Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen

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1 Klasssche Gatter und Logkelemente Semnarvortrag zu Ausgewählte Kaptel der Quantentheore Quantenalgorthmen Gerd Ch. Krzek WS 2003

2 I. Grundlagen und Methoden der Logk: Im folgenden soll de Konstrukton und anschleßende Implementaton von logschen Systemen besprochen werden. Dabe wrd nur de bnäre Logk betrachtet. Logsche Varable: In ener bnären Logk ordnet man ener logschen Varablen a zwe möglche Werte zu: a 0 1 Logsche Funkton: Logsche Varablen können nun mtenander verknüpft werden. Dese Verknüpfung erfolgt mt Hlfe der elementaren logschen Funktonen. De elementaren logschen Funktonen werden m Kaptel II noch ausführlch erläutert. Ene logsche Funkton kann man nun n folgender Form schreben: Schrebt man ene logsche Funkton n deser Form auf sprcht man von ener Boolschen Glechung. De Logk verfügt über verschedene Methoden de zur Entwcklung von logschen Systemen zur Verfügung stehen. Vorab sollen dese Methoden erläutert werden: I.1 Wahrhetstabelle: = ( X X ) ( X ) X4 De Wahrhetstabelle verknüpft logsche Engänge zu enem oder mehreren logschen Ausgängen. De logschen Ausgänge können nach beleben gewählt werden und charakterseren damt das Verhalten des logschen Systems. IN1 IN2 OUT IN1 IN2 OUT 0 0 X X X X 4 De Wahrhetstabelle repräsentert de logsche Funkton, durch de logsche Engänge mt logschen Ausgängen verknüpft st. De Zahl der Engänge legt de Anzahl der Zelen der Wahrhetstabelle fest, da alle möglchen Engangszustände defnert sen müssen.

3 So st es ncht snnvoll folgende Wahrhetstabelle für obges System aufzustellen, IN1 IN2 OUT 0 0 X X X 3 da ene logsche Engangskombnaton ncht defnert st. We wr später sehen werden, st es aber notwendg ene vollständge Abdeckung aller Zustände des Systems zu realseren. Wahrhetstabellen können m Ausgang belebge Brete haben. Es müssen ncht alle logschen Kombnatonen von Ausgängen abgedeckt sen. So könnte auch folgende Wahrhetstabelle auftreten. IN1 IN2 OUT1 OUT2 0 0 X X X X 4 4 I.2 Bubble Dagramm: Input Condton Zustand A=1 ; B=0 S x S y Transton Z=0 Z=1 Moore Varable Jeder Zustand geht be ener Input Condton n enen anderen Zustand des logschen Systems über. De jewelge Übergangskondton steht be der Transton dabe. In jedem Zustandsbubble steht der jewelge logsche Ausgang des Systems. Bubble Dagramms werden verwendet, um sequentelle Logksysteme zu entwerfen.

4 II. Kombnatorsche Logk Kombnatorsche Logk st ene zetlch ncht gesteuerte logsche Verknüpfung, de mt logschen Engängen und ener logschen Funkton enen oder mehrere logschen Ausgang lefert. So lefert de theoretsche kombnatorsche Logk be defnerten logschen Engängen nstantan enen oder mehrere logsche Ausgänge. Be ener realstschen kombnatorschen Logk treten massve Probleme auf, da de Laufzeten durch de Gatter (we wr de Realserung der logschen Funkton von nun an nennen wollen) durchwegs ncht glechartg sen müssen. Des führt auf das Problem der Hazards auf das ch später noch enmal zurückkommen werde. II.1 Elementare Logkfunktonen: Jede logsche Funkton st mt Hlfe der elementaren Logkfunktonen realserbar. In Folge sollen dese enfachsten Logkfunktonen vorgestellt werden. Inverter: = X X X Der Inverter lefert am Ausgang enfach das Inverse des logschen Engangs. AND: X 1 & = X 1 X 2 X 2 X 1 X Das AND st mt der Multplkaton eng verwandt, und lefert nur dann ene logsche 1 wenn bede Engänge 1 snd.

5 OR: = X 1 X 2 X 1 X 2 1 X 1 X Das OR st der Addton sehr ähnlch und lefert dann ene logsche 1 wenn ener der beden Engänge auf logsch 1 st. NAND: X 1 & = X 1 X 2 X 2 X 1 X Das NAND st en AND mt ener Inverson des Ausganges. NOR: X 1 1 = X 1 X 2 X 2 X 1 X Das NOR st en OR mt ener Inverson des Ausganges.

