n y j l j (x) È n. j=0 n (x x j ). f(x) = a y n+1 p n (x n+1 ) (x n+1 x 0 )...(x n+1 x n ).

Transkript

1 5 Interpolaton 5.1 De Lagrangesche Interpolatonsaufgabe Mt È n bezechnen wr den Raum der reellen Polynome vom Grad n. Gegeben seen n+1 verschedene Stützstellen x j Ê, j = 0,...,n, und n + 1 ncht notwendg verschedene Werte y 0,...,y n. In der Lagrangeschen Interpolatonsaufgabe st en Polynom p È n gesucht mt (5.1) p(x j ) = y j, j = 0,1,...,n. De y j können wr uns als Werte y j = f(x j ) ener vorgegebenen Funkton f vorstellen. Wr sagen dann, dass p de Funkton f nterpolert. De Dmenson von È n st n+1. Wr haben daher n der Lagrangeschen Interpolatonsaufgabe n+1 Bedngugen gestellt, aber auch n+1 Freheten zur Verfügung. Zur Lösung des Interpolatonsproblems defneren wr de Lagrange-Bass {l j },...,n, l j È n, durch (5.2) l j (x) = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x j x 0 )...(x j x j 1 )(x j x j+1 )...(x j x n ). Es glt dann l (x j ) = δ j und de Interpolatonsaufgabe (5.1) wrd gelöst durch (5.3) p(x) = y j l j (x) È n. Satz De Interpolatonsaufgabe (5.1) wrd endeutg gelöst durch das Lagrangesche Interpolatonspolynom (5.3). Bewes: Gäbe es zwe Lösungen p 1,p 2 È n von p(x j ) = y j, so glt für q = p 1 p 2 È n, dass q(x j ) = 0. Damt hat q n+1 Nullstellen und muss das Nullpolynom sen. Daher st p 1 = p De Newtonsche Interpolatonsformel Das Polynom p n (x) È n nterpolere de Daten (x j,y j ) Ê 2, j = 0,...,n. Wr nehmen en weteres Zahlenpaar (x n+1,y n+1 ) Ê 2, x n+1 x j, j = 0,...,n, hnzu. Kann man dann das Interpolatonspolynom p n+1 (x) È n+1 zu den Daten (x j,y j ), j = 0,...,n+1, schreben als p n+1 (x) = p n (x)+f(x) mt ener lecht berechenbaren Funkton f(x)? Wegen p n È n, p n+1 È n+1 glt f(x) = p n+1 (x) p n (x) È n+1 sowe f(x j ) = 0 für j = 0,...,n. Daher hat f mt enem a Ê de Gestalt f(x) = a a kann man aus der Interpolatonsbedngung n (x x j ). y n+1 = p n+1 (x n+1 ) = p n (x n+1 )+a n (x n+1 x j ) ermtteln a = y n+1 p n (x n+1 ) (x n+1 x 0 )...(x n+1 x n ). Wr wollen nun en enfaches Verfahren zur Berechnung der Zahl a, des führenden Koeffzenten des Interpolatonspolynoms, herleten. Grundlage dafür st 38

2 Satz [Atken Lemma] Es se zu (x j,y j ) Ê 2, j = 0,...,n, x x j, das Interpolatonspolynom p È n gesucht. Seen p [0],p [n] È n 1 de Interpolatonspolynome mt p [0] (x j ) = y j, j = 0,...,n 1, p [n] (x j ) = y j, j = 1,...,n. Dann glt p(x) = p [0](x)(x x n ) p [n] (x)(x x 0 ) x 0 x n. Bewes: Das angegebene Polynom genügt offenbar den Bedngungen p(x j ) = y j für j = 0,...,n sowe p È n. Für 0 j n se nun p j È j das Interpolatonspolynom mt p j (x k ) = y k für k =,...,j. Dann folgt aus dem Atken Lemma, dass für de Interpolatonspolynome de Rekurson glt (5.4) (5.5) p j (x) = p j 1(x)(x x j ) p +1j (x)(x x ) x x j = p +1j (x)+ ( p +1j (x) p j 1 (x) ) x x j x j x Dese Form des Interpolatonspolynoms egnet sch besonders, um enzelne Werte zu berechnen, ohne glech das ganze Polynom aufzustellen. Mt P j, j bezechnen wr den Wert des Interpolatonspolynoms p j (x) für en festes x. Wr erhalten dafür das folgende Nevlle-Schema x 0 y 0 = P 00 x 1 y 1 = P 11 x 2 y 2 = P 22 x 3 y 3 = P 33 x 4 y 4 = P 44 P 01 P 12 P 23 P 34 P 02 P 13 P 24 P 03 P 14 P 04 = p 04 (x), wobe P j aus P j 1 und P +1j mt (5.4) bestmmt wrd. Man kann n desem Schema auf enfache Wese wetere Stützstellen hnzufügen. In obgem Bespel hängt man das Paar (x 5,y 5 = P 55 ) unten an und berechnet de Werte P 45,...,P 05 Aus der Formel (5.5) erhält man ene wetere Darstellung des Interpolatonspolynoms. Da a n n 1 p n = p n 1 +a (x x j ) der Koeffzent der höchsten Potenz x n n p n (x) st, lest man aus (5.5) durch Koeffzentenverglech sofort ab: Satz [Newtonsche Interpolatonsformel] Das Interpolatonspolynom aus (5.1) hat de Gestalt j 1 (5.6) p(x) = [x 0,...,x j ] (x x k ), k=0 1 k=0 = 1, wobe de dvderten Dfferenzen [x 0,...,x j ] rekursv defnert snd durch [x j ] = y j [x k,...,x j ] = [x k+1,...,x j ] [x k,...,x j 1 ] x j x k, j > k 0. 39

3 De dvderten Dfferenzen können daher völlg analog zum Nevlle Schema bestmmt werden y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 [x 0,x 1 ] [x 1,x 2 ] [x 2,x 3 ] [x 3,x 4 ] [x 0,x 1,x 2 ] [x 1,x 2,x 3 ] [x 2,x 3,x 4 ] [x 0,x 1,x 2,x 3 ] [x 1,x 2,x 3,x 4 ] [x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ] Enzelne Werte des Interpolatonspolynoms bestmmt man aus (5.6) unter Verwendung enes Horner-ähnlchen Schemas. Wr schreben (5.6) n der Form p(x) = j 1 c j k=0 und erhalten de Rekurson Dann st p(x) = b 0. (x x k ) = (...(c n (x x n 1 )+c n 1 )(x x n 2 )+...+c 1 )(x x 0 )+c 0 b n = c n, b = b +1 (x x )+c, = n 1,...,0. De Newtonsche Interpolatonsformel lefert de effzenteste Methode zur Auswertung des Interpolatonspolynoms. Selbst wenn man nur an enem Funktonswert nteressert st, st der Aufwand gernger als mt dem Nevlle-Schema. Wegen sener enfachen Gestalt wrd das Nevlle-Schema dennoch n der Praxs verwendet. 5.3 Der Interpolatonsfehler Satz Se f C n+1 [a,b] und seen Stützstellen gegeben mt a x 0 <... < x n b. Se p È n das zugehörge Interpolatonspolynom mt p(x j ) = f(x j ). Zu jedem x [a,b] gbt es en ξ aus dem klensten Intervall I, das de Punkte x,x 0,x 1,...,x n enthält, mt (5.7) f(x) p(x) = ω(x) (n+1)! f(n+1) (ξ), mt ω(x) = (x x 0 ) (x x n ). Bewes: Für x x j betrachte de Funkton (5.8) F(x) = f(x) p(x) αω(x) und bestmme en α Ê so, dass F(x) = 0 erfüllt st, was wegen ω(x) 0 möglch st. Dann bestzt F mndestens de Nullstellen x,x 0,...,x n n I. Nach dem Satz von Rolle bestzt F mndestens n+1 Nullstellen, F mndesten n und F (n+1) mndestens ene Nullstelle ξ n I, also 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) 0 α (n+1)! und damt α = f (n+1) (ξ)/(n+1)!. De Behauptung folgt aus F(x) = 0 n (5.8). Für en Intervall I = [a,b] betrachten wr nun ene Folge von Zerlegungen m = {a = x (m) 0 < x (m) 1 <... < x (m) n m = b} mt Fenhet m = max x (m) +1 x(m). 40

