konvergiert punktweise, wenn es l : U C C gibt derart, dass konvergiert gleichmäßig, wenn es l : U C C gibt derart, dass

Transkript

1 Funktonentheore, Woche 4 Konvergenz und Folgen 4. Glechmäßge Konvergenz Ene Zahlenfolge {α n } n N C konvergert, wenn es en l C gbt derart, dass ε > 0 N ε N : n > N ε = α n l < ε. Auch zu Folgen von Funktonen {f n } n N mt f n : U C C kann man Konvergenz betrachten we man schon gesehen hat. Wr betonen nochmals enge Defntonen. Wr schreben K = R oder C. De Menge U st ene Telmenge von R m oder C m. Defnton 4. Seen f n : U K für n N. Man sagt {f n } n N konvergert punktwese, wenn es l : U C C gbt derart, dass ε > 0 z U N ε,z N n > N ε,z = f n (z) l(z) < ε. Defnton 4. Seen f n : U C C für n N. Man sagt {f n } n N konvergert glechmäßg, wenn es l : U C C gbt derart, dass ε > 0 N ε N z U n > N ε = f n (z) l(z) < ε. Wenn ene Funktonenfolge konvergert, kann man weng aussagen über de Grenzfunkton. Wenn de Funktonenfolge glechmäßg konvergert, wess man schon vel mehr: Wenn f n glechmäßg zu l konvergert und de f n snd stetg, dann st auch l stetg: l(x) l(y) l(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) l(y) Für ε > 0 nehme man: n N derart, dass für n > n und jedes x U glt l(x) f n (x) < ε und δ > 0 derart, dass für x y < δ glt 3 fmn(n,n )+(x) f mn(n,n )+(y) < 3 ε. De Funktonen f n (x) = arctan (nx) snd stetg und konvergeren nach l(x) = π sgn (x). De Funkton l st ncht stetg n 0. Bemerke, dass {f n} n N ncht glechmäßg konvergert. 9

2 0 6. Jul 008 Woche 4, Konvergenz und Folgen Defnton 4.3 Ene Famle F = {f ν } ν I von Funktonen f v : U K nennt man glechgradg stetg n x U, wenn ε > 0 δ x,ε > 0 : y x < δ x,ε = f ν (y) f ν (x) < ε. Bemerkung 4.3.,,F st glechgradg stetg auf U heßt dann: x U ε > 0 δ x,ε > 0 : y x < δ x,ε = f ν (y) f ν (x) < ε. Glechgradg stetg st egentlch selten nützlch, wenn man glechzetg ncht auch de glechmäßge Stetgket hat. Defnton 4.4 Ene Famle F = {f ν } ν I von Funktonen f v : U K nennt man glechgradg glechmäßg stetg, wenn ε > 0 δ ε > 0 : y x < δ ε = f ν (y) f ν (x) < ε. (4.) Satz 4.5 (Arzelà-Ascol ) Se K K n kompakt und se {f n } n N mt f n : K K glechgradg glechmäßg stetg und beschränkt. Dann gbt es ene glechmäßg konvergente Telfolge {f nm } m N. Bewes. De enzelnen Schrtte des Beweses snd de folgenden:. Exstenz ener abzählbaren dchten Telmenge. Wel K kompakt st, hat K ene abzählbare dchte Telmenge. Denn aus jeder Überdeckung U k := {B k(x); x K} kann man endlch vele {B k(x k,l )} l k l= wählen, de K schon überdecken. De abzählbare Menge T := {x k,l ; l l k, k N} st dcht n K.. Konvergenz n abzählbar velen Punkten. Wr schreben T = {x k } k=. Wel de Folge {f n (x )} n N beschränkt st, gbt es ene konvergente Telmenge {f,nk (x )} k N (der Satz von Bolzano-Weerstraß). Wel {f,nk (x )} k N beschränkt st, gbt es ene konvergente Telmenge {f,nk (x )} k N, usw. Nach n Schrtten haben wr ene Telfolge, de konvergert auf {x,..., x n }. Mt Hlfe des sogenannten Dagonalverfahrens bekommt man ene Telfolge, de konvergert auf T : Man setze f nm = f m,nm. De Funktonenfolge {f nm } m N konvergert auf T und wr defneren f(x) = lm m f n m (x) für x T. 3. Konvergenz auf dem Ganzen. Für x K\T gbt es ene Folge {x n } n N mt x n x für n. Dann st {f(x n )} ene Cauchy-Folge: f(x n ) f(x k ) f(x n ) f nm (x n ) + f nm (x n ) f nm (x k ) + f nm (x k ) f(x k ). Her wrd de glechgradge Stetgket verwendet: Für ε > 0 gbt es δ ε/3 > 0 derart, dass x n x k < δ ε/3 mplzert f nm (x n ) f nm (x k ) < ε. Man nehme m genügend 3 groß für f(x n ) f nm (x n ) < ε und f 3 n m (x k ) f(x k ) < ε. Cauchy-Folgen n R 3 Cesare Arzelà (847-9) und Gulo Ascol ( ) Ene Telmenge T K heßt dcht, wenn es zu jedem x K ene Folge {x n } n N T gbt, de nach x konvergert.