6 XOR: = X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X Das XOR oder EXKLUSIVE OR lefert nur be ener logschen 1 an enem Engang ene logsche 1 am Ausgang II.2 Komplexe Logkfunktonen: Alle komplexen Logkfunktonen snd mt den elementaren Logkfunktonen realserbar. Bespele solcher komplexer Logkfunktonen snd: Multplexer Demultplexer Decoder Prorty-encoder Komparator Wr betrachten jetzt folgende Logkfunkton, de wr gerne mt Hlfe der elementaren Logkfunktonen darstellen wollen. A 0 A 1 B 0 B 1 OUT1 OUT

7 Ich werde das Verfahren an desem Bespel demonstreren, aber ncht systematsch erklären. Wr werden jetzt n Folge de Logkfunkton der gesuchten kombnatorschen Logk ermtteln. Dazu müssen wr jeden der beden Ausgänge getrennt behandeln. Zuerst betrachten wr OUT1: 1. Schrtt: Blden des ON-Sets Das ON-Set snd alle Ausgänge de ene logsche 1 lefern. 2. Schrtt: Mntermbldung: A 0 A 1 B 0 B 1 OUT De Mnterme snd de enfachste logsche Funkton de ene Ausgangsfunkton beschrebt. Man nvertert jeden logschen Engang der 0 st und verknüpft alle Engänge mt AND. m m 7 15 = A0 = A 0 A1 B A B B 1 B 1 3. Schrtt: Funktonsbldung: De logsche Funkton der gesamten kombnatorschen Logk st nun durch de Verknüpfung von OR zwschen allen Mntermen gegeben. In unserem Bespel st des relatv enfach: ( A A B B ) ( A A B ) y OUT 1 = B1 Für den Ausgang OUT 2 st es ganz analog und de Logkfunkton ergbt sch zu: ( A A B B ) ( A A B ) y OUT 2 = B1 Dese zwe Logkfunktonen snd nun ene vollständge Beschrebung der kombnatorschen Logk. De Funkonen snd aber nur deshalb so enfach, wll wr en relatv klenes ON-Set für das Bespel gewählt haben. Be größeren ON-Sets st de Funkton mest sehr unüberschtlch. Es st aber möglch ene klenere Form logschen Funkton zu fnden. Dese st durch Mnmerung m KV-Dagramm zu errechen. Des führt aber n unserem Rahmen zu wet.

8 III. Sequentelle Logk: Bs jetzt haben wr nur Logken betrachtet, de zumndest theoretsch nstantane logsche Ausgänge blden. Praktsch snd jedoch de Laufzeten n den Gattern zu berückschtgen. Dese führen auf de Hazardproblematk. En Hazard st ene ungewünschte Änderung des Ausganges be kombnatorschen Logken. X 0 X X 2 1 X 3 Werden alle Engänge glechzetg angelegt, so st der Ausgang X 3 mt der Verzögerungszet des Inverters erst später an der OR-Verknüpfung. Des kann zu ener Zustandsänderung führen, de aber be Entreffen des logschen Enganges vom Inverter weder wechselt. Des kann z.b. zu solchem Zetverhalten am Ausgang führen. Deses ungeplante und nur von nneren physkalschen Bedngung abhängge Verhalten bezechnet man als Hazard. Es gbt Implementerungsverfahren, be denen Hazards vermeden werden können. Ene enfachere Methode st de Pufferung mt zetabhänggen Elementen. Des führt uns auf de Sequentelle Logk.

9 Pufferung von kombnatorschen Logken mt D-Flp Flops kann de Hazards am Ausgang vermeden. Dabe wrd en Datenengang zu enem bestmmten Zetpunkt, der durch den CLK Engang gegeben st übernommen. X n y D-FF D Q CLK III.1 Elementare sequentelle Logkelemente: D-FlpFlop: Das D-Flp Flop st en zetgesteuertes Element, daß be ener stegenden Flanke am CLK Engang den logschen Wert des D Enganges (Daten Engang) übernmmt und am Q Ausgang wedergbt D-FF D Q D Q ALT Q NEU 0 X 0 1 X 1 CLK Der Steuerengang CLK st der globale Clock der be großen Logken de Steuerung aller Elemente übernmmt. Folgende Flp Flop Arten gbt es ebenfalls, snd aber m Rahmen deser Arbet ncht von Interesse für uns: JK-FlpFlop T-FlpFlop

10 III.2 Fnte state machnes (FSM) Fnte state machnes snd Zustandsmaschnen de von enem globalen Takt gesteuert werden. Wchtgstes Element st das D-FF, das den aktuellen Zustand der FSM defnert. I S n+1 = f c (S n ) S n+1 Present state S n D-FF Q D Next state CLK O uc = h c (S n ) O uc De FSM verfügt über Engänge I, Ausgänge O uc und enen globalen Steuertakt CLK. De Engänge und der aktuelle Zustand der FSM bestmmen den Zustand den de FSM als nächstes Annehmen soll. Von dem aktuellen Zustand werden Ausgänge mt ener kombnatorschen Logk gebldet, de de gewünschte Funkton genereren. De Beschrebung und Entwcklung der FSM erfolgt m Bubble Dagramm. Aus dem Bubble Dagramm werden dann de zwe kombnatorschen Logkfunktonen entnommen. Obge FSM st ene sogenannte Moore-machne en Spezalfall der sogenannten allgemenen FSM. En weterer Spezaltyp st de Mealy machne. Dort werden de Engänge I mt ener zusätzlchen kombnatorschen Logk als Mealy Ausgänge der FSM benutzt. Ene wetere Abwandlung der FSM st de asynchrone state machne. Be desem Konzept wrd auf den globalen Steuertakt verzchtet. De Rückkopplung des present state n den next state erfolgt also nur durch ene kombnatorsche Verknüpfung. Be deser Form der state machne muß sehr auf ene hazardfree Implementerung der kombnatorschen Blöcke geachtet werden. Für wetere Informatonen dazu verwese ch auf de weterführende Lteratur.

