1 Ergänzungen zur Linearen Algebra

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1 LA E Ergänzungen zur Lnearen Algebra 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen Als erstes Ergänzungen zu Summen von Unterräumen. Snd V 1,..., V k Unterräume des R n, so soll de Menge {x x k x V } auch Summe der V heßen und mt V oder V V k bezechnet werden. De Menge V = V besteht also aus allen Vektoren, de sch als Summe von Vektoren aus den V schreben lassen. Dese Menge st sogar en Unterraum: Snd nämlch x = x und y = y zwe Vektoren aus V, de auch schon als Summen dargestellt snd, so st x + y = x + y auch als ene solche Summe darstellbar, da ja x + y n V legt für alle. Entsprechend seht man, dass mt x = x für jedes a auch ax = ax n V legt. Damt erfüllt V de beden Bedngungen für enen Unterraum. Übrgens legen alle V n deser Summe; wählt man nämlch en belebges x V j, so lässt sch des auch als x schreben mt x V, ndem man alle x mt j glech 0 setzt und x j = x. En enfaches Krterum dafür, dass en Unterraum Summe anderer Unterräume st: Feststellung 1. Es seen V 1,..., V k Unterräume des R n und V en weterer Unterraum. Dann st V genau dann de Summe der V, wenn alle V n V enthalten snd und wenn alle Elemente aus V sch als Summe von Elementen der V schreben lassen. Offenbar erfüllt de Summe der V de beden Bedngungen. Umgekehrt se V en Unterraum, der bede Bedngungen erfüllt. Ist V de Summe der V, so st zu zegen, dass V = V glt.. Mt den V enthält V dann auch alle Summen von Elementen der V, also glt V V. Anderersets st jedes Element von V ene Summe von Elementen der V, daher Element von V, weshalb umgekehrt V V und nsgesamt V = V glt. Her hat man dann Darstellungen von Vektoren durch Summen anderer Vektoren, de aus bestmmten Unterräumen stammen; es besteht ene gewsse Ähnlchket

2 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 2 mt dem Erzeugns von gegebenen Vektoren, das ja de Menge aller Lnearkombnatonen deser Vektoren st. Bem Erzeugns war de Frage nteressant, wann alle solche Darstellungen endeutg snd; das war genau dann der Fall, wenn de gegebenen Vektoren lnear unabhängg waren (se waren dann auch ene Bass des Erzeugnsses). Entsprechend kann man her nach Bedngungen dafür fragen, dass Darstellungen x = x von Vektoren aus V endeutg snd. Ene hnrechende (wenn auch ncht notwendge) Bedngung dafür st de, dass de V orthogonal snd. Es glt also Feststellung 2. Snd V 1,..., V k Unterräume des R n mt V V j für alle j, so gbt es für alle x V genau ene Darstellung als x = x mt x V. Ist P de Projekton auf V, so erhält man x als P x. Dass es ene solche Darstellung gbt, sagt gerade de Defnton, es blebt de Endeutgket. Wendet man aber auf ene Darstellung x = j x j mt x j V j de Projekton P an, so erhält man P x = j P x j. In deser Summe snd aber alle P x j glech 0 für j, da ja dann x j n V j V legt, also nsbesondere n V, wohngegen P x = x glt. Insgesamt st P x = x, womt x endeutg st. Abkürzend soll für dese Stuaton (de V snd wechselsetg orthogonal und V st de Summe der V ) auch de Sprechwese gebraucht werden, dass de V ene orthogonale Zerlegung von V snd. Feststellung 3. Blden de Unterräume V ene orthogonale Zerlegung des Unterraums V = V, und snd P de Projektonen auf de V, so glt P P j = 0 für j. Außerdem st P = P de Projekton auf V. De Glechungen P P j = 0 für j gelten, da dann V V j st. Setzt man P = P, so erhält man durch Ausmultplzeren P P = P P j = j P P = P = P, da ja für j de Produkte P P j = P P j alle 0 snd. Damt st P orthogonale Projekton. Wegen Px = P x und P x V glt Px V für alle x R n, also Bld(P) V. Legt umgekehrt x = j x j n V mt x j V j, so glt Px = j P x j = x = x, da P x j glech 0 st für j und glech x für = j. Damt glt V Bld(P) und nsgesamt folgt so V =Bld(P).

