MOD-01 LAGRANGE FORMALISMUS -- TEIL 1

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1 MOD- LAGRAGE FORMALISMUS -- EIL. Zustandsfunktonen Defnton -: Zustandsfunkton Ene Zustandsfunkton W( () t, t) = W(, t) bzw. W ( ) st jede belebge skalare Funkton der Zustandsgrößen () t und der Zet t, deren Wert zu jedem Zetpunkt komplett durch de Werte der Zustandsvarablen bzw. der Zet selbst zu desem Zetpunkt defnert st. Fundamentale Egenschaft von Zustandsfunktonen der Wert der Zustandsfunkton st unabhängg vom Pfad (rajektore) der zum Errechen des aktuellen Zustandes durchlaufen wurde Generalserte (verallgemenerte) Koordnaten: = ( ) Bespele für Zustandsfunktonen, knetsche Energe potentelle Energe U LAGRAGE Funkton L(, ) = (, ) U LJAPUOV Funkton -te Methode von LJAPUOV, Stabltätsnachwes für nchtlneare Systeme ======= BEISPIEL - BEWEGLIHE MASSE generalserte Koordnaten = r, beweglche Masse (, ) knetsche Energe abhängg auch von Poston r, ncht nur von Geschwndgket r ======= BEISPIEL - -MASSE-FEDER SYSEM generalserte Koordnate = knetsche Energe der Masse M (, ) = ( M ' ) d ' = M Glechgewchts lage = M k potentelle Energe der Feder U = ( K' ) d' = K F K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- --

2 . Elementare mechansche und elektrsche Systeme mechansch mechansch elektrsch elektrsch ranslaton Rotaton Rehe Parallel M k k J M, + u L L + λ F Zusammenhang zwschen generalsertem Impuls und knetscher Energe (skalar) (, ) (, ') = p d ' Zusammenhang zwschen generalserter potenteller Kraft und potenteller Energe (skalar) ( ') U = f d' Systemtyp Generalserte Koordnate Generalserte Geschwndgket Knetsche Energe (, ) Potentelle Energe U( ) Generalserter Impuls p Potentelle Kraft f Generalserte Kraft Q mechansch ranslaton Poston Geschwndgket = v M K Impuls M Kraft K Kraft mechansch Rotaton Drehwnkel Drehrate = ω J K Drall J Drehmoment K Drehmoment elektrsch Rehe Ladung Strom = L Flussverkettung L Spannung Spannung elektrsch Sere Flussverkettung λ Spannung λ = u λ L λ Ladung λ Strom L λ Strom K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- --

3 .3 Energefunktonen für vektorelle Systeme Zusammenhang zwschen generalsertem Impuls und knetscher Energe (vektorell) ' (, ) p(, ') ' (, ') d = d = p (, ) p = (, ) (, ) = = (, ) (, ) (.) (.) Zusammenhang zwschen generalserter potenteller Kraft und potenteller Energe (vektorell) U = f ' d ' (.3) f U U U = = U (.4) K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -3-

4 ======= BEISPIEL -3 ELEKRO-MEHAISHES SYSEM = K ua () t A RA M X AB ( ) L ( ) LB ( ) RB = B 3 A = ub () t generalserte Koordnaten = (,, ) = (,, ) 3 A B generalserter Impuls M p(, ) = LA + X AB 3 LB 3 + X AB knetsche Energe (, ) = M + LA + LA + X AB 3 generalserte Kraft K f( ) = potentelle Energe U = K + Übungsaufgabe: Zegen Se anhand deses Bespels de Gültgket der Bezehungen (.) bs (.4). K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -4-

5 .4 Generalserte Koordnaten und Zwangsbedngungen Generalserte (verallgemenerte) Koordnaten = ( ) beschreben de Konfguraton enes physkalschen Systems mt konzentrerten Parametern Anzahl der generalserten Koordnaten n-punktmassen (n-elchensystem): = 3n n-starre Körper: = 6n n-elastsche Federn: = n n elektrsche Energespecherelemente (Induktvtäten, Kapaztäten): = n Zwangsbedngungen beschreben durch den physkalschen Aufbau des Systems bestmmte Bezehungen (Relatonen) zwschen den generalserten Koordnaten bestmmen de Anzahl der unabhänggen generalserten Koordnaten ( Frehetsgrade) Holonome Zwangsbedngungen algebrasche Glechungen n generalserten Koordnaten (kene Geschwndgketen!): f,,..., = (.5) ntegrerbare Dfferentalglechungen: ϕ,,...,,,,..., )= (.6) ( chtholonome Zwangsbedngungen Beschränkungen können ncht durch algebrasche Glechungen oder ntegrerbare Dfferentalglechungen ausgedrückt werden, z.b. Unglechungsbeschränkungen n generalserten Koordnaten: f,,..., (.7) ncht ntegrerbare Dfferentalglechungen sehe Integrabltätsbedngung Frehetsgrade (FG), Degrees of Freedom (DOF) Anzahl der unabhänggen generalserten Koordnaten enes Systems mt konzentrerten Parametern FG nzb holonom = (.8) nzb holonom Anzahl der holonomen Zwangsbedngungen K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -5-

