Stochastik - Kapitel 4

Transkript

1 Aufgaben ab Sete 5 4. Zufallsgrößen / Zufallsvarablen und hre Vertelungen 4. Zufallsgröße / Zufallsvarable Defnton: Ene Zufallsgröße (Zufallsvarable) X ordnet jedem Versuchsergebns ω Ω ene reelle Zahl X( ω) zu. Das heßt, de Zufallsgröße X nmmt be jedem Ergebns enen Zahlenwert x an.. X = x beschrebt dabe das Eregns, das aus allen Ergebnssen besteht, be denen X de Zahl x annmmt.. De Zufallsgröße X nennt man dskret, wenn se nur abzählbar vele Werte annehmen kann. 3. P( X = x ) st de Wahrschenlchket des Eregnsses X = x. Bespel: Zwe Speler haben ene Münze. Se werfen se zwemal und schleßen ene Wette ab. Speler A bekommt von Speler B.- wenn zwemal Wappen und.- wenn enmal Wappen erschent. Speler A muss an Speler B 3.- bezahlen, wenn kenmal Wappen erschent. Lösung: Zunächst st es notwendg für den Gewnn des Spelers A ene Varable enzuführen. Dese Varable muss zufällg de Werte, und - 3 annehmen können (den Verlust von 3.- behandeln wr we enen Gewnn von ) und man nennt se Zufallsvarable X oder Zufallsgröße X. Für das Eregns { } Für das Eregns {, } Für das Eregns { } ww (= es fällt zwemal Wappen) schreben wr dann X =. wz zw (= es erschent enmal Wappen) schreben wr X =. zz (= Wappen erschent kenmal) schreben wr X = 3. ww wz zw zz -3 Ergebns- X reelle Zahl raumω aus GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

2 Als Wahrschenlchketen für de Zufallsvarablen X erhalten wr: P( X = ) = = ; P( X = ) = + = ; P( X = 3) = = ; De Vertelung ener dskreten Zufallsgröße / Zufallsvarable Bespel: Hans spelt zum ersten Mal Roulette. Er setzt ene Enhet auf das erste Dutzend (= de Zahlen von bs ). Sollte er gewnnen, erhält er den drefachen Ensatz ausbezahlt, andernfalls st sen Ensatz verloren. De Zufallsgröße X beschrebe den Rengewnn pro Spel (der Rengewnn entsprcht der Auszahlungssumme abzüglch des Ensatzes). Sollte das Dutzend {,, 3,..., } D = entreten, nmmt X den Wert 3 - = an, andernfalls den Wert -. Man kann also sagen, dass de Zufallsgröße X jedem Element aus D den Wert und allen übrgen Elementen den Wert - zuordnet. Man schrebt: X X D D Im Roulette gbt es 37 möglche Zahlen; Somt glt: de bs 36 und de 0. P( X = ) = P( { ω X( ω ) = }) = P( D) = 37 und 5 P( X = ) = P( D ) = 37 De Zufallsvarable bestzt deshalb de folgende Vertelung: x (Werte von X ) p (Wahrschenlchketen) , ,34 Ene solche Vertelung kann man mt Hlfe enes Stabdagrammes oder Säulendagrammes am deutlchsten darstellen: 0,8 0,7 p (Wahrschenlchketen) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 - x (Werte von X) GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

3 Merke: De Gesamthet aller Paare ( x, p ) mt p = P( X = x ), =,,... heßt Wahrschenlchketsvertelung oder Wahrschenlchketsfunkton der dskreten Zufallsgröße X. Man schrebt auch W : x P( X = x ). De Summe der Funktonswerte von W st : n x = de Summe aller enzelnen Wahrschenlchketen mmer ergbt) P( X = x ) = (das bedeutet, dass De Wahrschenlchketsfunkton W lässt sch graphsch mt Hlfe ener Wertetabelle (sehe Bespel oben) oder m Koordnatensystem durch enen Graph (lauter solerte Punkte), en Stabdagramm (sehe Bespel oben) oder en Hstogramm (dazu später mehr) darstellen. Anmerkungen: De Funkton F : x P( X x ) mt x heßt kumulatve Vertelungsfunkton (Summenfunkton) der Zufallsvarablen X. F( X) = P( X x ) st mmer de Wahrschenlchket, dass X enen Wert annmmt, der klener oder auch glech x st. De Zufallsvarable X nennt man stetg, wenn für hre Vertelungsfunkton F : x F( x) = P( X x ) folgendes glt: Fx ( ) st stetg und Fx ( ) st (bs auf enge Punkte auf der x-achse) dfferenzerbar und F ( x) = f( x ) muß stetg sen. Dese Funkton heßt dann Dchtefunkton oder Wahrschenlchketsdchte. x F kann also folgendermaßen dargestellt werden: Fx ( ) = ft ( ) In der graphschen Darstellung st de Vertelungsfunkton ene Treppenfunkton, de an den Stellen x = x Sprünge der Höhe h = P( X = x ) macht. (we ene solche Treppenfunkton genau ausseht werden wr später noch sehen) Rechenregeln mt Hlfe der Vertelungsfunkton:. PX ( a) = Fa ( ). P( X > b) = P( X b) = F( b ) 3. Pa ( < X b) = Fb ( ) Fa ( ) GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 3 (3)

4 . Übungs-Bespel: Be enem Spel wrd en verfälschter Würfel verwendet. De Wahrschenlchketsvertelung der Augenzahlen st allerdngs bekannt: x k p 0, 0,65 0,65 0,65 0,65 0,5 k Dese Wahrschenlchketen stellt man n enem Stabdagramm oder Säulendagramm dar: 0,3 0,5 0, pk 0,5 0, 0, xk (Augenzahl) Zunächst bestmmen wr de Vertelungsfunkton F( X) = P( X x) = p. x x Dazu st es notwendg de Summenwahrschenlchketen Fx ( ) = PX ( xk) = p k x xk zu berechnen: x k p Fx ( k) = p k 0, 0, x xk 0,65 0,65 3 0,65 0,45 4 0,65 0, ,65 0,75 6 0,5 GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 4 (3)

