Rotation (2. Versuch)
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- Catrin Auttenberg
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1 Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen das Lnenntegral längs ener geschlossenen Kurve ncht verschwndet. Der Wert des Lnenntegrals wschen we Punkten wrd vom Weg abhängg für glt: C ds 0 Solche Vektorfelder heßen Wrbelfelder. Bespel: - etlch veränderndes Magnetfeld B ereugt en rngförmges elektrsches eld E Ene Ladung werde von Punkt 1 um Punkt 2 bewegt. De Arbet hängt n desem all vom Weg ab. - Arbet längs des Weges 1 st postv - de Arbet längs des Weges 2 st negatv. Das geschlossene Lnenntegral von Punkt 1 über Punkt 2 nach Punkt 1 damt von Null verscheden. Der Wert des Lnenntegrals längs ener geschlossenen Kurve C heßt Zrkulaton. Bespel: In der Abbldung snd we Vektorfelder geechnet. De Zrkulaton st längs des Kreses für das eld lnks m Bld estent für das Radal-eld rechts jedoch glech Null. Der Wert der Zrkulaton st en Maß für de Wrbelstärke n der durch den Integratonsweg C engeschlossenen läche A. De Zrkulaton stellt also enen mttleren Wert für de Wrbelhaftgket n deser läche dar. Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 1
2 rage: Wrbelhaftgket n enem bestmmten Punkt? Wr blden das Verhältns der Zrkulaton ur läche A vom Integratonsweg C engeschlossen - Problem: ene läche st außer durch de Größe noch durch ene Rchtung charaktersert; damt wrd de Orenterung der läche um Vektorfeld wchtg! Wert der Zrkulaton st von der Orenterung der läche A abhängg. - Lösung: läche A wrd durch en vektorelles lächenelement festgelegt Wählen wr als Rchtung von A nachenander de Rchtungen der dre Koordnatenachsen dann ergeben sch für desen Grenwert m allgemenen dre verschedene Werte. Es kann bewesen werden dass dese dre Werte als Beträge der Komponenten enes Vektors aufgefasst werden können. Deser Vektor heßt Rotaton von und wrd geschreben rot. Der Betrag des Vektors Grenwert. rot n Rchtung des vektorellen lächenelementes A st gegeben durch den 1 lm A0 A ds C A Wr beechnen nun den Enhetsvektor n Rchtung von A mt A 0. Dann können wr schreben und erhalten auf beden Seten enen Skalar rot A 0 1 lm A0 A ds C A Anschaulches Bespel für de Kennechnung enes Vektorfeldes durch sene Rotaton: Wasserströmung. - De Wasserströmung wrd durch das Geschwndgketsfeld v beschreben. - Wr werfen ene Kugel n de Strömung de wegen hrer Dchte dort schwebt. - Gbt es Wrbel n der Strömung st rot v ncht überall Null dann begnnt de Kugel sch u drehen. De Rotatonsachse deren Orenterung örtlch verscheden sen kann gbt de Rchtung von an. De Wrbelgeschwndgket n Beug auf de Drehachse st proportonal um Betrag von rot v. rot v Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 2
3 Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 3 Rechenvorschrft ur Bestmmung des Vektors rot : - Wr bestmmen den Vektor rot komponentenwese! : -Komponente: A se de -Komponente des lächenelements A ; läche A = Rechteck n der - Ebene. Weterhn geht n de Rechnung das Vektorfeld mt senen Komponenten an den entsprechenden Orten en: ; ; Als Näherungsausdruck für das Lnenntegral ergbt sch durch Multplkaton der Rechteckseten mt den Komponenten von n Rchtung des Integratonsweges entsprechend Abbldung: ds rot C 1 1 Volleht man den Grenübergang mt 0 und 0 erhält man de Dfferen der partellen Abletungen rot : Zur Berechnung der und Komponenten von rot legen wr de läche A n de -Ebene bw. -Ebene und gehen analog vor. Es ergeben sch de 3 Komponenten we unten Defnton m Vektor dargestellt.
4 Defnton: Rotaton enes Vektorfeldes rot ; ; rot ; rot j k Damt erhalten wr de Rechenvorschrft ur Berechnung der Rotaton. De Rotatonsbldung ordnet enem Vektorfeld weder en Vektorfeld u. Bespel 1: In der Abbldung st en Längsschntt durch das Geschwndgketsfeld ener lüssgketsströmung geechnet. De Geschwndgket hat de Rchtung der -Achse. Am Grund 0 verschwndet de Geschwndgket. De Geschwndgket nmmt lnear mt der Höhe über Grund u. Das Geschwndgketsfeld v lässt sch darstellen als v a j a const. Nach Rechnung erhält man für de Rotaton von v : j k rot v a00 0 a 0 Das Lnenntegral längs des geschlossenen Weges C verschwndet ncht. Bespel 2: Zu berechnen st de Rotaton des Vektorfeldes 0 We seht deses eld aus? En Versuch der Veranschaulchung st m Bld rechts u sehen. rot j k Deses Vektorfeld st ncht wrbelfre was auch anschaulch klar st. Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 4
5 Bespel 3: Wr berechnen rot für en radalsmmetrsches eld En Schntt durch das eld wedmensonal st ur Veranschaulchung m Bld dargestellt. rot j k 000 Deses radalsmmetrsche eld st natürlch wrbelfre. Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 5
6 Integralsat von Stokes Durch den Integralsat von Stokes wrd für en belebges Vektorfeld das Oberflächenntegral über dese läche mt dem Lnenntegral um den Rand deser belebg großen und belebg gelegten läche verknüpft. Wr betrachten de läche A mt der Randkurve C. De läche kann näherungswese durch n ebene Telflächen A dargestellt werden. De -te Telfläche wrd durch de Kurve Wr blden für de -te Telfläche ds C C umrandet. das Lnenntegral A Deser Ausdruck st näherungswese glech Wr summeren über und erhalten rot A. n rot A 1 1 n rot A n 1 C ds In der Summe über de Lnenntegrale trtt be den nneren Integratonskonturen jewels en Wegpaar mt entgegengesetter Rchtung auf. Dese nneren Beträge heben sch gegensetg auf so dass nur der Betrag von den äußeren Wegelementen längs C übrg blebt. Wr führen den Grenübergang A 0 n durch und erhalten den Integralsat von Stokes. Integralsat von Stokes A rot da C A ds Der Integralsat von Stokes verknüpft das Oberflächenntegral der Rotaton des Vektorfeldes über ene läche A mt dem Lnenntegral von längs der Umrandung C. Glt rot 0 für en Volumen V n dem de läche A enthalten st dann verschwndet de lnke Sete und es glt: C A ds 0 Daraus folgt nach dem m vorhergehenden Abschntt Gesagten dass das Integral n desem all vom Weg unabhängg st Potentalfeld. Dr. Hempel / Mathematsch Grundlagen - Rotaton 2. Versuch Sete 6
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