3 4. Glechmäßge Konvergenz 6. Jul 008 oder C snd konvergent. Wenn es zwe Folgen gbt mt x n x und x n x, dann glt auch her f(x n ) f( x n ) f(x n ) f nm (x n ) + f nm (x n ) f nm ( x n ) + f nm ( x n ) f( x n ), und man fndet ähnlch we soeben, dass {f( x n )} den glechen Grenzwert hat. Das bedeutet f(x) = lm n f(x n ) für T x n x K\T st wohldefnert. 4. Glechmäßge Stetgket der Grenzfunkton. Auch glt, dass f glechmäßg stetg st: Seen {x n } n N und {y n } n N derart, dass T x n x und T y n y. Se ε > 0. Man verwende: f(x) f(y) f(x) f(x n ) + f(x n ) f nm (x n ) + f nm (x n ) f nm (y n ) + + f nm (y n ) f(y n ) + f(y n ) f(y). Wenn man n genügend groß nmmt, folgt x n y n < x y. Man nehme δ ε > 0 derart, dass x y < δ ε mplzert f nm (x) f nm (y) < ε. Auch nehme man n so 5 groß, dass f(x) f(x n ) < ε und f(y 5 n) f(y) < ε. Durch m genügend groß zu 5 nehmen fndet man f(x n ) f nm (x n ) < ε und f 5 n m (y n ) f(y n ) < ε Glechmäßger Konvergenz der Telfolge. De glechmäßge Konvergenz folgt aus der Kompakthet von K: Wenn f nm ncht glechmäßg konvergert, dann gbt es ε 0 > 0 und ene Telfolge n mk mt x k K und fnmk (x k ) f(x k ) > ε0. De Folge x k hat ene konvergente Telfolge x kl x. Se { x n } n N T ene Folge mt x n x und man fndet ε 0 < f nmkl (x kl ) f(x kl ) f nmkl (x kl ) f nmkl ( x n ) + f nmkl ( x n ) f( x n ) + f( x n ) f(x kl ). De rechte Sete bekommt man so klen we man möchte und so enen Wderspruch: Man nehme l und n so groß, dass f( x n ) f(x kl ) < ε 3 0 und f( x n ) f(x kl ) < ε 3 0. Für l genügend groß, folgt f nmkl ( x n ) f( x n ) < ε 3 0. Satz 4.6 (Montel 3 ) Se G C offen und se {f n } n N ene Funktonenfolge mt f n : G C holomorph und lokal glechmäßg beschränkt. Dann gbt es ene lokal glechmäßg konvergente Telfolge {f nm } m N. Bewes. Se B R (w) G und se M > 0 derart, dass f n M auf B R (w). Es glt für z, z B R (w), dass ( f n (z ) f n (z ) = fn (z) f ) n(z) dz π z w =R z z z z = = z z π (z z ) (z z ) f n(z)dz z z π z w =R π 0 fn (w + R e t ) M Rdt R R z z. Also st {f n } n N glechgradg glechmäßg stetg auf B R (w). Mt dem Satz von Arzelà- Ascol folgt das Ergebns. 3 Paul Montel