3 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 3 Feststellung 4. Blden de Unterräume V ene orthogonale Zerlegung des Unterraums V = V, snd P de Projektonen auf de V und P = P de Projekton auf V, so glt für alle x, y R n de Bezehung <Px, Py > = x P y = <P x, P y >, nsbesondere glt Px 2 = x P x = P x 2. Zur Begründung multplzert man enfach de Glechung P = P von lnks mt x und von rechts mt y, woraus sch de erste Behauptung ergbt wegen <Px, Py > = x Py und den entsprechenden Aussagen für alle P. De zwete Behauptung ergbt sch daraus dann, wenn man zusätzlch y = x setzt. Snd dann nsbesondere x und y aus V und de Summen x = x und y = y de endeutgen Darstellungen durch Elemente der V, so gelten wegen Px = x sowe P x = x und P y = y de Glechungen <x, y > = <x, y > und x 2 = x 2 Jetzt werden enge Sachverhalte etwas anders beschreben; Hlfsmttel st ene auf das endlchdmensonale heruntergebrochene Spektraltheore, de jedoch nur n Ansätzen geschldert wrd, nämlch sowet, we se her gebraucht wrd. De Termnologe st etwas deosynkratsch wegen enger formaler Analogen an de elementare W-Theore angelehnt. Zunächst enge Bezechnungen: Mt OP(n) se de Menge der orthogonalen Projektonen m R n bezechnet, mt S(n) de Menge der symmetrschen (n n)- Matrzen. Offenbar st OP(n) ene Telmenge von S(n), das sch auch als Vektorraum auffassen lässt (wenn man bespelswese de Enträge auf und oberhalb der Dagonale n rgendener festen Rehenfolge zu enem Vektor zusammenfasst). Gegeben se nun ene endlche Menge Ω mt k > 0 Elementen (Analoge: Grundgesamthet). Dann soll ene Funkton p : Ω OP(n)

4 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 4 ene P-Funkton heßen, wenn für alle ω ω aus Ω de Bedngung p(ω)p(ω ) = 0 glt. Analoge snd de W-Funktonen aus der elementaren W-Theore. Für p(ω) soll auch kurz auch P ω geschreben werden und für das Bld von P ω auch V ω. Dann st also P ω = p(ω) orthogonale Projekton auf den Unterraum V ω des R n. De Bedngung p(ω)p(ω ) = 0 für ω ω bedeutet dann P ω P ω = 0, was bekanntlch wederum äquvalent dazu st, dass V ω V ω glt. Man kann also auch so formuleren, dass de P ω = p(ω) orthogonale Projektonen auf unterenander orthogonale Unterräume sen sollen. Des st übrgens de gerade zuvor behandelte Stuaton. Als nächstes sollen Funktonen f auf Ω mt Werten n R betrachtet werden (Analoge etwa: Zufallsvarable). Bekanntlch kann man Funktonen adderen und mt Zahlen multplzeren (also: (f + g)(ω) = f(ω) + g(ω) und (af)(ω) = a(f(ω)), jewels für alle ω Ω). Funktonen kann man aber auch multplzeren ((f g)(ω) = f(ω)g(ω) für alle ω Ω). De ersten beden Operatonen snd Operatonen, we man se von enem Vektorraum kennt; man kann de Funktonen sogar mt Vektoren dentfzeren, womt de Menge der Funktonen auch formal zu enem Vektorraum wrd. Herzu brngt man de Elemente von Ω n ene feste Rehenfolge ω 1,..., ω k und dentfzert f mt dem Vektor, der als -te Komponente gerade f(ω ) bestzt. Wenn bespelswese Ω dre Elemente ω 1, ω 2, ω 3 bestzt, de durch f auf de Zahlen 1, 5, 3 abgebldet werden, so wäre der entsprechende Vektor enfach (1, 5, 3). Ene solche feste Anordnung der Elemente von Ω soll für vele der folgenden Argumente zur Verenfachung der Notaton vorausgesetzt werden; der Enfachhet halber soll dann für p(ω ) = P ω auch kurz P geschreben werden. De Menge aller solcher Funktonen kann so mt dem Vektorraum R k dentfzert werden.