5 Jetzt können wr de Vertelungsfunkton zechnen. Merke: De Vertelungsfunkton F ener dskreten Zufallsvarable st ene Treppenfunkton. De Sprungstellen snd mmer de Werte x der Zufallsgrößen und de Sprunghöhen de entsprechenden berechneten Wahrschenlchketen p., 0,8 F(x) 0,6 0,4 0, x. Übungs-Bespel: Hans wrft zwemal ene Laplace-Münze. a) Gb den Ergebnsraum Ω an und zechne en Baumdagramm. Ω= { WW, WZ, ZW, ZZ} GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 5 (3)

6 b) Hans spelt mt senem Freund Mchael en Glücksspel nach folgenden Regeln: - man erhält Euro wenn zwemal Wappen fällt - man erhält Euro wenn nur enmal Wappen fällt - man muss Euro bezahlen, wenn kenmal Wappen, sondern zwemal Zahl fällt. De Zufallsvarable X se der Gewnn n Euro. Gb mt Hlfe all deser Daten nun de Wahrschenlchketsvertelung von X an. Ergebns ω WW WZ ZW ZZ Gewnn x n - W : x P( X = x ) Gewnn x n - P( X = x ) 4 4 (In deser Tabelle wrd de Wahrschenlchket für WZ bzw. ZW nur enmal berechnet. In welcher Rehenfolge Zahl und Wappen fallen spelt nämlch kene Rolle) c) Bestmme nun de Vertelungsfunkton F. Berechne anschleßend, mt welcher Wahrschenlchket man höchstens Euro gewnnt. 0 für x < 0,5 für - x < Fx ( ) = 0,75 für x < für x P( X ) = F () = 0,75 De Wahrschenlchket höchstens (oder wenger) zu gewnnen legt be 75%. d) Zechne de Wahrschenlchketsfunkton (3 verschedene Darstellungsmöglchketen: Funktonsgraph, Stabdagramm, Hstogramm) und anschleßend de Vertelungsfunkton. Funktonsgraph: 0,6 0,5 0,4 P(X = x ) 0,3 0, 0, x GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 6 (3)

7 Stabdagramm bzw. Säulendagramm: De Stäbe bzw. Säulen haben folgende Länge W( x ) = P( X = x ) 0,6 0,5 0,4 P (X = x) 0,3 0, 0, 0 - x Hstogramm: De Flächennhalte der Rechtecke haben jewels den Wert W( x) = P( X = x ). De Flächensumme aller deser Rechtecke ergbt (Da nsgesamt mmer de Wahrschenlchket von 00% errecht wrd)! 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, x GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 7 (3)

8 Vertelungsfunkton F:, 0,8 F(x) 0,6 0,4 0, x Wr haben berets gelernt, dass de Vertelungsfunkton F ener dskreten Zufallsvarable X ene Treppenfunkton st. An den Stellen x = x macht se Sprünge der Höhe h = P( X = x ). De Vertelungsfunkton F nmmt monoton zu und st rechtssetg stetg. Darum glt: lm Fx ( ) = 0 und lm Fx ( ) =, x x + das heßt also, dass F wegen 0 Fx ( ) beschränkt st. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 8 (3)

9 4.3 Maßzahlen ener dskreten Zufallsvarablen 4.3. Der Erwartungswert Zufallsvarablen snd dann endeutg bestmmt, wenn man hre Wahrschenlchkets-vertelung kennt. Enfach st es allerdngs, wenn man Informatonen, de n der Vertelung ener Zufallsvarablen stecken durch Zahlenwerte verdeutlchen kann. De Wahrschenlchketsvertelung ener Zufallsvarablen st durch ene Gesamthet von Beobachtungen gegeben. Darum wrd man versuchen, charakterstsche Zahlenwerte so anzugeben, dass se alle Beobachtungen repräsenteren. Dese Zahlenwerte kann man n Gruppen entelen: Mttelwerte: se nformeren über de Lage der Vertelung Streuungswerte: se nformeren über de Brete der Vertelung Defnton Erwartungswert : X se ene dskrete Zufallsvarable und nehme de Werte 3 Wahrschenlchket P( X = x ) (wobe =,,3..., n) an. x, x, x,..., x n mt der Man bezechnet de Zahl µ = E( X) dann als Erwartungswert der dskreten Zufallsvarablen X. oder µ = E( X) = x P( X = x ) + x P( X = x ) x P( X = x ) µ = E( X) = x P( X = x ), =,,... n n Anmerkung: Der Erwartungswert drückt das aus, was man auf lange Scht gesehen erwarten kann. Ist X bespelswese der Gewnn be enem Glücksspel, dann gbt µ den durchschnttlchen Gewnn be n Spelen an. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 9 (3)

10 . Übungs-Bespel: Ev wrft ene Laplace-Münze solange, bs Wappen erschent. Höchstens wrft se de Münze allerdngs vermal. De Zufallsvarable X gebe de Anzahl der Würfe an. Ermttle de Wahrschenlchketsvertelung von X und berechne den Erwartungswert EX ( ). x 3 4 PX ( = x ) = PX ( = 4) = PX ( = ) 5 µ = EX ( ) = = =, Übungs-Bespel: En Schrener notert sch sene täglchen Arbetszeten ganz genau. De Zufallsvarable X se de Anzahl der vollen Stunden, de der Schrener täglch benötgt um Aufträge und Arbeten zu erledgen. Es glt für de Wahrschenlchketsfunkton W der Zufallsvarablen X folgendes: x sonst W( x ) 0,05 0, 0,5 0,3 0, 0, 0 Berechne nun de durchschnttlche täglche Arbetszet des Schreners. De Aufgabenstellung durchschnttlche täglche Arbetszet gbt enen Hnwes darauf, dass man her den Erwartungswert µ berechnen soll. µ = 0,05+ 0,+ 3 0,5+ 4 0,3+ 5 0,+ 6 0,= 3,8 De durchschnttlche täglche Arbetszet des Schreners beträgt somt 3,8 Stunden. Anmerkung: Der Erwartungswert muss ncht unbedngt ener der Werte sen, de de Zufallsvarable annehmen kann. Rechenregeln für den Erwartungswert: Es glt mmer: (auch be stochastscher Abhänggket von X und Y). EX ( + Y) = EX ( ) + EY ( ) Addtvtät des Erwartungswertes Es glt be stochastscher Unabhänggket von X und Y: EX ( Y) = EX ( ) EY ( ) Produktdarstellung GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 0 (3)

