Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Transkript

1 Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s R st gegeben durch de Rekurson a 1 n = a 0 n Se p (x) = n =1 a1 x 1 (a) Zegen Se, dass p(s) = a 1 0 a 1 = a 0 + a 1 +1 s für {n 1,, 0} (b) Bewesen Se de Glechhet p(x) = (x s)p (x) + p(s) (c) Verglechen Se das Horner-Schema und de üblche Auswertung von Polynomen bzgl Effzenz, ndem Se de Anzahl Multplkatonen und Addtonen verglechen (d) Das verallgemenerte Horner-Schema st gegeben durch de Rekurson a k n = a 0 n a k+1 = a k + a k+1 +1 für k = 0,, n und = k,, n Zegen Se, dass p(x) = n a+1 (x s) und folgern Se, dass p () (s) =! a +1 (e) Bestmmen Se mt Hlfe des Horner-Schemas de Funktonswerte von p(x) = Lösung x 3 5x + 1 und dessen Abletungen an der Stelle s = 2 sowe das Taylorpolynom an deser Stelle (a) Wr zegen de Behauptung per Indukton ber den Grad n von p(x) Falls n = 0, so st de Aussage trval Se also n 1 Wr nehmen an, dass de Aussage glt für alle Polynome vom Grad < n Se q(x) = b0 x mt b 0 = a 0 +1 Dann glt p(x) = a0 0 + q(x) x Nach Induktonsannahme glt q(s) = b 1 0, wobe de b1 nach der selben Rekurson we de a1 berechnet werden Es glt b 1 = b 0 = a 0 n = a 1 n b 1 = b 0 + b 1 +1 s = a a 1 +2 s = a 1 +1 Somt glt q(s) = b 1 0 = a1 1 Damt erhalten wr p(s) = a0 0 + a1 1 s = a1 0

2 2 (b) Es glt (x s)p (x) + p(s) = = n a 1 x s =1 n n a 1 x 1 + a 1 0 =1 a 1 x a 1 +1sx = a 1 nx n + (a 1 a 1 +1 s)x = a 0 nx n + a 0 x = p(x) (c) Der nave Ansatz zum Auswerten enes Polynoms vom Grad n erfordert 2n 1 Multplkatonen (Potenzen von s berechnen und mt den Koeffzenten multplzeren) und n Addtonen Das Horner-Schema erfordert aber nur n Multplkatonen und n Addtonen und st somt effzenter (d) Wr bewesen de Behauptung per Indukton uber den Grad n von p(x) Für n = 0 st de Aussage trval Wr können also annehmen, dass n 1 und de Behauptung für alle Polynome vom Grad < n glt We n (a) betrachten wr das Polynom q(x) Dann glt b = a n und b k = a+1 k+1 für alle {0,, n 1} und k { + 1,, n 1} Nach Induktonsannahme glt Somt erhalten wr q(x) = p(x) = a x q(x) b +1 (x s) = = a 0 0(x s)q(x) + s q(x) = a 0 0(x s) n =1 = a n n(x s) n + a (x s) a (x s) 1 + a +1 +1s(x s) a (x s) + a +1 +1s(x s) = a n+1 n (x s) n + (a + a s)(x s)

3 = a n+1 n (x s) n + a + 1(x s) = n a +1 (x s) Das n-te Taylorpolynom von p(x) an der Stelle s st gegeben durch n p () (s) p(x) = (x s)! Durch Verglech der Koeffzenten erhalten wr p() (s)! = a +1 p () (s) =! a +1 (e) Das Horner-Schema lässt se tabellarsch we folgt darstellen: s a 0 n a 0 a 0 1 a 0 0 s a 1 n a 1 a 1 1 a 1 0 s a 2 n a 2 a und somt s a n n a n s a n+1 n Für das Polynom p(x) = x 3 5x + 1 und s = 1 ergbt sch folgende Tabelle s Somt glt p(2) = 1 p (2) = 7 p (2) = (2!) 6 = 12 p (2) = (3!) 1 = 6 Das Taylorpolynom an der Stelle s = 2 st dann gegeben durch p(x) = (x 2) 3 + 6(x 2) 2 + 7(x 2) 1