4 Aus obger Fehlerdarstellung erhält man sofort, dass sehr glatte Funktonen we etwa de e-funkton auf beschränkten Intervallen mmer genauer nterpolert werden. Für alle übrgen Funktonen wrd der Interpolatonsfehler n der Regel anstegen, wenn wr vele Stützstellen verwenden. Enge Resultate: Satz von Faber: Zu jeder Folge { m } gbt es ene stetge Funkton f, so dass de zugehörgen Interpolatonspolynome ncht glechmäßg gegen f konvergeren. Runge-Phänomen: De Folge der Interpolatonspolynome auf äqudstanten Zerlegungen st ncht beschränkt, wenn de Funkton 1/(1+x 2 ) auf dem Intervall [ 5,5] nterpolert wrd. Zur Darstellung ener Funkton st de Polynomnterpolaton daher ungeegnet. 5.4 Hermte-Interpolaton In desem Abschntt gehen wr von enem beschränkten Intervall [a,b] und ener Funkton f C 1 [a,b] aus. Für paarwese verschedene Stützstellen x 0,x 1,...,x n [a,b] suchen wr en Polynom p È 2n+1, das de Hermtesche Interpolatonsaufgabe (5.9) p(x j ) = f(x j ) = f j p (x j ) = f (x j ) = f j. für j = 0,...,n erfüllt. Analog zum Vorgehen bem Lagrangen Interpolatonsproblem suchen wr ene Bass φ j,ψ j È 2n+1 mt φ j (x ) = δ j, φ j(x ) = 0, ψ j (x ) = 0, ψ j(x ) = δ j, für,j = 0,...,n. Mt den Bassfunktonen l j È n des Lagrangeschen Interpolatonsproblems n (5.2) glt dann φ j (x ) = ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l 2 j(x) ψ j (x ) = (x x j )l 2 j(x), was man für j = 0,...,n lecht nachrechnen kann. De Lösung von (5.9) st dann (5.10) p(x) = f j φ j (x)+ f jψ j (x). Satz Das Hermte-Interpolatonspolynom p È 2n+1 aus (5.10) st de endeutge Lösung des Hermteschen Interpolatonsproblems (5.9). Bewes: Gäbe es zwe Interpolatonspolynome p 1,p 2 È 2n+1, de (5.9) erfüllen, so besäße q = p 1 p 2 È 2n+1 n + 1 Nullstellen und n + 1 Nullstellen der ersten Abletung. Damt st q = 0 und p 1 = p 2. Für den Interpolatonsfehler glt entsprechend Satz 5.3: Satz Se f C 2n+2 [a,b], seen de Stützstellen x 0,...,x n [a,b] paarwese verscheden, und se p È 2n+1 das Hermtesche Interpolatonspolynom, das den Bedngungen (5.9) genügt. Dann gbt es zu jedem x [a,b] en ξ aus dem klensten Intervall, das de Punkte x,x 0,...,x n enthält mt (5.11) f(x) p(x) = ω2 (x) (2n+2)! f(2n+2) (ξ). mt ω(x) = (x x 0 ) (x x n ). Bewes: Für x = x j st de Glechung rchtg, se also x x j für alle j. De Funkton F(z) = ( f(x) p(x) ) ω 2 (z) ( (f(z) p(z) ) ω 2 (x) 41

