann man de allgemene Geschwndgket defneren: q = ϕ (31) q = dq N = q ṙ k r k mt q r k = (r 1,..., r N ) (32) Mt Hlfe der allgemenen Geschwndgket kann man de knetsche Energe (T = 1 2 N k=1 m kṙ 2 k) und potentelle Energe (U = U(r 1,..., r N )) n den neuen Koordnaten ausdrücken: T = 1 r k r k a j q q j (, j = 1,..., S) mt a j = m k (33) 2 q q j,j k=1 U = U(q 1,...q S ) mt S = 3N p (34) Technsche Unverstät München 11 Fakultät für Physk

12 3.3 Lagrange Glechungen 2.Art De Lagrange Funkton st we folgt defnert: Weterhn kann man de Wrkung defneren L(q, q, t) = T (q, q) U(q) (35) S = t2 t 1 L(q, q, t) = S[q] (36) mt welcher man das Hamlton sche Prnzp formuleren kann: Zu zwe Zeten t 1 und t 2 > t 1 nehme en mechansches System de Konfguraton q (1) = q(t 1 ) und q (2) = q(t 2 ) en. De Bewegung zwschen desen zwe Punkten verläuft stets so, dass de Wrkung S zwschen t 1 und t 2 enen statonären Wert (Extremalwert) ennmmt. De Lösung deses Problems st en Problem der Varatonsrechnung. Herzu werden alle möglchen Pfade, de zwschen q (1) und q (2) exsteren, betrachtet. Daraufhn wrd der Weg q(t) gewählt, be dem de Wrkung S extremal wrd. Um nun auf de Lagrange-Glechung 2. Art zu kommen, mnmert man de Wrkung. Herzu werden folgende Annahmen getroffen: q(t) se de gesuchte Funkton (be der de Wrkung mnmal st) De Änderung von q(t) st: q(t) + δq(t). δq wrd mt αη(t) parametrsert, also: δq = αη(t) Es gelten de Randbedngungen: δq 1 = δq 2 = 0, wel de Varaton des Weges an den Anfangs- und Endpunkten null st. Man erhält für de verallgemenerte Koordnate: q(t, α) = q(t, α = 0) + dη(t) S = S(α) Um nun den statonären Zustand zu fnden, muss de Extremalbedngung angewendet werden: ds α dα = 0 (37) α=0 ds t2 [ α L dα = q t 1 q α + L ] q = 0 (38) q α Durch de Parametrserung st bekannt, dass q q = η(t) und α α = dη(t). Setzt man des n obge Glechung en und ntegrert den hnteren Tel partell erhält man: Technsche Unverstät München 12 Fakultät für Physk

13 t2 t 1 [ L q η(t) + L q ] dη t2 [ P.I. L = t 1 q η(t) η(t) d ] L = 0 (39) q ] t2 [ L mt q η(t) = 0 wegen δq 1 = δq 2 = 0, woraus η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0 folgt. t 1 Durch Ausklammern von η(t) erhält man: t2 [ L t 1 q d ] L η(t) = 0 (40) q [ L Da η(t) laut Voraussetzung ncht null st, muss q d ] L null werden damt S q mnmal wrd. Somt folgt de Lagrange-Glechung 2. Art: L q d L q = 0 (41) Bestzt en System mehrere Frehetsgrade, so erhält man für jede verallgemenerte Koordnate ene Lagrange-Glechung. Weterhn defnert man an deser Stelle den verallgemenerten Impuls: p = L q ṗ = L q (42) 3.4 Lagrange Glechungen 1.Art Zwangs- und Nebenbedngungen können auch systematsch durch Enführung von Lagrange- Multplkatoren behandelt werden. Allgemen bestzt en System von N Massenpunkten mt 3N-kartesschen Koordnaten de Lagrange-Funkton: L(x, ẋ, t) = m ẋ 2 U(x 1,..., x 3N, t) Dese System unterlegt p Zwangsbedngungen mt der Glechung: G α (x, t) = G α (x 1,..., x 3N, t) = 0 mt (α = 1,..., p) Man erhält ene neue veränderte Lagrange-Funkton: p L (x, ẋ, t) = L(x, ẋ, t) + λ α G α (x, t) = 0 (43) Das Prnzp der statonären Wrkung führt auf de Lagrange-Glechung 1. Art: d L = dl p G α + λ α (44) ẋ dx x α=1 α=1 Technsche Unverstät München 13 Fakultät für Physk