4 4 Aufgabe 10 (4 Punkte) Es seen de Punkte (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) n R 2 gegeben (a) Zegen Se per Indukton, dass es en Polynom p(x) vom Grad n gbt, das p(x ) = y erfüllt für alle n Hnwes: Betrachten Se m Induktonsschrtt das Polynom p(x) = x x n p 1 (x) + x x 0 p 2 (x) für geegnete Polynome p 1 (x), p 2 (x) (b) Zegen Se, dass das Polynom aus (a) endeutg st Lösung (a) Wr bewesen de Behauptung per Indukton über n Für n = 1 kann man das konstante Polynom y 0 wählen Für den Induktonsschrtt nehmen wr an, dass n > 1 und dass de Behauptung für wenger als n Punkte n R 2 glt Seen also (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) n R 2 gegeben Nach der Induktonsannahme gbt es Polynome p 1 (x) und p 2 (x) vom Grad n 1, sodass p 1 (x ) = y für = 0,, n 1 und p 2 (x ) = y für = 1,, n Wr folgen dem Hnwes und betrachten das Polynom vom Grad n gegeben durch Dann glt p(x) = x x n p 1 (x) + x x 0 p 2 (x) p(x 0 ) = p 1 (x 0 ) + x 0 x 0 p 2 (x 0 ) = p 1 (x 0 ) = y 0 p(x ) = x x n p 1 (x ) + x x 0 p 2 (x ) = p(x n ) = x n x n p 1 (x n ) + p 2 (x n ) = p 2 (x n ) = y n und somt erfüllt p(x) de gewünschte Bedngung ( x x n + x x ) 0 y = y (b) Senen p(x) und q(x) Polynome vom Grad n mt p(x ) = q(x ) = y für alle {0,, n} Dann snd x 0,, x n Nullstellen des Polynoms r(x) = p(x) q(x) Andrersets st der Grad von r(x) maxmal n, und somt hat r(x) gemäss dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens n Nullstellen Somt muss r(x) das konstante Polynom r 0 sen Insbesondere glt dann p(x) = q(x) Aufgabe 11 (6 Punkte) Se p(x) en Polynom mt reellen Koeffzenten, das kene gemensamen reellen Nullstellen mt sener Abletung p (x) bestzt Ene endlche Folge p 0 (x),, p n (x) von Polynomen mt reellen Koeffzenten wrd