11 4.3. De Varanz und de Standardabwechung Durch ene wetere Maßzahl wrd de mttlere Abwechung der Funktonswerte vom Erwartungswert charaktersert. Das dazu gebräuchlchste Maß st de mttlere quadratsche Abwechung, auch Varanz genannt. Anders gesagt beschrebt de Varanz also de Streuung der Funktonswerte ener Zufallsvarablen X um hren Erwartungswert EX ( ). Defnton Varanz : Ene dskrete Zufallsvarable X nmmt mt der Wahrschenlchket PX ( = x ) (wobe =,,..., n ) de Werte x, x, x3,..., x n an. Se bestzt außerdem den Erwartungswert µ. De reelle Zahl VX ( ) = σ heßt Varanz der dskreten Zufallsvarablen X. ( ) n V( X) = x µ P( X = x ) + ( x µ ) P( X = x ) ( x µ ) P( X = x ) oder V( X) = E ( X E( X) ) = ( ) ( = ) x µ P X x. n Rechenregel für de Varanz: Snd X und Y stochastsch unabhängg, glt: VX ( + Y) = VX ( ) + VY ( ) Addtvtät der Varanz Anmerkung: De Varanz hat als Streuungsmaß zwe Nachtele: Abwechungen vom Erwartungswert, de größer snd als (sogenannte Ausresser ) snd auf Grund der Quadratur gewchtger als Abwechungen de kener snd als. De Benennung der Varanz stmmt ncht mt der Benennung der Zufallsvarablen überen (z.b. Enhet der Varanz st quadrert, de der Zufallsvarablen ncht). Deshalb führte man noch de folgende Maßzahl en. Defnton Standardabwechung : σ = VX ( ) heßt Standardabwechung der dskreten Zufallsvarablen X. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

12 Übungs-Bespel: Hans st 30 Jahre alt und schleßt ene Rskolebensverscherung über Euro ab. Der jährlche Betrag se 00 Euro. De Sterbewahrschenlchket während enes Jahres betrage 0,009. De Zufallsvarable X beschrebe den Rengewnn der Verscherungsgesellschaft aus desem Rskoleben-Vertrag während des ersten Jahres. Für X glt: m Todesfall: X = = 9900 (d.h., de Verscherung müsste 0000 Euro auszahlen und hat dabe erst enen Jahresbetrag von 00 Euro von Hans erhalten) m Überlebensfall: X = 00 (d.h. de Verscherung muss kene Todesfalllestung ausbezahlen und hat dabe den ersten Jahresbetrag von 00 Euro erhalten) X bestzt somt folgende Vertelung: Werte von X Wahrschenlchketen 0,009 0,997 Daraus folgt: Erwartungswert: EX ( ) = , ,997= 4,00 Varanz: V X ( ) ( ) ( ) = , ,997= Standardabwechung:σ = VX ( ) = 075, Wchtge Egenschaften von Erwartungswert und Varanz. Es glt für alle ab, : Ea ( X+ b) = a EX ( ) + b Sonderfälle: Eb ( ) = b; EaX ( ) = a EX ( ). Es glt für alle ab, : Va ( X+ b) = a VX ( ) σ( a X + b) = a σ( X) 3. Sonderfälle: Vb ( ) = 0; VaX ( ) = a VX ( ) σ( b) = 0; σ( ax) = a σ( X) Verschebungssatz: VX ( ) EX ( ) EX ( ) = [ ] GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

13 4.3.4 De Standardserung Defnton: Ene Zufallsvarable Z mt dem Erwartungswert EZ ( ) = 0 und der Standardabwechung σ ( Z ) = heßt standardsert. Das bedeutet, dass zu jeder Zufallsvarablen X ene standardserte X E( X) Zufallsvarable Z = exstert. σ ( X ) Anmerkung: Es st wchtg de Zufallsvarablen Y = X + X und Z = X zu unterscheden. Für Y = X + X glt: EY ( ) = E( X+ X) = E( X) + E( X) = E( X ) VY ( ) = V( X+ X) = V( X) + V( X) = V( X ) Für Z = X glt: EZ ( ) = E( X) = EX ( ) VZ ( ) = V( X) = 4 VX ( ) Übungs-Bespel: De Zufallsvarable X hat folgende Vertelung: x 3 PX ( = x ) 0,4 0,6 EX ( ) = 0,4+ 3 0,6 =,6 VX ( ) = 4 0,4+ 9 0,6,6 = 0,4 Y = X + X : De Zufallsvarable X nmmt de Werte 4, 5, 6 an. Somt glt für de Wahrschenlchketsvertelung folgendes: Y PY ( = y ) 0,6 0,48 0,36 EY ( ) = E( X ) = 5, VY ( ) = V( X ) = 0,48 (auch bem drekten Berechnen kommt man auf dese beden Werte) Z = X : De Zufallsvarable Z nmmt de Werte 4 und 6 an. Somt glt für de Wahrschenlchketsvertelung folgendes: z 4 6 PZ ( = z ) 0,4 0,6 GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 3 (3)