4 6. Jul 008 Woche 4, Konvergenz und Folgen Satz 4.7 (Weerstraß) Se G C offen und se {f n } n N ene Funktonenfolge mt f n : G C holomorph, de glechmäßg gegen f konvergert. Dann st f holomorph. Außerdem konvergert f n {k) lokal glechmäßg gegen f (k). Bewes. Se γ ene stückwese stetg dfferenzerbare Kurve n G mt Innengebet n G. Wel f n (z)dz = 0 und wel f n glechmäßg konvergert, folgt f(z)dz = lm f n(z)dz = lm f n (z)dz = 0. γ γ n n γ γ Mt Satz 4. folgt, dass f ene Stammfunkton hat auf jedem enfach zusammenhängenden Gebet G G. Wel dese Stammfunkton holomorph st auf G, st f holomorph auf G und darum auch auf G. Für de lokal glechmäßge Konvergenz von f n betrachte man de Abletung mt der Integralformel von Cauchy (Korollar 5.7) für γ : [0, π] C mt γ(t) = z 0 + re t : f (z) f n(z) = f(w) f n (w) π γ (w z) dw. Auf jeder Kresschebe B r (z 0 ) n G folgt so aus glechmäßger Konvergenz von f n f de glechmäßge Konvergenz von f n f auf B r (z 0 ). Für höhere Abletungen wederhole man deses Argument. 4. Bewes des Remannschen Abbldungssatzes Der Remannsche Abbldungssatz (Satz 0.8 ) lautet: Se G C en enfach zusammenhängendes Gebet. Dann gbt es ene bholomorphe Abbldung h : R + R + G. Man kann hn noch etwas genauer formuleren wenn wr statt R+R den Enhetskres B (0) nehmen und de nverse Abbldung betrachten: f : G B (0). De Abbldung g 0 (z) = z +z st bholomorph von R + R+ auf B (0). Das heßt, wenn wr bholomorphe Funkton f kennen, kennen wr auch ene bholomorphe Funkton h, denn h = f nvers g nvers 0. Satz 4.8 (Der Remannsche Abbldungssatz auf B (0)) Se G C en enfach zusammenhängendes Gebet. Dann gbt es ene bholomorphe Abbldung f : G B (0). Se z 0 G. Wenn man f(z 0 ) = 0 und Arg (f(z 0 )) ( π, π] vorschrebt, gbt es genau ene solche Abbldung f. Bewes. Auch her gbt es enen Bewes n mehreren Schrtten.

5 4. Bewes des Remannschen Abbldungssatzes 6. Jul Der erste Schrtt m Bewes st de Konstrukton ener bholomorphen Abbldung f 0, de G abbldet auf en enfach zusammenhängendes Gebet G := f 0 (G) B (0) und mt 0 G. Wel G C gbt es a G c = C\G. Wel G enfach zusammenhängend st, gbt es enen Weg von a nach. Dann kann man Log (z a) als holomorphe Funkton auf G defneren wenn man genau desen Weg als Schntt für den Logarthmus verwendet (Log (z a) = Log(z a) + kπ mt k N). De Abbldung ( ) g : z exp Log (z a) bldet G bholomorph ab auf G = g (G) und C\G enthält ene offene Kresschebe B r (w): Wenn w g(g) dann gbt es r (0, w ) mt B r ( w) G. Wenn z G dann folgt z G. Durch ene zusätzlche gebrochen lnearen Abbldung g : z (z w) r fndet man ene bholomorphe Abbldung g : G G := g (G ) mt B (0) G =. Setzt man g 3 : z /z an, so folgt G 3 := g 3 (G ) B (0). Se z 0 G 3. Mt Hlfe der gebrochen lnearer Abbldung g 4 : z z z 0 z 0 z folgt, dass f 0 = g 4 g 3 g g de Menge G bholomorph abbldet auf ene Telmenge G von B (0) mt 0 G Abbldung 4.: Entgegen dem Uhrzegersnn: G g g g 3 g 4 G G G3 G.