5 bestzt für jedes x j mndestens ene doppelte und für x mndestens ene enfache Nullstelle. (2n+2)- fache Anwendung des Satzes von Rolle zegt, dass F (2n+2) mndestens ene Nullstelle ξ bestzt, also 0 = F (2n+2) (ξ) = (2n+2)! ( f(x) p(x) ) f (2n+2) (ξ)ω 2 (x) = 0. Ene enfache Umformung lefert de Behauptung. 5.5 Splnes De n den vorhergehenden Abschntten behandelte Polynomnterpolaton st zwar lecht durchführbar, hat aber den Nachtel, dass be Verfenerung der Zerlegung kene Konvergenz zu erwarten st. Bessere Konvergenzegenschaften haben de nun zu besprechenden Splnes. Se (5.12) = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} ene Zerlegung des Intervalls [a,b]. Dann bezechnen wr mt S(,p,q), p,q Æ 0, 0 q < p, den Raum aller Funktonen s C q [a,b], de auf jedem Telntervall [x 1,x ], = 1,...,n, mt enem Polynom vom Höchstgrad p überenstmmen. Jedes s S(, p, q) heßt (Polynom-)Splne vom Grade p der Dfferenzerbarketsklasse q zur Zerlegung. Wr behandeln nur Splnes, be denen es ene lecht zugänglche Bassdarstellung ähnlch we de Lagrange-Bass n der Polynomnterpolaton gbt, de aber zusätzlch noch lokaler Natur st. Der Raum der stückwese lnearen Funktonen S(, 1, 0) Se ene Zerlegung des Intervalls we n (5.12). Wr defneren S 1 = S(,1,0) = {s C[a,b] : s [x 1,x ] È 1 für = 1,...,n}. a x 1 x 2 x 3 b x - 1 x x + 1 Offenbar st ene solche stetge, stückwese lneare Splne-Funkton s durch de Vorgabe hrer Werte an den Stützstellen x 0,...,x n endeutg bestmmt, da se ja nnerhalb der Telntervalle affn lnear st. Wr defneren de Bassfunktonen φ S 1 durch Es glt dann φ (x) = x x 1 x x 1 falls x 1 x x und > 0 x +1 x x +1 x 0 sonst falls x x x +1 und < n φ (x j ) = δ j,,j = 0,...,n.. Aufgrund deser Egenschaft snd de φ lnear unabhängg und blden ene Bass von S 1. De m Inneren des Intervalls legenden Bassfunktonen haben de charakterstsche Hut-Gestalt, we m Bld oben rechts zu sehen st.. 42

6 Für ene auf dem Intervall [a,b] stetge Funkton f st de Interpolerende I f S 1 defnert durch I f(x) = f(x )φ (x). I f st damt de endeutge stetge, stückwese lneare Funkton, de an den Stützstellen mt f überenstmmt. En Bespel für ene solche Interpolerende st m Bld oben lnks zu sehen, aus dem auch klar wrd, dass man ene täuschend echte Approxmaton von f nur errecht, wenn de Fenhet der Zerlegung sehr klen st. Zur Darstellung ener Funkton st also der Raum S 1 wenger geegnet. Dennoch kann man mt solchen Splnes sehr vel anfangen, um schwerge Probleme we de Approxmaton gewöhnlcher und parteller Dfferentalglechungen zu behandeln. Denn das Stabltätsverhalten deser Splnes st unverglechlch vel besser als das der Polynomnterpolaton. Aus dem obgen Bld wrd bespelswese sofort klar, dass I f f rchtg st, wobe de Maxmumsnorm st. Weter st