1.11 Beispielaufgaben

Transkript

1 . Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner n de algebrasche Form gebracht werden. Mt der Eulerschen Formel erhält man e 5f = cos 5f 5f = Ô. Damt st der Nenner glech + Ô = Ô. Wr berechnen nun de komplexe Zahl, ndem wr mt der komplex konjugerten Zahl des Nenners erwetern: z = +e 5f = Ô = ( ) Ô Ô + Ô + = 9 + Ô + Ô 9 + = 8 +Ô + Ô, 08 0,. = 9+Ô + (Ô )

2 Mengen komplexer Zahlen Aufgabe. Man skzzere n der komplexen Zahlenebene de Menge aller komplexen Zahlen z, de de Unglechung z > Ô 8 erfüllen. Wr schreben zunächst de komplexe Zahl n algebrascher Form auf: dann glt für den Betrag z =x +y =x + (y ), z = x + (y ) = (x) + (y ). De Menge aller komplexen Zahlen mt z > Ô 8 st folglch z = (x) + (y ) > Ô 8 (x) + (y ) > 8. Obwohl Quadreren kene äquvalente Umformung st, st dese Umformung äquvalent, da de Wurzelfunkton auf hrem Defntonsberech monoton wachsend st. Ausmultplzeren führt auf: x +y y +> 8 x + y y + >. Quadratsches Ergänzen für y ergbt y y + = y + und damt x + y >. Wel x +! y " =enen Kres mt dem Mttelpunkt! 0; " und dem Radus Ô beschrebt, st de gesuchte Menge aller komplexen Zahlen z mt z > Ô 8 gerade das Äußere deses Kreses.

3 y z > 8 r = (0; 0.5) x Aufgabe. Man bestmme de Menge aller komplexen Zahlen z mt z + < z +. Wr schreben de Beträge zunächst enzeln hn: z + = x + y + = x ++(y ) = (x + ) +(y ) und z + = x + y + = x + (y + ) = x +(y + ). Damt ergbt sch de Unglechung (x + ) +(y ) < x +(y + ), de äquvalent zur Unglechung st. Ausmultplzeren ergbt (x + ) +(y ) < x +(y + ) x +x ++y y +9< x + y +y + x + < 8y + y > x +.

4 z + < z + y x Aufgabe. Man bestmme alle komplexen Zahlen z, mt z +Re (z ) Æ Im (z). Um de Aufgabe zu lösen schreben wr zunächst alle Telgrößen explzt auf: z = x + y, z = x + y, z =(x + y)(x + y) =x +xy y, Re (z )=x y, z = (x + y) =x y, Im (z) =x, Im (z) = x. Damt wrd de Unglechung zu x + y + x y Æ x x Æ x x Æ x. Lösung der Unglechung: () Für x = 0 st de Unglechung erfüllt, 5

5 () Für x > 0 wrd de Unglechung zu x Æ x x Æ und wr erhalten als Lösung alle x mt 0 < x Æ. () Für x < 0 wrd de Unglechung zu x Æ x x Ø und wr erhalten als Lösung alle x mt Æ x < 0. Insgesamt snd damt alle x mt Æ x Æ Lösungen der Unglechung. De Unglechung benhaltet nur den Realtel x der komplexen Zahl, deshalb glt de Bedngung für alle komplexen Zahlen z = x + y mt y œ R und x œ [ ; ]. Bespel zum Potenzeren Aufgabe.5 Man berechne de 00-te Potenz, also z 00 von z = +. Zunächst müssen wr z n trgonometrscher Form darstellen. Dazu berechnen wr zunächst den Betrag von z: Ô Ô r = x + y = + =. Merke, der Imagnärtel von z = x + y st y und ncht y, es glt r = x + y und ncht r = x y. Nun berechnen wr den Wnkel Ï, entweder aus dem Arkustangens, n desem Fall glt arctan y = arctan x = arctan( ) = f. De komplexe Zahl z legt aber m. Quadranten, da x < 0 und y > 0 st. Deshalb st Ï = f + arctan( ) = f f = f. Damt haben wr de trgonometrsche Darstellung z = + = r(cos Ï Ô Ï) = cos f f

