10 Einführung in die Statistische Physik

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1 10 Enführung n de Statstsche Physk More s dfferent! P.W. Anderson, Nobelpres Prolegomena Technsch gesehen st de Rolle der Statstschen Mechank der Glechgewchtssysteme, ausgehend von unseren Kenntnsse über de physkalschen Systeme veler Telchen (d.h. von hren Hamlton-Operatoren oder -Funktonen), de für de Thermodynamk notwendgen kalorsche und thermschen Zustandsglechungen zu lefern. Da de Thermodynamk sch nur für wenge relevante Zustandsfunktonen (Druck, Temperatur, u.s.w.) nteressert, de allesamt kollektver Natur snd, benutzt de statstsche Physk de vergröberte Beschrebung. Statstsche Physk lefert demnach de Zusammenhänge zwschen den Egenschaften der möglchen Mkrozustände des Systems (mkroskopsches Beschrebungsnveau) und hrer Makrozustände, beschreben durch wenge thermodynamsche Zustandsvarablen. Zusätzlch dazu, snd de Anfangsbedngungen zur entsprechenden Schrödngerglechung oder klassschen Bewegungsglechungen auf mkroskopschen Nveau praktsch unbekannt, so dass de genaue Beschrebung der Evoluton des (Mkro-)Zustandes des Systems ohnehn unmöglch st. Statstsche Physk lefert also beste Rezepte, we man de maxmale relevante Informaton aus nur rudmentären Kenntnssen bekommt, und bedent sch der entsprechenden nformatonstheoretschen Zugänge. De Idee st, de zu erwartende Informaton unter den gegebenen Nebenbedngungen zu maxmeren. Gegeben st ene Schar von Eregnssen ( = 1, 2,...,n) (n Statstscher Physk mt Mkrozuständen dentfzert) mt dazugehörgen Wahrschenlchketen w. De Informatonsfunkton I(w) soll folgende Egenschaften bestzen: Ken Informatonsgewnn bem scheren Eregns: I(1) = 0. Je seltener das Eregns desto größer der Informatonsgewnn: I(w) wächst monoton mt 1/w. Der Informatonsgewnn für unabhängge Eregnsse st addtv: I(w 1 w 2 ) = I(w 1 )I(w 2 ). 1

2 Dese Egenschaften legen I(w) bs auf ene Konstante fest: I(w) = C ln(w). Der Mttelwert der zu Erwartenden Informaton Ī = C w I = C w ln w (Grad der Unkenntns) hat ene Struktur, de der der Mschungsentrope ähnlch st, und hat wahrschenlch etwas mt der Entrope zu tun! Laut dem Gbbs-Jaynes Prnzp wrd S = k w ln w (1) (w Wahrschenlchket des Mkrozustandes ( w = 1) ) als statstsches Gegenstück zur thermodynamschen Entrope ( Entrope-Surrogat ) betrachtet; k = J/K st de Boltzmann-Konstante. De Thermodynamsche Entrope erhält man als S = maxs = max ( k ) w ln w, (2) wobe de Maxmerung unter den mt dem bekannten Makrozustand kompatblen Nebenbedngungen erfolgt Statstsche Gesamtheten Beschrebung folgt m Rahmen der Theore der statstschen Gesamtheten, de entsprechende Typen der Nebenbedngungen zusammenfassen. De dre wchtgsten Gesamtheten der Statstschen Physk: Mkrokanonsche Gesamthet Für Abgeschlossene Systeme: Alle Mkrozustände snd glechwahrschenlch (Spezalfall der kanonschen Gesamthet, s.u.) Kanonsche Gesamthet Für Systeme m Kontakt mt enem Wärmebad: E varabel, de mttlere Energe E = E w (3) st dentsch mt der nneren Energe. 2