5 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 5 Offenbar entsprcht dann de Addton von Funktonen der Addton der entsprechenden Vektoren und de Multplkaton ener Funkton mt ener Zahl der Multplkaton des entsprechenden Vektors mt deser Zahl. Enthält bespelswese weder Ω dre Elemente ω 1, ω 2, ω 3, und snd f und g de Funktonen, de desen Elementen n der glechen Rehenfolge de Zahlen 2, 4, 1 (f) und 3, 3, 1 (g) zuordnen, so wrd f durch den Vektor (2, 4, 1) repräsentert und g durch den Vektor (3, 3, 1). De Funkton f +g ordnet den Elementen ω 1, ω 2, ω 3 dann de Werte = 5, = 7, 1 + ( 1) = 0 zu und wrd folglch durch den Vektor (5, 7, 0) repräsentert, der sch n der Tat durch Vektoraddton aus (2, 4, 1) und (3, 3, 1) ergbt. Entsprechend hat 5f auf den ω n der gegebenen Rehenfolge de Werte 5 2 = 10, 5 4 = 20, 5 1 = 5, wrd also durch den Vektor (10, 20, 5) repräsentert, also n der Tat durch 5 (2, 4, 1). De Multplkaton von Funktonen hat zunächst kene Entsprechung be den Vektoren, allerdngs lässt sch dese Entsprechung lecht herstellen durch de Operaton, de aus zwe Vektoren durch komponentenwese Multplkaton enen drtten herstellt. Enthält we eben weder Ω dre Elemente ω 1, ω 2, ω 3, und snd f und g de Funktonen, de desen Elementen n der glechen Rehenfolge de Zahlen 2, 4, 1 (f) und 3, 3, 1 (g) zuordnen, so ordnet de Funkton fg den Elementen ω 1, ω 2, ω 3 de Werte 2 3 = 6, 4 3 = 12, 1 ( 1) = 1 zu und wrd folglch durch den Vektor (6, 12, 1) repräsentert, der sch n der Tat durch komponentenwese Multplkaton aus (2, 4, 1) und (3, 3, 1) ergbt. Als nächstes wrd auf der Menge der Funktonen auf Ω (de sch so ja als k-dmensonaler Vektorraum auffassen lässt) ene Funkton O mt Werten n S(n) defnert durch de Vorschrft O(f) = f(ω)p(ω). ω De Analoge st her der Erwartungswert. Hat man weder ene feste Rehenfolge der Elemente von Ω gewählt und f dann durch den Vektor (a 1,..., a k ) repräsentert (st also f(ω ) = a ), so st anders ausgedrückt O(f) = a P. In der Tat legt damt O(f) n S(n).

6 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 6 Identfzert man de Menge der Funktonen auf Ω mt R k und auch S(n) mt dem oben nochmals erläuterten Vektorraum, so hat man her ene Abbldung von enem Vektorraum n enen anderen, von der man sofort nachrechnet, dass se lnear st. (Wrd f durch a = (a 1,..., a k ) repräsentert und g durch b = (b 1,..., b k ), so f + g durch a + b und es ergbt sch O(f + g) = (a + b )P = a P + b P = O(f) + O(g), entsprechend O(cf) = co(f) für jede Zahl c.) De Funkton O respektert aber auch de Multplkaton, es glt nämlch auch O(fg) = O(f)O(g). (Für den analogen Erwartungswert glt des ncht mmer, sondern nur für Zufallsvarable mt Kovaranz 0.) Wrd nämlch weder f durch enen Vektor a = (a 1,..., a k ) repräsentert und g durch enen Vektor b = (b 1,..., b k ), so wrd fg repräsentert durch den Vektor c = (c 1,..., c k ) mt den Komponenten c = a b. Dann glt ( ) ( ) O(f)O(g) = a P b P j = a b j P P j. j j Nun st aber P P j = 0 für j und glech P P = P für j =, so dass sch des verenfacht zu O(f)O(g) = a b P = c P = O(fg). Nun sollen spezelle Funktonen betrachtet werden, nämlch solche, de nur de Werte 0 und 1 annehmen. De Funkton auf Ω, de auf ener Telmenge A den Wert 1 annmmt und sonst den Wert 0 wrd üblcherwese mt χ A bezechnet und heßt auch Indkatorfunkton. (Se gbt sozusagen durch den Funktonswert 1 an, dass das betrachtete Element von Ω zu A gehört.) Hat Ω bespelswese 6 Elemente ω 1,..., ω 6 und st A = {2, 4, 6}, so wrd χ A repräsentert durch (0, 1, 0, 1, 0, 1). In der Wahrschenlchketstheore st der Erwartungswert der Indkatorfunkton ener Menge A gerade de Wahrschenlchket von A; auch herzu soll nun en Analogon gebldet werden.