6 erhalten. Würde man ncht den Arkustangens, sondern den Arkuskosnus verwenden, so ergäbe sch: arccos x r = arccos Ô = arccos( Ô )= f. Da z m. Quadranten legt, st also Ï = f. Das Potenzeren geht nun ganz enfach: z 00 = Ô = 00 cos Ô = 00 cos Ô = 00 f cos = 500Ô f cos Ô cos f f = Ô 00 cos 00f 750f + f 75 f + f f f 00 00f 750f + f 75 f + f = 500 z = 500 ( +). Bespel zum Wurzelzehen Aufgabe. Man berechne de 00-te Wurzel aus z = 500 ( +). Dazu benötgen wr den Betrag von z, es st Ô Ô r = ( 500 ) + ( 500 ) = = 000 = 500Ô 7

7 und für den Wnkel erhalten wr we m vorgen Bespel: y x = bzw. x r = Ô = Ô = Ô und damt Ï = f. Also st z = 500 ( +) = 500Ô f cos f. Wr zehen nun de 00-te Wurzel. Zunächst muss man de Wurzel aus dem Betrag von z zehen: Ò Ò 00 Ô 500Ô 000Ô = Ô 00 Ô = =. Damt ergeben sch mt 00Ô Ô r = und Ï = f nsgesamt 00 verschedenen komplexe Zahlen als Wurzeln: Ô f z k := cos +kf f +kf, k = 0,,,..., Wr berechnen nur enge wenge genauer. Für k = 0 erhalten wr Ô f f z 0 = cos und für k = 75 erhalten wr Ô f + 75 f f + 75 f z 75 := cos Ô f = cos + 000f f + 000f Ô f f = cos ebenfalls ene der Wurzeln, dese Zahl hatten wr m vorgen Bespel gerade potenzert, um 500 ( +) zu erhalten. 8

8 Aufgabe.7 Welche dre Lösungen z œ C erfüllen de Glechung + z = 0? Geben Se de Lösung n exponenteller und n arthmetscher Form an. Zunächst formen wr de Glechung um zu: z =. Damt wrd klar, dass de Aufgabe darn besteht de drtten Wurzeln der komplexen Zahl! " zu bestmmen. Da man de Wurzeln am besten aus der trgonometrschen oder auch exponentellen Form bestmmen kann, berechnen wr nun Betrag und Argument deser komplexen Zahl. Als erster Schrtt st aber geegnet zu bestmmen und zu potenzeren. Es st = ( ) ( ) = =, durch Erwetern mt, der konjugert komplexen Zahl zu. (Man kann natürlch auch sofort mt = multplzeren.) Damt erhält man =( ) =( ) =( )8( ) =8 und = 8. Alternatv kann man auch zunächst Potenzeren und dann zur trgonometrschen Form übergehen: = = 8 = 8 = 8( ) ( ) = 8. Nun st der Betrag und das Argument zu berechnen: 8 = Ô 0 +8 =8 9

9 und 8 legt auf der negatven magnären Achse, d.h. Ï = f. De trgonometrsche/exponentelle Form st folglch =8 cos f f =8e f. Zum Abschluß snd de. Wurzeln aus deser komplexen Zahl anzugeben. Es glt z k = nô Ï +kf Ï +kf R cos, k = 0,,..., n, n n Ô f = 8 cos +kf f +kf, k = 0,,, und damt z 0 = z = = cos = = cos f f cos f f f cos +f f +f f +f f +f cos 7f 7f =e 7f, 7, f z = cos +f f +8f = cos = cos f, 7. f f +f f +8f =e f = =e f, 0

10 De Wurzeln legen auf enem Kres mt dem Radus r =um den Ursprung und blden en glechsetges (reguläres) Dreeck. Für de Wnkel glt = = = 0.