3 De Gbbs-Vertelung: Maxmerung von S, Eq.(2), unter den Nebenbedngung (3) ergbt w = 1 Z k e βe (4) wobe β en Lagrange scher Multplkator st. Der Nenner von (4) Z K = e βe mt β = 1 kt st de kanonsche Zustandssumme. Wchtgste Bezehung: F(T,) = kt ln Z K (T,). Somt st de praktsche Aufgabe der statstschen Physk de Berechnung der Zustandssummen. Dskusson und Bewes: Allgemene Struktur. Man hat k w ln w = max, w = 1, w E = E Lagrange-Multplkatoren α und β: [ kδ ( ) ( )] w ln w α w 1 β w E E = 0 (δ bedeutet de Varaton), d.h. [ ln w 1 α βe ] δw = 0. Daher: w = e βe Z mt Z = e 1 α = e βe. 3

4 De physkalsche Bedeutung von β. Berechnen wr Andersets S = k E = E w = β = e βe = β ln Z E(β,) = w ln w = k TZ E e βe e βe e βe = Z β Z ( ) β ln Z. (5) e βe ( ln Z βe ) = k ln Z + kβe. (6) Nun st ( ) ln Z ds = k β dβ+k ( ) ln Z V β,n dv +k ( ) ln N N β,v dn +kedβ+kβde. Anhand Gl.(5) kürzen sch 1. und 4. Gled: ds = k ( ) ln Z V β,n dv + k ( ) ln N N β,v dn + kβde. und ( ) S E Nun glt de thermodynamsche Bezehung ( ) S E = kβ. = 1 T, so dass β = 1 kt 4

5 (nverse Temperatur n Enheten der Energe). Aus Gl.(6) folgt jetzt F = E TS = E kt ln Z E = kt ln Z. Bemerkung: De mkrokanonsche Gesamthet kann als Spezalfall der kanonschen mt E = E und somt mt glechen Wahrschenlchketen w betrachtet werden. Se st wchtg um später den Anschlüss der statstschen Physk an Mechank zu gewärlesten Großkanonsche Gesamthet Systeme m Kontakt mt enem Wärme- und Telchenbad: Telchenaustausch mt der Umgebung st möglch; de Mkrozustände snd durch varable E und N gegeben. Maxmerung von S unter den Nebenbedngungen E = E w und N = N w ergbt w = 1 Z g e βe γn. De Lagrange schen Multplkatoren snd Somt hat man β = 1 kt und γ = µ kt. Z G = Z(T,V,µ) = e µn E kt. Wchtgste Bezehung: Ω(T,V,µ) = kt ln Z G (T,V,µ) 5

6 11 De Kanonsche Zustandssumme Quantensysteme Dskrete Mkrozustände Zustandssumme Klasssche Systeme Kontnuerlche Änderungen Zustandsntegral Der Mkrozustand enes klassschen Systems st charaktersert durch 6N Koordnaten (q 1,...,q 3N ;p 1,...,p 3N ) m Phasenraum. Um de Zustände zählen zu können, zerlegt man den Phasenraum n Zellen, deren Größe egentlch wllkürlch gewält werden kann. Korrespondenz zur Quantenmechank (Quasklasssch: 1 Zustand pro dqdp = h; h - Plancksches Wrkungsquantum, h = J s) fordert: d 3N qd 3N p h 3N (unterschedbare Telchen). Wchtg: Ununterschedbarket der Telchen glecher Sorte. 1 d 3N qd 3N p N! h 3N Bespel: Klasssches Idealgas: Nchtwechselwrkende Telchen, E v = p 2 2m. Z = 1 [ 1 N! h V N 3N ] 3N dpe p2 /2mkT Bemerkung: Strlng-Formel zur Berechnung der Fakultät, ln N! ( N + 1 ) ln N N + ln 2π 2 hat ene bemerkenswerte Genaugket und st OK ab N = 2. Somt F = kt ln Z = NkT ln V ( ) 3/2 2πmkT N e h 2 Thermsche Zustandsglechung ( ) F p = = NkT V T,N V. 6

7 De nnere Energe E = F + TS = F T ( ) F = 3 T 2 NkT. Das st de kalorsche Zustandsglechung des dealen Gases. De Entrope enes dealen Gases n hren natürlchen Varablen E, V und N st { [ ( ) V 4πm E 3/2 ] S(E,) = Nk ln + 5 } N 3h 2 N 2 (de Sakur-Tetrode-Glechung). 7