7 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 7 Zunächst enge elementare Egenschaften von Indkatorfunktonen. Snd A und B dsjunkt, so st de Indkatorfunkton von A B glech der Summe der Indkatorfunktonen von A und B. Mt enem Bespel sollte das sofort enleuchten: Wenn Ω weder de 6 Elemente ω 1,..., ω 6 enthält und A = {ω 1, ω 2 } st und B = {ω 4, ω 5 }, so st A B = {ω 1, ω 2, ω 4, ω 5 }. Werden de Indkatorfunktonen durch Vektoren repräsentert, so hat man de Entsprechungen χ A (1, 1, 0, 0, 0, 0) χ B (0, 0, 0, 1, 1, 0) χ A B (1, 1, 0, 1, 1, 0) De Indkatorfunkton von A B st also n der Tat de Summe der Indkatorfunktonen von A und B. De Indkatorfunkton von Ω st natürlch de Funkton, de überall 1 st und de von de, de überall 0 st (repräsentert werden dese Funktonen durch den Vektor aus lauter Ensen bzw. lauter Nullen). Snd A und B nun belebge Mengen, so glt χ A B = χ A χ B ; de Indkatorfunkton des Durchschntts st also das Produkt der Indkatorfunktonen. Auch des sollte durch en Bespel sofort klar werden: Hat Ω weder 6 Elemente und st A = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } und B = {ω 2, ω 4, ω 6, }, so st A B = {ω 2, ω 4 }. Werden de Indkatorfunktonen durch Vektoren repräsentert, so hat man de Entsprechungen χ A (1, 1, 1, 1, 0, 0) χ B (0, 1, 0, 1, 0, 1) χ A B (0, 1, 0, 1, 0, 0) De Indkatorfunkton von A B st also n der Tat das Produkt der Indkatorfunktonen von A und B. Damt erhält man auch sofort de Formel für de Indkatorfunkton von A B m allgemenen Fall, nämlch χ A B = χ A + χ B χ A B Auch des sollte sofort mt dem vorgen Bespel enleuchten: Werden de Indkatorfunktonen durch Vektoren repräsentert, so hat man nämlch de Entspre-

8 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 8 chungen χ A (1, 1, 1, 1, 0, 0) χ B (0, 1, 0, 1, 0, 1) χ A B (1, 1, 1, 1, 0, 1) χ A + χ B (1, 2, 1, 2, 0, 1) χ A B (0, 1, 0, 1, 0, 0) Nun kann schleßlch ene wetere Funkton π auf der Potenzmenge von Ω engeführt werden durch de Vorschrft π(a) = O(χ A ) Es wrd sch glech zegen, dass dese Funkton ähnlche Egenschaften hat we en W-Maß; se soll daher auch als en P-Maß bezechnet werden ( P für Projekton). Zunächst snd de Funktonswerte tatsächlch orthogonale Projektonen. Da de Werte der Funkton O symmetrsche Matrzen snd, damt auch de der Funkton π, recht es zu zegen, dass de Matrzen, de sch als Funktonswerte der Funkton π ergeben, auch dempotent snd. Her glt aber für jede Telmenge A von Ω: π(a)π(a) = O(χ A )O(χ A ) = O(χ A χ A ) = O(χ A A ) = O(χ A ) = π(a) Damt nmmt π tatsächlch Werte n OP(n) an, es glt also π : P(Ω) OP(n), wenn P(Ω) we üblch de Potenzmenge von Ω bezechnet. Dese Egenschaft entsprcht dem ersten Axom für en W-Maß P, nämlch dem, dass P nur nchtnegatve Werte annehmen kann. Auch das drtte Axom fndet sofort sene Entsprechung: Snd nämlch A und B dsjunkt, so glt π(a B) = π(a) + π(b) Des ergbt sch sofort folgendermaßen: π(a B) = O(χ A B ) = O(χ A + χ B ) = O(χ A ) + O(χ B ) = π(a) + π(b),