14 EZ ( ) = E( X) = EX ( ) = 5, VZ ( ) = V( X) = 4 VX ( ) = 0,96 (dese Werte erhält man be drekter Berechnung ebenso) 4.4 De Bnomalvertelung Defnton: De Bnomalvertelung beschrebt das Zehen mt Zurücklegen bezehungswese das wederholte Ausführen enes Zufallsexpermentes unter den jewels glechen Bedngungen. Enfacher erklärt: Wr betrachten en Bernoull-Experment: Es werde n-mal unabhängg hnterenander ausgeführt. Wchtg zu beachten st dabe jedes Mal, ob das Eregns A entrtt oder ob das Eregns A entrtt. Das Eregns A trete mt ener Wahrschenlchket von p = PA ( ) en. De Zufallsgröße X se de Anzahl des Auftretens von A. Ene bnomalvertelte Zufallsvarable X mt den beden Parametern n und p beschrebt n ener unabhänggen Versuchssere mt dem Umfang n de Anzahl all derjengen Versuchen, be denen das Eregns A entrtt. Das st also de absolute Häufgket von A. Das Eregns A bestzt dabe be jedem Versuch mmer de Wahrschenlchket p = PA. ( ) Dabe st es unwchtg, we der vorangegangene Versuch ausgegangen st (Vergleche: genauso st es bem Zehen mt Zurücklegen ). Wr folgern also: Ene Zufallsgröße X heßt dann bnomalvertelt mt den Parametern n und p, wenn für hre Wahrschenlchketsfunkton folgendes glt: n n k n ( = ) = ( = ) = ( ) k PX k Bp X k p p, wobe k = 0,,,,n k Der Buchstabe B steht für Bnomalvertelung. Er kann aber vernachlässgt werden. Für de Vertelungsfunkton F glt: n n k Fx ( ) = Bp ( X x) = p p k x k ( ) n k, wobe k ganzzahlg st mt 0 k n. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 4 (3)

15 Für de Maßzahlen glt: Erwartungswert: EX ( ) = n p Varanz: VX ( ) = n p ( p ) Standardabwechung: σ ( X) = V( X) = n p ( p ) Für gebräuchlche p und n snd de Werte der Bnomalvertelung tabellert. Das bedeutet, dass man für se ncht jedes Mal de Berechnung ausführen muss, sondern de Ergebnswerte enfach aus der Tabelle ablesen kann. Übungs-Bespel: Der Bestzer ener Tankstelle führt ene Umfrage unter senen Kunden durch. Dabe fndet er heraus, dass allen ankommenden Autos mt ener 30%gen Wahrschenlchket Desel tanken. a) We groß st de Wahrschenlchket, dass von den nächsten 0 Autos genau fünf Desel tanken? Gegeben: n = 0 k = 5 p = 0,3 n PX ( = k) = B = = p ( X k) p p k 0 PX ( = 5) = B ( X = 5) = 0,09 = 0,9% k k Bnomalvertelung: ( ) 0,3 b) Mt welcher Wahrschenlchket tanken von den nächsten 0 Autos höchstens sechs Desel? PX ( 6) = B 0 ( X 6) = 0,9894= 98,94% 0,3 c) We groß st de Wahrschenlchket, dass unter den nächsten 0 Fahrzeugen mndestens enes mt Desel betankt werden muss? PX ( ) = PX ( = 0) = B 0 ( X = 0) = 0,085 = 0,9775 = 97,8% 0,3 d) We vele Fahrzeuge de Desel tanken erwartet man unter den nächsten 00 Kunden? EX ( ) = n p = 00 0,3 = 30 n k GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 5 (3)

16 4.5 De Hypergeometrsche Vertelung Gymnasum Her sehen wr den umgekehrten Fall zur Bnomalvertelung. Durch de hypergeometrsche Vertelung wrd das Zehen ohne Zurücklegen beschreben. Enfacher erklärt: Wr stellen uns ene Menge mt nsgesamt N Elementen vor. Von desen N Elementen bestzen K das Merkmal A. Es werden nun zufällg n Elemente entnommen. De Zufallsvarable X se de Anzahl aller gezogenen Elemente, de de Egenschaft A aufwesen. De hypergeometrsche Vertelung trtt also bem Zehen ohne Zurücklegen aus ener endlchen Grundgesamthet auf. All dese Expermente kann man durch das uns berets bekannte Urnenmodell ohne Zurücklegen beschreben: Ene Urne erhalte N Kugeln, von denen genau M schwarz snd. Aus der Urne werden nun zufällg n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. De Zufallsgröße X beschrebt dabe de Anzahl der schwarzen Kugeln n der Stchprobe vom Umfang n. Es glt für de hypergeometrsche Vertelung: M N M = ( = ) = k n k p k P X k N n, wobe 0 k M und 0 n k N M Beachte: Es exsteren verschedene Schrebwesen. Deshalb muss man unbedngt auf de Bezechnung der enzelnen Elemente achten. Ene häufg vorkommende Form st folgende: K N K = ( = ) = k n k p k P X k, mt k = 0,,,,n. N n (Man seht, dass her de Bezechnung M gegen K ausgetauscht wurde!) GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 6 (3)

17 Für de Vertelungsfunkton F glt: Gymnasum Fx ( ) = PX ( x) = PX ( = k, ) wobe k ganzzahlg st mt 0 k n. k x Für de Maßzahlen glt: Erwartungswert: E( X)= n K oder anders E( X) = n p N K N K N n Varanz: ( ) = N n = N V X n oder V( X) n p ( p) N N N (man seht, dass her Standardabwechung: σ ( X) = V( X) p = M N oder p = K N ) Übungs-Bespel: In ener Holzkste bewahrt en Hobby-Schrener 0 Werkstücke auf, von denen dre fehlerhaft snd. Es werden aus der Kste nun zufällg fünf Stücke ausgewählt. X se de Anzahl der fehlerhaften Stücke n der Stchprobe. a) Der Schrener zeht mt Zurücklegen. We groß st de Wahrschenlchket, dass er dabe jedes Mal en fehlerhaftes Stück zeht? 3 Gegeben: n = 5 p = = 0,5 k = P( X = 3) = 0,5 0,85 = 0,044 =,44% 3 b) Der Schrener zeht danach ohne Zurücklegen. We groß st nun de Wahrschenlchket, dass er de dre fehlerhaften Stücke erwscht? Gegeben: n = 5 M = 3 N = 0 k = p ( ) k = P X = k = = 0,00877 = 0,88% 0 5 GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 7 (3)