für de Auswertung von I f nur de Bestmmung enes gewchteten Mttelwerts der Werte von f an den benachbarten Stützstellen erforderlch. Wr leten nun ene Abschätzung für den Fehler her. Satz Se f C 2 [a,b]. Dann glt mt = max x +1 x f I f f. Bewes: Aus Satz 5.3 erhalten wr für x [x 1,x ] f(x) I f(x) = 1 2 (x x 1)(x x )f (ξ ), ξ [x 1,x ]. De Funkton n x auf der rechten Sete wrd maxmal für den Mttelwert von x 1 und x, daher f I f (x) 1 8 x x 1 2 max x [x 1,x ] f (x), also f I f f. Der Raum der kubschen Hermte-Splnes S(, 3, 1) Se ene Zerlegung des Intervalls we n (5.12). Wr defneren S 3 = S(,3,1) = {s C 1 [a,b] : s [x 1,x ] È 3 für = 1,...,n}. In desem Fall st de Funkton s S 3 durch de Vorgabe hrer Werte und der Werte hrer Abletung an den Stützstellen x 0,...,x n endeutg bestmmt, da se nnerhalb der Telntervalle ene kubsche Funkton st. Wr benötgen Bassfunktonen φ S 3, deren Abletungen an den Stützstellen verschwnden, mt φ (x j ) = δ j und Bassfunktonen ψ S 3, de an den Stützstellen verschwnden, 43

7 mt ψ (x j) = δ j : φ (x) = (x x 1 ) 2 (3x x 1 2x) (x x 1 ) 3 falls x 1 x x und > 0 (x +1 x) 2 (x +1 3x +2x) (x +1 x ) 3 falls x x x +1 und < n 0 sonst, ψ (x) = (x x 1 ) 2 (x x ) (x x 1 ) 2 falls x 1 x x und > 0 (x x +1 ) 2 (x x ) (x +1 x ) 2 falls x x x +1 und < n 0 sonst. Man rechnet lecht nach, dass dann φ (x j ) = δ j, φ (x j) = 0 ψ (x j ) = 0, φ (x j) = δ j },j = 0,...,n. Demnach stellen dese Funktonen ene Bass des Raumes S 3 dar, de zudem lokal st: Der Träger der Bassfunktonen φ,ψ besteht ledglch aus dem Intervall [x 1,x +1 ]. Für ene auf dem Intervall [a,b] stetg dfferenzerbare Funkton f st de Interpolerende I f S 3 defnert durch ( I f(x) = f(x )φ (x)+f (x )ψ (x) ). I f erfüllt dann de Bedngungen f(x ) = I f(x ), f (x ) = I f (x ) für = 0,...,n. Ene Fehlerabschätzung folgt aus (5.11). Für f C 4 [a,b] glt für belebges x [x 1,x ] f(x) I f(x) = 1 4! (x x 1) 2 (x x ) 2 f (4) (ξ ) für en ξ [x 1,x ]. Auch her wrd de Funkton n x auf der rechten Sete maxmal für den Mttelwert von x 1 und x, f I f (x) 1 4! 1 16 x 1 x 4 max x [x 1,x ] f(4) (x). Damt haben wr gezegt Satz Se f C 4 [a,b]. Dann glt mt = max x +1 x f I f f (4). 5.6 Bézerkurven Wr gehen von der Aufgabe aus, ene Kurve zu zechnen, von deren Verlauf wr ene gewsse Vorstellung haben. We bestmmen wr ene Realserung x : [0,1] Ê n? Es legt nahe, gewsse Punkte x = (x 1,...,x n) festzulegen, durch de de Kurve laufen soll, und für jede Komponente ene Polynomnterpolaton durchzuführen. We m Abschntt über Polynomnterpolaton ausgeführt, nmmt de Kurve dann n der Regel enen erratschen Verlauf, wenn wr vele Punkte vorgeben. Auch her st de Polynomnterpolaton ken geegnetes Hlfsmttel. 44