9 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E 15 9 wobe χ A B = χ A + χ B benutzt wurde, was ja für dsjunkte Mengen A und B glt. Bsher hat das zwete Axom für W-Maße allerdngs noch kene rchtge Entsprechung. Dese erhält man jedoch, wenn man noch de Zusatzforderung stellt, dass π(ω) = I sen soll, also de Enhetsmatrx. Des muss bsher noch ncht unbedngt gelten. Falls dese Forderung aber auch erfüllt st, falls also zusätzlch noch π(ω) = I glt, so hat man n π en Bespel für ene sogenannte Zerlegung der Ens. Krteren dafür, dass auch dese Zusatzbedngung noch erfüllt st, glt es noch zu fnden. Ene Zerlegung π der Ens, we se (mt Zusatzbedngung) her konstruert wurde, erfüllt damt folgende Bedngungen: (1) π(a) OP(n) für alle A Ω (2) π(ω) = I (3) π(a B) = π(a) + π(b) falls A B = Damt st de Analoge zu W-Maßen augenfällg. Man könnte jetzt analog (und ganz parallel) zur W-Theore aus den Axomen wetere Folgerungen zehen, enfacher st es aber, Folgerungen für den her betrachteten Spezalfall aus der Konstrukton herzuleten. Zunächst wrd dabe π(ω) = I, also (2) ncht vorausgesetzt. Klar st zunächst, dass π( ) = 0 glt, des folgt bespelswese mt der Egenschaft (3) oben: Da = st, glt auch π( ) = π( ) = π( ) + π( ), und zeht man be deser Glechung auf beden Seten π( ) ab, so folgt de Behauptung. Natürlch folgt des auch drekt aus der Konstrukton: de charakterstsche Funkton der leeren Menge st ja de, de konstant 0 st, und dese Funkton wrd durch O natürlch weder auf 0 (de Nullmatrx) abgebldet.

10 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E Im allgemenen Fall belebger Mengen A und B glt π(a B) = π(a) + π(b) π(a B), was sofort aus der Glechung χ A B = χ A + χ B χ A B folgt, wenn man auf bede Seten de Funkton O anwendet. Man kann des jedoch auch aus den bshergen Egenschaften von π mt Hlfe von dsjunkten Zerlegungen so folgern we es analog aus der elementaren W-Theore bekannt st. Snd A 1,..., A m und A Telmengen von Ω, so heßt (A 1,..., A m ) bekanntlch ene dsjunkte Zerlegung von A, wenn de Verengung der A glech A st und für alle j de Bezehung A A j = glt. Ist (A 1,..., A m ) ene dsjunkte Zerlegung ener Menge A, so erhält man bespelwese aus (3) nduktv sofort de Bezehung π(a) = π(a ) glt. Alternatv seht man des aber auch mt Hlfe der offenschtlchen Glechung χ A = χ A, ndem man auf bede Seten weder O anwendet. Wchtg st vor allem ene wetere Egenschaft: (4) π(a B) = π(a)π(b) für alle A, B Ω Des hat n der W-Theore kene Entsprechung, das Analogon würde ja bedeuten, dass je zwe belebge Eregnsse unabhängg snd. Dese Egenschaft folgt her ganz enfach: π(a B) = O(χ A B ) = O(χ A χ B ) = O(χ A ) O(χ B ) = π(a)π(b) Wegen A B = B A folgt daraus π(a)π(b) = π(b)π(a), de Projektonen, de Werte der Funkton π snd, vertauschen also. Nun sollen auch noch de Unterräume untersucht werden, auf de de π(a) projzeren. Dazu wrd ene neue Funkton ψ auf P(Ω) defnert durch de Vorschrft ψ(a) = Bld(π(A)) Etwas suggestver soll gelegentlch für π(a) auch P A und für ψ(a) auch V A geschreben werden; für jede Telmenge A von Ω st dann P A de orthogonale Projekton auf V A.