18 4.6 De Posson-Vertelung Gymnasum Legt uns en großes n und en klenes p vor, st es sehr schwerg und langwerg, de Wahrschenlchket mt Hlfe der Bnomalvertelung zu berechnen. Als Faustregel dafür, was man als großes n bzw, als klenes p bezechnen darf, verwendet man folgende Werte: p 0, und n 00. Mt n p = λ (anstelle desλ st manchmal auch de Bezechnung µ zu fnden) glt nach Posson: k n lm k n k λ p ( p ) = e λ. x = k k! np λ Be der Bldung deses Grenzwertes geht p gegen 0, wenn mmer so, dass n p = λ glt. n p = λ st also konstant. n. Allerdngs gescheht das Merke: Ene Zufallsvarable X st possonvertelt, wenn mt enem Parameter λ > 0 glt: k λ λ P( X = k) = e, k = 0,,... k! Für de Vertelungsfunkton F glt: ( ) = ( ) = k λ λ F X P X x e k! k x Für de Maßzahlen glt: E( X) = λ Var( X ) = λ σ ( X ) = λ 4.6. Anwendung der Possonvertelung De Posson-Vertelung lässt sch auf dre unterschedlche Arten anwenden: () Für große n und klene p lässt sch ene Bnomalvertelung durch ene Possonvertelung approxmeren. Enfacher gesagt, verwendet man de Possonvertelung quas dazu um ene Näherung der Bnomalvertelung zu erhalten.. Bespel: In Vergssmenncht-Blumensamen-Packungen snd jewels 000 Körner enthalten. Man weß aus Erfahrung, dass 0,5 % der Körner ncht kemen und deshalb kene Vergssmenncht wachsen werden. We groß st de Wahrschenlchket, n ener Packung mehr als 8 ncht kemende Samenkörner zu fnden? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 8 (3)

19 Lösung: De Zufallsvarable X bezechne de Anzahl der ncht kemenden Samen. Es glt folglch: P( X > 8) = P( X 8) = B ( X 8) 000 0, e 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 0,939= 0, ,8% Es befnden sch n ener Packung mt ener Wahrschenlchket von 6,8% mehr als 8 ncht kemende Samenkörner. () Zur Beschrebung von Eregnssen, be denen uns ledglch der Mttelwert µ bekannt st.. Bespel: En Grenzpolzst hat genau aufgepasst und festgestellt, dass an senem sehr ruhg gelegenem Grenzübergang durchschnttlch nur 3 Autos täglch vorbe kommen. We groß st de Wahrschenlchket, dass morgen 4 Autos den Grenzübergang passeren? Lösung: De Zufallsvarable X se de Anzahl der Autos, de pro Tag den Grenzübergang passeren. Es glt dann: µ = 3; k = 4; k 4 3 µ µ 3 e P3 ( X = 4) = e = = 0, ,4%. k! 4! De Wahrschenlchket, dass morgen ver Autos de Grenze überqueren beläuft sch auf 6,4%. (3) Als Beschrebung oder zur Überprüfung ener emprschen Vertelung. 3. Bespel: In enem großen Bäckerebetreb werden täglch 000 Eer verarbetet. Der Bäckeremester hat de letzten 00 Tage genau Buch über sogenannte Zwedottereer geführt. Aus senen Aufzechnungen ergbt sch folgende Vertelung: Anzahl der Zwedottereer oder mehr Anzahl der Tage Überprüfe nun, ob de Anzahl der Zwedottereer possonvertelt st. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 9 (3)

20 Lösung: De Zufallsvarable X gebe de Anzahl der Zwedottereer an. Es glt dann: µ = ( ) = 0,6. 00 Wr berechnen nun de Wahrschenlchketen P ( = ) 0,6 X k, multplzeren dese Werte anschleßend mt 00 und verglechen unsere Ergebnsse dann mt den vom Bäckermester beobachteten Werten. Anzahl k der Zwedottereer oder mehr Anzahl der Tage P ( X = k ) 0,6 0,549 0,39 0,099 0,00 0, P ( X = k ) 09,8 65,8 9,8 4 0,6 0 0,6 Wr sehen, dass de errechneten Werte (4.Zele) mt den beobachteten Werten (. Zele) zemlch gut überenstmmen, d.h. man kann sagen, dass de Anzahl der Zwedottereer nahezu P -vertelt st. 0,6 GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 0 (3)

21 4.7 Normalvertelungen 4.7. De Standard-Normalvertelung Von C.F. Gauß engeführt Ist de zentrale Vertelung der Wahrschenlchketsrechung Vele Zufallsgrößen de wr n der Praxs beobachten können, folgen deser Vertelung Ene Zufallsvarable X mt E( X ) = 0 und Var( X ) = nennt man normalvertelt, wenn X a) folgende Dchte bestzt: ϕ ( x) = e π b) folgende Vertelungsfunkton bestzt: x u Φ ( x) = P( X x) = e du. π x Deses Integral können wr ncht berechnen und verwenden deshalb zur Ermttlung von Tabellenwerten (Tabellen n statstschen Formelsammlungen) sogenannte numersche Verfahren. Für jedes c > 0 glt: P( c X c) = Φ( C ). Bewes: P( c X c) = P( X c) P( X < c ) wel X stetg st, glt P( X < c) = P( X c) c u P( X c) = e du π Allgemene Formel der Integralrechnung: c 0 0 u u u (0) 0,5 e du+ = =Φ = e du e du π π π wel c u e gerade st, erhält man (wegen Symmetre) 0 u c u ( ) (0) ( ) 0,5 e du = e du =Φ c Φ =Φ c π π c 0 Als Folge daraus: c u 0 u = 0,5 = 0,5 ( Φ( ) Φ (0)) = Φ ( ) = ( < ) e du e du c c P X c π π c Endlch: ( ) P( c X c) = Φ( c) Φ ( c) = Φ( c ) GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