6 ======= BEISPIEL -4 SARRE MEHAISHE VERBIDUG konstante Dstanz zwschen Punktmassen (starren Körpern) + + = y y z z l holonome Zwangsbedngung: ======= BEISPIEL -5 PARIKEL AUF OBERFLÄHE En Partkel mt den kartesschen Koordnaten P(, y, z ) bewegt sch auf ener Fläche z = f (, y) holonome Zwangsbedngung: z = f ( y ) bzw. z f ( y ),, = ======= BEISPIEL -6 GEFÜHRES SARRES -KÖRPERSYSEM En Werkzeug beschreben durch zwe Punktmassen P, P, de mttels ener masselosen Verbndung (Länge l) starr gekoppelt snd, wrd n ener ebenen Bewegung über ene Kontur y=f() geführt. Bestmmen Se möglche generalserte Koordnaten, de zugehörgen Zwangsbedngungen und demöglchen Frehetsgrade. (A) generalserte Koordnaten = kartessche Koordnaten = 4 : = ( ) = ( y y 3 4 ) n = ( ) + ( y y ) =l l ZB holonom y f = y y P P y = f FG = nzb holonom = 4 = (B) generalserte Koordnaten = kartessche Koordnaten + Orenterungswnkel = 3 : = ( ) 3 P n = = f ( ) ZB holonom P l 3 = f FG = nzb holonom = 3 = K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -6-

7 () generalserte Koordnaten = spezelle angepasste Koordnaten unabhängge Koordnaten = : = ( ) nzb holonom = P l P FG = nzb holonom = = ======= BEISPIEL -7 ROLLEDES EIRAD AUF EBEER FLÄHE En rollendes Enrad kann sch ncht setwärts, d.h. orthogonal zur augenblcklchen Fahrtrchtung, bewegen. Generalserte Koordnaten 3, = = = ( y ) 3 y Augenblcksgeschwndgket ( ) = Fahrtrchtung d = ( ) cos sn y (, y) d Fahrtrchtungsnormale n = sn cos n nchtholonome Zwangsbedngung: ormalgeschwndgket st ull, d.h. n = bzw. sn y cos = ======= BEISPIEL -8 UGELEKER WAGE En ungelenkter Wagen bestzt ver feststehende Räder und kann weder de Rchtung ändern noch setwärts fahren. Generalserte Koordnaten 3, = = = ( y ) 3 y Augenblcksgeschwndgket ( ) = Fahrtrchtung d = ( ) cos sn y (, y) d Fahrtrchtungsnormale n = sn cos n K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -7-

8 nchtholonome Zwangsbedngung: ormalgeschwndgket st ull, d.h. n = bzw. sn y cos = (.9) holonome Zwangsbedngung: kene Fahrtrchtungsänderung, d.h. = (.) De nchtholonome Zwangsbedngung (.9) kann unter utzung der holonomen Zwangsbedngung (.) n ene holonome Zwangsbedngung umgewandelt werden. (.) = (.9) ( ) ( y y ) sn cos = (.) FG = 3 = 3 = nzb holonom ======= BEISPIEL -9 ELEKRO-MEHAISHES SYSEM K ua ( t) R A LA M 3 X ( A B ) ( ) 7 LB X B A( ) ( ) RB ub ( t) Bestmmen Se systematsch enen Satz generalserte Koordnaten, zugehörge Zwangsbedngungen und de Energefunktonen (knetsche Energe, potentelle Energe) für das gezegte elektromechansche System (vergleche Bespel -3; de elektrschen Wderstände brngen kene Beträge zu den E- nergefunktonen). Schrtt Bestmmen der Anzahl der Energespecher: =7 (Feder K, beweglche Masse M, Kapaztät, 4 Induktvtäten L, L, X, X ) A B A B B A K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -8-

9 Schrtt Schrtt 3 Zuordnung von je ener generalserten Koordnate je Energespecher: =,,,,,, Auffnden aller bestehenden Zwangsbndungen zwschen den (vorerst als unabhängg) angenommenen generalserten Koordnaten: (ZB) starre Kopplung Feder-Masse: = holonome ZB (ZB) Rehenschaltung und L : 3 = 4 holonome ZB (ZB3) Induktvtäten LA, X A B gleche Durchflutung: 4 = 6 holonome ZB (ZB4) Induktvtäten LB, XB A gleche Durchflutung: 5 = 7 holonome ZB Schrtt 4 Bestmmen der Anzahl der unabhänggen generalserten Koordnaten (= Anzahl der Frehetsgrade): FG = nzb holonom = 7 4= 3 Schrtt 5 Geegnete Redukton der Anzahl der generalserten Koordnaten auf (mnmale generalserte Koordnaten) unter utzung der holonomen Zwangsbedngungen. Gegebenenfalls unter Verwendung ener Koordnatentransformaton, um enfachere Energefunktonen zu erhalten. =,, 3 5 FG Schrtt 6 Aufstellen der Energefunktonen durch Lnearkombnaton der enzelnen Energespecher: generalserter Impuls M p(, ) = LA 3 + XB A 5 LB 5 + X A B 3 knetsche Energe (, ) = (, ') p d = ' (, ) = M + L ( ) + L ( ) + X ( ) X ( ) A 3 B 5 A B 5 3 B A 5 3 generalserte Kraft f( ) = K 3 potentelle Energe U d K = f( ' ) ' = + 3 K. Janschek - SS 6 Lagrange Formalsmus MOD- -9-