11 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E De Egenschaften von ψ sollen nun etwas genauer untersucht werden. Zunächst glt ψ(a B)) = Bld(π(A B)) = Bld(π(A)π(B)) = Bld(π(A)) Bld(π(B)) = ψ(a) ψ(b), da ja π(a) und π(b) vertauschen. Etwas suggestver st herfür de Formulerung V A B = V A V B Aus A B folgt ψ(a) ψ(b): Her st ja A B = A, also ψ(a) ψ(b) = ψ(a B) = ψ(a), woraus sofort ψ(a) ψ(b) folgt. Suggestver: A B V A V B Snd A und B dsjunkt, so glt ψ(a) ψ(b): In desem Fall st ja π(a B) = π( ) = 0, woraus ψ(a) ψ(b) folgt. Suggestver: A B = V A V B Blden de A ene dsjunkte Zerlegung von A, so blden de ψ(a ) ene orthogonale Zerlegung von ψ(a): Aus der Dsjunkthet der A folgt zunächst de Orthogonaltät der ψ(a ), bekannt st dann schon π(a) = π(a ); n deser Stuaton st aber π(a ) de Projekton auf de Summe der ψ(a ), weshalb dese Summe auch glech ψ(a) sen muss. Suggestver: Blden A 1,..., A m ene dsjunkte Zerlegung von A, so blden V A1,..., V Am orthogonale Zerlegung von V A. ene Für belebges A und B glt: ψ(a B) = ψ(a) + ψ(b). Um des zu zegen, prüft man de beden Krteren aus Feststellung 1 nach. Wegen A A B glt ψ(a) ψ(a B), entsprechend für B. Damt enthält ψ(a B) de beden Unterräume ψ(a) und ψ(b). Es blebt de zwete Bedngung zu zegen, nämlch, dass jedes Element von ψ(a B) sch als Summe von Elementen von ψ(a) und ψ(b) schreben lässt. Setzt man C := B\A, so snd A und C dsjunkt und es glt A B = A C, daher π(a B) = π(a C) = π(a)+π(c). Ist nun x ψ(a C), so glt x = π(a B)(x) = π(a C)(x) = π(a)(x)+π(c)(x). Der erste Summand legt offenbar n ψ(a), der zwete n ψ(c), da aber C B) glt, auch n ψ(b), womt x ene Darstellung als Summe von Elementen von ψ(a) und ψ(b) bestzt; de Behauptung ψ(a B) = ψ(a) + ψ(b) st damt gezegt. Suggestver:

12 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E V A B = V A + V B De Aussagen über Durchschntte und Verengungen gelten übrgens auch für endlch vele A, we man lecht enseht. Es seen dazu Telmengen A von Ω gegeben. Dann glt V A = V A, was nduktv über de Zahl m der betrachteten Mengen drekt aus m A = ( m 1 ) A Am und m V = ( m 1 ) V Vm folgt. Ganz analog st de Argumentaton für Summen: Weder seen Telmengen A von Ω gegeben. Dann glt V A = V A, was nduktv über de Zahl m der betrachteten Mengen drekt aus m A = ( m 1 ) A Am und m V = ( m 1 ) V +Vm folgt (letzteres folgt sofort daraus, dass für belebge x V A de Bezehung ( m m ) x = x + x m glt). Auch über de Dmensonen kann man Aussagen machen, de sch her ganz enfach daraus ergeben, dass de Dmenson des Bldes ener orthogonalen Projekton glech der Spur deser Projekton st, und dass de Spur lnear st. Interessant st her vor allem de Aussage dm(v A B ) = dm(v A ) + dm(v B ) dm(v A B ) Dese Aussage folgt sofort aus der für de zugehörgen Projektonen gültgen Bezehung P A B = P A + P B P A B, wenn man von beden Seten de Spur bldet und deren Lneartät benutzt. Ist nsbesondere A B =, so st V A B = {0} nulldmensonal und es glt dm(v A B ) = dm(v A ) + dm(v B ) Man erkennt so auch sofort, dass m Fall von dsjunkten A de Bezehung glt. dm V A = dm(v A )