22 Graphsche Darstellung zur Verdeutlchung: Dchtefunkton: 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Erklärungs-Bespel: De Grenze c können wr nun mt Hlfe ener gegebenen Wahrschenlchket γ ermtteln, wobe P( c X c) = γ + γ γ = Φ( c) ; Φ ( C) =. Damt st c das + γ + γ - Quantl z + γ, also dejenge Stelle mt Φ ( z + γ ) =. Zahlenbespel: γ = 0,95 c =,96 (Tabellenwert) Merke: De Zufallsgröße X heßt normalvertelt mt den Parametern µ und σ, wenn für de Dchtefunkton f Folgendes glt: ( x µ ) σ + f( x) = e mt x, µ, σ. πσ Abgekürzt schrebt man: X st N ( µ ; σ ) - vertelt. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) (3)

23 Wchtg!!!!!! Gymnasum Jede N ( µ ; σ ) - vertelte Zufallsvarable X kann durch U = X µ σ (man sprcht her von der sog. Standardserung und verwendet anstelle des U s auch das Zechen Ph: Φ ) auf ene N (0;) - vertelte Zufallsvarable transformert werden. Auch de Vertelungsfunkton F erhält man über dese Standardserung: X µ x µ x µ Fx ( ) = PX ( x) = P( ) =Φ( ) σ σ σ Allgemen formulert glt also somt: b ( ) ( µ a µ Pa X b =Φ ) Φ( ) σ σ mt a < b P( X = x ) = 0 glt für jedes x.. Bespel: Wr nehmen an, dass X de Füllmenge von Flaschen darstelle und normalvertelt se. Der Erwartungswert µ se abhängg von der Enstellung der Abfüllmaschne. De Standardabwechung σ = 3 hngegen se abhängg von der Enstellung für µ. De Flasche st mt enem Aufkleber versehen, der enen Mndestnhalt von 980 ml angbt. We groß muß µ mndestens sen, damt deser Aufkleber auf Dauer be mndestens a) 95% b) 99% der Produktonsmenge korrekte Angaben macht? Lösung zum. Bespel: Wr suchen das mnmale µ, wobe X µ 980 µ 980 µ γ = P( X 980) = P = Φ st. Formel: u c c c u u u u Φ ( c) +Φ (c) = e du e du e du + = + e du = π π π π π c e du = P(X ) = für en belebges c Das bedeutet also, dass 980 µ µ 980 Φ = Φ = 3 γ 3 γ GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 3 (3)

24 a) b) γ = 0,95 µ 980 =,645 3 µ = 984,935 γ = 0,99 µ 980 =,36 3 µ = 986,96. Bespel: Ene Kaffeepulverdose bestzt en bestmmtes Gewcht (n g). Das Gewcht deser Dose se durch de Zufallsvarable X beschreben, welche N(0;,5) - vertelt st. De Füllmenge (n g) Y se unabhängg vom Dosengewcht N(500; 6) - vertelt. a) Wr nehmen an, dass en Überlaufen der Dose bem Abfüllvorgang ncht möglch st. Das Gesamtgewcht wrd deshalb durch de Zufallsvarable X + Y beschreben. We sehen nun der Erwartungswert und de Varanz aus? b) We hoch st de Wahrschenlchket, dass das Gesamtgewcht ener zufällg ausgewählten Dose größer st als 530? Lösung zum. Bespel: a) E( X + Y ) = = 50 Var X Y ( + ) =,5 + 6 = 4,5 b) N (50; 4,5) P( X + Y 530) = P( X + Y 530) = Φ Φ(,54) 0,06 4,5 De Wahrschenlchket beträgt 6,%. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 4 (3)

25 Aufgaben I. Ene Bäuern hat noch 0 Eer n hrer Vorratskammer. Dre davon snd verdorben. Um enen Kuchen zu backen wählt se zufällg ver Eer aus. De Zufallsvarable X se de Anzahl der verdorbenen Eer unter den ver ausgewählten. a) Bestmme de Wahrschenlchketsvertelung von X. b) Zechne nun das dazugehörge Stabdagramm und de Vertelungsfunkton Fx ( ) = PX ( x. ) c) Berechne de Standardabwechung σ und den Erwartungswert µ.. Robert lebt das Wetten. Jedesmal wenn er seben Menschen an enem Ort zusammen seht wettet er mt jeder Person de dazu beret st, 00:, dass sch darunter mndestens zwe Menschen befnden, de am glechen Wochentag geboren snd. Handelt es sch für Robert um ene günstge Wette? Entschede dch mt Hlfe ener Rechnung! 3. We vele Rosnen muß en Bäcker n kg Teg mschen, damt n enem 50 g schweren Brötchen mt ener ncht klener als 99%gen Wahrschenlchket wengstens ene Rosne st? 4. Sepp und Fred haben m zollfreen Gebet zu vele zollfreen Zgaretten und auch zuvel Alkoholka gekauft. Se snd mt ener Resegruppe (5 Personen) unterwegs, de an der Grenze angbt kenerle Schmuggelware be sch zu haben. De Zöllner führen trotzdem Stchproben-Durchsuchungen durch. Aus der Resegruppe suchen se sch das Gepäck von dre Personen aus und durchsuchen es. Mt welcher Wahrschenlchket a) werden weder Sepp noch Fred ausgewählt? b) werden Sepp und Fred erwscht? c) wrd nur Fred bem Schmuggeln ertappt? 5. Aus Spaß werden Faschngskrapfen häufg mt Senf gefüllt. Lehrlng Lars hat allerdngs übertreben und n 40% aller Krapfen Senf engesprtzt. Der Mester Müller überprüft de Arbet von L und schnedet solang Krapfen auf, bs er zwe mt Senf gefüllte fndet. Höchstens schnedet M allerdngs fünf Krapfen auf. X se de Anzahl der aufgeschnttenen Krapfen. a) Gb de Wahrschenlchketsvertelung der Zufallsgröße X an. b) Berechne den Erwartungswert E( X ), de Varanz Var( X ) und de Standardabwechung σ ( X ) der Zufallsgröße X. c) In enem Korb legen 50 der von L bearbeteten Krapfen. We groß st de Wahrschenlchket, dass sch darunter mndestens 5 und höchstens 5 mt Senf gefüllte Krapfen befnden? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 5 (3)