5 als Sturmsche Kette von p(x) bezechnet, wenn folgende Bedngungen erfüllt snd (1) p 0 (x) = p(x) und p 1 (x) = p (x) (2) Für jedes x 0 R mt p (x 0 ) = 0 ( {1,, }) glt p 1 (x 0 ), p +1 (x 0 ) 0 und p 1 (x 0 ) und p +1 (x 0 ) haben unterschedlche Vorzechen (3) p n (x) hat kene reelle Nullstelle (a) Bewesen Se, dass de Rekursonsvorschrft p 1 (x) = q (x) p (x) p +1 (x) mt deg(p +1 ) < deg(p ) ene Sturmsche Kette defnert (b) Se S(x) de Anzahl Vorzechenwechsel n der Folge (p 0 (x),, p n (x)) Bewesen Se, dass de Anzahl der Nullstellen von p(x) n Intervall [a, b] für a < b n R { } durch S(a) S(b) gegeben st Hnwes: Beachten Se, dass sch S(x) und S(y) für x < y n [a, b] nur unterscheden, falls [x, y] ene Nullstelle enes der p enthält Untersuchen Se das Verhalten von S(x) auf den Nullstellen der p (c) Berechnen Se mt Hlfe der Sturmschen Kette de Anzahl der Nullstellen von p(x) = x 3 3x + 1 m Intervall [0, 3] Lösung (a) Falls p(x) oder p (x) kene reellen Nullstellen bestzt, so st (p(x), p (x)) berets ene Sturmsche Kette Wr können also annehmen, dass n 1 und (p 0 (x), p 1 (x),, p n (x)) berets (1) und (2) erfüllen und sodass p n (x) reelle Nullstellen hat Dann telen wr p (x) durch p n (x) mt Rest gemäss der Rekursonsvorschrft und wr erhalten q n (x), p n+1 (x) mt p (x) = q n (x)p n (x) + p n+1 (x) Der Rest st ncht 0, da sonst p n (x) en Teler von p (x) wäre und somt auch von p n 2 (x), da dann p n 2 (x) = q (x)p (x) + p n (x) = (q (x)q n (x) + 1)p n (x) Induktv seht man dann lecht, dass p n (x) en Teler von p (x) st für jedes < n, also nsbesondere von p(x) und p (x) Aber das st un möglch, da p(x) und p (x) kene gemensamen Nullstellen haben Somt fahren wr fort, bs p n (x) kene reellen Nullstellen hat, aber ncht das konstante Polynom 0 st Damt st (3) erfüllt Für (2), nehmen wr an, dass p (x 0 ) = 0 Dann glt p 1 (x 0 ) = p +1 (x 0 ) und somt haben p 1 (x 0 ) 5

6 6 und p +1 (x 0 ) en unterschedlches Vorzechen Wäre p 1 (x 0 ) = 0, so wäre p +1 (x 0 ) = = p n (x 0 ) = 0, en Wderspruch (b) Se x 0 ene Nullstelle von p(x) Dann gbt es zwe Fälle (1) p (x 0 ) < 0 Dann st S(x) n ener genügend klenen Umgebung (x 0 ε, x 0 ) gegeben durch (+,, ) und für x (x 0, x 0 +ε) durch (,, ) (2) p (x 0 ) < 0 Dann st S(x) n ener genügend klenen Umgebung (x 0 ε, x 0 ) gegeben durch (, +, ) und für x (x 0, x 0 +ε) durch (+, +, ) In beden Fällen hat de Anzahl Vorzechenwechsel um 1 abgenommen Se nun p (x 0 ) = 0 für en 1 Wr machen weder ene Fallunterschedung (1) p 1 (x 0 ) < 0 Dann st p +1 (x 0 ) > 0 Dann snd de Vorzechenfolgen n ener klenen Umgebung vor x 0 bzw nach x 0 entweder (,,, +, ) und (,, +, +, ) oder (,, +, +, ) und (,,, +, ) In beden Fällen blebt de Anzahl Vorzechenwechsel konstant (2) Der Fall p 1 (x 0 ) > 0 st analog Somt st nmmt S(x) für x [a, b] nach jeder Nullstelle von p(x) um ens ab, also st S(a) S(b) de Anzahl der Nullstellen n [a, b] (c) Wr haben p 0 (x) = x 3 3x + 1 p 1 (x) = 3x 2 3 und p 2 (x) ergbt sch durch Dvson mt Rest aus p(x) = 1 3 x(3x2 3) 2x + 1, e p 2 (x) = 2x 1 Weter glt ( 3 p 1 (x) = 2 x + 3 (2x 1) 4) 9 4 und somt st p 3 (x) = 9 4 Das ergbt de Sturmsche Kette (x 3 3x + 1, 3x 2 3, 2x 1, 9 4 ) Wr rechnen de Funktonswerte für x = 0 und x = 3 aus: Für x = 0 erhalten wr de Folge (1, 3, 1, 9 4 ) und S(0) = 2 Für x = 3 erhalten wr de Folge (19, 24, 5, 9 4 ) und S(3) = 0 Damt st de Anzahl Nullstellen von p(x) n [0, 3] gegeben durch S(0) S(3) = 2