6 4 6. Jul 008 Woche 4, Konvergenz und Folgen. Der zwete Schrtt betrfft de Exstenz ener bholomorphen Funkton als Grenzfunkton ener Folge von bholomorphen Abbldungen f n : G fn ( G) B (0). Man betrachte dazu de Famle von Funktonen { F = f : G } B (0); f holomorph, njektv, f(0) = 0 und Arg (f(0)) = 0. Wel f : z z n F legt, st dese Menge ncht leer. Setze M = sup {f (0); f F}. Wel G en Gebet st (Satz über Gebetstreue) gbt es r > 0 mt Br (0) G und es folgt aus f (0) = f(z) π γ z dz = f(z) π γ z dz π ( ) f re ϕ π rdϕ rdϕ = πr πr r, 0 dass M [, r ]. Se nun {f n } n N ene Folge mt lm n f n(0) = M. Wel f n beschränkt st (durch ) lefert der Satz von Montel uns ene lokal glechmäßg konvergente Telfolge {f nm } m N. Der Satz von Weerstrass lefert uns, das de Grenzfunkton f holomorph st, und dass für f glt f( G) B (0), f(0) = lm m f nm (0) = 0 und f (0) = lm m f n m (0) = M. Sogar glt, dass f njektv st: Wenn f ncht njektv wäre, dann gebe es z z G mt f(z ) = f(z ) =: w. Wel f ncht konstant st hätte f w solerte Nullstellen, gebe es Umgebungen B r (z ) G und B r (z ) G mt f w 0 auf B r (z ) und B r (z ). Durch de glechmäßge Konvergenz und den Satz von Rouché hätte auch f n w für n genügend groß Nullstellen n B r (z ) und B r (z ). Das würde bedeuten, dass f n ncht njektv wäre, en Wderspruch. 3. Im drtten Schrtt zegen wr, dass f( G) = B (0). Nehme an f(g) = G B (0). Dann gbt es w B (0)\ G und kann man durch ene gebrochen lnearen Funkton w auf 0 Abblden: h : z z w w z. Man hat h (0) = w. Wel G := h (G) enfach zusammenhängend st und 0 G, kann man Log # (z) als holomorphe Funkton auf G defneren (Log # (z) = Log(z) + kπ mt k N). Setze ( ) h : z exp Log# (z) und w = h ( w ). Anschleßend nehmen wr h 3 : z e ϕ z w w z wobe wr ϕ ( π, π] so wählen, dass Arg ( (h 3 h h ) (0) ) = 0. Es glt (h 3 h h ) (0) = (h 3 h ) ( w ) = h 3 (w ) = 0. 0 Wr betrachten ( (h h : z h nvers nvers (z) ) ).

7 4.3 Schwarz und Chrstoffel 6. Jul Abbldung 4.: Ene Skzze zu G h G h h 3 G G3. Dese Funkton h bldet B (0) auf B (0) ab, st kene Drehung und darum folgt aus dem Schwarzschen ( ) Lemma h (0) <. Wel h de Inverse st zu h 3 h h : G (h 3 h h ) G B (0) glt (h 3 h h ) (0) = h (0) >. Dann st h 3 h h f ene bholomorphe Abbldung von G nach ener Telmenge von B (0) mt en Wderspruch. (h 3 h h f) (0) = (h 3 h h ) (0) f (0) > M, 4. De Endeutgket. Wenn sowohl f als auch f bholomorphe Abbldungen snd von G nach B (0), dann st f nvers f : B (0) B (0) bholomorph und hat deshalb de Form ( f nvers f ) (z) = e ϕ z w w z. ( Wel f nvers f ) (0) = 0 folgt w = 0, und wel folgt e ϕ = und ( f nvers f ) (0) = f (0) f (0) R+ ( f nvers f ) (z) = z. 4.3 Schwarz und Chrstoffel Proposton 4.9 (Das Schwarzsche Spegelungsprnzp) Se G en Gebet n C, das symmetrsch st bezüglch der reellen Achse. Wenn glt, dass. f holomorph st auf {z G; Im z > 0},. f stetg st auf {z G; Im z 0} und 3. f (G R) R,