26 Aufgaben I 6. En Zufallsexperment gelngt mr ener Wahrschenlchket von p = 0,3. a) Der Versuchsleter führt ene Sere von sechs Versuchen durch. Mt welcher Wahrschenlchket gelngen alle sechs Ausführungen des Zufallsexpermentes? b) We vele solcher Sechserseren muss der Versuchsleter mndestens durchführen, wenn er mt mehr als 90%ger Wahrschenlchket wengstens ene komplette Sere mt sechs gelungenen Versuchsausführungen erhalten wll? 7. Ene Umfrage hat ergeben, dass es n unserer Bevölkerung 4% farbenblnde Menschen gbt. a) We groß st de Wahrschenlchket unter 00 Personen höchstens 7 Farbenblnde zu fnden? b) We vele Personen müssen mndestens untersucht werden, um mt ener Wahrschenlchket von wengstens 95% mndestens ene farbenblnde Person zu fnden? 8. Im Breftaubensport st es üblch, dass en Expertengremum darüber entschedet, welche Breftauben zur Zucht verwendet werden dürfen. Es stehen fünf Prüfer zur Verfügung, von denen dre als normal und zwe als sehr streng bekannt snd. Jede Taube wrd von zwe Prüfern bewertet, de vorher durch das Los entscheden werden. X se de Anzahl der strengen Prüfer. a) Bestmme de Wahrschenlchketsvertelung von X und de Vertelungsfunkton F. b) Berechne den Erwartungswert E( X ) und de Varanz Var( X ) der Zufallsgröße. 9. Der Erwartungswert E( X ) = µ = 00 und de Varanz Var( X ) = σ = 64 ener Zufallsvarable X seen bekannt. a) Berechne den Erwartungswert und de Varanz der folgenden Zufallsvarablen: () X + 4 () 4 X 400 (3) X 00 8 b) Berechne von folgenden Zufallsvarablen den Erwartungswert. () X () X + 4 (3) ( X ) 0. In ener Kste befnden sch 50 Werkstücke. Es haben sch darunter 9 fehlerhafte Stücke engeschlchen. Ohne Zurücklegen entnmmt Hans nun zufällg zehn Stücke. X se de Anzahl der fehlerhaften Stücke n der Stchprobe. a) Berechne den Erwartungswert und de Varanz von X. b) We lauten dese beden Kenngrößen aus a) bem Zehen mt Zurücklegen? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 6 (3)

27 Aufgaben II. In der Zet von 3.55 Uhr bs 4.00 Uhr passeren n enem Kaufhaus noch enge Kunden schnell de Kasse, bevor se zurück zu Ihrer Arbetsstelle müssen. De Anzahl deser Kunden st possonvertelt mt λ = 5. a) Berechne de Wahrschenlchket, dass n desem oben genannten Zetraum an enem ganz bestmmten Tag () kene Kunden de Kasse passeren? () mehr als fünf Kunden noch schnell enen Enkauf tätgen? (3) zwe oder dre Kunden de Kasse passeren? b) Der Geschäftsführer des Kaufhauses beobachtet während der nächsten 30 Tage das Verhalten an den Kassen für de oben genannte Zet. () De Zufallsvarable X gebe de Anzahl der genannten Zetabschntte an, n denen mehr als fünf Kunden de Kasse passeren. Um welche Vertelung handelt es sch? () We groß st de Wahrschenlchket, dass des an mehr als zehn Tagen entrtt?. Be ener Karnevalsveranstaltung werden zufällg 500 Personen befragt. Bestmme de Wahrschenlchket, dass von desen Personen mndestens ene am Tag der Veranstaltung Geburtstag hat. 3. En neuer Roman umfasst nsgesamt 400 Seten. Leder snd 40 Druckfehler enthalten. Berechne de Wahrschenlchket, dass de 5. Sete des Romans mehr als enen Druckfehler enthält. 4. Telefonate de n enem ncht zu groß gewählten Zetntervall geführt werden snd possonvertelt. In enem Call-Center gehen m Durchschntt 5 Anrufe pro Stunde en. Berechne de Wahrschenlchket, dass a) nnerhalb ener Stunde dre Anrufe m Call-Center engehen. b) nnerhalb von 40 mn dre Anrufe m Call-Center engehen. 5. Ene gemensame Wahrschenlchketsvertelung der beden Zufallsvarablen X und Y habe de folgenden Werte: Y X 3 0, 0,3 0, 0, 0, 0, a) Berechne den Erwartungswert und de Varanz von X und Y. b) Berechne danach jewels den Erwartungswert und de Varanz der Zufallsvarablen Z = X + Y und Z = X Y. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 7 (3)

28 Aufgaben II 6. De Zufallsvarablen X und Y snd unabhängg und haben de folgenden Wahrschenlchketsvertelungen: x 3 PX ( = x ) 0,4 0,5 0, y 0 PY ( = y ) 0,6 0,4 a) Berechne den jewelgen Erwartungswert und de jewelge Varanz sowe de gemensame Wahrschenlchketsfunkton. b) Berechne anschleßend de Wahrschenlchketsfunkton der Zufallsvarable Z = X + Y. 7. Aufgrund langjährger Erfahrung weß en Verscherungsunternehmen, dass m Mttel der Verscherten pro Jahr n enen Unfall verwckelt werden. Der gesamte Verscherungsbestand beläuft sch auf 3000 Kunden. We groß st de Wahrschenlchket, dass mehr als 7 Verscherte während enes Jahres n enen Unfall verwckelt snd? 8. En Pharmazkonzern brngt en neues Medkament auf den Markt. Mt der Wahrschenlchket von 0,00 trtt be desem Medkament de Nebenwrkung Übelket auf. 000 Patenten nehmen dese Medzn nun en. Berechne we groß de Wahrschenlchket st, dass be k Patenten Übelket auftrtt für k = 0,, We groß st de Wahrschenlchket, dass be mehr als seben Personen de genannte Nebenwrkung auftrtt? 9. Wr nehmen an, dass der geübte Sportschütze Thomas be enem Schuß, das Zel mt ener Wahrschenlchket von 0,9 trfft. Thomas betet senen Freunden ene Wette an: Er scheßt 0 mal auf de Zelschebe. Sollte er be desen 0 Schüssen mndestens 7 Treffer landen, erhält er 00 Euro. Gelngt hm das ncht, muss er selbst 500 Euro bezahlen. a) We hoch st de Gewnnerwartung von Thomas? b) We darf der Betrag höchstens sen den Thomas m Falle enes Verlustes zahlt, damt er auf Dauer ncht verlert? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 8 (3)