8 De Polynome ( m B m (t) = ) t (1 t) m, t [0,1], = 0,...,m heßen Bernsten-Polynome vom Grad m. Satz Es glt: (a) 0 < B m (t) < 1 n (0,1). (b) m Bm (t) = 1. (c) B m (t) hat ene -fache Nullstelle n t = 0 und ene (m )-fache Nullstelle n t = 1. (d) Es glt für alle m und = 0,...,m+1 de Rekurson (5.13) B m+1 (t) = (1 t)b m (t)+tb 1(t), m wobe B 1 m = Bm m+1 = 0 und B0 0 = 1 gesetzt wrd. Bewes: De Egenschaft (c) st trvalerwese erfüllt. In (a) st B m (t) > 0 klar, de Schranke (t) < 1 folgt aus (b). B m (b) folgt aus der bnomschen Formel wegen (d) glt wegen B m (t) = ( m ( m+1 ) (( m B m+1 (t) = t (1 t) m+1 = ( m = (1 t) = (1 t)b m (t)+tb m 1(t). ) t (1 t) m = ( t+(1 t) ) m = 1. ) ( m )) + t (1 t) m+1 1 ) ( m ) t (1 y) m +t t 1 (1 t) m ( 1) 1 folgt Wegen (c) snd de Bernsten-Polynome lnear unabhängg, denn aus und daher φ(t) = φ(0) = α B m (t) = 0 α B m (0) = α 0 = 0 φ(t) = α B m (t) = 0. =1 Genauso folgt aus φ (t) = 0, dass α 1 = 0 und damt α = 0 für alle. De B m blden daher für = 0,...,m ene Bass des Polynomraums È m. Mt den Bernsten-Polynomen lassen sch auf folgende Art schöne Kurven zechnen: Es seen x Ê n, = 0,...,m, vorgegeben. Dann heßt F(t) = x B m (t) 45

9 de Bézer-Kurve vom Grade m zu den Bézerpunkten (auch Kontrollpunkte genannt) x. Wegen (c) glt F(0) = x 0 und F(1) = x m, de Bézerkurve verbndet demnach de Punkte x 0 und x m. De anderen Bézerpunkte denen dazu, den Kurvenverlauf zu steuern, und legen n der Regel ncht auf der Kurve. Wegen (a) und (b) st F(t) für jedes t ene Konvexkombnaton der Punkte x. Damt legt de ganze Kurve n der konvexen Hülle der x. In der Programmersprache postscrpt gbt es den Befehl curveto, mt dem Bézerkurven für m = 3 gezechnet werden können. In der folgenden Abbldung geben wr enge Bespele für de Ausführung deses Befehls für x 0 = (0,0) und x 3 = (10,0). Mt dem Punkt x 1 lässt sch de erste Abletung m Punkt x 0 vorgeben und damt glechzetg de Anfangsgeschwndgket der Kurve. De gleche Bedeutung hat der Punkt x 2 für x 3. De zugehörge Kurve der Kontrollpunkte st gestrchelt engezechnet De Rekursonsformel (5.13) lefert ene enfache Methode zur Auswertung des Bézer-Polynoms an ener festen Stelle, den Algorthmus von de Casteljau: Satz Se ˆt [0,1]. Setze x,0 = x für = 0,...,m und bestmme Dann glt x,k+1 = (1 ˆt)x 1,k +ˆtx,k, k = 0,...,m 1, = k +1,...,m. Bewes: Für m = 1 glt x m,m = F(ˆt). x 1,1 = (1 ˆt)x 0,0 +ˆtx 1,0 = x 0 B 1 0(ˆt)+x 1 B 1 1(ˆt) = F(ˆt). Ist m 2 und de Behauptung für m 1 bewesen, so x m,m = (1 ˆt)x m 1,m 1 +ˆtx m,m 1 m 1 = (1 ˆt) m 1 x B m 1 (ˆt)+ˆt x +1 B m 1 (ˆt) m 1 = (1 ˆt)x 0 B0 m 1 (ˆt) + x ( ) (1 ˆt)B m 1 (ˆt)+ˆtB 1 m 1 (ˆt) +ˆtx m Bm 1 m 1 (ˆt) = x B m (ˆt) = F(ˆt). =1 Im Bld rechts wrd der Algorthmus von Casteljau für ˆt = 1/2 gezegt, dort werden also mmer de Setenmtten benachbarter Seten mtenander verbunden