11 IV. Implementerung: Wr haben jetzt de theoretsche Behandlung von Logksystemen besprochen. Jetzt blebt noch offen, we de logschen Varablen n Hardware realsert snd. De Hardware-Realserung von logschen Systemen erfolgt auf Bass von elektromagnetschen Größen. So wrd der logsche Zustand durch de Spannung am Engang enes logschen Elementes realsert. Man unterschedet nun auch verschedene Logkfamlen mt Spannungen. IV.1 Logkfamlen: TTL (Transstor-Transstor Logk): Be TTL werden de logschen Zustände durch de zwe Spannungen 0V und 5V realsert. CMOS: Be CMOS st de Wahl der Spannungen dynamscher und geht von 5 bs 15V. Für Detals verwese ch auf weterführende Lteratur, vor allem auf passende Datenbücher. IV.2 Logkelemente: 74er Sere: De 74er Sere st ene Logksere n der verschedene Formen der Standardelemente realsert snd. Jedes Bauelement der 74er Sere st folgendermaßen bezechnet: 74 Bauform: N D DIL Standard SMD Typennr.: 00 4x NAND 74 4x D-Flp Flop 374 8x D-Flp Flop Logkfamle: HC C F Hgh Speed CMOS CMOS Fast

12 PLD (Programmable Logc Devce): Programmerbare Logkelemente snd Strukturen, de softwaremäßg mt Logkfunktonen programmert werden können. De Entwcklung erfolgt n ener Logkprogrammersprache (VHDL). Bespele solcher programmerbaren Logken snd: ALTERA MAX7000 Sere XILINX FPGA X4000 Sere TEXAS INSTRUMENTS GAL Famle Für Detals sehe weterführende Lteratur. V. Reversble Gatter: Betrachtet man en AND Gatter, so seht man, daß sch aus dem logschen Ausgangszustand ncht mehr reproduzeren läßt, welcher Engangszustand am Gatter angelegt wurde. X 1 X 2 & Informaton geht verloren = X 1 X 2 X 1 X So st zwar klar daß be enem logschen Ausgang 1 bede Engänge logsch null waren, aber über de Engangsstuaton be enem Ausgang logsch null st nchts bekannt. Daher st das AND Gatter en rreversbles Gatter.

13 We man seht st aber z. B der Inverter endeutg reversbel. Zu jedem Ausgangszustand st endeutg defnert welcher Engangszustand hn erzeugt hat. Inverter: X = X X Es sollen jetzt enge reversble Gatter vorgestellt werden, de für quantenmechansche Logksysteme aufgrund Ihrer Reversbltät von Bedeutung snd. Control-Not Gatter (CN-Gatter): a b CN a f b f a b a f b f Das CN Gatter verfügt über en Control Bt a und en Target bt b. Das control bt ändert senen Wert während der Operaton ncht. Das Target bt nvertert senen logschen Zustand wenn das Control bt logsch 1 st. Da das Control bt unverändert blebt st auch der Zustand des Target bts vor der logschen Operaton determnert. Damt st deses Gatter reversbel. Verglecht man de Wahrhetstabelle mt den Grundelementen, so seht man, daß de Logkfunkton für b f durch en XOR gegeben st. De boolschen Glechungen lauten daher: a b f f = a = a b

14 Control-Control-Not Gatter (CCN-Gatter): a f = a a a f b f = b b CCN b f c f = a b c c c f Repräsentaton des AND be c = 0 Repräsentaton des Inverters be a = 1 und b = 1 Repräsentaton des CN Gatters be a = 1 a b c a f b f c f Das 3 Bt CCN Gatter st en unverselles reversbles Gatter, mt dem verschedene Logkfunktonen realsert werden können. F-Gate (Fredkn Gate): Das Fredkn Gatter wrd auch Control-Exchange genannt. Sene Funkton st charaktersert durch de folgende Wahrhetstabelle: Repräsentaton des AND be c = 0 a b c a f b f c f Be a = 1 tauschen de Bts b and c de Werte, daher auch der Begrff Exchange Gate. Das F-Gate st we man seht auch en reversbles Gatter.

15 VI. Weterführende Lteratur [1] Tetze, Schenk Halbleter-Schaltungstechnk Sprnger Verlag ; ISBN [2] Weste, Eshraghan Prncples of CMOS VLSI Desgn Addson Wesley ; ISBN [3] S. Nowck Automatc Synthess of Burst Mode asynchronous controllers Techncal report CSL-TR Stanford Unversty [4] M.W. Shelds Serelle und parallele Automaten VCH Verlagsgesellschaft ; 1987