29 Aufgaben II 0. En L-Tetraeder st auf den Setenflächen durch de Zffern,,3,4 gekennzechnet. Der Mathelehrer wrft den Tetraeder nun solange, bs de erste auf der Standfläche erschent, höchstens jedoch fünfmal. De Zufallsvarable X se dabe de Anzahl der Versuche. Bestmme de Wahrschenlchketsvertelung von X und berechne E( X ), Var( X ) und σ ( X ).. Als Entrttsnachwes für ene Karnevalsveranstaltung sollen de Besucher an der Engangstüre ene blnkende Anstecknadel erhalten. Mt ener Wahrschenlchket von 0,5% st ene solche Nadel defekt und blnkt ncht. In weser Vorausscht, haben de Veranstalter mt dem Hersteller der Nadeln verenbart, dass se de Leferung zurückwesen können, wenn n enem Karton mt 500 Anstecknadeln mndestens fünf defekte zu fnden snd. Berechne we groß de Wahrschenlchket st, das de Veranstalter de Leferung zurückgeben! Verwende dazu als Näherung der Bnomalvertelung de Possonvertelung. GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 9 (3)

30 Aufgaben III. De Zufallsgröße X se normalvertelt und bestze folgenden Erwartungswert und folgende Varanz: µ = 05 ; σ = 00 Berechne de Wahrschenlchketen a) PX ( 00) b) P( X > 06) c) P( X 05 > 30).. Ene Maschne packt Chps n dafür vorgesehene Tüten ab. De Gewchte seen normalvertelt. De Standardabwechung σ = 3 st mmer konstant, während der Erwartungswert µ engestellt werden kann. (Anm: Daran kann man erkennen, dass σ von der für µ gewählten Enstellung unabhängg st.) Auf jeder Packung Chps st als Mndestgewcht 000 g engeprägt. We muß der Inhaber der Frma nun µ enstellen, damt be a) 95% b) 99% c) 99,9% der Packungen de Enprägung (Mndestmenge 000 g) auch wrklch zutrfft? 3. Im Supermarktregal stehen Mehlpakete mt der Aufschrft Mndestgewcht 980g. Dese Pakete seen ungefähr N(985; 4) -vertelt. Hausfrau Mara wll für enen Geburtstag mehrere Kuchen backen und hat deshalb vor 0 Pakete Mehl zu kaufen. a) We hoch st de Wahrschenlchket, dass en von Mara zufällg ausgewähltes Paket lechter st als 980g? b) We st das Gesamtgewcht der gesamten 0 Pakete (unter der Annahme der Unabhänggket) vertelt? c) We hoch st de Wahrschenlchket, dass das Gesamtgewcht gernger st als 9800 g? 4. De Kollegstufe schrebt ene Geschchtsklausur, be welcher de Anzahl der Punkte, de maxmal errecht werden kann ungefähr normalvertelt st. Der Erwartungswert legt be µ = und de Streuung be σ = 6. Der Lehrer hat sch zum Zel gesetzt, dass während sener gesamten Schullaufbahn m langjährgen Durchschntt mmer ca. 0% der Schüler de Note Ens erhalten. Ab welcher Punktezahl sollte er, unter Berückschtgung deses Zeles, dann de Note sehr gut vergeben? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 30 (3)

31 Aufgaben III 5. Leere Wasserflaschen enes bekannten Herstellers bestzen en normalverteltes Gewcht, den Erwartungswert µ = 00 g und de Standardabwechung σ = 5 g. De Abfüllung der Flaschen läuft nach enem bestmmten Schema ab: De leeren Flaschen werden nachenander auf ene Waage gestellt. De Zufuhr von Wasser wrd erst dann gestoppt, wenn als Gesamtgewcht 60 g errecht snd. Man nehme an, dass de Flaschen ausrechend groß snd und en Überlaufen deshalb unmöglch st. a) Gb de Vertelung der Zufallsgröße X des Füllgewchtes an, wenn das Gesamtgewcht (Flaschen + engefülltes Wasser) exakt 60 g beträgt! b) We groß st de Wahrschenlchket, dass der Inhalt mndestens 500 g beträgt? c) Durch enen technschen Mangel kann der Zulauf bem Errechen des Gesamtgewchtes von 60 g (= Grenze) ncht abrupt gestoppt werden. De Wassermenge, de nach dem Errechen deser Grenze noch n de Flasche hnenläuft, habe de Vertelung N (3; 0,5). Welche Vertelung hat nun unter desen Umständen das Füllgewcht? 6. Ene Maschne stellt Werkstücke ener bestmmten Länge her. De Zufallsvarable X beschrebe dese Länge und se normalvertelt mt µ = 30 mm und ener Standardabwechung von 0,04 mm. En Werkstück st genau dann Ausschuss, wenn sene Länge vom Sollwert 30 mm mehr als 0, mm abwecht. a) Gb an, mt we vel Prozent Ausschuss der Frmennhaber auf de Dauer rechnen muss! b) Auf Grund enes technschen Problems hat sch µ um 0,03mm vergrößert. De Standardabwechung st dagegen unverändert gebleben. We hoch st jetzt der Ausschuss (Angabe n Prozent!)? GM_AU054 **** Lösungen 5 Seten (GM_LU054) 3 (3)