13 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E Ene Nebenbemerkung: Defnert man auf P(Ω) ene Funkton d durch d(a) = dm(ψ(a)), n der suggestveren Schrebwese d(a) = dm(v A ), so erfüllt des d de Bedngungen d(a) 0 für alle A und d(a B) = d(a) + d(b) falls A B = Damt st des d ene Art Maß, das n desem Fall nur ganzzahlge Werte annmmt. Wchtg st noch der Fall, dass π(ω) = I glt, was offenbar glechwertg damt st, dass ψ(ω) der ganze R n st. Suggestver lauten dese Bedngungen P Ω = I und V Ω = R n. Des war der Fall, n dem π auch Zerlegung der Ens genannt wurde. Her glech en Krterum dafür, dass des der Fall st: Ist p ene P-Funkton auf Ω mt Werten n OP(n) und π das zugehörge P-Maß, so st π genau dann ene Zerlegung der Ens, wenn Rang(p(ω)) = n glt. ω Dabe st natürlch der Rang von p(ω) gerade de Dmenson des Bldes von p(ω). De Behauptung folgt sofort daraus, dass de enelementgen Telmengen von Ω ene dsjunkte Zerlegung von Ω blden, weshalb dm(v Ω ) glech ω dm V {ω} = ω Rang(p(ω)) st, denn dm(v Ω) st genau dann glech n, wenn π ene Zerlegung der Ens st. Falls de Funkton p ncht zu ener Zerlegung der Ens führt, kann man des übrgens lecht korrgeren. Man bldet zunächst V Ω und nmmt davon das orthogonale Komplement, das kurz V e heßen soll. Dann erwetert man Ω um en neues Element ω e zu Ω, übernmmt de alte Funkton p und ordnet zusätzlch dem neuen Element ω e de Projekton auf V e zu. Zur Unterschedung sollen zu Ω de Funkton π und ψ gehören; de alten Funktonen π und ψ snd dann de Enschränkungen von π und ψ auf de Telmengen von Ω, de ω e ncht enthalten. Im dem Fall, dass π ene Zerlegung der Ens st, kann man den bshergen Regeln auch noch Regeln für Komplemente von Mengen hnzufügen; das Komplement ener Menge A se dabe mt A c bezechnet. Zunächst folgt aus A A c = Ω und der Dsjunkthet von A und A c zunächst

14 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E P A + P A c = P Ω = I und daraus weder P A c = I P A Damt st P A c de Projekton auf VA, womt auch V A c = V A glt. Nun soll das Ergebns der bshergen Untersuchung zusammengefasst werden; der Enfachhet halber soll dabe π ene Zerlegung der Ens sen. Dabe wrd der Kürze halber π etwas anders erklärt, nämlch ohne den Umweg über de Funkton O als π(a) = ω A p(ω); mt der zusätzlchen Verenbarung, dass de Summe über de leere Menge glech 0 sen soll, seht man sofort (ndem man A dsjunkt n de enelementgen Telmengen von A zerlegt), dass dese neue Defnton zur alten äquvalent st. Zusammenfassung für den Fall ener Zerlegung der Ens Gegeben st ene endlche Menge Ω und ene P-Funkton p : Ω OP(n), also ene Funkton n de Menge der orthogonalen Projektonen m R n, de de Bedngung p(ω)p(ω ) = 0 für ω ω erfüllt. Dabe soll außerdem p(ω) = I ω gelten, was bespelswese dann der Fall st, wenn de Summe der Ränge der p(ω) (also de Summe der Dmensonen der Blder deser Projektonen) glech n st. Dann wrd ene Funkton defnert durch π : P(Ω) OP(n) π(a) = ω A p(ω)