8 6 6. Jul 008 Woche 4, Konvergenz und Folgen dann st f(z) = { f(z) auf {z G; Im z 0}, f (z) auf {z G; Im z < 0}, ene holomorphe Funkton auf G. Bewes. Setze u (x, y) = Re f(x + y) und v (x, y) = Im f(x + y). Dann glt u (x, y) = u (x, y) und v (x, y) = v (x, y). De Stetgket von u und v und de Annahme, dass v(x, 0) = 0 auf G R lefern de Stetgket von f auf G. De Dfferenzerbarket auf {z G; Im z < 0} folgt aus der reellen Dfferenzerbarket von u und v und den Cauchy-Remann Glechungen: x (u (x, y)) = ( x u) (x, y) = ( y v) (x, y) = y (v (x, y)) = y ( v (x, y)), y (u (x, y)) = ( y u) (x, y) = ( x v) (x, y) = x (v (x, y)) = x ( v (x, y)). Es blebt noch zu bewesen, dass f komplex dfferenzerbar st n x G R. Se B r (x) C. Wel f stetg st auf G R, kann man für jede dfferenzerbare geschlossene Kurve γ nnerhalb B r (x) belebg nahe Kurven γ + n {z B r (x); Im z > 0} und γ n {z B r (x); Im z < 0} fnden mt γ ( f(z)dz = lm ε 0 f(z)dz + γ + γ ) f(z)dz = 0. Wenn γ f(z)dz = 0 für belebge Kurven n B r (x), st f holomorph n B r (x). De Kurven γ + und γ bekommt man zum Bespel ndem man defnert γ + (t) = Re γ(t) + φ ε (Im γ(t)), γ (t) = Re γ(t) φ ε ( Im γ(t)), mt t für t > ε, φ ε (t) = t /ε + ε/4 für t [ 0, ε], ε ür t < 0. 4 Ε Das Schwarzsche Spegelungsprnzp erlaubt es, de Remannsche Abbldung für en Polygon etwas präzser festzulegen. En Polygon st en enfach zusammenhängendes Gebet, dessen Rand von enem Polygonzug beschreben wrd.

9 4.3 Schwarz und Chrstoffel 6. Jul Abbldung 4.3: De Kurven γ und γ +, γ. Bemerke, dass Telkurven, de n entgegengesetzter Rchtungen durchlaufen werden, sch aufheben und ncht am Integralwert betragen. Satz 4.0 (Schwarz-Chrstoffel) Se P en Polygon n C. Dann exstert ene bholomorphe Abbldung h : ( R + R +) P. Wenn wr de Eckpunkte von P entgegen dem Uhrzegersnn w,..., w n nennen und α,..., α n de zugehörgen Wnkel, de de Änderungen n der Tangentalrchtung messen, das heßt ( ) wk+ w k α k = Arg für k =,..., n w k w k (setze w n = w 0 und w n+ = w ), dann gbt es x < x < < x n R mt h(x k ) = w k für =,..., n und h( ) = w n und es glt h (z) = α (z x ) α /π (z x ) α /π... (z x n ) α n /π. 4 4 Abbldung 4.4: De Wnkeländerungen erschenen n der Schwarz-Chrstoffel Transformaton.

10 8 6. Jul 008 Woche 4, Konvergenz und Folgen Bemerkung 4.0. Man verwendet mt z α k/π = exp ( α ) k π Log (z) Log (z) = Log (z/) + π. Das st ene Erweterung des Logarthmus mt (0, ) als Schntt. Bemerke, dass α /π > ntegrerbare Sngulartäten gbt. Bemerkung 4.0. Der Satz glt mt klenen Änderungen sogar für unbeschränkte Polygonen.