MECHATRONISCHE NETZWERKE

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1 MECHATRONISCHE NETZWERKE Jörg Grabow Tel 3: Besondere Egenschaften

2 3.Besondere Egenschaften REZIPROZITÄT REZIPROZITÄT Neben den allgemenen Enschränkungen (Lneartät, Zetnvaranz) be der Anwendung der Verpoltheore auf mechatronsche Elementarwandler n Zwetorform sollen wetere Egenschaften der mechatronschen Zwetore untersucht werden. Ene Egenschaft von außerordentlcher praktscher Bedeutung für de Netzwerkanalyse st das Rezproztätstheorem nach TELLEGEN [6]. Zunächst soll deses Theorem für nur ene physkalsche Domäne abgeletet werden, um es anschleßend auf belebge mechatronsche Wandler zu erwetern. Ausgangspunkt für de Rezproztät snd spezelle Anschlussbedngungen des Zwetors (s. Abb. 3.). D 3. En Zwetor st rezprok, wenn bem Anlegen ener Potentaldfferenz an das Tor oder das Tor durch jewels das andere kurzgeschlossene Tor der gleche Fluss fleßt. f a f a f b f b e a = e b Abb. 3.: a. Zwetor m Vorwärtsbetreb b. Zwetor m Rückwartsbetreb Glt D 3., so folgt: e (3.) a = eb und fa = fb Setzt man D 3. n de Letwertform aus Tab.. en, und setzt den Kurzschlussstrom von Vorwärts- und Rückwärtsbetreb glech, ergbt sch en enfacher Zusammenhang zwschen den Letwertparametern Y und Y. fa = Y ea + Y ea fb = Y eb + Y eb f = Y e = f = Y e a e a b b a = 0 eb = 0 Da de Potentaldfferenzen e a und e b glech snd (s. Gl. 3.), erhält man für de Y-Parameter de Rezproztätsbezehung. (3.) (3.3) Y = Y eb fa = ea fb (3.4) (3.5) Sete

3 Für de weteren Zwetorglechungen aus Tab.. ergeben sch ähnlche Bezehungen (s. Tab. 3.). Tabelle 3. Egenschaften rezproker Zwetore Y Z H C A B Y = Y Z = Z H = H C C = det A = det B = De Spalte aus Tab. 3. zegt ene duale Bezehung zu Gl. 3.4 und entsprcht damt auch der dualen Messanordnung (s. Abb. 3.). f a f a f b f b e a = e b Abb. 3.: duale Messanordnung für rezproke Zwetore D 3. Spest man n das Tor oder n das Tor enen Fluss en, so fällt über dem jewels anderen Tor de gleche Potentaldfferenz ab. Man kann nun das Rezproztätstheorem anstelle der betrachteten Kurzschluss- und Leerlaufbedngungen auf belebge Abschlüsse auf beden Seten des Zwetores erwetern, ndem man de äußeren Impedanzen n das Innere der Tore verschebt (s. Abb. 3.3). f f f Z e Z e Z Z f Abb. 3.3: Zwetor mt belebgen Impedanzen an En- und Ausgang Damt lautet de vollständge Form des Rezproztätstheorems: eb fa + eb fa = ea fb + ea fb (3.6) De Defntonen und Abletungen der Umkehrbarket enes Zwetores erfolgten bsher nur für de Energeübertragung n ener physkalschen Domäne. Welche Egenschaften stellen sch Sete

4 nun be der Kopplung zweer unterschedlcher physkalscher Systeme en? Dazu soll weder der deale elektrsche Transformator als Bespel betrachtet werden. Desmal nteresseren jedoch auch de nneren magnetschen Zusammenhänge des Transformators. Elektrsch betrachtet, besteht en Transformator aus zwe galvansch getrennten Wcklungen auf der Prmär- und der Sekundärsete (s. Abb. 3.4). u N N u u A = A A u = Tel Tel Abb. 3.4: Transformator als Kettenschaltung zweter Elementarwandler De Energekopplung zwschen der elektrschen Prmär- und der Sekundärsete erfolgt durch magnetsche Kenngrößen. Somt kann der elektrsche Transformator n zwe enzelne mechatronsche Elementarwandler, verschaltet n Kettenform, zerlegt werden. Wandler wandelt de elektrsche n magnetsche Energe und Wandler de magnetsche Energe weder zurück n elektrsche Energe. m m u A u m A u = = Abb. 3.5: Kettenschaltung der Telsysteme Tel und Tel Da der Gesamtwrkungsgrad des Transformators = beträgt, müssen de Telwrkungsgrade und zwangsläufg auch glech betragen. Betrachten wr zunächst das Telsystem mt der Wndungszahl N. Enen Zusammenhang zwschen der elektrschen Spannung u und der magnetschen Spannung u m lefert das Amperesche Gesetz. u = H ds = N (3.7) m s Aus = folgt, dass de Engangslestung am Tor der Ausgangslestung am Tor entsprcht, also P = P ' st. P = u = P = u ' m m u u = = N m m m De Glechungen Gl. 3.7 und Gl. 3.8 können weder n ene Normalform nach Tab.. umgeformt werden. (3.8) Sete 3

5 = u m N = u m N (3.9) (3.0) Entgegen der schon engeführten Kopplung der Potentalgrößen und der Flussgrößen unterenander (s. Gl.. und Gl..), legt be der Kopplung des elektrschen Systems mt dem magnetschen System ene wechselsetge Verkopplung vor. De Flussgröße von Tor st mt der Potentalgröße von Tor, de Potentalgröße von Tor mt der Flussgröße von Tor verkoppelt. Dese Form der Kopplung wrd als gyratorsche Kopplung, der zugehörge Wandler als Gyrator bezechnet. 0 (3.) N u = m u m 0 N x = Y y (3.) Aus Gl. 3. kann lecht der Zusammenhang Y = Y = entnommen werden. Somt st N auch der Gyrator bzw. das Telsystem, de Kopplung elektrsch magnetsch, en rezprokes Zwetor (s. Gl. 3.4). Da das Gesamtsystem Transformator auch en rezprokes Zwetor darstellte, muss aus der Berechnung det A (3.3) = det A = det A = folgen, dass es sch bem Telsystem, der Kopplung magnetsch elektrsch, auch um en rezprokes Zwetor handeln muss. Exsteren nun verlustbehaftete Bauelemente n Form von Wderständen an den Torklemmen, so konnten dese n das Zwetor ntegrert werden, ohne das sch de Rezproztätsegenschaft geändert hat (s. Abb. 3.3). N Im Übrgen kann aus der Kettenform beder Gyratoren der Transformatonsfaktor T = berechnet N werde. Damt erhält man de folgende wchtge Aussage für domäneübergrefende Energekopplungen. D 3.3 En mechatronscher Elementarwandler n Verpolform, kann als domäneübergrefendes, rezprokes Zwetor betrachtet werden. LITERATUR [6] Oster,G.F.; Desoer,C.A.: Tellegen's Theorem and Thermodynamc Inequaltes, J. theor. Bol. 3 (97), 9 4 Sete 4