15 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E und ene Funkton ψ, de ebenfalls auf der Potenzmenge P(Ω) von Ω durch defnert st. ψ(a) = Bld(π(A)) Etwas suggestver wrd nun oft P A für π(a) und V A für ψ(a) geschreben. Dann gelten zunächst folgende Aussagen, de den Axomen der W-Theore sehr ähnlch snd: (1) π(a) OP(n) für alle A Ω (2) π(ω) = I (3) π(a B) = π(a) + π(b) falls A B = Zusätzlch glt für alle Telmengen A und B von Ω de wchtge Aussage π(a B) = π(a)π(b), nsbesondere vertauschen alle P A mt allen P B. Es folgen de wchtgsten oben gewonnenen Ergebnsse: P Ω = I, V Ω = R n P = 0, V = {0} P A B = P A P B = P B P A, P A B = P A + P B P A B, P A c = I P A, V A B = V A V B V A B = V A + V B V A c = V A dm(v A + V B ) = dm(v A ) + dm(v B ) dm(v A V B ) A B V A V B P A P B = P A A B = V A V B P A P B = 0 Herbe snd A und B belebge Telmengen von Ω; dass π Zerlegung der Ens st, wrd be den Aussagen über P Ω und P A c gebraucht. Be den beden letzten Aussagen kann übrgens der erste enfache Pfel durch enen Doppelpfel ersetzt werden, falls alle p(ω) unglech 0 snd s. de Anmerkung nach der Zusammenfassung. Schleßlch glt: Blden A 1,..., A m ene dsjunkte Zerlegung von A, so blden V A1,..., V Am ene orthogonale Zerlegung von V A.

16 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E Ende der Zusammenfassung. Dese Ergebnsse gelten leder nur für de Projektonen und Unterräume, de sch be der Konstrukton ergeben. Interessant st abschleßend vellecht noch de Frage, um we vele Projektonen bzw. Unterräume es dabe geht. Setzt man noch voraus, dass p für ken Element von Ω den Wert 0 annmmt, so seht man, dass dese Zahl glech 2 k st (k war de Anzahl der Elemente von Ω). Des st ja bekanntlch de Mächtgket der Potenzmenge, auf der π und ψ defnert snd. Zunächst folgt aus der Zusatzbedngung, dass für alle A auch π(a) 0 sen muss. Man kann ja en solches A dsjunkt n sene enelementgen Telmengen zerlegen, und de Dmenson von ψ(a) st dann de Summe der enzelnen Dmensonen, de aber wegen der Zusatzbedngung jetzt ncht 0 sen können. Daher st ψ(a) ncht der Nullraum und folglch auch π(a) ncht 0. Heraus folgt nun, dass π njektv st (und damt auch ψ, denn unterschedlche Projektonen haben ja unterschedlche Blder), we glech gezegt werden soll. Aus der Injektvtät von π folgt dann aber, dass de Anzahl der Projektonen, de Funktonswerte von π snd, glech der Mächtgket des Defntonsberechs P(Ω) st, also glech 2 k, und das st de Behauptung. Es blebt also zu zegen, dass π njektv st, dass also aus π(a) = π(b) schon A = B folgt. Es seen also Mengen A und B gegeben mt Durchschntt C = A B, für de π(a) = π(b) glt. Dann glt auch π(a) = π(a)π(a) = π(a)π(b) = π(a B) = π(c), entsprechend π(b) = π(c). Es soll nun gezegt werden, dass dann A = C st, ganz genauso erhält man dann auch B = C, nsgesamt also A = B. Natürlch glt C = A B A, es muss also nur gezegt werden, dass A ken Element enthält, das ncht zu C gehört. Ist aber D = A\C de mengentheoretsche Dfferenz von A und C, so blden C und D ene dsjunkte Zerlegung von A, weshalb π(a) = π(c)+π(d) glt. Wegen π(a) = π(c) st dann π(d) = 0, also D =, und damt A = C, was noch zu zegen war. Zusammenfassend glt also: Ist für ken ω Ω der Wert p(ω) glech 0, so snd π und ψ njektv, zu verschedenen Telmengen von Ω gehören dann also mmer auch verschedene Projektonen und verschedene Unterräume. In desem Fall können zwe Aussagen aus der Zusammenfassung oben noch verschärft werden:

17 1.1 Ergänzungen zu den orthogonalen Projektonen LA E A B V A V B P A P B = P A A B = V A V B P A P B = 0 Her st dann also auch der erste Pfel en Doppelpfel. Zunächst de erste Aussage: Ist P A P B = P A, so st wegen P A P B = P A B auch P A B = P A, also π(a B) = π(a), und damt jetzt wegen der Injektvtät von π auch A B = A und damt A B. De zwete ergbt sch ähnlch: Ist P A P B = 0, so st wegen P A P B = P A B auch P A B = 0 und damt jetzt A B =.